CC BY
11
УДК 519.6:536.24
РАСЧЁТ РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОМ ГАЗОГЕНЕРАТОРЕ С УЧЁТОМ ДВИЖЕНИЯ ГРАНУЛ ОХЛАДИТЕЛЯ
КИРИЛЛОВ В.В.
ГОУ ВПО Южно-Уральский Государственный университет, 54080, г.Челябинск, проспект им. В. И. Ленина, 76
АННОТАЦИЯ. В работе предложена математическая модель процессов тепло- и массообмена в низкотемпературном твёрдотопливном газогенераторе с камерой охлаждения (НТГГ), учитывающая перемещение гранул охладителя. Предложен численный метод реализации уравнений математической модели на базе неявной разностной схемы в области с подвижной границей.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: твёрдое топливо, камера охлаждения, охладитель, тепломассообмен, математическая модель, разностная схема, численный метод.
Принципиальная схема НТГГ представлена на рис. 1.
1 - воспламенительное устройство; 2 - камера сгорания; 3 - заряд твёрдого топлива;
4 - камера охлаждения; 5 - охладитель; 6 - патрубок; 7 - область I; 8 - область II
Рис.1. Принципиальная схема НТГГ
Продукты сгорания воспламенителя и твёрдого топлива поступают из камеры сгорания 2 в камеру охлаждения 4. Газовая смесь проходит через слой гранул охладителя 5. Под воздействием высокой температуры потока происходит разложение охладителя с поглощением теплоты. Смесь продуктов сгорания топлива и продуктов разложения охладителя через патрубок 6 поступает к потребителю.
В процессе разложения диаметр гранул уменьшается. Под действием скоростного напора газового потока гранулы охладителя смещаются в направлении движения. При этом пористость слоя гранул остаётся практически неизменной, поскольку пористость не зависит от диаметра гранул, а определяется способом укладки. По данным работы [1] при нерегулярной засыпке сферических и цилиндрических гранул образуется пористый слой со средней пористостью 0,32...0,39. В ряде математических моделей в процесс разложения гранулы предполагаются неподвижными, поэтому при разложении пористость слоя увеличивается. При смещении гранул камера охлаждения разделяется на две области -свободной от гранул - область I и область, заполненную гранулами с постоянной пористостью - область II (см. рис.1). Как показывают оценки, касательные напряжения трения в этих зонах различаются на 2.4 порядка. При переходе от области I к области II
скачком изменяются и площадь сечения камеры. В результате существенно меняется гидравлическое сопротивление зернистого слоя, а, значит, и скорость газового потока. Данное обстоятельство заметно влияет на характер изменения температуры по длине камеры смешения.
Математические модели камеры сгорания (КС) и камеры охлаждения (КО) излагаются в одномерной постановке [2], что позволяет проследить характер изменения параметров процесса по длине НТГГ, а также применить для решения систем уравнений один и тот же численный метод.
Рабочие процессы в воспламенителе описаны нуль-мерной математической моделью. dpвVв
dт dpвVвe
= ивР тв/в (1 -ф)- Св;
ивртв/всрвТгор(1 ф) СвсрвТв QW,B ;
dт ^вктв./в'-'рв-'гор V ^У/ ^в'-'рв-'в
ев = ^в-^в ; Qw,в = ав (тв — -^^в ^/W,B ; Рв = рв^вТв ;
dT
cw mw
w,в
(1)
(2) (3)
^ --в \ в w,в^Jw,в u^нарViw,в ^нарА^,в- (4)
Математическая модель КС включает в себя уравнения неразрывности, количества движения и энергии газовой смеси, уравнения неразрывности продуктов сгорания воспламенителя, неконденсирующихся (НК) газов продуктов сгорания топлива (ПСТ) и водяного пара, уравнение теплопроводности для стенки.
ФА дрД^
= а в
(-в а нар Тнар)/
- + -
= и р П .
т' т т
дт дх
П
д_ дт
(
2 Л + ^
дт
_д_ дх
+ -
(
р1^1
2 Л + ^
У
—
= = р т и т hт Пт — Ql.
ФА §1,п ФА^^п = П
+ = и т р т П т <?пт .
дт
дх
др1^1^1,в др^!^!,
- + -
дт дх
ФА§1,т ФА«1§1,т
■ + -дт
Р1 = р1^1Т1.
д^,1
а
w
дт
г дг
дх
дГ д7^г,1 Л
г
= 0.
и т р т Пт § нт .
дг
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11) (12)
Расход газов из корпуса воспламенителя рассчитывается по формулам
Л к в/ (к в —1)
Св =
отв.
2кв
кв — 1
р в Рв
,2/к.
Р1 Р1
V ^в у V ^в у
Р1
(
>
2
V кв +1 у
а/ к, —1
|Д
отв
V кв + 1 У
2кв Р1
рв Рв, — < кв +1 Рв
Рв
Л к ъ/ (к в —1)
(13)
V кв + 1У
су1 §1,п су,п + §1,в су,в + §1,т су,т + §1,а су,а> = §1,п ^п + §1,в ^в + §1,т ^т + §1,а ^а.
в
2
2
В (1) - (13) р - плотность; р - давление; Т - температура; V - объём; G - расход; , - скорость; и - скорость горения; / - площадь поверхности; т - время; ( - тепловой поток; т - масса; Я - газовая постоянная; ф - массовая доля конденсированной фазы в продуктах сгорания; ср, су - удельные теплоёмкости при постоянном давлении и объёме; а - коэффициент теплоотдачи; с№ - теплоёмкость корпуса; а - коэффициент температуропроводности; е - внутренняя энергия; g - массовая доля; £отв - площадь отверстий в корпусе воспламенителя; г - координата по радиусу стенки; х - координата вдоль КС; - коэффициент расхода; gнт - массовая доля НК газов ПСТ; индексы: в -воспламенитель; w - стенка; нар - окружающая среда; 1 - камера сгорания; т - топливо; а -воздух; п - водяной пар.
Температурное поле в шашке топлива описывается уравнением теплопроводности в подвижной системе координат.
дДЯТтг = ат.д 2ттг +д[(1 -2 у Кттг - атТт]+гДЯ (14)
5т ДЯ ду2 дУ У
- Ях(т)
ДЯ = Я2 -Ях; г = Я + уДЯ; у -
Я2 (т)- Ях(т)
Здесь Ях (т), Я2 (т) - внутренний и наружный радиусы шашки топлива, соответственно.
Начальные и граничные условия для системы уравнений записываются в виде
Рв(0) = Ро; Тв(0)= То; Т,(о) = То; Tw,Kс(0,г) = -о;
gв (о, х) = g т (о, х) = gп (о, х) = 0; ^(0, х) = 0; А(0, х) = -:(0, х) = То;
Р (т,0) = Р (т) + Р1 (т)^12 (т,0) + Др; к ЯвТв+ + ^. (15)
к -1 в ' ' к -1 рх(т) 2 р
в
-1 дTw,кс(т, Явн) = [т - Т (я )].
1 w ^ = а кс 1Ткс Т w,кс 1т, Явн ;
дг
дТ^кс (т, Явн) г / \ и
-1 w дг =а нар ^^дс(т, Янар)- Тнар ] • (16)
Для описания рабочих процессов в камере охлаждения применяется система одномерных уравнений, включающая в себя уравнения неразрывности, энергии, количества движения газовой смеси, уравнения неразрывности водяного пара, НК продуктов сгорания топлива и воспламенителя и НК продуктов разложения охладителя, осреднённых по сечению камеры охлаждения.
= „^; (17)
дт дх
др2,£ + др2^2£ = р2^2Пэфф , (18)
дт дх дх 8
+ др2,е2^+дра!х2£: = _ я,,,«,,,, - л^А; (19)
дт дт дх
Ф^к.= ЯэквЛРх, (20)
дт дх
др2£ В2т + др2«2£ В2т = 0.
дт
дх
+др2 2х = Пэк,А (1 — вх ).
дт дх
(21) (22)
В области I £ = пd2/4, где d - внутренний диаметр КО, а в области II - £ = впd2/4 .
Р2 = р2К2Т2 ;
е2 = су2—2 + «2/2;
^ а к (Тк ) ;
су 2 = Х
V,/ '
^2 = X В/Л , / = 2т, п, 2х, а.
Температура стенки камеры охлаждения рассчитывается по уравнению теплопроводности
дТ
w,2
дт
aw д Г дТш,2 Л
™ г
г дг
Т^,2 дг
(23)
У
В уравнениях А - плотность потока массы; hs - энтальпия разложения; Пэкв - эквивалентный периметр частиц охладителя; Пэфф - гидравлический периметр
камеры охлаждения; в - пористость; вх - доля водяного пара в продуктах разложения охладителя; индексы 2 - камера охлаждения; х - неконденсируемые газы продуктов разложения охладителя.
Начальные и граничные условия для системы уравнений записываются в виде Р2 (т,0) = Л(т, 11) — А^ ; h2 (т,о) = ^(т, \); О^т, 1) = 02 (т,0); §2х (т,о) = 0;
В2т (т,0) = В1т (т, /1 )(1 — в1т) ; В2п (т,0) = В1т (т, /1 )в1т. (24)
Граничные условия для уравнения теплопроводности (23) аналогичны условиям (16). Расход на выходе из камеры охлаждения определяется аналогично (13).
Температурное поле в грануле определяется из решения уравнения теплопроводности в подвижной системе координат
дЯг г 2Тг
дт
аг д2г2Тг д г - +
^г ду
2
ду
г 2Тг у~~~ — 2аг гТг
dт
с начальным условием Тг (0, у) = То и граничными условиями
дТг (т,о) = 0, дТг (т, Яг ) = а г Яг [Тк — Тг (т^г )]— jshs Яг
ду ду X г ' X г
ду
Изменение радиуса гранулы определяется из решения уравнения
dЯг dт
рг
(25)
(26) (27)
В (26) - (27) Яг - радиус гранулы; X - коэффициент теплопроводности; индекс г -гранула.
Уравнения неразрывности, количества движения и энергии газовой смеси для КС и КО можно записать в векторной форме
дФ д^ „
-+-= ^,
дт дх
(28)
где
р£" " 0 "
Ф = 0 ; ^ = 0« + р£
ре£ 0е +
^ =
— £
^т 2 тг
р« Пэфф 8
— ПМ!^М! + П эквН
Здесь /: - поток массы, вызванный горением топлива в КС или разложением охладителя в КО; Н - приток тепла вследствие горения топлива в КС или сток тепла в КО; £ - площадь проходного сечения.
В пределах КО введём переменную у следующим образом [3]
Х " ' Х - 1гр и < х < Т2,
у = ~г~, 0<х<7гр;
7гр
.у =
Т 7 ' гр
Т2 - 7гр
(29)
где 7гр (т) - граница раздела между областями I и II камеры охлаждения; Т2 - длина камеры охлаждения. Тогда уравнение (28) в области I можно привести к виду
дФ7гр дуФ^гр = Р1
5т дУ dт ду
гр
а в области II - к виду
дф(т2 - 7гр) д(1 - у)Фd7гр / , )
" + ^7 = -7гр|
дт дУ dт дУ
В области интегрирования строится разностная сетка следующего вида
(30)
(31)
1 2
м м+1
N-1 N
М -1 М +2 КС КО
Рис. 2. Разностная сетка в НТГГ
Узел М является последним узлом в КС, а узел М +1 - первым узлом в КО.
<4-^- N 1 2 > 1 1 1 1 1 1 N 1
: N-1 <-7гр-► <- 1 ' N1 1 + 1 Т 1 1 -►
область I область II
Рис. 3. Разностная сетка в камере охлаждения
На рис.3 в области II сплошными линиями показаны границы ячеек сетки в момент времени :, а пунктирными линиям - в момент времени да+1.
Уравнения (30), (31) аппроксимируются неявными разностными схемами [3]
Ф"!+17"!+1 - Ф"!7"! ф"+1 у - ф"+1 у 7"!+1 - Г
и гр и гр ФП ^и Фи-1 ^и-1 гр гр
Ат
к
Ат
+
+
\т/т+1 \т/т+1
п_ и-1 = гш+1/ш+1
п гр 5
к
и = 2... N
фГ ( т - с)-ф: ( т - 7гт) - фГ (1 - у)-с:1 (1 - у.) с - 7
Ат
+
\т/:+1 \т/:+1
* и - * и-1
к
к Ат
(Т -С), и = N1 + 1..Ж
+
(32)
Разложив Фт+1, ¥"т+\^йт+1 в ряд Тейлора и сохранив первые два члена ряда
Фт+1 = фт+1 + (дФ
п п 1
, т+1 С
•ц-т+1 -ц-т+1 Гп — Гп
щ т+1 = щ т+1 + Г дЩ п ~ п ' -
т +1
т +1 т Гп — Гп
рт+1 _ рт+1 +1
пп
т +1 т +1
Гп — Гп
Уг _ |0,Т, р\
ГсР Л т+1 Г
\дУ Уя ^ ,
можно привести уравнения (32), (33) к стандартному двухточечному виду
Л^Т1 — Вп_ Сп, п = 2...N.
(34)
(35)
В уравнениях (32), (33) индекс т +1 означает предыдущую итерацию на (т +1) -ом слое по времени. В области I
,, т +1
Ап _
дФ | т+1 АтГ ду
т +1
/Ш-1-! . I АтГд^Л 1 т + 1
дгУП /гр + Т „ -АтЫ„ /гр
— I
дФ дГ
т +1
Уп
/т +1 — /т 'гр 'гр
ь ;
В„=АтГдЩ
п 1 ь V дГ
т +1
п-1
дФ дГ
,, т+1
Уп—1
/ т +1 - / т 'гр 'гр
ь ;
С _ Фт/т + Фт+1/т+1 Ат | щ-т+1 ^^т+1 I + А +
+
ь
т +1 т гр гр | т+1
ь
Фт+1 — Фт+1 ^ | + а гт+1 —в Гт+1
п у п п—1 у п—1 п п п—1 п—1
В области II
Ап _
гч!) > -гр+1 ["—(г уг 1
/т +1 — /т
ь ;
л +1 ^m+1 /т+1 /т
Вп—1 ^дИ — ГСФЛ (1 — ^п—1
ь V дГ уп—х \дУ у п
с п _ —Фт (ь2 —1т)+фт1 (ь2—с)—т+—щ Ё1 )+а тг1 (ь2—с)+
/т+1 /т ^ Л
+ П. — П. ( фт-1 (1 — )— фт+1 (1 — 1)] + а — В ут+1
ь I п \ у п / п—1 \ у п—1 / I п п п—1 п—1
Граничные условия (15), (24) для системы уравнений (28) в разностной форме можно привести к виду
Л/Г1 _ С1; в^Г1 _ сы. (36)
Здесь Л1 - прямоугольная матрица размерности 2 х 3, С1 - вектор размерности 2, Вн - вектор-строка 1 х 3, Сн - скаляр. На границе КС и КО записывается условие сопряжения в виде
Ут_ Г™+1 + АГ, АГ _ [0,0,—Ар].
(37)
п
п
П
П
Положение границы раздела областей I и II определяется из условия постоянства пористости в процессе работы. В момент времени да+1 в ячейках сетки определяются диаметры гранул. Затем, исходя из условия постоянной пористости, определяются объёмы ячейки сетки, занятыми гранулами и расстояние, на которое перемещается граница ячейки. Эта процедура выполняется, начиная с последней ячейки сетки. Таким образом, по
окончании определяется новое положение границы между областями I и II /,т>+1 (см. рис.3).
Для решения краевой задачи (35), (36) применялся метод ортогональной прогонки [4]. Уравнения теплопроводности [12, 23, 25] аппроксимируются неявными разностными схемами и решаются трёхточечными скалярными прогонками [4]. Уравнения неразрывности компонентов газовой смеси в КО преобразуются аналогично (28) и аппроксимируются неявными схемами бегущего счёта. Расчёты выполнялись с числом Куранта 15.25, определённым по условию
к = (с + и)та\ Ат
К '
где с - скорость звука.
узлы сетки по дл ине
т=0,0026 с---т=0,036 с.....т=1,06 с---т=4,81 с
Рис.4. Изменение температуры по длине НТГГ
На рис. 4 показано изменение температуры по длине НТГГ в различные моменты времени. Момент времени т=0,026 с соответствует завершению горения воспламенителя. На графике хорошо заметна область I, образовавшаяся за счёт смещения гранул газовым потоком в процессе разложения. Температура потока в этой области практически постоянна. Положение границы между областями смещается с течением времени. К моменту т=4,81 с граница переместилась из 16-го в 33-й узел сетки.
На рис.5. показано изменение расхода газовой смеси по длине НТГГ в различные моменты времени. В момент времени т=0,0026 с видно завершение волнового процесса вызванного заполнением камеры сгорания продуктами сгорания воспламенителя.
»
л н и о я н о
1,4
1,2
-
»
ч о и и
ев &
0,8
0,6
0,4
0,2
' / /
11
16
41
46
21 26 31 36 узлы сетки но длине
т=0,0026 с---т=0,036 с.....т=1,06 с---т=4,81 с
51
56
61 66
Рис.5. Изменение расхода но длине НТГГ
20
15
10
/ ^ * \
/ / / .---- / ✓ / / \ » Ч \ Ч \ ч
/ у — •V. «ч.
11
16
21
46
51
26 31 36 41 узлыы сет ки но длине
т=0,0026 с---т=0,036 с.....т=1,06 с---т=4,81 с
56
61
66
Рис.6. Изменение нлотности газовой смеси но длине НТГГ
На рис. 6, 7 представлены изменение плотности и давления по длине НТГГ в различные моменты времени. Давление в КС практически постоянно по длине. Затем, при переходе к КО, происходит резкое падение давления на местном гидравлическом сопротивлении, которым является отверстие в стенке КС. Далее, в области I давление меняется незначительно, поскольку в данной области происходит течение газа в трубе постоянного сечения. В области II потери давления резко увеличиваются, поскольку газ протекает через слой гранул.
1
0
1
6
5
0
1
6
60
50
40
& ' 30 о
=
ц 20
10
0
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66
узлы сетки но длине
-т=0,0026 с---т=0,036 с.....т=1,06 с---т=4,81 c
Рис.7. Изменение давления но длине НТГГ
Опыт расчётов показал высокую вычислительную эффективность предлагаемого метода. В среднем на одном шаге по времени требуется 4.. .10 итераций по нелинейностям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аэров М.Э, Тодес О.М., Наринский Д.А.. Аппараты со стационарным зернистым слоем: гидравлические и тепловые основы работы. Л. : Химия, 1979. 176 с.
2. Липанов А.М., Бобрышев В.П., Алиев А.В., Спиридонов Ф.Ф., Лисица В.Д. Численный эксперимент в теории РДТТ. Екатеринбург : ИПМ УИФ "Наука", 1994. 303 с.
3. Кириллов В.В. О решении задач динамики в областях с перемещающимися границами // Труды XXXVIII НТК «Динамика теплофизических процессов». Челябинск : ЧПИ, 1986. С. 116-127.
4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, 1978. 601 с.
THE ESTIMATION OF WORKING PROCESSES IN LOW TEMPERATURE GAS GENERATOR TAKING INTO ACCOUNT REFRIGERANT GRANULE MOTION
Kirillov V.V.
South Ural State University, Chelyabinsk, Russia
SUMMARY. The heat and mass transfer mathematical model in the low temperature gas generator is offer. The numerical method with implicit finite difference scheme with shift borders is offer.
KEYWORDS: solid propellant, cooling chamber, coolant, heat and mass transfer, finite difference scheme, computation method.
Кириллов Валерий Владимирович, кандидат технических наук, доцент ЮУрГУ, тел. (351)237-46-66, e-mail: valery@chel.surnet.ru
■
•
* » ,
1 i 1
1
" "s* «•ч ^
\ \ \ ----- 's, ' S ч \ Ч
----- ---- — —. ^
