CC BY
12
Эффекты минимальной суперсимметричной стандартной модели в смешивании нейтральных if0-мезонов
А. И. Сукачев
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей ядерной физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: salex-82@yandex.ru
Статья поступила 06.10.2008, подписана в печать 13.03.2009.
Исследовано смешивание нейтральных К°-мезонов в рамках минимальной суперсимметричной модели (МССМ) с юкавским сектором второго типа и явным нарушением CP-инвариантности в хиггсовском потенциале. Параметры смешивания Amis и е рассчитаны в пределе четырехферми-онного приближения с обменом заряженными бозонами Хиггса. Настоящая работа уточняет данные, изложенные в [1], и, учитывая влияние новых вкладов на указанные выше наблюдаемые, подтверждает малость суперсимметричных эффектов для системы К0-мезонов.
Ключевые слова: МССМ, заряженный бозон Хиггса, нейтральные мезоны, нарушение СР-инвариантности. УДК: 539.12.01. PACS: 12.60.Jv; 14.80.Ср.
Введение
Минимальное суперсимметричное расширение стандартной модели (СМ) содержит в общем случае большое число параметров [2, 3], позволяющих получить дополнительные, по сравнению с СМ, вклады в наблюдаемые параметры смешивания системы К°-мезонов: расщепление масс Дт^з и величину косвенного нарушения СР-инвариантности1 е.
В статье [1] вычисления перечисленных выше наблюдаемых производились в низкоэнергетическом четы-рехфермионном приближении; при этом авторы, используя происхождение основного вклада от механизма Глэ-шоу-Илиопулоса-Майани (ГИМ-механизма) из области малых значений внутреннего импульса №, пренебрегали последним в сравнении с массой верхних кварков т,-(г = с, ? — индекс поколения кварков) в числителях фермионных пропагаторов, что позволяло упростить расчетную технику и использовать точные значения для величин скалярного и псевдоскалярного вакуумного прокладывания, вычисление которых в общем случае представляется достаточно сложным.
Результаты настоящей работы не ограничиваются одним лишь низкоэнергетическим приближением; рассматриваются точные фермионные пропагаторы самого общего вида: Щй'4, т,-) = А2_тг' ■ Вследствие этого во всех исследуемых типах диаграмм появляются вклады от первого слагаемого в числителе пропагатора и от перекрестных членов. Однако, как показано ниже, выбранное в [1] приближение является корректным, подчеркивая малость эффектов МССМ в системах К°-мезонов.
Подробная информация о МССМ содержится в работе [4, 5]; юкавский сектор двухдублетной модели был рассмотрен в работе [6] и далее в работах [7, 8]. Процедура диагонализации двухдублетного потенциала, приводящая к массовым состояниям бозонов Хиггса и их взаимодействиям, изложена в [9-12]. В рассматриваемой модели имеется пара заряженных бозонов Хиггса Н^" и три нейтральных скаляра кч, Лз, не обладающих определенной СР-четностью.
Масса заряженного бозона Хиггса удовлетворяет соотношению [91
т2н±
■ т\
-(Re ДАб - ДА4),
(1)
где т^х? — масса ¥7-бозона, тд — масса псевдоскаляра в пределе СР-сохранения, и = 2т^/ё2, а эффективные параметры ДА).5 в однопетлевом приближении имеют вид
ДА4
3& (h2
h2b) In
327Г2 УЧ ' ' ь +
^IUSY \
mf
In
^susy)
mf
96тг2 M|USY
\A,
M2
SUSY
w \
м2
SUSY -
3gf [а?(И2-И»12) + а?(Н2-ИП2)]
ДА5:
hi
64тr2MfUSY
M2 /
" SUSY/
967Г2
Здесь связи Юкавы ht — в sln g \Atf + \Abf + 2Re(AtAt)
Xtb =
9M2 SUSY
M2
SUSY
6M|USY
(4)
Мы фиксируем параметры модели условием (СРХ-сценарий): ^ = 2А( ь = 4Мзизу. везде в дальнейшем полагая Д^шу = 500 ГэВ.
1. Смешивание -мезонов в СМ
Основными величинами, характеризующими смешивание К° -мезонов, являются разность масс физических состояний Д/ге/^ и величина косвенного нарушения СР-инвариантности е. В рамках СМ смешивание в си-
СР -инвариантность — симметрия лагранжиана относительно последовательно проведенных операций пространственной инверсии Р и зарядового сопряжения С.
9 ВМУ. Физика. Астрономия. № 4
и,сЛ
и,сЛ
-» р 1 < р
я > Ж
-> Рг -> к > 4г *
и,с,1, б
Р\
Н
Рг
и,сЛ, в
Н
Р*
Рз
Рис.
1. Диаграммы Фейимаиа для процесса К0 К0 в вакууме при наличии трех поколений кварков
(виртуальных и-, с- и ¿-кварков); к — внутренний импульс, по которому проводится интегрирование; а — ГИМ-механизм стандартной модели; б — обмен одним заряженным векторным бозоном №7 и одним заряженным бозоном Хиггса Н в рамках минимальной суперсимметричной модели с юкавским сектором второго типа; в —
в рамках минимальной суперсимметричной модели с юкавским сектором второго типа
обмен двумя заряженными бозонами Хиггса Н±
стеме Ки-К° возникает из-за смешивания в секторе заряженных слабых токов, определяемого матрицей Ка-биббо-Кобаяши-Маскава (ККМ-матрицей) [13], а малая величина его объясняется ГИМ-механизмом [14] — рис. 1,0.
Действительная часть соответствующей амплитуды определяет разность масс нейтральных каонов
Дт" = Не А, а отношение мнимой и дей-
ствительной частей — величину косвенного нарушения
СР -симметрии к! = 2^2
А = [№^Ч2^) + (ВД5)2т?тй/(Ы +
+ (5)
где 6 = (^)2, & = (^)2, £з = - аргу-
менты функций Высоцкого-Инами-Лима /(£) [1517]; V/,- — матричные элементы матрицы ККМ, /А- и 1-27/л- и 165 МэВ — постоянная распада, бр = 1.17 • 10^5 ГэВ^2, В к и 1.0 — непертурбативная КХД-поправка, а щ, щ, щ — факторизованные пертур-бативные КХД-поправки1 [15, 18]. Далее принимается 7}г = 1.4 (см. [19] при тс= 1.4 ГэВ и Ам = 0.350 ГэВ), а также 7/2 = 0.47 и щ = 0.57.
2. Смешивание -мезонов в МССМ
По сравнению с СМ в МССМ появляются дополнительные диаграммы рис. 1,6, в, в которых смешивание происходит за счет обмена одним или двумя заряженными скалярными бозонами.
Используя низкоэнергетическое приближение т\, н к2 в отношении бозонных пропагаторов, получим выражения для основных величин, характеризующих смешивание нейтральных каонов:
С^Сц^ШцВц
2Аж2т\,
—Ее В\ ) - /? • т,тл Ее В^)
2¡3
С^К^-цВц
384тг2т|,
2„2
(6)
т5тС1
ЯеС2(в2к)
т^т
1
4tg4p
КеС^Ои)^ Ие С3 (в3к) - т2 Ие С4 {вАк)
= [(УЖ5)2т2щГп(А,т2) +
+ (УГаЦ3)2т2г/5Р12(А,т2)-+ т2, т2)] (I =
1,2;/=1,2,3),
СЛС1к)
[(¥;с1¥сз)2т2тОп(А,т2) +
+ (У1*1Ц5)2т2щ012(А,т2) +
+ 2У1*1У;1,Ц5УС5тстп]9013(А, т2, т2)],
(7)
С,(С,к) = [(У:аУс$)2т%Сп(А,т2с) +
+ (\'1*1\'1з)2тА1щ012(А,т2) + + 2ВДг^УС5т2т2тС13(А, т2, т2)}
(1 = 2,3,4; к = 1,2,3).
Здесь Рц(А,т2,т2), б^А, т2, ) — аналоги функций Высоцкого-Инами-Лима для диаграмм с обменами одним и двумя заряженными скалярными бозонами соответственно; А — параметр «обрезания» расходящегося интеграла, который полагается равным массе заряженного бозона Хиггса, = игМ — отношение вакуумных средних скалярных дублетов в хиггсовском секторе МССМ, а Сц — константа эффективного че-тырехфермионного скалярного взаимодействия — аналог бр. Мы «обрезаем» интеграл по внутреннему импульсу к на масштабе тИ±, считая, что заряженный бозон Хиггса обладает наибольшей массой в сравнении с другими переносчиками взаимодействий в изучаемом процессе. Мы также полагаем щ = щ = гр = 1.4, Щ = Ш = Щ = 0.47 и г)з = т?б = т/ц = 0.57, определяя пертурбативные КХД-поправки согласно [19].
Численные данные по суммарному вкладу диаграмм всех трех рассмотренных типов в разницу масс нейтральных каонов приведены в табл. 1. Здесь = Дт"'' + . Из приведенной табли-
цы видно, что для всего исследуемого диапазона значений и тИ± вклад диаграмм МССМ в расщепление масс пренебрежимо мал по сравнению со вкладом СМ Дт"'. Более подробный анализ выражений (6) и (7) показывает, что вклад от диаграмм рис. 1,6 на 5-6 порядков превосходит вклад от диаграмм рис. 1,в, но все
1 КХД — квантовая хромодинамика, КХД-поправки — поправки на обмен глюонами.
Таблица 1
Расщепление масс нейтральных К-мезонов в вакууме
в рамках СМ и МССМ в зависимости от массы заряженного бозона Хиггса и отношения вакуумных средних двух скалярных дублетов в хиггсовском секторе
5 10 20 30 40
50 2.831 2.749 2.725 2.714 2.702
75 2.833 2.750 2.728 2.720 2.714
100 2.834 2.751 2.729 2.723 2.719
150 2.835 2.752 2.730 2.725 2.722
200 2.837 2.752 2.730 2.726 2.724
300 2.840 2.753 2.731 2.727 2.725
400 2.842 2.753 2.731 2.727 2.725
500 2.844 2.754 2.731 2.727 2.725
1<=-1о11
1
2л/2
/ГГ ! /ЖП *1£
[Н1Г2 ! гНН 1
гНН2 ! [НИЗ ' i¿S
гНН 4
/ГГ ! гШП _ тНК'2 , тНН 1 _ тНН2 , гЯЯЗ _ тННА ' ^ "'"•'¿5 ^ ■'¿3 ~1~-'13 ■'¿3
(8)
[НН1
г Г Г ///Ц . <////. _ •'/..«г < •'/..«г < •'/л
мнимые
5 10 20 30 40
50 2.141 2.192 2.209 2.218 2.228
75 2.174 2.200 2.209 2.213 2.217
100 2.216 2.212 2.210 2.212 2.214
150 2.311 2.235 2.216 2.212 2.212
200 2.406 2.259 2.222 2.215 2.212
300 2.562 2.300 2.231 2.219 2.214
400 2.672 2.328 2.238 2.222 2.216
500 2.747 2.347 2.243 2.224 2.217
Примечание. Первая строка — величина tg,9. Первый столбец — масса заряженного бозона Хиггса (в ГэВ). На пересечении строк и столбцов указано соответствующее значение величины до-
множенное на 10_3 и определяемое из (8). Экспериментальное значение для величины: = (2.232 ± 0.007) • 10_3. В рамках СМ: | = 2.208-Ю-3.
Примечание. Первая строка — величина tg,9. Первый столбец — масса заряженного бозона Хиггса (в ГзВ). На пересечении строк и столбцов указано соответствующее значение суммарной величины расщепления масс Ди;^ (см. текст статьи), выраженное в 10-1а ГзВ. Экспериментальное значение для расщепления масс: А= (3.449±0.013)-10-15 ГзВ. Вклад от диаграмм СМ (рис. 1,а): Дт]™' = 2.724 • Ю-15 ГзВ.
равно остается слишком мал по сравнению с вкладом рис. 1,0.
В табл. 2 приведены численные данные по величине косвенного нарушения СР-инвариантности. Здесь
г„„ /ГГ ,н\г/ , 1де , , 11
и действительные части амплитуд различного типа, до-множенные на факторы, появляющиеся при вычислении соответствующих диаграмм. Из всех КХД-поправок определяющее для конечного результата значение имеет фактор 7]1 при вкладе квадратной диаграммы с двумя очарованными кварками сс (см. обсуждение области допустимых значений в [19]). В настоящей работе используется значение щ = 1.4.
Таблица 2
Величина косвенного нарушения С Р - и н ва р и а н т н о ст и в системе нейтральных К-мезонов в вакууме в рамках
СМ и МССМ в зависимости от массы заряженного бозона Хиггса и отношения вакуумных средних двух скалярных дублетов в хиггсовском секторе
|е£|
0.0034
- 0.0032
- 0.0030
0.0028
0.0026
0.0024
0.0022
Рис. 2. Зависимость величины косвенного нарушения СР-инвариантности от массы заряженного бозона Хиггса тп± и отношения вакуумных средних скалярных дублетов модели Подробности см. в тексте статьи
На рис. 2 изображена проекция \ех[1(тц±, + )| на плоскость . Темные области плоскости со-
ответствуют значениям |е"[°Л, близким экспериментальному. Светлые области плоскости отвечают значениям, которые плохо согласуются с опытными данными. Совместный анализ табл. 2 и рис. 2 показывает, что величина косвенного нарушения СР-инвариантности накладывает ограничения на возможные значения величин и тИ± . В частности, исключенными оказываются области с < 10 при тИ± > 200 ГэВ. На рисунке отражена только область малых tgf.:S, при которых достигаются значения |е"[°Л, не согласующиеся с экспериментальными данными. При больших величинах отношения вакуумных средних скалярных дублетов модели доступными становятся значения массы заряженного бозона Хиггса вплоть до 1000 ГэВ и выше.
Заключение
В настоящей работе рассмотрен сценарий МССМ с явным нарушением СР-инвариантности в эффективном хиггсовском потенциале, когда масштаб масс суперчастиц порядка 500 ГэВ, а массы нейтральных бозонов Хиггса невелики (100 ГэВ) и различаются на десятки ГэВ, тогда как СР-инвариантность эффективного потенциала сильно нарушена [9, 10]. В рамках модели допускается достаточно легкий заряженный бозон Хиггса тИ± ~ 80 ГэВ, обмены которым могли бы вносить нестандартные вклады в смешивание нейтральных мезонов.
Анализ показывает, что для К-мезонов основной вклад в расщепление масс почти полностью определяется ¥7¥7-диаграммами стандартной модели, и в широкой области значений тИ± и поправки к Дт/^ в СМ являются пренебрежимо малыми и находятся за пределами точности экспериментальных методов наблюдения. В то же время на основании анализа величины косвенного СР-нарушения (рис. 2) возможно ограничить плоскость параметров , исключив одновременное сочета-
ние малых 10 при гпц± > 200 ГэВ.
10 ВМУ. Физика. Астрономия. 4
Информация о заряженном скаляре с небольшой массой может очень сильно ограничивать пространство параметров МССМ [1]. Однако на основании данных по системе К-мезонов невозможно получить существенные ограничения на параметры МССМ «снизу»; подобные оценки могут быть сделаны на основе анализа систем нейтральных В®- и В® -мезонов, рассмотрение которых не входило в рамки настоящей работы.
Общий вид пропагатора позволяет не ограничиваться низкоэнергетическим приближением для виртуальных фермионов, примененным в [1]. Тем не менее, как аналитические выражения, так и численные данные настоящей работы находятся в хорошем согласии с проведенными ранее в [1] расчетами, подтверждая малость суперсимметричных эффектов для системы К0-мезонов в широкой области параметров тн± и tgß.
Используемые приближения хорошо соотносятся с экспериментальными данными и адекватно отражают физику процесса при не слишком больших значениях импульса в петле к. Вычисление амплитуд смешивания при немалых значениях к, которые, однако, дают поправку порядка единицы к величине Amis и порядка 10^2 к величине е (см. [15]), проведено в работе [17] для общей двухдублетной модели с сектором Юкавы типа I и II, а также в недавней работе [20] для сектора типа III. Вклад от больших значений импульса в петле модифицирует функции Высоцкого-Инами-Лима [17]. При этом асимптотика выражений (6), (7) и модифицированных функций одна и та же в пределе тн 0 и соответствует вкладу лишь от диаграмм СМ типа WW.
Список литературы
1. Дубинин М.Н., Сукачев А.И. // Вести. Моск. ун-та. Физ.
Астрон. 2008. № 4. С. 31.
2. Hesselbach S. Ц Acta Phys. Polon. В. 2004. 35, N 11. P. 2739.
3. Branco G.C., Gomez M., Khalil S., Teixeira A. 11 Nucl. Phys. B, 2003. 659, N 1-2. P. 119.
4. Высоцкий М.И., Невзоров Р.Б. Ц УФН. 2001. 171, № 9. С. 939.
5. Nilles H.P. Ц Phys. Rep. 1984. 110, N 1-2. P. 1.
6. Glashow S.L., Weinberg S. Ц Phys. Rev. D. 1977. 15, N 7. P. 1958.
7. Inoue K., Kakuto A., Komatsu H., Takesita S. 11 Progr. Theor. Phys. 1982. 67, N 6. P. 1889.
8. Flores R., Sher M.F. Ц Ann. Phys. (N.Y.). 1983. 148, N 1. P. 95.
9. Ахметзянова Э.Н., Долгополое M.B., Дубинин М.Н. // Ядерная физика. 2005. 68, № 11. С. 1913.
10. Akhmetzyanoua Е., Dolgopolov М., Dubinin М. // Phys. Rev. D. 2005. 71. P. 075008.
11. Ахметзянова Э.Н., Долгополое M.B., Дубинин М.Н. Ц Физ. элем. част, и ат. ядра. 2006. 37, № 5. С. 677.
12. Dubinin M.N., Semenov A.V. Ц Eur. Phys. J. C. 2003. 28. P. 223.
13. Kobayashi M., Kondo H., Maskawa К. 11 Progr. Theor. Phys. 1973. 49, N 2. P. 652.
14. Glashow S.L., Iliopoulos /., Maiani L. 11 Phys. Rev. D. 1970. 2. P. 1285.
15. Высоцкий М.И. Ц Ядерная физика. 1980. 31, № 1-4. С. 1535.
16. Inami Т., Lim C.S. Ц Progr. Theor. Phys. 1981. 65, N 1. P. 297.
17. Urban /., Krauss F., Soff G. Ц Nucl. Part. Phys. 1997. 23. P. 25.
18. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шиф-ман М.А. Ц Ядерная физика. 1976. 23. С. 1024.
19. Herrlich S., Nierste U. Ц Nucl. Phys. В. 1994. 419, N 2. P. 292.
20. Diaz R.A., Martinez R., Sandoval С. 11 Eur. Phys. J. C. 2006. 46, N 2. P. 403.
Effects of the minimal supersymmetry model in the K°-K° mixing A. I. Sukachev
Department of General Nuclear Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow
119991, Russia.
E-mail: salex-82@yandex.ru.
The K°-K° mixing in a framework of the minimal supersymmetry model (MSSM) with the Yukawa sector type II and with the explicit violation of CP-invariance in Higgs potential is studied. Mixing parameters Aotls and e are evaluated within the limit of four-fermion approximation with charged Higgs boson exchanges. This work clarifies data, given in Réf. 1, and proves smallness of supersymmetric effects for K°-meson system by taking new impacts to the aforementioned observables into account.
Keywords: MSSM, SUSY, charged Higgs, neutral mesons, CP-violation. PACS: 12.60.Jv; 14.80.Cp. Received 6 October 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2009).
Сведения об авторе
Сукачев Алексей Игоревич — аспирант; тел.: 939-23-93, e-mail: salex-82@yandex.ru.
