CC BY
9
Расщепление масс нейтральных В® s-мезонов в рамках минимальной суперсимметричной стандартной модели
А. И. Сукачев
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей ядерной физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: salex-82@yandex.ru
Статья поступила 04.11.2008, подписана в печать 16.12.2008.
В статье рассмотрены эффекты минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) с юкавским сектором второго типа и явным нарушением CP-инвариантности в хиггсовском потенциале, возникающие при смешивании физических состояний в системах нейтральных Bds -мезонов. Параметр смешивания Amis рассчитан в пределе четырехфермионного приближения с обменом заряженными бозонами Хиггса (Н± ). Настоящая работа уточняет данные, изложенные в [1], и устанавливает новые ограничения на величину тн± в указанной модели.
Ключевые слова: суперсимметричные модели, бозоны Хиггса. УДК: 539.12.01. PACS: 12.60.Jv, 14.80.Ср.
Введение
Минимальное суперсимметричное расширение стандартной модели (СМ) позволяет получить дополнительные, по сравнению с СМ, вклады в расщепление масс {Amis) физических состояний при их смешивании в системах нейтральных В®- и В® -мезонов.
Подробная информация о МССМ содержится в работе [2]; юкавский сектор двухдублетной модели был рассмотрен в [3] и далее в [4]. Процедура диагонали-зации двухдублетного потенциала, приводящая к массовым состояниям бозонов Хиггса и их взаимодействиям, изложена в [5-8]. В рассматриваемой модели имеется пара заряженных бозонов Хиггса Н*" и три нейтральных скаляра h\, h2, не обладающих определенной CP-четностью. Выражения для массы заряженного бозона Хиггса в используемой модели, полученные методом эффективного потенциала, приведены в [5].
В статье [1] величина расщепления масс была рассчитана в рамках минимальной суперсимметричной модели с юкавским сектором второго типа (МССМ II) и явным нарушением CP-инвариантности1 в хиггсовском потенциале [5]. Вычисления производились в низкоэнергетическом четырехфермионном приближении; авторы, используя происхождение основного вклада от механизма Глэшоу-Илиопулоса-Майани (ГИМ-механизма, [9]) из области малых значений внутреннего импульса №, пренебрегали последним в сравнении с массой верхних кварков m-t (i = с, t — индекс поколения кварков) в числителях фермионных пропагаторов. Последнее приближение позволяло упростить расчетную технику и использовать точные значения для величин скалярного и псевдоскалярного адронных матричных элементов, вычисление которых в общем случае является достаточно сложным.
В настоящей работе рассматриваются точные фер-мионные пропагаторы самого общего вида: П= = . что позволяет не ограничиваться одним лишь
низкоэнергетическим приближением. Вследствие этого, во всех исследуемых типах диаграмм появляются вклады от первого слагаемого в числителе пропагатора и от пере-
крестных членов. Однако, как показано ниже, выбранное в [1] приближение является корректным, не приводя к существенному изменению установленных ранее ограничений на величину тн± .
1. Смешивание B®s -мезонов в МССМ II
Основными величинами, характеризующими смешивание в системах нейтральных мезонов, являются разность масс физических состояний Am/S и величина косвенного нарушения CP-инвариантности е. Диаграмма Фейнмана, соответствующая вкладу СМ в указанные выше наблюдаемые, приведена на рис. 1,а. Амплитуда процесса, изображенного на рис. 1,а, и ее вклад в параметры смешивания Am/S и е обсуждались в [1] (см. формулу (1)).
По сравнению с СМ в МССМ II появляются дополнительные диаграммы (рис. 1,6, в), в которых смешивание происходит за счет обмена одним или двумя заряженными скалярными бозонами.
Используя низкоэнергетическое приближение mw н ^ k2 в отношении бозонных пропагаторов, получим выражения для основных величин, характеризующих смешивание нейтральных Bd -мезонов:
A mHW _
GFCHf2mBdBBd LS 24тг2т|,
ReB№j) ~ tg2/? ' mbmd ReB2(F2j)) , (1)
2tg2/?
AmHJ =
с'М1твА
384тг 2mAw
mlmd P
Re Сi
mbmd
R eC2(G2k)
4tg /?
Re C^G-ik) — ml Re C^G«)),
(2)
Bi(Fij) = [{V;dVcb)2m2mFn(A, m2) + (Vt*dVtb)2 x
x mfr]5Fn(A, rrij) + 2Vt*dVc*dVtbVcbmcmt'q6Fi2(A, m2, mj)} (¿=1,2; /=1,2),
СР -инвариантность — симметрия лагранжиана относительно последовательно проведенных операций пространственной инверсии Р и зарядового сопряжения С.
н
Р2
¿(5)
и, С, I
и, с, t б
й{5)
%
Ж
Р1
н
Р2
¿(5)
и, С, I
и, с, t в
н
Рис. I. Диаграммы Фейнмана для процессов ~~► А/м в вакууме при наличии трех поколений кварков (виртуальных и-, с- и /-кварков): к — внутренний импульс, по которому проводится интегрирование; а — ГИМ-механизм СМ; б, в — диаграммы с обменами одним и двумя заряженными бозонами Хиггса Н± в рамках
минимальной суперсимметричной модели типа II
С, =
(У^^гщтр + (\'^\',ь)2т2щ
ЩЖМьЪь
9 9
т:тг
1п
тг
■ тг.
т
С№1к) = [(I'7Ль?т1тС1Х(к, т;) + + (1%Цк)2т1щСп(А,тг) + + 2У;аУ;аЦьУсьт;т1г]9С12(А, т2,т!)] (/ = 2,3,4; ¿=1,2),
^21 (Л, т2) =
1п
Л + т:,
Л
Л-
■ тт,
С22(А, т2, т?) =
тг
■ 1п
тг
тг.
Л-
• т:
Сз](Л, т") =
Л-
Л-
щ
тг.
■ 1п
тг
тг.
Л-
• т:.
тг.
Л + т2,
■ '2 т: 1п
т:
С32(Л, т?) =
Л-
тг
■ тг.
1п
Л + т:
9 9
т-ст-{
Л2-
(тг
■ т2.)А ■
■ т2.тг
т
■ т'
■ 1п
щ (Л + т2)
зона, а Сц =
■1%/2 пщ.
7(2
5.98 • 10^7 х
т
'Я±
эффективного четырехфермионного скалярного взаимодействия — аналог б/г = 1.17- 10^5 ГэВ-2; и 1.3 — непертурбативная КХД-поправка, а щ, щ, щ, тр, щ, щ — факторизованные пертурбативные КХД-поправки1 [10, 13]. Далее принимается щ = гр = 1.3, щ = щ=0.5,
а также щ = щ = 0.55 [14]. Мы «обрезаем» интеграл по внутреннему импульсу к на масштабе т1Г± , считая, что заряженный бозон Хиггса обладает наибольшей массой в сравнении с другими переносчиками взаимодействий в изучаемом процессе.
Аналогичные формулы можно получить и для расщепления масс в системе нейтральных В®-мезонов при замене индекса ¿-кварка на индекс 5-кварка в формулах (1) и (2).
2. Анализ численных результатов
Численные данные по суммарному вкладу диаграмм всех трех рассмотренных типов в разницу масс нейтральных В л и Д,--мезонов приведены в табл. 1 и 2. Здесь
. Курси-
1,8 пп)
7,5
1,3
не укладывающиеся
2{щ — т2) \ т2(А + щ) /=п(Л, т2) = С31(Л, т2), ЯЫЛ, т2,щ) = С32(Л, т2, т?), /=21 (Л, т2) = Оц (Л, т2) = 4621 (Л, т2), В22(А, т2, щ) = С12(Л, т2, щ) = 4С22(Л, т2, щ).
Здесь Рц(А, т2, т^), б^А, т2, т;*') — аналоги функций Высоцкого-Инами-Лима [10-12] для диаграмм с обменами одним и двумя заряженными скалярными бозонами соответственно; Л — параметр «обрезания» расходящегося интеграла, = у2/ю\ — отношение вакуумных средних скалярных дублетов в хигссовском секторе МССМ II, /д, = 200 МэВ — постоянная распада ме-
константа
вом отмечены значения Лт
в рамки относительной экспериментальной погрешности измерений и сигнализирующие об ограничениях на существенные параметры выбранной модели — т1Г± и Отклонение полученных в рамках модели значений расщепления масс от экспериментальных данных связано с вкладом от больших значений импульса в петле, который модифицирует функции Высоцкого-Инами^Лима [1, 12]. При этом асимптотика выражений (1), (2) и модифицированных функций одна и та же в пределе т^ ->0 и соответствует вкладу лишь от диаграмм СМ типа ГГ.
Анализ табл. 1 показывает, что вклады от диаграмм типа рис. 1,6, в в разницу масс В^-мезонов малы по сравнению с вкладом СМ (рис. 1, а) во всей области значений и т1Г± за исключением области малых при значениях масс заряженного бозона Хиггса тц± > 270 ГэВ, что в целом соответствует ограничениям, получаемым для системы нейтральных каонов.
Более существенные ограничения на и т1Г±
можно получить из рассмотрения величины Дт^1'1". Как и в случае смешивания в системе В^-мезонов, в области больших ти± и малых значения изучаемой наблюдаемой достаточно сильно отклоняются от экспериментальных данных. Однако основное ограничение будет идти из области больших величин
На рис. 2 изображена проекция Дт^1"" на плоскость (т/Г± Лё 3) ■ Светлые области плоскости соответствуют значениям Дт^'"'1, близким экспериментальному. Темные области плоскости отвечают значениям, которые плохо согласуются с опытными данными. Совместный
КХД — квантовая хромодинамика; КХД-поправки — поправки на обмен глюонами.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
37
Таблица 1
Суммарное расщепление А(10 13 ГэВ) масс нейтральных В®-мезонов в вакууме в рамках СМ и МССМ II в зависимости от массы заряженного бозона Хиггса и отношения вакуумных средних двух скалярных дублетов в хиггсовском секторе
тн±, ГэВ 75
тп±, ГэВ tg/?
5 10 20 30 40
50 2.104 2.104 2.104 2.104 2.104
75 2.105 2.105 2.104 2.104 2.104
100 2.107 2.105 2.104 2.104 2.103
150 2.116 2.107 2.105 2.104 2.103
200 2.128 2.110 2.106 2.104 2.103
300 2.153 2.117 2.107 2.105 2.103
400 2.175 2.122 2.109 2.106 2.104
500 2.190 2.126 2.110 2.106 2.105
Экспериментальное значение для расщепления масс: АтЙ(ехр) = (3.33 ±0.03) • 10"13 ГэВ. Вклад от диаграмм СМ
(рис. 1 ,а): Дт^(ГГ) =2.104-10"'* ГэВ. Курсивом отмечены значения, не укладывающиеся в диапазоны относительной экспериментальной погрешности. Они соответствуют тем областям параметров тц± и tg/3, которые противоречат имеющимся экспериментальным данным.
Таблица 2
Расщепление Дт£(и,1) (10 12 ГэВ) масс нейтральных
Д^-мезонов в вакууме в рамках СМ и МССМ II в зависимости от массы заряженного бозона Хиггса и отношения вакуумных средних двух скалярных дублетов в хиггсовском секторе
ч- 13
ти±, ГэВ tg/3
5 10 20 30 40
50 9.30 9.30 9.34 9.51 9.99
75 9.31 9.30 9.29 9.30 9.37
100 9.32 9.30 9.28 9.25 9.23
150 9.35 9.30 9.26 9.20 9.12
200 9.40 9.32 9.25 9.18 9.08
300 9.51 9.34 9.26 9.18 9.07
400 9.61 9.37 9.27 9.19 9.10
500 9.69 9.39 9.28 9.21 9.13
Экспериментальное значение для расщепления масс: Ат^вхр) = (11.4+°02,) • 10^12 ГэВ. Вклад от диаграмм СМ (рис. 1 ,а): Ат^(ГГ) =9.30- 10^12 ГэВ.
анализ табл. 2 и рис. 2 показывает, что величина расщепления масс накладывает существенные ограничения на величины tg{3 и . В частности, исключенными оказываются не только значения < 8 при тн± > 250 ГэВ, но и области больших > 32; в этом случае при умеренных величинах тц± < 600 ГэВ «разрешенным» оказывается лишь небольшой диапазон значений тц± между 70 и 120 ГэВ. На рисунке отражена только область больших при которых достигаются
значения Ат
ЫШ) ЪБ
ными данными.
не согласующиеся с эксперименталь-
Заключение
В настоящей работе рассмотрен сценарий МССМ типа II с явным нарушением СР-инвариантности в эффективном хиггсовском потенциале, когда масштаб масс
Рис. 2. Зависимость величины расщепления масс в системе нейтральных В8 -мезонов Дт^(1о1) от массы заряженного бозона Хиггса ти± и отношения вакуумных средних скалярных дублетов модели tg[3. Подробности см. в тексте статьи
суперчастиц порядка 500 ГэВ, а массы нейтральных бозонов Хиггса невелики (100 ГэВ) и различаются на десятки ГэВ, тогда как СР-инвариантность эффективного потенциала сильно нарушена [5]. В рамках модели допускается достаточно легкий заряженный бозон Хиггса тн± ~ 50 ГэВ, обмены которым могли бы вносить нестандартные вклады в смешивание нейтральных мезонов.
Анализ показывает, что для Ва-мезонов основной вклад в расщепление масс почти полностью определяется ШШ-диаграммами стандартной модели, и в широкой области значений и ^¡3>7 поправки к Ат,1$
в СМ являются пренебрежимо малыми и находятся за пределами точности экспериментальных методов наблюдения. В то же время на основании анализа величины (рис. 2) возможно ограничить плоскость параметров (тн± Аё , не только исключив одновременное сочетание малых tg|3<8 при > 250 ГэВ, но и сохранив лишь небольшую область значений 70 ГэВ < тн± < 120 ГэВ при больших величинах
Общий вид пропагатора позволяет не ограничиваться низкоэнергетическим приближением для виртуальных фермионов, примененным в [1]. Тем не менее как аналитические выражения, так и численные данные настоящей работы находятся в хорошем согласии с проведенными
ранее в [1] расчетами, а также соотносятся с экспериментальными данными и адекватно отражают физику процесса при не слишком больших значениях импульса в петле k.
Списож литературы
1. Дубинин М.Н., Сукачев А.И. // Вести. Моск. ун-та. Физ.
Астрон. 2008. № 4. С. 31.
2. Высоцкий М.И., Невзоров Р.Б. // УФН. 2001. 171, № 9.
С. 939; Mlles Н.Р. // Phys. Rep. 1984. 110, N 1-2. P. 1.
3. Glashow S.L., Weinberg S. // Phys. Rev. D. 1977. 15, N 7.
P. 1958.
4. Irioue K., Kakuto A., Komatsu H., Takeshita S. // Progr.
Theor. Phys. 1982. 67, N 6, P. 1889; Ann. Phys. (N.Y.).
1983. 148, N 1. P. 95.
5. Ахметзянова Э.Н., Долгополое M.В., Дубинин M.H. //
Ядерная физика. 2005. 68, № 11. С. 1913; Phys. Rev. D.
2005. 71. P. 075008.
6. Ахметзянова Э.Н., Долгополое М.В., Дубинин М.Н. 11 Физ. элем. част, и ат. ядра. 2006. 37, № 5. С. 677.
7. Dubinin M.N., Semenov A.V. 11 Eur. Phys. J. C. 2003. 28. P. 223.
8. Дубинин M.H., Сукачев А.И. // Ядерная физика. 2008. 71, № 2. С. 395.
9. Glashow S.L., Hiopoulos J., Maiani L. // Phys. Rev. D. 1970. 2. P. 1285.
10. Высоцкий MM. // Ядерная физика. 1980. 31, № 1-4. С. 1535.
11. Inami Т., Lim C.S. // Progr. Theor. Phys. 1981. 65, N 1. P. 297.
12. Urban J., Krauss F., Soff G. // Nucl. Part. Phys. 1997. 23. P. 25.
13. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шиф-ман M.A. Ц Ядерная физика. 1976. 23. С. 1024.
14. Bums A J., Jamin М., Weisz Р.Н. // Nucl. Phys. В. 1990. 347. P. 491.
15. Diaz R.A., Martinez R., Sandoval C. // Eur. Phys. J. C. 2006. 46, N 2. P. 403.
Mass splitting in B°s neutral meson systems in a framework of the minimal supersymmetry standard model
A. I. Sukachev
Department of General Nuclear Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow
119991, Russia.
E-mail: salex-82@yandex.ru.
Effects of the minimal supersymmetry standard model with Yukava sector type two and with an explicit CP-violation in Higgs potential, occuring through a mixing of physical states in neutral meson systems, are considered. Amis mixing parameter is evaluated within the limits of four-fermion approximation with charged Higgs (/i1*1) exchanges. This work specifies data, given in [1], and sets new limitations for the mH± model parameter.
Keywords: supersymmetric models, Higgs bosons. PACS: 12.60.Jv, 14.80.Cp. Received 4 November 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторе
Сукачев Алексей Игоревич — аспирант; e-mail: salex-82@yandex.ru.
