CC BY
32
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА
УДК 621.313 ББК 31.291
А. А. АФАНАСЬЕВ, Д.И. АХМЕТЗЯНОВ, В. А. ЧИХНЯЕВ
РАСЧЁТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Ключевые слова: конформное отображение, верхняя полуплоскость, бесконечная полоса, токовые шины прямоугольного сечения, зеркальные отображения источников магнитного поля.
Постоянные магниты, расположенные на поверхности ярма ротора, заменяются системой эквивалентных токовых шин прямоугольного сечения, магнитное поле которых в открытом пространстве определяется по известным классическим формулам. Влияние ферромагнитных сердечников на магнитное поле в воздушном зазоре учитывается действием зеркальных образов физических источников поля относительно поверхностей сердечников, ограничивающих зубчатый воздушный зазор. Зеркальные образы проводников с током легко находятся при гладкой поверхности (плоской или цилиндрической) границ воздушного зазора. С этой целью зубчатый воздушный зазор конформно отображается на бесконечную полосу с прямолинейными границами.
A. AFANASYEV, D. AKHMETZYАNOV, V. CHIKHNYAEV COMPUTATION OF MAGNETOELECTRIC MOTOR MAGNETIC FIELD BY MIRRORING MAPPING METHOD
Key words: conformal mapping, upper plane, infinite strip, rectangular buses, mirror images of magnetic field sources.
Permanent magnets located on the surface of the rotor yoke are replaced by the system of equivalent rectangular buses whose magnetic field in open space is determined by known classical formulas. Influence offerromagnetic cores on magnetic field in air gap is considered by the action of mirror images of field physical sources relative to the surface of the cores that limit the toothed air gap. Mirror images of current bearing conductors are easily found under the smooth surface (plane or cylindrical) of the air gap borders. For this purpose, the toothed air gap is conformally mapped onto the infinite strip with rectilinear borders.
Постановка задачи. Электрические двигатели с постоянными магнитами находят широкое применение в промышленности, на транспорте, в бытовой технике. Поэтому вопросы расчёта, оптимизации функциональных свойств этих двигателей заслуживают внимания.
В статье рассматривается решение полевой задачи аналитическими средствами на основе конформных отображений зубчатого воздушного зазора на канонические области (верхнюю полуплоскость и бесконечную полосу) и зеркальных образов источников магнитного поля относительно гладких границ бесконечной полосы.
Токовые шины постоянных магнитов. Микроскопические связанные молекулярные токи (амперовы токи) в теле постоянного магнита, компенсируя друг друга, вызывают появление поверхностных токов [3, 5, 6]. В идеальной версии эти токи протекают в бесконечно тонком поверхностном слое.
Для плоскопараллельного магнитного поля призматического магнита с прямоугольным поперечным сечением можно полагать, что это поле создаёт-
ся встречными токами I двух параллельных шин, имеющих высоту 2Ь = Нм, ширину а (Нм - высота магнита в направлении его намагниченности) и находящихся на расстоянии ширины магнита Ьм (рис. 1, а).
Рис. 1. Поверхностные токи призматического магнита с прямоугольным поперечным сечением, протекающие по эквивалентным шинам (а); поверхностные токи в местах стыка разнополюсных магнитов (б); кривая МДС магнитов индуктора (в)
Магнитное поле прямоугольной шины в открытом пространстве. Прямоугольная шина с током I (рис. 2), расположенная в открытом пространстве, создает магнитное поле, координатные составляющие напряжённости которого определяются по следующим формулам [3, 7]:
н, =- 1
Ну =-
8я аЬ I
8я аЬ
Г2 л
(у + Ь)(ф1 -ф 2) - (у - Ь)(ф 3 -ф 4) + (х + а)1п--(х - а)1п—
Г4 Гз _
(х + а)(ф2 -ф4)-(х-а)(ф1 -ф3) + (у + Ь)1п—-(у-Ь)1п—
Г Г2 J
(1)
(2)
где фк - угол между положительным направлением оси х и отрезком, соединяющим точку наблюдения Р(х, у) с к-й вершиной прямоугольной шины (к = 1, ..., 4); гк - длины указанных отрезков.
Призматические магниты закрепляются на ярме ротора магнитоэлектрической машины. На границе полюсных зон имеются места стыка разнополяр-ных магнитов (рис. 1, б). Место стыка, как источник магнитного поля, может быть представлено эквивалентной шиной с током 21. Эта шина и её зеркальные образы в стали статора и ротора (рис. 3) будут одним из источников магнитного поля в воздушном зазоре, находящемся в открытом пространстве.
Рассмотрение зеркальных образов исходной шины в предложенном виде предполагает, что магнитная проницаемость стальных сердечников электрической машины равна бесконечности1.
Рис. 2. Прямоугольная шина в открытом пространстве
Рис. 3. Шина с током 21, соответствующая стыку разнополюсных магнитов, и её зеркальные образы в стали статора и ротора
Варианты двойных конформных отображений. Анализ магнитного поля в зубчатом воздушном зазоре удобно производить, конформно преобразовав этот физический воздушный зазор, расположенный в плоскости г, в виртуальную бесконечную полосу с гладкими границами, расположенную в комплексной плоскости 5.
Такое преобразование производится в два этапа. Первый этап состоит в конформном преобразовании реального воздушного зазора плоскости г на верхнюю комплексную плоскость г. На втором этапе верхняя комплексная плоскость г конформно отображается в бесконечную гладкую полосу плоскости 5.
При представлении поперечного разреза машины с бесконечно большим радиусом воздушный зазор становится плоским.
Конформное соответствие немагнитного зубчатого зазора с отсутствием кривизны в физической плоскости г с верхней комплексной полуплоскостью г задается дифференциальным уравнением Кристоффеля - Шварца
Шг
= ). (3)
ш
Верхняя комплексная плоскость г может быть преобразована в бесконечную горизонтальную полосу 5 = х + шириной Нм + 5 двумя различными
1 При учёте конечного значения магнитной проницаемости ц стали величина физического тока
и _ 1
I в его образе уменьшится до значения £._I . Поскольку в стальных сердечниках статора и
ц + 1
ротора ц >> 1, то погрешность допущения ц = ж будет пренебрежимо мала [1].
способами в зависимости от особенностей конформного преобразования первого этапа.
Рис. 4. Два варианта конформного преобразования зубчатой полосы плоскости г на верхнюю полуплоскость г
Возможны два способа такого преобразования. Первый способ предполагает, что крайние левые и правые точки зубчатой полосы плоскости г с бесконечно большими значениями (г = ±да) с помощью уравнения (3) преобразуются на первом этапе, соответственно, в точки г = ±1 (рис. 4, а, б). Интервал вещественной оси плоскости г -1 < г < 1 будет соответствовать поверхности ротора, а остальные точки этой оси - поверхности статора. Тогда преобразование верхней комплексной плоскости г в полосу 5 задается уравнением
, = аЛ(0 = ^ 1п!±! . (4)
% % 1 - г
Второй способ предполагает, что уравнение (3) преобразует на первом этапе точку г = -да в точку г = 0, а точку г = +да - в точку г = +да (рис. 4, а, в). В этом случае положительная часть вещественной оси плоскости г будет соответствовать ротору, а отрицательная - статору. Переход от верхней комплексной плоскости г к полосе 5 задается уравнением
, . К +5
5 = ! + 7С =-1п г . (5)
к
Теперь рассмотрим конформные отображения первого вида, когда ищем постоянные в дифференциальном уравнении Кристоффеля - Шварца (3) для относительно большего числа пазов. Обратимся к многоугольнику с тремя пазами (рис. 5).
Г/ / ^ 0 с с
а- =о <1] = 1 а\ а\ а} о} X
]Г,
-си -а4 -о3 -л,
А
©
а2 съ а,
е
Рис. 5. Конформное отображение воздушного зазора с тремя пазами на верхнюю полуплоскость
Конформное отображение половины этого многоугольника справа от мнимой оси комплексной плоскости г на верхнюю половину плоскости у задаётся дифференциальным уравнением
^ = с 1 /(у- др^- ар(у- а 5) (6)
йу (у- 1)(у — а32) V у , ()
в котором четыре постоянных а2 , у = 2,...,5 и масштабный коэффициент С подлежат определению. Для трех остальных постоянных примем значения: а)2 = 1, а62 = да, а| = 0 .
Окрестность точки а| с бесконечно большим значением можем задать равенством
у = Яеуе, (7)
в котором Я ^ да. Подставляя в уравнение (6) очевидное выражение йу = у ]йе и формулу (7), получим
йг = Суёе .
При интегрировании последнего выражения в плоскости у по бесконечно большому радиусу, когда переменная е изменяется от нуля до п, видим из рис. 5, что величина г в одноименной плоскости изменится на значение
(-), т.е. имеем -= С/% . Следовательно, для масштабного коэффициента С справедливо выражение
С = . (8)
2%
Неизвестные четыре постоянных а/ , / = 2,... ,5 найдутся из следующих
четырёх уравнений:
Ьп
2(а| -1)
7(а22 - 1)(а42 - 1)(а52 -1) = Им +5 , (9)
'(а32 -а2)(а42 -а3)(аЬаз) = 2(а| -1), (10)
а32
Д Цу)|йу = Ьг, (11)
1 а! 3
|л1(у)^у- |Л2(у)йу + 2Д = -ЬП + Ьг, (12)
о 1 2
где
|ад|=Ья
2% |(у- 1)(у-а2)| л1(у) = |цу)| -
(у- а2)(у- а2)(у- а52)
у
А А .
лМ |у- Г
Л1 (1) = - Д (программное присвоение); Л1 (0) = -В2 (программное присвоение);
А = 2%; А = 2%|7-Цл/|(1 -а2)(1 -а2)(1 -а2)|;
2% а32 2% |1 -а||
Л2(у) = Щу)| -~г~~{ ; Л2(1) = 0 (программное присвоение). г -1
Первые два уравнения (9), (10) получены в результате обхода точек V = 1 и у = а| по полуокружности с бесконечно малым радиусом в в направлении часовой стрелки. Например, имеем
у = 1 + в/0, йу = в/0/й0 . (13)
Подставляя равенства (13) с радиусом в, стремящимся к нулю, в исходное дифференциальное уравнение (6), получим после его интегрирования с интервалом изменения угла 0, равным (-%), зависимость
/5=^тт-^л/а - а2 )(1 - «42 )(1 - а2)/(-%), 2% (1 - а2)
которая легко приводится к виду равенства (9). Аналогичным образом было получено и уравнение (10).
а
1
Аналитические исследования произведём применительно к магнитоэлектрическим двигателям однофазного исполнения, характеристики которых известны из опыта и данных численного моделирования [2].
Электродвигатель с 12 зубцовыми катушками имеет следующие данные: Нм + 5 = 7,5-10-3 м, ЬП = 8,5-10-3 м, Ьг = 16,9-10-3 м. В результат решения уравнений (9)-(12) получим для этого двигателя: а| = 1,0000599699, а32 = 1,00017651254, а2 = 1,000520287, а52 = 4,1137201400.
После подстановки выражения V = (2 в формулу (6) найдем дифференциальное уравнение Кристоффеля - Шварца для конформного отображения всего многоугольника в плоскости г на верхнюю полуплоскость t
± = ) = ^ 2 1 ^2 _ а22)(?2 - а2))^2 - а2). (14)
М % ( t2 _ 1)( t2 _ а32)
Видим, что в этом выражении формально присутствует восемь постоянных (±а;), ] = 2, ..., 6, из которых только половина связана с расчётным определением.
Расчёт магнитного поля в виртуальной бесконечной полосе. При выбранной структуре постоянных в дифференциальном уравнении Кристоффеля - Шварца (6) конформное преобразование верхней полуплоскости t на бесконечную полосу Я будет задаваться уравнением
. Им +5 1 +t
я = т + ]а =-1п-. (15)
% 1 _ t
Причём верхняя граница полосы будет соответствовать поверхности статора, нижняя - поверхности ротора.
Формулы (1) и (2) позволяют получить выражения для радиальной Ба и тангенциальной Бх составляющих магнитной индукции в бесконечной полосе я, которые вызваны эквивалентной магнитной шиной с током I = 2НсБИм (образом шины стыка соседних магнитов) и бесконечным количеством её зеркальных образов в стали ротора и статора. Эти выражения применительно к точкам наблюдения на верхней границе полосы (с = Ь + 5 = Им + 5 ) будут иметь следующий вид:
Ба (т, а = Ь +5) =
2Ь(х+аЯ)
2%аЯЬ «=г _ (т _ ая)
^ Ц (т+ая)
аг^-
(т+аЯ )2 +[2Ь«+5(2« -1)][2Ь(« _1)+5(2«-1)]_
2Ь(т_ аЯ)
агС^-
(т _ аЯ )2 + [2Ь «+5(2« _ 1)] [2Ь(« -1)+5(2« _ 1)] _
(16)
+ [2Ьп+5(2п_1)]1п (Т+ая)2 +[2Ьп+5(2п_1)]2 У(т_ аЯ )2 +[2Ьп+5(2« _1)]2
_[2Ь (п -1)+5(2« _1)]1п
(т+аЯ)2 +[2Ь(«-1)+5(2«-1)]2 ^
У(т-аЯ )2 +[2Ь («-1)+5(2«-1)]
Бт (т, с = Ь + 5) =
ЦсI ^
4%а.Ь «=1
[2Ьп + 5(2« -1)]
агс^
arctg
2а. [2Ьп + 5(2п -1)] т2 - а2 +[2Ьп + 5(2п -1)]2 2а. [2Ьп + 5(2п -1)]
т2 - а2 +[2Ьп + 5(2п -1)]2 _
+ (^ + а.)
1п.
- (^ - а.)
1п
(т + а. )2 +[2Ьп + 5(2п -1)]2
■у (т + а. )2 + [2Ь(п - 1) + 5(2п -1)]2
(т + а. )2 +[2Ь п + 5(2п -1)]2
п (т + а. )2 +[2Ь(п -1) + 5(2п -1)]
(т- а. )2 +[2Ьп + 5(2п -1)]2
^(т- а. )2 + [2Ь(п - 1) + 5(2п -1)]2
(т- а. )2 +[2Ьп- + 5(2п -1)]2
(17)
(т - а.)2 + [2Ь(п -1) + 5(2п -1)]2
= с,
где а. - ширина шины одного магнита в комплексной плоскости .
В формуле (16) сумма при п = 1 дает значение магнитной индукции на верхней границе полосы . обусловленное двумя ближайшими к ней токовыми шинами (рис. 3), центры которых отстоят от верхней границы на расстоянии (Ь + 5).
Учитывая радиальные размеры ярем сердечников и интенсивное уменьшение слагаемых с большим значением п, очевидно, в суммах (16), (17) можно верхнее значение п взять равным 2.
Нулевое значение тангенциальной составляющей магнитной индукции на верхней границе бесконечной полосы согласно формуле (17) соответствует и физической картине магнитного поля, поскольку центры эквивалентных шин, имеющие координаты
с = ±(Ь + 5)(2п-1), п = 1,2,...<», располагаются, как видно из рис. 3, симметрично относительно верхней границы этой полосы. Формула (17) подтверждает адекватность математического описания магнитного поля в полосе.
Две аналогичные шины, имеющие ток I противоположного знака и расположенные левей и правей исходной шины на расстоянии полюсного деления т., будут создавать свои радиальные магнитные поля, которые складываются с полями (16). Эти поля также можно рассчитать по формуле (16), приняв в ней вместо переменной т переменные (т + т.) и (т - т.), соответственно, где
Нм +5 1 + т т . =-1п-
, (18) % 1 -тt
Размер полюсного деления т в плоскости ^ находится из интегрального равенства
=Ьм = ) М.
(19)
По формулам, аналогичным (18), (19), будет определяться толщина токовой шины одного магнита в плоскостях t и ,
а, =
Им + 5, 1 + at , ч, , м 1п---, аг = ЦАД/)М .
, ....... (20)
% 1 - а( 0
Для учёта влияния полюсных зон соседних периодов на рассматриваемый период можно к найденному полю добавить поля шин, соответствующих сдвигам на ±т,к (к = 2, 3, ..).
На рис. 6, а, б по формуле (16) построены кривые магнитных индукций на верхней границе бесконечной полосы для следующих параметров: I = 2НсБИм = 2-3 74-103-8-10-3 = 5 9 84 А; 5 = 0,5-10-3 м; Ь = Им = 8-10-3
аг = 0,167-10-3 м; at = 15-10-3 м; а, = 0,081-10-3 м; т = Ьм = 25,7-10
т = 98,2-10-3 м; т, = 12,7-10-3 м.
м; м;
4ЛП Тл1
0,5
-0,5
Г
1
Щг), Тл
1 т_
ъ
б
Рис. 6. Магнитная индукция на верхней границе виртуальной полосы при числе магнитных периодов к = 2: а - при « = 2, где « - количество пар вертикальных зеркально симметричных шин;
б - при « = 200
В бесконечной полосе сечения эквивалентных шин с током будут иметь конфигурацию, отличную от прямоугольной. При учете этого искажения можно прямоугольные шины заменить совокупностью линейных токов [4], магнитные поля которых и их зеркальных образов в стали статора и ротора легко находятся.
Расчёт магнитного поля в физической зубчатой бесконечной полосе. Магнитная индукция на поверхности статора (в плоскости г) будет равна
где
Бг = Вх + ]Бу = Ба (т, а = Ь + 5)
ёг ёг М ) М ёя М ёя ёя
Из формулы (15) имеем
Л ё,,
2(Им + 5)
(1 -12).
(21) (22)
(23)
х
г
а
п
Тогда с учётом выражения (14) получим
^ = = " 2 1 2 - a¡)(t2 - а2))^2 - а|), (24)
ds 2(пм +5)(t2 - aз2)
где значения t берутся из интервалов [-да < t < -1]; [1 < t < +да].
Для выбранного вещественного значения t соответствующие значения s и г находятся, соответственно, из равенства (15) и выражения
t
г = х + ]у = У(5 + Нм) + ¡Х(ы)dм , (25)
±(1+в)
где Х(п) берётся из формулы (14) и, принимая во внимание значения постоянных ак (к = 2, 3, 4, 5) в ней, следует принять в = 10-6.
Составляющие магнитной индукции находились в программе Mathcad по формулам
'у(х) = ' '(х)=Д. «ЦЦ. (26)
п ^ — е 8+h„ — 1
где t =-, х(х) ^^(и^и .
Т"-Г в
— еs+hм +1
В», Тл
-2-3-
В„(*),Тл
Т7
3
-з1--]
б
х_ Тт
Рис. 7. Радиальная составляющая магнитной индукции на статоре (на верхней границе физической зубчатой полосы) при числе магнитных периодов к = 2: а - при п = 2, где п - количество пар вертикальных зеркально симметричных шин;
б - при п = 200
На рис. 7, а, б построены кривые радиальных магнитных индукций на поверхности статорного сердечника в физической плоскости г. Видим, что на участках этой поверхности, принадлежащих пазам, радиальная составляющая
а
магнитной индукции Ву(х) равна нулю: магнитный поток на таких участках замыкается на стенки пазов, формируя тангенциальные составляющие магнитной индукции Вх(х), которые показаны на рис. 8. Отметим также всплески радиальных и тангенциальных составляющих магнитной индукции на наружных углах пазов, достигающих значений до 3 Тл.
В.О), Тл
2 I О -1
-2 -3
Вт(*),Тл з 2 1
О -I -2
~-1 0 1 Х_
ъ
б
Рис. 8. Тангенциальная составляющая магнитной индукции на статоре (на верхней границе физической зубчатой полосы) при числе магнитных периодов к = 2: а - при п = 2, где п - количество пар вертикальных зеркально симметричных шин;
б - при п = 200
1
А
1 г
1 0 1 X
а
J
1 f
Выводы. 1. Конформное отображение зубчатой полосы воздушного зазора на бесконечную полосу с прямолинейными границами позволяет определить магнитное поле в прямолинейной полосе в предположении, что его источники (физические проводники с токами и их зеркальные образы относительно прямолинейных границ) расположены в открытом пространстве. Расчёт магнитного поля в этом случае производится по известным классическим формулам.
2. Пересчет магнитного поля применительно к физической зубчатой полосе производится с помощью правой части X1(t) дифференциального уравнения Кри-dz
стоффеля - Шварца — = (t) двойного конформного преобразования.
ds
Литература
1. Афанасьев А.А. Математическая модель постоянного магнита в воздушном зазоре электрической машины // Электричество. 2013. № 10. С. 42-47.
2. Афанасьев А.А., Белов В.В., Гарифуллин М.Ф., Матвеев Д.К., Мочалов Д.О., Николаев А.В., Чихняев В.А. Однофазные вентильные электродвигатели для системы охлаждения автомобильного мотора // Электричество. 2010. № 6. С. 35-38.
3. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчёт электрических и магнитных полей: пер. с англ. М.: Энергия, 1970. 376 с.
4. Иванов-Смоленский А.В., Абрамкин Ю.В., Власов А.И., Кузнецов В.А. Универсальный метод расчёта электромагнитных процессов в электрических машинах / под ред. А.В. Иванова-Смоленского. М.: Энергоатомиздат, 1986. 216 с.
5. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.
6. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.
7. Штафль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах: пер. с чеш. М.; Л.: Энергия, 1966. 200 с.
References
1. Afanasyev A. A. Matematicheskaya model postoyannogo magnita v vozdushnom zazore elek-tricheskoi mashiny [Mathematical model of permanent magnet in air gap of electrical machine]. Elek-trichestvo [Electricity], 2013, no. 10, pp. 42-47.
2. Afanasyev A.A., Belov V.V., Garifullin M.F., Matveev D.K., Mochalov D.O., Nikolaev A.V., Chikhnyaev V.A. Odnofaznye ventilnye elektrodvigateli dlya sistemy okhlazhdeniya avtomobil-nogo motora [Single phase brushless DC motors for cooling system of car engine]. Elektrichestvo [Electricity], 2010, no. 6, pp. 35-38.
3. Bins K.J., Lawrensen P.J. Analysis and computation of electric and magnetic field problems, Pergamon Press, Oxford, 1963. 333 p. (Russ. ed.: Bins K., Laurenson P. Analiz i raschet elektri-cheskikh i magnitnykh polei. Moscow, Energiya Publ., 1970. 376 p.).
4. Ivanov-Smolenskii A.V., Abramkin Yu.V., Vlasov A.I., Kuznetsov V.A. Universalnyi metod rascheta elektromagnitnykh protsessov v elektricheskikh mashinakh [Universal method of computation of electromagnetic processes in electrical machines ]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1986, 216 p.
5. Polivanov K.M. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Ch. 3. Teoriya elektromagnitnogo polya [Theoretical Foundations of Electrical Engineering. Part 3. The theory of the electromagnetic field]. Moscow, Energiya Publ., 1969, 352 p.
6. Tamm I.E. Osnovy teorii elektrichestva [Fundamentals of the theory of electricity]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 504 p.
7. Shtafl M. Elektrodinamicheskie zadachi v elektricheskikh mashinakh i transformatorakh [Electrodynamic problems in electrical machines and transformers]. Moscow, Leningrad, Energiya Publ., 1966, 200 p.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры управления и информатики в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).
AFANASYEV ALEXANDER - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Management and Informatics in Technical Systems, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
АХМЕТЗЯНОВ ДИНАР ИЛНУРОВИЧ - аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (kray1@list.ru).
AKHMETZYANOV DINAR - Post-Graduate Student, Industrial Enterprises Power Supply Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ЧИХНЯЕВ ВИКТОР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры систем автоматизированного управления электроприводом, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (chih4242@mail.ru).
CHIKHNYAEV VIKTOR - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Electric Drivers and Machines Control Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
