Развитие синергетических методов в исследованиях транспортных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

BodrovAndrew Sergeevich, candidate of technical sciences, assistant, andreybodrov 78@mail. ru, Russia, Orel, Transportation Institute, National Institute of Training, Research and Production Complex

УДК 519.6: 656.13: 537.8

РАЗВИТИЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ИССЛЕДОВАНИЯХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

И.Е. Агуреев, А.В. Гладышев

Рассмотрены некоторые автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, используемые в исследованиях транспортных систем. Построены и приведены последовательности существующих в них сингулярных аттракторов, обосновывающие мультиаттракторную природу моделей. Выполнен предварительный анализ их бифуркационного поведения, соответствующего современным представлениям теории динамического хаоса (теории Фейгенбаума - Шарковского-Магницкого).

Ключевые слова: нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор, логистика, математическое моделирование, логистические системы, обыкновенные дифференциальные уравнения.

Современный этап развития моделирования транспортных систем включает в себя не только моделирование «физической» части вопроса, но и воспроизведение в модели ее «экономической» части. Это подчеркивает разнородность описываемых систем. Данный тезис позволяет относить логистические системы как к техническим, так и к экономическим системам в зависимости от рассматриваемых в конкретной модели закономерностей. В настоящее время в экономической литературе достаточно часто упоминается об использовании синергетики в экономике и, в частности, в менеджменте и логистике. Все больше и больше в экономических моделях транспортных систем встречается терминов, присущих синергетике: «бифуркация», «катастрофа» и т.д. Как правило, данные термины используют для обозначения качественных изменений исследуемой модели, и они наиболее присущи физическим системам. Компонентом, объединяющим «физику» и «экономику» транспортных систем, является синергетика и ее методы.

Предпосылками использования методов синергетики в моделировании транспортных систем, вероятно, является нелинейность протекающих в системе процессов. Транспортные системы с позиции нелинейной дина-

мики исследованы недостаточно глубоко. Это связано с их масштабностью и сложностью определения количественных характеристик их функционирования. В качестве фундаментальной основы использования синергетических методов в транспортных системах выступает качественная теория дифференциальных уравнений. Методы синергетики позволяют создавать как модели транспортных макросистем, так и модели транспортных микросистем.

В работах [1 - 10] выполнялись численные исследования различных диссипативных систем, полученных при моделировании некоторых транспортных процессов. Среди предварительных результатов можно отметить следующие. Во-первых, существенно расширяется представление о геометрии нерегулярных решений. Можно утверждать, что найдены неизвестные до сих пор формы нелинейных колебаний, которые требуют детального исследования. Во-вторых, среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В-третьих, обнаруживаются некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения) в одной и той же исследуемой системе. Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В-четвертых, в различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца, Ресслера или других более сложных).

В настоящей работе исследуются только диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы разработаны авторами для различных модельных ситуаций, касающихся транспортных процессов. При этом в анализе основное внимание уделяется некоторым общим результатам, характерным для большинства представленных здесь моделей. Общим для формирования всех моделей является представление их в виде

х = р (х, т)

или

х = р (х, /, т),

где х е М с Ят, ^ с Як, ? е I с Я, к и т - размерности соответствен-

но параметрического и фазового пространств.

Интегрирование рассматриваемых в настоящей работе систем требует аппроксимации решения различными линейными функциями на последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности т. Самым удобным методом такой аппроксимации является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, дающий при малых т разностные уравнения, аппроксимирующие решения с точностью 0(т4) [15]. Выбор метода интегрирования представ-

ляется важным элементом. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны в 1900 году немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттом, но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге - Кутта [12].

Формально методом Рунге-Кутта является модифицированный и исправленный метод Эйлера, оба они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь, по меньшей мере, девять стадий, в схему восьмого порядка входит одиннадцать стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

В процессе исследования представленных здесь моделей использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка, алгоритм которого был реализован в программах на языке C++.

Модель 1 (динамическая модель транспортной макросистемы). Рассмотрим динамическую систему, которая описывает макроскопическую динамику транспортных процессов. Переменными этой системы являются [6]: х - количество выполненной транспортной работы; у - суммарные потери времени при выполнении работы х; z - инвестиции, направленные в инфраструктуру транспортной системы.

Для выявления взаимосвязей между переменными рассмотрим причины, вызывающие изменения переменных.

Изменение транспортной работы предполагается вследствие экономического развития системы (рост объёма перевозок). Этот фактор будем считать пропорциональным величине z, что напрямую учитывает провозную возможность транспортной сети, а косвенно - увеличение спроса вследствие экономического роста. Другая причина изменения переменной х заключается в естественном сокращении транспортной работы за счет стремления перевозчиков к оптимизации (рационализации) транспортных процессов. Допустим, что данный фактор учитывается постоянным коэффициентом с отрицательным знаком. Последним фактором, влияющим на переменную х, будем считать сокращение транспортной работы в результате роста задержек времени. Это слагаемое будет пропорционально величине у с отрицательным коэффициентом. Тогда уравнение для х будет иметь вид

Йу ~ ~ ~

— = ~2 - ~2 У-~3- (1)

ш

Изменение задержек времени происходит из-за увеличения транспортной работы (рост) и вследствие роста инвестиций. Соответствующее эволюционное уравнение имеет вид

Шу = к4х - -з 2. (2)

Наиболее сложное уравнение запишем для величины инвестиций, направленных на развитие транспортной системы. Будем иметь в виду наличие инвестиций постоянных, направленных на поддержание текущего состояния; плановых, направленных на развитие, и экстренных, направленных на ликвидацию проблемных ситуаций. Введем пороговые значения для переменной у: У1, при этом неравенство у>У1 означает наступление экстренной проблемы; У2, соответствующее неравенство у>У2 означает наступление этапа плановой модернизации. При этом будем считать, что У1>У2. Текущие инвестиции на поддержание требуемого состояния транспортной системы определим, с одной стороны, пропорциональными самой стоимости транспортной системы, зависящей от г, ас другой стороны, пропорциональными износу. Тогда имеем

~ ~ ~ ~

— = кб( 2 - к7 х) 2 + к8 у( у - у1) + к9х( у - у2). (3)

ш

Таким образом, систему уравнений (1) - (3) можно записать в виде X = к^ - к2 у - кз,

у = к4х - кз г, (4)

22 2 = к6 х - ку у + к8 у + к9 ху + -ю г - к1\х2,

которая является диссипативной при условии

2 <-^ х. (5)

2кШ ( )

Особые точки системы (4) находим по формулам

* к з * * к * к з * В ±

х1,2 = ~т^ у1,2 = ~т21,2 - ~т; 21,2 = 2А ;

/У 4 2 2 "Л

к,2 , 8 к5 , , к 5 к6 к, к7 к, к3 к8

А = -± к8 —5- к„ + к,„; А Ф 0; В = —1-^ - 2 1 3 8-

к 2 к 4 11 10 ’ ’ к 4 к 2 к22 ’ (6)

к к к2 С = + -3-к8; £ = В2 - 4АС.

к 2 к 22 8

В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (1)-(3) различных типов динамического поведения и выявления закономерностей взаимного влияния переменных модели.

Так, в ходе проведения эксперимента был получен аттрактор (сингулярный предельный цикл) (рис.1) при следующих значениях коэффициентов системы: к1 = 9,0, к2 = 1,0, к3 = 1,2, к4 = 5,0, к5 = 6,0, к6 = 7,0, ~7 = 10,0, к8 = 0,5, ~9 = 2,0, ~10 = 4,0, ~11 = 6,0.

2Г

X

Рис. 1. Предельный цикл в системе (1)-(3)

Обнаруженный при указанных параметрах сингулярный предельный цикл может являться предметом исследований в рамках теории Фей-генбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ), изложенной в работе [15].

Было установлено, что при росте положительных значений параметра к5 при фиксированном значении остальных параметров системы сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода родившегося устойчивого предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского. Примеры аттракторов модели приведены на рис.2, параметры модели для данных решений получены путем изменения параметра к5. Эти значения равны 6,0, 7,25, 7,5, 7,62, 7,7, 7,9 соответственно.

С практической точки зрения важной является адекватность построенной модели. В данном случае речь может идти только о способности модели качественно описывать возможные происходящие в реальных системах процессы, так как сбор и анализ временных рядов (х,у,2) в настоящее время представляет отдельную задачу. При проведении эксперимента была исследована зависимость поведения переменных модели на временном отрезке (рис. 3), на котором можно выполнить анализ их взаимного влияния.

На графике рис. 3, можно выделить три области.

Рис. 2. Примеры аттракторов в модели (1)-(3): 1 - х; 2 - у; 3 -1

Таким образом, данная модель может служить инструментом для оценки состояния реальной системы и принятия решения при управлении транспортными макросистемами.

-э1

Рис. 3. Поведение переменных модели на временном отрезке:

1 - количество выполненной транспортной работы (х);

2 - суммарные потери времени (у) при выполнении работы;

3 - инвестиции (г), направленные в инфраструктуру транспортной

системы

В области I наблюдается нарастание потерь времени при выполнении транспортной работы. Притока инвестиций на этом участке нет. Поэтому происходит значительное сокращение выполненной транспортной работы.

В области II можно наблюдать резкий приток инвестиций, направленных в инфраструктуру транспортной системы, происходит рост количества выполненной транспортной работы при снижении суммарных потерь времени при выполнении данной работы.

Так как приток инвестиций носит краткосрочный характер, то и в конце данного периода можно наблюдать снижение транспортной работы и прирост суммарных потерь времени на её выполнение.

В области III наблюдается то же самое, что и в первой, когда притока инвестиций нет, а транспортная работа сокращается пропорционально приросту потерь времени при выполнении данной работы. Происходит завершение периода изменения динамических характеристик.

Рассмотренная математическая модель соответствует ожидаемым результатам в части взаимного поведения исследуемых переменных, так как на практике при увеличении инвестирования какой-либо отрасли происходит увеличение количества выполняемой работы, в даном случае транспортной.

С математической точки зрения найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического, го-моклинического и других более сложных каскадов.

Модель 2 (ЛС). Рассмотрим вариант модели логистической системы (ЛС), которая может быть описана следующими переменными [9]: х - чис-

ло автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; г -уровень текущих запасов на складе оптовой торговли.

Правила, формирующие вид системы уравнений рассматриваемой модели, подробно описаны в работе [9] и основаны на использовании представлений о балансе динамических переменных и логике взаимодействия между ними. Там же описан смысл коэффициентов системы.

В результате система записывается в виде

Проиллюстрируем некоторые результаты численного моделирования системы (7).

На рис. 2 приведены некоторые найденные в модели ЛС режимы, соответствующие аттракторам диссипативной системы. На графиках фазового портрета и проекций вертикальная ось соответствует переменной г. В первом столбце вправо вверх направлена ось у, а вправо вниз - ось х. Во втором столбце вправо направлена ось у, а в третьем - ось х. В таблице приведены пять вариантов решений, коэффициенты для которых представлены в табл. 1.

Как известно из теории хаотической динамики, в подобных системах могут наблюдаться состояния равновесия (устойчивые и неустойчивые), предельные циклы и нерегулярные колебания (аттракторы). С точки зрения практики все эти режимы работы ЛС могут представлять интерес. Так, устойчивые состояния равновесия, вычисленные в теоретической модели, построенной для конкретной ЛС, могут дать информацию о границах устойчивого поведения.

Область диссипативности системы (7) определяется из соотноше-

Рассмотрим вопрос вычисления особых точек. Две особые точки

х = к1 2 — к2 уі; у = к 3 х — к 4 у — к 5 ху;

2 = —к6 х — к7 2 + к8 ху + к9.

(7)

ния х >

----, вытекающего из условия диссипативности

к

сііу¥ (х, у, г) < 0.

(8)

2

существуют при условии О > 0, где О = (Ь — у) — 4а5:

2*,2 =0; уі,2 = (Р—у ±± 4°) /2а;

х1,2 = —к9/(к8 у1,2 — к6).

Здесь а = к4к8;Ь = к4к6; у = к5к9;3 = к3к9;у* Ф к6 /к8.

146

Рис.4. Варианты динамического поведения в модели (7): 1 - х; 2 - у; 3 -1

147

Еще одна особая точка определяется координатами

X* = к1к4/(к2к3 -к1к5^У3 = к1/ к2';4 = (к9 -к6х3 + к8х3У*)1 к1• (10)

Эта точка существует, если нарушается одно из условий:

Т * т• (11)

к2 к5

Таким образом, в модели может быть от нуля до трех особых точек.

Таблица 1

Параметры модели ЛС

Вариант кі к2 кз к4 кз кб к7 кз кд

1 3 2 13 1 1,4 16 0,1 2 5

2 2 0,1 1 0,1 10 11,5 4 0,1 4

3 3 4 30 2 1 30 2 4 6

4 10 15 6 7 1 15 0,7 4 2

5 0,3 15 3 6 2 0,1 2 20 7

6 1 2 24 2 3 12 1 4 5

Модели рассматриваемого класса, относящиеся к диссипативным динамическим системам, выраженным в виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяют,по мнению авторов, учесть некоторые особенности транспортных систем:

1) сочетание детерминированных и стохастических факторов функционирования;

2) коллективный характер работы транспортной системы (большое число участников в виде совокупности транспортных средств; значительное количество происходящих событий - операций транспортного процесса);

3) неравновесное состояние открытой ЛС - постоянное присутствие потока материальных запасов.

Рассмотренная динамика модели логистической системы описывает лишь те связи, которые заложены в уравнениях. Реальная ситуация сопровождается поступлением в неопределенные момента времени факторов, соответствующих случайным событиям или принятием решений любой из сторон, участвующих в системе. Здесь важен тот факт, что имеется принципиальная возможность формулировать подобные связи и устанавливать динамические закономерности поведения логистических систем в условиях действия этих связей. Возможно построение моделей, где структура правых частей изменяется в зависимости от принимаемых управленческих решений или случайных событий.

Модель 3 (модель однопродуктвого предприятия). Рассмотрим вариант модели логистической системы, которая может быть описана сле-

148

дующими переменными: х - число автомобилей, участвующих в транспортном процессе; у - объем производства продукции предприятием; г -спрос на продукцию.

При построении модели были приняты следующие ограничения:

1) предприятие производит, а потребитель покупает лишь один вид продукции;

2) объем произведенной продукции всегда можно разместить на складе производителя.

Обоснование вида системы уравнений рассматриваемой модели подробно описано в работе [7] и основано на использовании представлений о балансе динамических переменных и логике взаимодействия между ними. Там же описан смысл коэффициентов системы.

В окончательном виде система запишется как

' х = к1 уг - к2 у,

2

у = кз г - кзуг - £4г, (12)

2

г = £5 хг + кб уг - £7 г .

Рассматриваемая модель является диссипативной при условии

(х; у; г) = £5х + к§у - 2£7г - £3 г < 0. (13)

Система (12) имеет неподвижные (особые) точки при следующем

условии:

О,(х;0;0); 02(^;0;% Оъ^£-^£).

£3£5 £3 £3£5 £1 £3 £1

Характеристическое уравнение для точки О 1 ( х ; 0 ; 0 )

-I3 + 12£5 х = 0. (14)

Характеристическое уравнение для точки О2 (~~~ ;0; £4)

£3£5 £3

-13 -12 (£4 + ]£4£6-) + £4 (3£2£4£5 + -1—4—5) = 0. (15)

£3 £3 £3

Характеристическое уравнение для точки О3 (£4—^;- £4;£2)

£3£5 £1 £3 £1

2

- 13 + 12 (Мэ + £2£6 ) + 1£2 (£2£5 _ ) + Ъ, (£_ £2£4£5) = 0. (16)

£1 £1 £1 £3 £1 £1

Так, в ходе проведения эксперимента был получен аттрактор (устойчивый предельный цикл) при следующих значениях коэффициентов системы: £¡=2,0; £2=17,0; £3=4,0; £4=0,5; £5=6; А=4,0; В=6,95; С=9,0 (рис.5).

Рис.5. Аттрактор системы (12)

Иные аттракторы системы приведены на рис. 6. Так, пример «в» получен при изменении значения коэффициента В=30, устойчивый фокус «а» получен при следующих значениях параметров:£1=0,26; £2=4,0; £3=7,0; £4=9,0; £5=-1,0; А=48,0; В=3,0; С=7,0.

В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (12) различных типов динамического поведения и выявления закономерностей взаимного влияния переменных модели, в частности, были получены решения, имеющие вид устойчивых точек (фокусов) или предельных циклов. При проведении эксперимента была исследована зависимость поведения переменных модели от времени, выполнен анализ их взаимного влияния, что позволяет сравнить результаты с реальными данными. Подробный анализ графика поведения переменных модели на одном цикле приведен в работе [7].

В результате проведенного анализа отдельных частей графика поведения переменных можно предположить, что поведение модели (12) основано на вывозе продукции со склада производителя. В работе модели четко прослеживается фаза поступления заказов и их выполнения с последующим уменьшением объема перевозок грузов на необходимое для этого время. Такое поведение присуще небольшим производствам, выпускающим товар только при поступлении заказа, например, при изготовлении мебели.

Использование диссипативных моделей типа (12) позволяет решать следующие задачи:

1) исследование логистической модели с целью определения характерного поведения;

2) определение стационарных состояний и их устойчивости, определяющих наиболее важные условия надежного функционирования системы;

3) апробация на математической модели тех или иных управленческих решений;

4) определение текущих состояний системы.

Рис.6. Варианты динамического поведения в модели (12):1-х; 2 -у; 3 -I

Модель 4 (ЛС). Более сложный и интересный вариант модели ЛС с точки зрения разнообразия решений может быть представлен в виде системы уравнений

х = к\Х + £2 У + £э г + £4 хг + к5 уг + к§ г + к7;

< у = к8хг + £9уг + кюг + кцг; (17)

2 = к12 х + к1з у + к14.

Здесь переменные имеют следующий смысл: х - автомобили, доставляющие груз; у - автомобили, развозящие груз; ъ - количество груза на складе.

При формулировке модели (17), так же, как и (7), использовалось представление о балансе транспортных средств и груза (по аналогии с уравнением баланса массы в механике сплошной среды), а также были учтены основные причинно-следственные связи, приводящие к изменению поведения участников транспортной системы.

Подробный смысл коэффициентов рассмотрен в работе [2].

Анализ модели (17) в основном выполнялся при допущении, что все параметры положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начиналось с определения точек стационарных состояний, их типа и ус-

тойчивости.

Система (17) диссипативна, если выполнено условие (8), при этом ^ аА _ аА „

А <-----, еслиа>с и А >-----, еслиа<е. Следовательно, возникает предпо-

а - с а - с

ложение о возможности существования сингулярных циклов и аттракторов, а также гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.

Были найдены все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Зафиксируем константы модели (17), как указано в табл.2. Некоторые результаты исследований представлены в табл.2. Аттракторы модели (17) представлены на рис. 7. Между всеми решениями имеется тесная связь, которая заключается в том, что плавное изменение некоторых параметров может приводить от решений одного типа к решениям другого типа (в форме бифуркаций).

Исходными (базовыми) решениями в представленной цепи аттракторов можно считать сингулярные циклы и соответствующие им сингулярные аттракторы, находящиеся на противоположных концах. Они отличаются тем, что ведут происхождение от различных особых точек.

Таблица 2

Параметры модели (17)

Вариант а Ь с й е I £

1 1 1 0,5 5 2 7 5

2 1 0,5 3 5 0,4 2 3

3 0,1 5 2 4 12 1 3

4 1,5 2 2 0,5 7 9 -10

5 1 7 4 5 1 2 2,1

6 2 1 4 0,8 0,1 4 0,2

Вариант к 1 т п X У Z

1 0,6 2 1 8 0,5 3 2

2 1 0,3 10 0,5 0,1 2 5

3 0,5 6 4 7 82 1 7

4 0,1 5 2 4 1 2 1

5 0,3 5 0,1 2 5 9 0,5

6 2 1 10 3 2 1 4

Рис. 7. Аттракторы модели (17):1-х; 2-у; 3-1

153

В табл.2 (вариант 5) приведена зависимость, которая свидетельствует о существовании в модели (17) так называемых «контрастных структур» и пограничного слоя [17]. По мнению авторов, подобные решения вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». Зависимость 2(1) в этом варианте весьма напоминает при этом некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (17) практическую привлекательность.

Модель 5 (пассажирская остановка). Модель транспортного процесса перевозок пассажиров в населенном пункте может быть сформулирована в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями:

х = ££ + &1&9 у — &1&10 2 - к1Х — ^2^12^13 + £2^27 + £2 £13 у;

< — £2 у^;

у = —£3 х2 + £4 £12 — £4 у; (18)

2 = —£5 у2 + £б£п — £б 2 — £7 Х2 + £8 £12 х — £8 ху.

Здесь переменными являются: х - количество автобусов, находящихся на остановке; у - количество пассажиров, ожидающих посадку; г - число свободных мест в автобусах, находящихся на остановке. Смысл коэффициентов, входящих в данное уравнение, подробно описан в работе [8].

В целом, в уравнениях (18) отражены основные причинноследственные связи, реально действующие в системе и учитывающие коллективный характер динамики пассажиров, транспортных средств и свободных мест. Последний фактор становится здесь своего рода управляющим параметром, влияющим на процесс принятия решений пассажирами и водителями автобусов. Следует ожидать, что построенная модель относится к целой совокупности остановок (метаостановке) и содержит решения, имеющие практический смысл. Отрицательные значения переменных х, у, г будут означать потребность в соответствующем виде компонента, т.е., специально не ограничиваются значения функций х($, у(1), 2(1) множеством ^+(рис. 8).

В модели были найдены все основные виды устойчивых аттракторов (фокус, предельный цикл, нерегулярный аттрактор). В табл. 3 представлены значения параметров модели и начальные условия, которые принимались при изучении системы.

Результаты вычислений показывают, что пассажирскую остановку можно рассматривать как неравновесную динамическую систему, в которой наблюдаются сложные динамические процессы (предельные циклы), а также устойчивые стационарные состояния. Изучение подобных структур в реальных системах позволит сформулировать постановку задачи теории

управления для создания требуемых типов временных структур в течение дня работы автобусного парка. Параметры этих процессов позволяют сделать вывод о состоянии транспортной системы в целом, если будет разработана шкала для оценки этих состояний.

Рис. 8. Примеры аттракторов в модели (18): 1-х; 2 -у; 3 -г

Таблица 3

Параметры модели (18)

Вариант а Ь с й е / 8

1 0,4 4 2 1 11 1 0,1

2 0,5 1 1,5 0,2 1,1 4 7

3 4 1 0,4 4 0,8 7 1,5

4 2,5 0,2 15 0,5 7 50 2

5 5 19 0,3 1 0,5 2 12

6 0,15 0,2 0,3 0,5 2 6 10

Вариант к к т X У Z -

1 2 14 5 1 0,2 20 -

2 0,2 0,5 0,3 17 9 15 -

3 0,8 9 8 16 13 2 -

4 1,5 1 0,5 50 25 20 -

5 45 5 1 9 25 12 -

6 6 6 10 6 36 18 -

Модель 6 (модель конкуренции двух перевозчиков). Известна динамическая модель конкуренции, предложенная в работе [10], представленная как система Агуреева и описывающая производство взаимозаменяемых товаров одинакового качества двумя фирмами. Фазовыми координатами являются в модели оборотные средства конкурентов.

Если в качестве переменных модели выбрать x - увеличение затрат перевозчика «1» на организацию и повышение качества перевозочного процесса (реклама, информация, маркетинговые исследования, техническое состояние подвижного состава и др.), у - то же для перевозчика «2», г

- увеличение количества груза, доставленного потребителю перевозчиком «1», то один из возможных вариантов модели конкуренции может быть записан в виде системы

X = £ у + £2г - к^хг - уг;

< у = -£5у - кбг + £7 хг + к8уг + £9; (19)

^ г = £ш х - £цу.

Подробное описание правых частей уравнений и смысла коэффициентов приведен в работе [10].

Условие диссипативности системы (19) представляет собой неравенство

ЖуЕ(х;у; г) = г(£§ - £3) - £5 < 0. (20)

Две особые точки системы (19) существуют при условии

8 = Ь - 4ау > 0:

* * 2 + ^9 * / П I V 8 \

х12 = у12 =---------; г12 = (-Ь±----),

1,2 1,2 А и 2« (21)

где

А = Кс - к„ а=, В = к С - К, Ь = к-2-^ + ¿9 ^±М,

1 5 А 2 6 А 9 А

С = (к7 + к8) ?.= к1к9

(кз + к4) А'

Очевидно, должны выполняться условия А^О; В^О. Случаи ^ < О, А = О, В=О требуют отдельного рассмотрения и в настоящей статье не исследуются.

Состояние равновесия особых точек определяется корнями характеристического уравнения

3 2

1 - (л + п)1 + (лп-кХ + е%-ер)1 + е(кр-п%-Х% + ЛР) = 0. (22)

Здесь

Л = ¿8 г * -¿5 Х = ¿1 - ¿4 2*, у = - кз г*, р = к2 - кз х * -¿4 у*, к = ¿7 2*,

С = ¿7 х * + ¿8 у * -^.

Исследование системы (19), как и ранее, выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 1 • 10-6 (рис. 9). Отметим, что вследствие высокой размерности параметрического пространства (¿=8) в настоящее время говорить о законченном исследовании системы не представляется возможным. Подробное описание исследования модели конкуренции приведено в работе [10].

Таблица 4

Параметры модели (19)

№ вар. а Ь с й е X У 1

1 1 0,32 0,1 0,08 168 700 10

2 1 2 0,5 0,625 48 448 28

3 0,5 0,625 1 2 448 48 28

4 1 4 2,6 1,4 20 160 7,5

5 2 0,8 1 1,2 420 100 10

6 0,2 1,6 36 2 -45 7 0,2 20

Анализ стационарных состояний модели конкуренции показывает, что влияние параметров укладывается в логику игровых стратегий (например, увеличение коэффициента агрессивности игрока приводит к росту реализации услуг, а увеличение коэффициента осторожности - к снижению затрат; при этом существуют оптимальные значения коэффициентов, обеспечивающих максимальную величину выигрыша на единицу затрат).

Рис. 9.Примеры аттракторов в модели (19) (1-х; 2 -у; 3 -і)

158

Модель конкуренции содержит не только стационарные состояния и устойчивые предельные циклы, но и режимы детерминированного хаоса, а также решения в виде контрастных структур, обладающих свойствами аттрактора и способных к бифуркациям, по крайней мере, в рамках классических сценариев перехода к хаосу, таких, как удвоение периода и субгармонический каскад Шарковского.

Таким образом, найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического, гомоклиниче-ского и других, более сложных, каскадов.

Заключение. Результаты выполненных исследований диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений показывают, что универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий перехода к хаотическому поведению, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствии с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад Магницкого (теория ФШМ).

Среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В некоторых моделях (например, модель 3 и модель 4) обнаруживаются некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения). Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца в модели 1, Ресслера в модели 2 или другие более сложные).

Список литературы

1. Агуреев И.Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 3-13.

2. Агуреев И.Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Автомобильный транспорт. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.

3. Агуреев И.Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С.В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. С. 159-175.

4. Агуреев И.Е., Агуреев К.И., Гладышев А.В. Последовательности

сингулярных аттракторов в некоторых автономных диссипативных муль-тиаттракторных системах // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 11. С. 160-171.

5. Агуреев И.Е., Атлас Е.Е., Пастухова Н.С. Хаотическая динамика в математических моделях транспортных систем // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. № 3. С. 372-389.

6. Агуреев И.Е., Богма А.Е., Пышный В. А. Динамическая модель транспортной макросистемы // ИзвестияТулГУ. Технические науки. 2013.Вып.6. Ч. 2. С.139-145.

7. Агуреев И.Е., Гладышев А.В. Динамика производства и спроса в диссипативной модели логистической системы // ИзвестияТулГУ. Технические науки. 2013.Вып.6. Ч.2. С.152-160.

8. Агуреев И.Е., Денисов М.В. Математическое описание динамики пассажирских транспортных систем // Мир транспорта и технологических машин. 2011. № 1. С. 15-22.

9. Агуреев И.Е., Тропина В.М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // ИзвестияТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 4, С.158-167.

10. Агуреев И.Е., Тропина В.М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // ИзвестияТулГУ. Техническе науки. 2007.Вып. 1. С.105 - 110.

11. Гладышев А.В. Историческое развитие синергетических методов моделирования экономических систем // Молодежный вестник Политехнического института. Навстречу 75-летию механико-технологического факультета. 2012. С.132-133.

12. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. Т. 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. С. 16-30.

13. Лебедев В.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. М.: НВТ-Дизайн, 2002. 256 с.

14. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. М.: Изд-во URSS ЛЕНАНД, 2011. 320 с.

15. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.

16. Малинецкий Г. Г. Простота нелинейного мира // Нелинейность в современном естествознании / под ред. Г. Г. Малинецкого. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. С.10-19.

17. Неймарк Ю.И., Смирнова В.Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. № 11. С. 1507-1515.

18. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Зульпукаров М.-Г. М. Модель конкуренции. Препринт № 64 ИПМ имени М.В. Келдыша. М., 2006. 22 с.

Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., декан, зав. кафедрой, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Гладышев Александр Владимирович, асп., glav-alex@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE DEVELOPMENT OF SYNERGETIC METHODS IN THE RESEARCH

OF TRANSPORT SYSTEMS

I.E. Agureev, A. V. Gladyshev

Some autonomous dissipative systems of ordinary differential equations used for the scientific research of transport systems are considered. The sequences of existing in the systems singular attractors are built and given to justification of their multiattractor character. The preliminary analysis of their bifurcation behavior, corresponding to the modern ideas of dynamical chaos theory (Feigenbaum-Sharkovskii-Magnitskii ’s theory), is done.

Keywords: nonlinear dissipative system, non-regular attractor, logistics, mathematical modeling, logistic system, ordinary differential equations.

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical sciences, professor, decan, head of chair, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gladyshev Aleksandr Vladimirovich, postgraduate, glav-alex@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University