CC BY
106
Пышный Владислав Александрович, аспирант, slavangel@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Швецов Владимир Иванович, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., vl. shvetsov@mail. ru, Россия, Москва, Институт системного анализа РАН
SIMULA TION OF LOADING OF THE ROAD NETWORK THE CITY OF TULA I.E. Agureev, V.A. Pyshnyy, V.I. Shvetsov
The formulation and solution of the problem of the loading of the road network in the city of Tula with the labor correspondences are considered. The relevance of similar problems for the modern regional center is due to transport problems. The analysis of the resulting solutions is done, the calibration of results and their possible applications are discussed.
Key words: mathematical modeling, traffic flow, problem of loading of the transport
network
Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical sciences, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Pyshnyj Vladislav Aleksandrovich, postgraduate, slavangel@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Shvetsov Vladimir Ivanovich, candidate of physical and mathematical sciences, leading research worker, vl. shvetsov@mail. ru, Russia, Moscow, Institute of System Analysis RAS
УДК 519.6: 656.13: 537.8
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ МАКРОСИСТЕМЫ
И.Е. Агуреев, А.Е. Богма, В. А. Пышный
Рассмотрена динамическая система, которая описывает макроскопическую динамику транспортных и экономических процессов. Исследованы зависимости между инвестициями на модернизацию транспортной системы и потерями времени на выполнение транспортной работы. Решения приведены в виде предельных циклов и нерегулярных аттракторов.
Ключевые слова: транспортная система, синергетика, нелинейная динамика, аттрактор.
Большие транспортные системы состоят из значительного количества элементов, коллективное действие которых может приводить к возникновению различных структур, имеющих пространственный и/или временной характер. В нелинейной динамике, синергетике эти структуры называются диссипативными. Условия их возникновения связаны с
139
открытостью и нелинейным характером связей между элементами системы [1].
В настоящее время формируется система представлений о природе динамического хаоса в диссипативных системах. Расширяется описание сценариев перехода к хаосу. Каскад бифуркаций на основе сценария Фей-генбаума и порядка Шарковского получил дальнейшее развитие в виде так называемого гомоклинического каскада, разработанного Н.А. Магницким (сценарий ФШМ) [1]. В рамках теории ФШМ утверждается, что единственным универсальным способом, который можно рассматривать как сценарий, является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонический каскад в соответствии с порядком Шарковского и далее гомоклинический каскад.
Транспортные системы с позиции нелинейной динамики исследованы недостаточно глубоко. Это связано с масштабностью и сложностью определения количественных характеристик их функционирования. Поэтому этап математического моделирования является важным шагом в изучении подобных систем [2-6].
Существующие методы математических описаний исследуемых систем можно свести к формулировкам систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем в частных производных, интегральным и ин-тегро-дифференциальным уравнениям. В зависимости от дополнительных условий эти уравнения могут содержать и стохастические функции. Иногда модель системы можно построить только для вероятностных характеристик, как это бывает для различных систем массового обслуживания. Как правило, модели отличаются значительным разнообразием размерности, могут быть непрерывными и дискретными [7].
Рассмотрим динамическую систему, которая описывает макроскопическую динамику транспортных процессов. Переменными этой системы являются: х - количество выполненной транспортной работы, т-км; у -суммарные потери времени при выполнении работы х, ч; г - инвестиции, направленные в инфраструктуру транспортной системы, руб.
Для выявления взаимосвязей между переменными рассмотрим причины, вызывающие изменения переменных.
Изменение транспортной работы предполагается вследствие развития системы вообще (рост перевозок). Этот фактор будем считать пропорциональным величине г, что прямо учитывает провозную возможность транспортной сети, а косвенно учитывает рост спроса вследствие экономического роста. Другая причина изменения переменной х заключается в естественном сокращении транспортной работы за счет стремления перевозчиков к оптимизации (сокращению) этой величины. Допустим, что данный фактор учитывается постоянным коэффициентом с отрицательным знаком. Последним фактором, влияющим на переменную х, будем считать сокращение транспортной работы в результате роста задержек времени. Это
слагаемое будет пропорционально величине у с отрицательным коэффициентом. Тогда уравнение для х будет иметь вид
Изменение задержек времени происходит из-за увеличения транспортной работы (рост) и вследствие роста инвестиций. Соответствующее эволюционное уравнение имеет вид
Наиболее сложное уравнение запишем для величины инвестиций, направленных на развитие транспортной системы. Будем иметь в виду наличие инвестиций постоянных, направленных на поддержание текущего состояния; плановых, направленных на развитие, и экстренных, направленных на ликвидацию проблемных ситуаций. Введем пороговые значения для переменной у: У1 - неравенство у > У1 означает наступление экстренной проблемы; У2 - неравенство у > У2 соответственно означает наступление этапа плановой модернизации. При этом будем считать, что У1 > У2. Текущие инвестиции на поддержание требуемого состояния транспортной системы определим, с одной стороны, пропорциональными самой стоимости транспортной системы, зависящей от г, а с другой стороны, пропорциональными износу
Интегрирование системы уравнений (1)-(3) требует, как правило, аппроксимации решения различными линейными функциями на последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности т. Самым распространенным методом такой аппроксимации является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, дающий при малых т разностные уравнения, аппроксимирующие решения с точностью 0(т4) [1]. Выбор метода интегрирования представляется важным элементом. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны в 1900 г. немецкими математиками К. Рунге и М.В. Кутта, но именно М.В. Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутта [8].
Формально, методом Рунге-Кутта является модифицированный и исправленный метод Эйлера, оба они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Мар1е, МаШСАО) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. По-
(1)
(2)
Ж
= к6(г - к7х)г + к8у(у - У\) + ^х(у - У2) .
(3)
строение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входят 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, не известно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.
В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (1)-(3) различных типов динамического поведения и выявления закономерностей взаимного влияния переменных модели. Так, в ходе проведения эксперимента был получен аттрактор (сингулярный предельный цикл) при следующих значениях коэффициентов системы: к1 = 9,0, к2 = 1,0, к3 = 1,2, к4 = 5,0, к5 = 6,0, к6 = 7,0, к7 = 10,0, к8 = 0,5,
к9 = 2,0, к10 = 4,0, к11 = 6,0 (рис.1).
Интегрируя систему уравнений (1)-(3) методом Рунге-Кутта 4-го порядка, было установлено, что при росте положительных значений параметра к5 при фиксированном значении остальных параметров системы сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода, родившегося устойчивого предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского (таблица).
С практической точки зрения важной является адекватность построенной модели. При проведении эксперимента была исследована зависимость поведения переменных модели на временном отрезке, на котором можно выполнить анализ их взаимного влияния и сравнить с реальными данными (рис. 2). На графике можно выделить три области.
В первой области (I) наблюдается нарастание потерь времени при выполнении транспортной работы. Притока инвестиции на этом участке нет. Поэтому происходит значительное сокращение выполненной транспортной работы.
Во второй области (II) можно наблюдать резкий приток инвестиций, направленных в инфраструктуру транспортной системы, происходит рост количества выполненной транспортной работы при снижении суммарных потерь времени при выполнении данной работы.
Так как приток инвестиций носит краткосрочный характер, то и в конце данного периода можно наблюдать снижение транспортной работы и прирост суммарных потерь времени на её выполнение.
Рис. 1. Предельный цикл в системе
(1)-а)
Переход к хаосу в модели транспортной системы при изменении коэффициента к5
Рис. 2. Поведение переменных модели на временном отрезке:
1 - количество выполненной транспортной работы (х);
2 - суммарные потери времени (у) при выполнении работы;
3 - инвестиции (1), направленные в инфраструктуру транспортной
системы
В третьей области (III) наблюдается то же самое, что и в первой, когда притока инвестиций нет, а транспортная работа сокращается пропорционально прироста потерь времени при выполнении данной работы. Происходит завершение периода изменения динамических характеристик.
Рассмотренная математическая модель соответствует ожидаемым результатам в части взаимного поведения исследуемых переменных, так как на практике при увеличении инвестирования какой-либо отрасли происходит увеличение количества выполняемой работы, в нашем случае транспортной. С математической точки зрения найденные в модели регулярные и нерегулярные аттракторы представляют собой траектории, наблюдаемые в результате каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического, гомоклинического и других более сложных каскадов.
Таким образом, данная модель может служить инструментом для оценки состояния реальной системы и принятия решения при управлении транспортными макросистемами.
Список литературы
1. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 320 с.
2. Агуреев И.Е. Нелинейная динамика в теории автомобильных транспортных систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 9. С.3-13.
3. Агуреев И.Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Известия ТулГУ. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, С.3-11.
4. Агуреев И.Е., Тропина В.М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Известия ТулГУ. Технические науки. 2007. Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. С.105-110.
5. Агуреев И.Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика неоднородных систем / под ред. С.В. Емельянова. Т. 33. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008. С. 159-175.
6. Агуреев И.Е., Тропина В.М. Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып.4. С.158-167.
7. Агуреев И.Е., Атлас Е.Е., Пастухова Н. С. Хаотическая динамика в математических моделях транспортных систем // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып.3. С. 372-390.
8. Ильина В.А., Силаев П.К. Численные методы для физиков-теоретиков. Т. 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. С. 16-30.
Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, декан факультета транспортных и технологических систем, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Богма Антон Евгеньевич, магистрант, bogm@bk.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Пышный Владислав Александрович, аспирант, slavangel@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DYNAMIC MODEL OF THE TRANSPORT MACROSYSTEM I.E. Agureev, A.E. Bogma, V.A. Pyshnyj
The dynamic system which describes macroscopical dynamics of transport processes is considered. Dependences between investments on modernization of transport system and losses of time for performance of transportation work are investigated. Decisions are resulted in the form of limiting cycles and irregular attractors.
Key words: transport system, synergetic, nonlinear dynamics, attractor.
Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Bogma Anton Evgenjevich, student, bogm@bk.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Pyshnyj Vladislav Aleksandrovich, postgraduate, slavangel@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
