CC BY
53
УДК 621.313 ББК 31.261
A. А. АФАНАСЬЕВ, В.А. ВАТКИН, ВС. ГЕНИН,
B. В. ЕФИМОВ, В.А. НЕСТЕРИН, Р.А. РОМАНОВ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ БЕСПАЗОВОГО МИКРОДВИГАТЕЛЯ, НЕ ИМЕЮЩЕГО СТАТОРНОГО СЕРДЕЧНИКА
Ключевые слова: граничные условия, стыковочные постоянные, магнитные проницаемости, бесконечные ряды, плотность тока, вихревая компонента поля.
На базе метода разделения переменных Фурье получена двухмерная аналитическая модель беспазового вентильного двигателя с постоянными магнитами. В общую расчетную область модели входят как участки с постоянным магнитом, немагнитными зазорами, так и ферромагнитное ярмо сердечника ротора со своей магнитной проницаемостью. Намагниченность магнитов считается заданной и выражается тригонометрическим рядом с известными коэффициентами. Магнитное поле обмотки статора представлено как потенциальной, так и дополнительной составляющей, учитывающей вихревой характер поля в обмоточном слое. Источником потенциального магнитного поля статора является бесконечно тонкий магнитный лист, расположенный на внешней стороне токового слоя обмотки статора. В качестве потенциала магнитного листа выступает МДС обмотки статора, представленная тригонометрическим рядом.
Метод разделения переменных Фурье позволяет получить математическую модель беспазового магнитоэлектрического вентильного двигателя с учётом реальной геометрии высокоэнергетических постоянных магнитов и конечной магнитной проницаемости ярем сердечников статора и ротора. Эта двухмерная задача была решена К.М. Поливановым применительно к расчёту магнитного поля намагниченной ленты [3]. Полученное решение соответствует устройству без статорной обмотки.
Расчётная схема индуктора беспазового магнитоэлектрического вентильного двигателя, содержащая три среды, показана на рис. 1.
У 3
Iм 2 ' м h„\M
1 O x
Рис. 1. Расчётная схема задачи с тремя средами:
1 - ферромагнитное ярмо ротора; 2 - постоянные магниты с намагниченностью М;
3 - воздушная среда
Решаем задачу при следующих допущениях:
1) ферромагнитные среды линейны (их магнитные проницаемости постоянны);
2) вектор намагниченности магнитов имеет только одну компоненту
M = My;
3) справедлив принцип суперпозиции магнитных полей магнитов ротора (индуктора) и токов обмотки статора.
1. Расчёт магнитного поля магнитов ротора
1.1. Исходные уравнения. Рассматриваемое магнитное поле потенциально и удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа V2u = 0, которое будем решать методом разделения переменных Фурье отдельно для каждой из трёх названных выше сред, стыкуя их граничные значения путем вычисления соответствующих постоянных.
Ищем скалярные магнитные потенциалы un(x, у) и радиальные составляющие магнитной индукции Bny(x, у) в средах (n = 1, 2, 3) в следующем виде:
щ (x, у) = Aeka cos kax,
Cu
< Bу (x, у) = -ц0^р гг1 = -ЦоМ'рkaAeka cos kax, (1)
cy
_у < 0,
u2( x, у) = (Beka + Ce-ka )cos kax,
B2у (X, у) = Цо ^-~у + М* C0S kax j = (2)
= ц0 (- kaBeka + kaCe-ka )cos kax + ц0Мук cos kax,
0 < у < К,
u3 (x, у) = De-ka cos kax,
Cu
< B3у (x, у) = -ц0 -су1 = Ц0kaDecos kx, (3)
К < у < «,
где цр - относительная магнитная проницаемость ярма ферромагнитного сер-%
дечника ротора; a = —.
х
Предполагается, что зависимость намагниченности М = M(x) магнитов ротора известна и может быть представлена тригонометрическим рядом1
ад
М(x) = ^Мук cos kax . (4)
k=1
1.2. Расчёт постоянных. Входящие в уравнения (1)-(4) четыре постоянных A, B, C, D находим из следующих четырёх граничных условий:
u1 (x,0) = u2(x,0),
A = B + C , (5)
B1y (x,0) = B2 у (x,0),
1 Намагниченность магнита можно представить равенством М = Мг + kH. Тогда выражение для магнитной индукции имеет вид: B = ц0[Мг + (1 + kH)H]. У высокоэнергетических магнитов относительная магнитная проницаемость магнитов (1 + kH) близка к единице (коэффициент восприимчивости kH « 0). Поэтому намагниченность М в формуле (4) можно принять равной остаточной намагниченности Мг.
-ЦрА = -В + С + тк , u2(x,hM) = и3(х,hM), Bs + Cs-1 = Ds-1,
B2у (X, hM ) = B3у (X, hM ),
- Bs + Cs-1 + m, = Ds-1.
(6)
(7)
(8)
M
где mk = -
yk
ka
s = ekahM:
s-1 = e-kahM ; ц р
относительная магнитная прони-
цаемость ярма ротора.
Из решения системы четырёх алгебраических уравнений (5)-(8) находим искомые постоянные
где а =
1 -ц р
1 + ц р
A =—(s 1 -1 + as 1 -a), 2 (9)
B mKs~' B 2 • (10)
m 1 C =—— (-1 + as 1 -a), 2 (11)
m 1 D = —— (-1 + as 1 -a + s), 2 (12)
для ярма сердечника ротора относительную = ад, то постоянные (9)-(12) будут равны магнитную
o' II (13)
B = -С = m^ s-1, 2 (14)
„ m -к D = —!L (s-s ). (15)
1.3. Магнитная индукция в средах 2 и 3. Применительно к значениям постоянных (13)-(15) будем иметь следующие выражения для магнитной индукции в среде 3 фм < у < ад), создаваемой магнитами ротора:
ди ад
B3X (х, у) = -ц0 —3 = ц0 Ё kaDe-fcy sin kax = дх k=1
ад
= Цо ЁMykSh(kahM )e-hay sin kax,
k=1
ди ад
B!y (x, у) = -Ц0 —3 = Цо Ё ka(De-fcy) coskax =
(16)
ду
k=1
= Цо XMykSh(kahM )e ka coskax.
По формулам (16), (17) рассчитаны значения магнитной индукции в немагнитной среде 3 микродвигателя1, показанные на рис. 2. Видим, что максимум радиальной составляющей магнитной индукции на окружности, по которой располагаются проводники обмотки статора, составляет 0,3 Тл. Максимум тангенциальной индукции, приходящийся на межполюсную ось, равен 0,5 Тл.
„ 0.6 By, '
ТЛ
03
од;
о
-0,15
-оз
-0,45
-0,6
1 V
* 4 * »
Л,1 **4 з\\ /ъ
.j
\/% л
\ \ /
Г v‘\i
Яг,
Тл
0,5
-0,5
-1
0 1.1 2.2 33 4,4
-V, мм
Рис. 2. Магнитная индукция в воздушном зазоре.
Составляющие по оси у: 1 - на поверхности магнитов;
2 - на внутренней поверхности каркаса обмотки (у = 0,55 мм);
3- на окружности с проводниками обмотки (у = 0,68 мм). Составляющие по оси х: 4 - на внутренней поверхности каркаса обмотки (у = 0,55 мм); 5 - на окружности с проводниками обмотки (у = 0,68 мм)
Используя значения постоянных (13)-(15), можно по формулам (2) найти также выражения для магнитной индукции в среде 2 (0 ^ у ^ К)
ды
Врх (х, у) = = Мз ЁMvke каК shkay sin kax
Щу(X у) = Ц 0
дх k=1
( ды ^
—2 + ЁMvk cos kax
ду k= *
(18)
: Ц0 ЁMyk (- e kah" chko-у + 1)cos kax. (19)
k=1
2. Расчёт магнитного поля обмотки статора
Магнитное поле Hc, созданное током обмотки статора, является суммой потенциального H p и дополнительного H0 магнитных полей [2]
Hc = Hp + H0. (20)
1 Макетный образец магнитоэлектрического микродвигателя, у которого отсутствует ферро-
магнитный статорный сердечник, имеет следующие технические данные: диаметр ротора
1,4 мм; длина ротора 8 мм; высота магнита 0,45 мм; диаметр вала 0,5 мм; диаметр окружности
с проводниками обмотки статора 1,8 мм; остаточная индукция неодим-железо-борового магнита 1,08 Тл.
Вектор дополнительного поля H0 находится по несложной формуле
H 0 = } [Ad l], (21)
^0
где A - вектор плотности тока в проводниках обмотки.
Рис. 3. Немагнитные среды 2 и 3 с фазными зонами обмотки статора и ферромагнитная среда 1 ярма сердечника ротора
При взятии интеграла в формуле (21) в направлении координаты у вектор дополнительного поля H0 будет параллелен координате x , а магнитные
листы с потенциалами МДС катушек обмотки статора будут расположены на верхней границе токового слоя1 (рис. 3)
H = H0cx = д[у - (Si - h0)], (22)
где h0 - толщина медного слоя обмотки статора.
Для бесконечно тонкого магнитного листа (МДС) m фазной обмотки статора справедливо выражение для бегущих волн основной и высших гармоник [4]
m г _ 1
Fс = — ^ Fmax(2mk ±1) [sin at cos(2mk ± 1)cx + cos at sin(2mk ± 1)cxJ, (23)
2 k=o
где F
max(2mk ±1)
2/2 wk
w(2mk ±1)
n
; o = -
(2mk ± 1)p x
2.1. Расчёт потенциального магнитного поля обмотки статора. Потенциальное магнитное поле, создаваемое магнитным листом с МДС, будем находить методом разделения переменных Фурье отдельно для каждой из трёх областей на рис. 3, стыкуя их граничные значения путем вычисления соответствующих постоянных.
Вначале ищем скалярные магнитные потенциалы uk(x, у) и радиальные составляющие магнитной индукции Bky(x, у) в областях (k = 1, 2, 3), вызванные косинусной составляющей МДС в формуле (23):
F1 = Fcv cos vctx, (24)
n
где
F = mF
2
sin at; v = 2mk ± 1.
1 Для расположения дополнительного поля только в токовом слое обмотки устанавливаем на его верхней границе два магнитных листа МДС с противоположными знаками (они, очевидно, в совокупности не будут источниками магнитного поля), линейные плотности токов которых равны + H0max. Магнитный лист с плотностью (-H0max), являющийся дельта-функцией S(y - S1), при взятии интеграла (21) обнулит дополнительное поле на линии у = S1. Второй магнитный лист МДС будет источником потенциального магнитного поля обмотки статора [4].
Будем иметь
u1 (х, y) = Агвту cos vox,
Cu
< Biy (x, y) = р —-1 = pVcAievqy cos vox, (25)
Cy
_У < 0,
u2(x, y) = {B1evqy + C1e-voy )cos vox,
< B2y (x, y) = -ц0 CU2 = ц0 (-voB1evqy + voC1e-voy)cosvox, (26)
cy
0 < y <5i,
u2( x, 51) = (BjevaSl + Qe-vo5 + FCT)cosvox,
* B2y (x, 51) = ц0 (- voByvo51 + vaC1e-vaS1 )cosvox, (27)
^ y = 5h
u3 (x, y) = D1e vqy cos vox,
Cu
* B3y (x, y) = -|J,0M.C —3 = ^M^vcAe-vqy cos vox, (28)
cy
_y ^
Входящие в эти уравнения четыре постоянных A1, B1, C1, D1 находим из следующих четырёх граничных условий:
u1(x,0) = u2(x,0), A1 = B1 + C1, (29) B1y (x,0) = B2 y (x,0), - Ц р A1 = -B1 + C1, (30)
u2(x,51) = u3(x,51), B181 + C181 + Fcv = D181 , (31) B2 y ( x, 51) = B3 y ( x, 51), - B181 + C1811 + Fcv = D181 1 , (32)
vo&
где 81 = e 1 .
Уравнения, аналогичные (29)-(32), могли бы получить для синусных составляющих МДС (30)
F2 = Fsv sin vox , (33)
где
m
Fsv = — Fmaxv c°s •
Поэтому из решения системы четырёх линейных алгебраических уравнений (29)-(32) можем найти искомые постоянные, которые будут одинаково зависеть как от Fcv, так и от Fsv. Будем иметь
A =-
(1+ ц р)
-F„
cv(sv) ’
(34)
-1
Б
о-1
B = --^ F
^1 2 1 cv(sv) 5
C =-2^ F
'“''1 2 ^cv(sv) :
D =
s, - as,1 —-----— Fc
1 + Mc
cv(sV) •
(35)
(36)
(37)
Если принять для ярма сердечника ротора относительную магнитную проницаемость цр = да, то постоянные (34)-(37)
A1 = D1 = 0, (38)
B = -C = --^ F
п1 — М _ 2 cv(sv') ■
(39)
Применительно к этим значениям постоянных (38)-(39) будем иметь следующие выражения для координатных составляющих магнитной индукции в среде 2 (0 < у < 81), полученные из формул (26):
„c , . V2m ц0a w т /, -aS , . .
Bx(x,у) =-----0---1 х \kw1e S1 shaycos(at + ax) -
- sin(at)Xk
k = 1
w (2 mk-1)'
- (2 mk-1)aSx
+ cos( at) X k
k=1
w(2mk-1)
- sin(at)Xk
k=1
w (2 mk +1)
-(2 mk-1) aS
-(2 mk + 1)aS
[sin(2mk - 1)ax sh (2mk - 1)ay ] +
1 [cos(2mk - 1)ax sh(2mk - 1)ay]- (40) [sin(2mk + 1)ax sh(2mk + 1)ay]-
- cos(at)Xkw(2mk+re (2mk+1)aS1 [cos(2mk + 1)ax sh(2mk + 1)ay] I,
k=1
„c . . V2mц0a w T / -aS , . , .
By(x, у) =-------0-----1 х (kw1e S1 chay sin( a t - ax) +
n p
да
(2mk-1)aS, [cos(2mk - 1)ax ch(2mk - 1)ay]-
+ sin( a t) X kw(2mk-1)
k=1
+ cos( a t) X k
k=1
w(2mk-1)
-(2 mk-1) aS j
+ sin( a t) X kw(2mk +1)e
- (2 mk + 1) aS 1
[sin(2mk - 1)ax ch(2mk - 1)ay]+ (41) [cos(2mk + 1)ax ch (2mk + 1)ay ]-
k=1
- cos( a t) X k
k=1
w (2 mk +1)
-(2 mk + 1)aSx
[sin(2mk + 1)ax ch(2mk + 1)ay] I.
2.2. Расчёт дополнительного магнитного поля обмотки статора. В соответствии с формулой (22) для дополнительного магнитного поля катушки с переменным током (рис. 4) можно записать выражение для этого поля, создаваемого двухслойной обмоткой фазы А, не имеющей укорочения [1]:
BA ( ч 4 Т ( ч X Г 2k -1 I sin(2k - 1)ax
B0x(x,y) = ~Ц)ha (У) X cos^—n I--------— -----,
n k=1 V 3 ) 2k -1
где
Ha(У) = 3"^IW [у - (5, - A0)]sin at, Sj - ho < у < V (43)
h0 x
Формула (42) получена в результате представления зависимости #0. (х, у) на рис. 5 тригонометрическим рядом Фурье.
Рис. 4. Дополнительное магнитное поле Рис. 5. Дополнительное магнитное
в токовом сечении катушки, имеющем плотность тока А поле обмотки фазы А
При укорочении шага катушек ук на величину у = x - yk обмотку представляем состоящей из двух слоёв, сдвинутых также на эту величину.
Для нижнего, несдвинутого, слоя формула (42) остаётся в силе, только выражение (43) принимает вид
Ha(У) = Haj(У) = [у - (5, - hJ2)]sinat, Sj - hj2 < у < V (44)
h0x
Для верхнего, сдвинутого, слоя будем иметь
4 «
В0>х (., У) = - ЦОНA 2(У) X c0s
К0А± A2V
К k=1
2k -1 | sin(2k - 1)ст(х - у)
3
2k -1
(45)
где
НA2 (У) =
3л/21
w
h0x
[у - (5, - ho)]sinat; 5, - h0 < у <5, - hj2,
Нa2(у) = 3f2lw-hrsinat; 5i-ho/2<у <5,.
h0x 2
(46)
Для двух других фаз B и C дополнительное магнитное поле B^ (х, у) и B0X (х, у) будет вычисляться по формулам (42)-(46), в которых вместо х следует подставить, соответственно, f х - 3 х| и f х - 3 х 1, вместо t - (t - T/3) и
(t - 2T/3) .
Выводы. 1. На базе метода разделения переменных Фурье получена двухмерная аналитическая модель беспазового вентильного двигателя с постоянными магнитами.
2. В общую расчетную область модели входят ферромагнитные ярма сердечников статора и ротора со своими магнитными проницаемостями.
3. Магнитное поле обмотки статора представлено как потенциальной, так и дополнительной составляющей, учитывающей вихревой характер поля в обмоточном слое.
Литература
1. Афанасьев А.А. Расчёт магнитного поля проводника в пазу электрической машины // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 4. С. 14-22.
2. Иванов-Смоленский А.В., Абрамкин Ю.В., Власов А.И., Кузнецов В.А. Универсальный метод расчета электромагнитных процессов в электрических машинах / под ред. А.В. Иванова-Смоленского. М.: Энергоатомиздат, 1986. 216 с.
3. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 3. Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1969. 352 с.
4. СергеевП.С. Электрические машины. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1962. 280 с.
АФАНАСЬЕВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (afan39@mail.ru).
ВАТКИН ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, главный конструктор по электрическим машинам, АО «ЧЭАЗ», Россия, Чебоксары.
ГЕНИН ВАЛЕРИЙ СЕМЁНОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры автоматики и управления в технических системах, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.
ЕФИМОВ ВЯЧЕСЛАВ ВАЛЕРЬЕВИЧ - кандидат технических наук, главный специалист отдела электрических машин, АО «ЧЭАЗ», Россия, Чебоксары (vwye@mail.ru).
НЕСТЕРИН ВАЛЕРИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры электромеханики и технологии электротехнических производств, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.
РОМАНОВ РОМАН АРТЕМЬЕВИЧ - руководитель отдела инновационных разработок, АО «ЧЭАЗ», Россия, Чебоксары.
A. AFANASYEV, V. VATKIN, V. GENIN,
V. EFIMOV, V. NESTERIN, R. ROMANOV ANALYTICAL CALCULATION OF SLOTLESS MICROMOTOR WITHOUT STATOR CORE
Key words: boundary conditions, joining constants, magnetic permeability, infinite series, current density, vortex field component.
Two-dimensional analytical model of a slotless valve motor with permanent magnets is obtained by the Fourier variable separation method. The general calculation area of the model includes both permanent magnet sections, non-magnetic gaps, and a ferromagnetic core of the rotor with its own magnetic permeability. The magnet magnetization is considered to be given and is expressed in terms of a trigonometric sequence with known coefficients. The magnetic field of the stator winding is presented to be both potential and additional component taking into account the vortex nature of the field in the winding layer. The source of the potential magnetic plate of the stator is an infinitely thin magnetic layer located on the outer side of the current layer of the stator winding. The potential of the magnetic layer is the magnetomotive force of stator winding, represented by a trigonometric sequence.
References
1. Afanasyev A.A. Raschot magnitnogo polya provodnika v pazu elektricheskoy mashiny [Calculation of the magnetic field of the conductor in the slot of an electrical machine]. Izv. AN SSSR. Energetika i transport [News of the Academy of Sciences of the USSR. Energy and transport], 1985, no 4, p. 14-22.
2. Ivanov-Smolenskiy A.V., ed., Ivanov-Smolenskiy A.V., Abramkin Yu.V., Vlasov A.I., Kuznetsov V.A. Universal'nyy metod rascheta elektromagnitnykh protsessov v elektricheskikh mashinakh [Universal method of calculating electromagnetic processes in electrical machines]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1986, 216 p.
3. Polivanov K.M. Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki. Ch. 3. Teoriya elektromagnitnogo polya [Theoretical Foundations of Electrical Engineering. Chapter 3. The theory of the electromagnetic field]. Moscow, Energiya Publ., 1969, 352 p.
4. Sergeyev P.S. Elektricheskiye mashiny [Electrical machines]. Moscow; Leningrad, Gosenergoizdat Publ., 1962, 280 p.
AFANASYEV ALEXANDER - Doctor of Technical Sciences, Professor of Management and computer science in Technical Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (afan39@mail.ru).
VATKIN VLADIMOR - Candidate of Technical Sciences, Chief Designer of Electrical Machines, JSC «ChEAZ», Russia, Cheboksary.
GENIN VALERIY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Management and Computer Science in Technical Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
EFIMOV VYACHESLAV - Candidate of Technical Sciences, Chief Specialist of the Department of Electrical Machines, JSC «ChEAZ», Russia, Cheboksary (vwye@mail.ru).
NESTERIN VALERIY - Doctor of Technical Sciences, Professor of Electromechanics and Electrical Engineering Technologies Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ROMANOV ROMAN - Chief of Innovation Department, JSC «ChEAZ», Russia, Cheboksary.
Формат цитирования: Афанасьев А.А., Ваткин В.А., Генин В.С., Ефимов В.В., Несте-рин В.А., Романов Р.А. Аналитический расчёт беспазового микродвигателя, не имеющего статорного сердечника // Вестник Чувашского университета. - 2019. - № 1. - С. 13-22.
