Последовательности сингулярных аттракторов в некоторых автономных диссипативных мультиаттракторных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Agureev Konstantin Igorevich, postgraduate, clickhere@,bk. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Pastukhova Nataliya Sergeevna, postgraduate, natusya-e@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.391, 681.3

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ В НЕКОТОРЫХ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ МУЛЬТИАТТРАКТОРНЫХ СИСТЕМАХ

И.Е. Агуреев, К.И. Агуреев, А.В. Гладышев

Рассмотрены некоторые автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, используемые для формирования на их основе систем скрытой передачи информации. Построены и приведены последовательности существующих в них сингулярных аттракторов, обосновывающие мультиаттракторную природу моделей. Выполнен предварительный анализ их бифуркационного поведения, соответствующего современным представлениям теории динамического хаоса (теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого).

Ключевые слова: нелинейная диссипативная система, нерегулярный аттрактор, хаотическая синхронизация, система скрытой передачи информации.

В монографиях [1, 2] показано, что в автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) единственным универсальным сценарием перехода к хаосу является последовательность каскадов бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного устойчивого сингулярного цикла, субгармонического каскада бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла периода три и, при наличии в системе петли сепаратрисы седло-фокуса или гетероклинического контура, - гомоклинического или гетерок-линического каскада бифуркаций Магницкого устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому или гетероклиническому контуру. Данное утверждение составляет основу теории ФШМ, используемой в настоящей работе для анализа систем [3-8], которые применяются для исследования

условий синхронизации построенных теоретически на их основе хаотических генераторов [9].

В работах [3-8] выполнялись численные исследования различных автономных диссипативных систем, полученных при моделировании некоторых транспортных процессов. Их анализ показывает, что, во-первых, существенно расширяется представление о геометрии нерегулярных решений. Можно утверждать, что найдены неизвестные до сих пор формы нелинейных колебаний, которые требуют детального исследования. Во-вторых, среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В-третьих, обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения) в одной и той же исследуемой системе. Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В-четвертых, в различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца, Ресслера или других более сложных).

В настоящей работе исследуются только автономные диссипативные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общим для формирования всех моделей является представление их в виде:

х = Е (х, т)

или

х = Е (х, £, т),

где х е М с Ят, те ^ с Як, ? е I с Я, к и т - размерности соответственно параметрического и фазового пространств.

Модель 1. Рассмотрим динамическую систему, которая описывает макроскопическую динамику транспортных процессов [7]. Переменными здесь являются: х - количество выполненной транспортной работы; у -суммарные потери времени при выполнении работы х; г - инвестиции, направленные на развитие транспортной системы.

х = кр - к2У - к3; (1)

у = к4 х - к5г; (2)

г = ~б(г - ~7х)г + ~8У(У - *1) + ~9х(У - *2). (3)

Систему уравнений (1) - (3) можно переписать в виде

х = к\г - &2У - ,

у = к4 х - кз г,

22 г = к6х - куу + к8у + кдху + кюг - к іхг,

(4)

которая является диссипативной, если

к11

г <

2к

х,

10

что следует из условия диссипативности

л- г-/ ч Эх Эу — _

^/гЕ (х, у, г) =----1-----1---< 0.

Эх Эу Эг

Особые точки системы (4) находим по формулам:

дг

(5)

(6)

г1,2 =

2 Л

к~,к

; Л = -^ к8

к

к

к

к11 + к

10

* 0; В = кзк

6

кк

1а7

к

к

-2

к1к3к8 к 2

к

к2 к

к

С = -^ + -3к8;Л = В2 -4ЛС;хи = -3ги;уи =

к

к

к

^1,2 >./1,2 ^1,2

к2 к 2 к 4 к 2 к 2

Интегрирование системы уравнений (1)-(3) требует, как правило, аппроксимации решения различными линейными функциями на последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности т. Самым распространенным методом такой аппроксимации является метод Рунге-Кутта 4-го порядка. В работе [2] исследовался вопрос о том, существуют ли реально в нелинейных системах дифференциальных уравнений те эффекты, которые получены при их численном решении даже методами высокого порядка точности. При этом утверждается, что аттракторы разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными приближаются к истинным аттракторам нелинейных систем дифференциальных уравнений при стремлении параметров дискретизации к нулю. Представлена оценка устойчивости численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, имеющих асимптотически орбитально устойчивые периодические решения, которая говорит о том, что при интегрировании систем уравнений с устойчивым периодическим решением численным методом к-го порядка (к > 2) аппроксимации с шагом т на интервале времени 0 £ £ £ Т » С1 / Т численное решение имеет

точность 0(тк 1). Это дает основание считать, что полученные в настоящей статье численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка аттракторы являются достаточно точными аппроксимациями истинных аттракторов, существующих в рассматриваемых системах. Отметим, следуя [1, 2], что если численное решение системы (4), равно как и любой другой нелинейной системы ОДУ, сходится к некоторому численному регулярному аттрактору, то такой аттрактор является достаточно точным приближением к ис-

162

2

2

тинному аттрактору системы. Если же численная траектория блуждает в некоторой ограниченной области фазового пространства, то это еще не значит, что система имеет здесь нерегулярный аттрактор.

В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (1)-(3) различных типов динамического поведения. Так, был получен аттрактор (сингулярный предельный цикл, рис.1) при следующих значениях коэффициентов системы

~ = 7, к2 = 4, ~3 = 2, ~4 = 0,7, ~5 = 0,6, к6 = 1, ~7 = 5, ~8 = 8,

~9 = 0,7, ~10 = 2, кп = 4.

Обнаруженный при указанных параметрах сингулярный предельный цикл может являться предметом исследований в рамках теории Фей-генбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ) [1,2]. В частности, сингулярным предельным циклом в теории ФШМ является устойчивый предельный цикл, обладающий комплексными, но не комплексно сопряженными показателями Флоке, который при бифуркации становится сингулярным седло-вым циклом, порождая при этом устойчивый цикл удвоенного периода, лежащий на листе Мёбиуса вокруг исходного сингулярного цикла. Исходному сингулярному циклу трехмерной автономной системы соответствует нулевая особая точка типа ротор двумерной неавтономной системы с периодическими коэффициентами, координаты которой вращаются вместе с траекторией исходного цикла трансверсально ему [2].

Было установлено, что при росте положительных значений параметра к5 при фиксированном значении остальных параметров системы

сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивого предельного цикла, субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского, а затем гомоклинический каскад.

На рис. 1 в каждом ряду приведены: фазовая траектория в трехмерном пространстве (х, у, г); ее проекция у(х); временной ряд, где х(£) обозначен сплошной линией, у(£) штриховой, а г(£) - точками. Первые три ряда отражают этапы каскада Фейгенбаума (простой сингулярный предельный

цикл при к5 = 0,6; цикл удвоенного периода при к5 = 1,8; сингулярный

аттрактор при к5 = 2,44), а последние три - гомоклинического каскада Магницкого. Так, в четвертом ряду представлен цикл периода 5 гомоклинического каскада (к5 = 3,2), затем - цикл периода 6 (к5 = 3,825) и хаотический режим при к5 = 3,95 . С точки зрения теории ФШМ найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического и гомоклинического каскадов.

Рис. 1 Аттракторы модели (1)-(3)

164

Модель 2. Рассмотрим вариант модели логистической системы (ЛС), которая в работе [6] была описана следующими переменными: х -число автомобилей в текущий момент времени, участвующих в транспортном процессе; у - уровень текущих запасов на складах розничной торговли; г - уровень текущих запасов на складе оптовой торговли.

Абстрагируясь от технического смысла переменных, запишем уравнения модели следующим образом:

х = к1 г - к2 уг;

у = къ х - к4 у - к5ху; (7)

г = -к6 х - к7 г + к8 ху + к9

Уравнения (7) совместно с начальными условиями и заданными значениями коэффициентов позволяют сформулировать задачу Коши. Начальные условия выбирались таким образом, чтобы выполнялось соотношение:

х0 е Мё с м,

где М^ - область диссипативности системы (7), определяемая из неравен-

к4 + к7

ства (6) х >

к5

В табл.1 приведены пять вариантов решений, для которых исследованы возникающие в них сингулярные аттракторы. В модели (7) может быть от нуля до трех особых точек. Характер их устойчивости в зависимости от параметров в настоящей работе мы не рассматриваем. Вопросы, касающиеся существования стационарных состояний, сингулярных предельных циклов и нерегулярных аттракторов, более подробно изложены в работах [6, 8].

Таблица 1

Параметры модели (7)

Вариант к1 к2 к3 к 4 к5 к6 к7 к8 к9

1 4 3 14 2 2,4 17 0,1 3 6

2 2 0,3 1 0,9 9 11,4 4 0,2 5

3 1 2 24 2 3 12 1 4 5

4 2 15 6 7 1 28 1 6 3

5 0,8 12 5 6 1 0,3 2 12 4

Модель 3. Более сложный и интересный вариант модели автономной диссипативной системы с точки зрения разнообразия решений может быть представлен в виде [3, 4, 8]:

х = а[(Х -х) + ку- -г)- Ь(У - у){2 - г);

< у = с[(У - у) + 1х + т]г-с1(Х - х)г', (8)

z = ex-fy + g.

Здесь переменные имеют следующий смысл: х - автомобили, доставляющие груз; у - автомобили, развозящие груз; г - количество груза на складе. Параметры в уравнениях (8) обозначают: X - число автомобилей, участвующих в доставке груза; 7 - число автомобилей, участвующих в развозе груза; 2 - предельная (или наиболее вероятная) емкость склада; g -интенсивность восполнения груза другими видами транспорта.

Выражая систему (8) в явном виде относительно фазовых координат, получим

2

х = к^ + к2у + к-^г + к4хг + к$уг + к^г +к7;

9

< у = к%хг + кдуг + к\ + к\ \г\ (9)

7, — к\2Х + к^У + 4 •

ч.

При этом, если выбирать произвольно 14 параметров в системе (8), то из 14-ти коэффициентов в (9) независимыми будут только 12. Таким образом, система (9) представляет собой более широкое множество моделей по сравнению с (8). Отметим, что в системе (9) имеется преобразование симметрии вида:

х —> А — у + аг, у + $2, 2 ^ В -2. (Ю)

Анализ модели (8) в основном выполнялся при допущении, что все параметры положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начиналось с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости.

Система (8) диссипативна, если выполнено условие (6), при этом

а% г? а2 „

/ <-----, если а>с и / >-------, если а<с. Следовательно, возникает пред-

а—с а-с

положение о возможности существования сингулярных циклов и аттракторов, а также гетероклинических контуров, определяющих вид траекторий в фазовом пространстве.

Уравнения (8) исследовались, как и ранее, численно методом Рунге-Кутта с переменным шагом и точностью 1-10-6. Были найдены все основные виды решений, характерные для трехмерных автономных нелинейных систем: стационарное состояние, предельный цикл, странный (хаотический) аттрактор и другие типы циклов различной периодичности. Зафиксируем константы модели (8), как указано в табл.2. Результаты исследований представлены подробнее в работах [3, 4, 8]. Найденные численные

решения образуют два симметричных семейства, в полном соответствии с формулами (10).

Таблица 2

Параметры модели (8)

Вариант а Ь с й е / g

1 3 8 2 25 1 5 180

2 3 5 6 2 1 4 2

3 5 0,6 3 1 0,4 2 9

4 1 7 4 5 0,9 2 2,1

5 1,5 2 1 0,4 7 9 -15

6 2,1 1 4 0,7 0,1 4 0,1

7 1 0,5 2,8 5,5 0,5 2 3

8 2 1 0,5 4 2,11 7 5

Вариант к 1 т п X У Z

1 0,2 4 1,7 10 50 20 150

2 3 2 1 3 4 5 1

3 7 0,7 4 2 1 0,5 2

4 0,3 6 0,1 2 5 10 0,4

5 0,1 5 2 4 1 2 1

6 2 1 9 3 2 1 4

7 1 0,4 9 0,4 0,1 2 5

8 0,5 2 1 9 0,6 3 2

В табл.2 (вариант 5) приведен случай, который свидетельствует о существовании в модели (8) так называемых «контрастных структур» и пограничного слоя [10]. Данный вариант пригоден для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». Зависимость г(1) в этом варианте весьма напоминает некоторую стратегию управления запасами, что придает модели (8) практическую

привлекательность. Подобные аттракторы названы в работе [5] контрастными. На рис. 2 приведены результаты расчетов для модели (8) при некоторых других значениях параметров, дополняющие представление о разнообразии имеющихся в мультиаттракторной системе (8) решениях. Практически все эти решения проверены на возможность синхронизации генераторов в системах скрытой передачи информации [9].

(х.у.г)

(Х,у,г) (хд,г)

Рис. 2 Аттракторы модели (8)

168

В каждом ряду на рис.2 показано по два различных решения. Приведены проекция фазовой траектории г(у), а также трехмерный фазовый портрет каждого решения. Главным образом, представлены сложные сингулярные циклы и аттракторы, возникающие здесь при наличии различных гетероклинических контуров. Анализ каждого отдельного случая является довольно громоздким и может быть предметом более широкой публикации. В то же время, большинство из представленных здесь вариантов относится, по нашему мнению, к контрастным аттракторам, отличающимся наличием быстрых и медленных участков для каждой фазовой переменной (так называемые «всплески» и «скачки» [10]). Особенный интерес представляют два варианта из предпоследнего ряда. Здесь показан квазиперио-дический аттрактор и «шаровой» (точнее, эллипсоидный) аттрактор. В рассматриваемой системе существует не единственный вариант, когда фазовые переменные образуют траекторию, принадлежащую двухмерному инвариантному тору. На временных зависимостях четко проявляется наличие двух частот, образующих рациональное отношение. Шаровой (эллипсоидный аттрактор) имеется не только в системе [8]. Опубликованы данные, свидетельствующие, что такие аттракторы есть и в других системах ОДУ [11]. На наш взгляд, существование такого аттрактора связано с проблемой некорректности решаемой при соответствующих значениях параметров задачи Коши.

Заключение. Результаты выполненных исследований диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений показывают, что универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий перехода к хаотическому поведению, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствие с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад Магницкого (теория ФШМ).

Среди полученных решений достаточно много таких, которые вполне могут использоваться в качестве модельных систем для описания эффектов типа «жесткой турбулентности» без привлечения аппарата «русел и джокеров». В некоторых моделях (например, модель 3) обнаруживается некоторые признаки «периодичности» получаемых решений (паттернов поведения). Это означает, что аттракторы образуют последовательности топологически разных, но связанных между собой решений, которые иногда составляют симметричные группы. В различных по структуре правых частей системах могут получаться топологически одинаковые решения (например, типа аттрактора Лоренца в модели 2, Ресслера в модели 3 или других более сложных).

Рассмотренные модели могут быть использованы в качестве базовых для теоретического исследования работы систем скрытой передачи информации.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 13-08-01359).

Список литературы

1. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.

2. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: Изд-во URSS (ЛЕНАНД), 2011. 320 с.

3. Агуреев И. Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Изв. ТулГУ. «Автомобильный транспорт». Вып. 9. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-13.

4. Агуреев И. Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С.3-11.

5. Агуреев И. Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С. В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008. С. 159-175.

6. Агуреев И. Е., Тропина В. М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.4, 2011. С. 158-167.

7. Агуреев И. Е., Богма А. Е., Пышный В. А. Динамическая модель транспортной макросистемы // Изв. ТулГУ. Техн. науки. Вып.6. Ч.2, 2013. С.139-145.

8. Агуреев И. Е., Атлас Е. Е. Хаотическая динамика в системах транспорта // Сложность. Разум. Постнеклассика. Сургут-Тула-Ханновер-Вашингтон. 2012. №1. С.95-107.

9. Агуреев И. Е., Агуреев К. И. Численный анализ процессов скрытой передачи информации на основе мультиаттракторной системы // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. № 10. С. 169-177.

10. Неймарк Ю. И., Смирнова В. Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37. № 11. С. 1507-1515.

11. Wang Z., Sun Y., Cang S. A 3-D spherical chaotic attractor // Acta Physica Polonica B. Vol. 42. No.2. 2011. P.235-247.

Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, декан факультета транспортных и технологических систем, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Агуреев Константин Игоревич, аспирант, clickhere@bk.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Гладышев Александр Владимирович, аспирант, glav-alex@mail.ru, Тула, Тульский государственный университет

THE SEQUENCES OF SINGULAR ATTRACTORS IN SOME A UTONOMOUS DISSIPA TIVE

MULTYATTRACTOR SYSTEMS

I.E. Agureev, K.I. Agureev, A. V. Gladyshev

Some autonomous dissipative systems of ordinary differential equations used for the forming secure communication systems on their basis are considered. The sequences of existing in the systems singular attractors are built and given to justification of their multiattractor character. The preliminary analysis of their bifurcation behavior, corresponding to the modern ideas if dynamical chaos theory (Feigenbaum-Sharkovskii-Magnitskii 's theory), are done.

Key words: nonlinear dissipative system, non-regular attractor, chaotic synchronization, secure communications

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Agureev Konstantin Igorevich, postgraduate, clickhere@bk. ru, Russia, Tula, Tula State University

Gladyshev Alexandr Vladimirovich, postgraduate, glav-alex@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University