Расчет висячей системы по конечно-элементной модели Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.04.001.891.573

РАСЧЕТ ВИСЯЧЕИ СИСТЕМЫ ПО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ

© 2003 г. Н.А. Бузало, И.Д. Платонова

Для расчета висячих и вантовых систем может быть предложено несколько математических моделей: модель с распределенными параметрами, в которой перемещения кабеля и балки жесткости аппроксимируются функциональными рядами со сравнительно малым числом обобщенных координат; конечно-разностная модель, в которой кабель представлен цепью, состоящей из прямых стержней, шарнирно соединенных между собой и подвесками; конечно-элементная модель, в которой неизвестными считаются перемещения всех узлов кабеля и балки жесткости [1].

Рассмотрим конечно-элементную модель одно-пролетной висячей системы. Сделаем следующие допущения [2]:

1) постоянная нагрузка g равномерно распределена по длине пролета. Учитывая, что вес несущей балки составляет небольшую долю от общего веса пролетного строения системы, указанное допущение может быть принято для балок жесткости как постоянного, так и переменного сечения;

2) ось кабеля очерчена по квадратной параболе, изгибающие моменты в балке от постоянной нагрузки равны нулю;

3) рассматриваем только случаи, когда кабель можно отнести к пологим нитям, и поэтому горизонтальными перемещениями точек оси кабеля пренебрегаем;

4) подвески считаем нерастяжимыми.

Цель расчета состоит в определении перемещений балки жесткости в точках прикрепления подвесок при изменении действующей нагрузки, а также вычислении усилий в сечениях элементов системы.

Расчетную схему получаем из заданной системы путем одновременного разрезания всех подвесок (рис. 1). Балку и кабель рассматриваем как отдельные системы с совместными деформациями.

Рис. 1. Расчетная схема висячей системы

Распор и усилия в подвесках от постоянной нагрузки:

Hg =

gl 8 /

N = /-Н

g 12 g

В процессе загружения системы временной нагрузкой усилия в подвесках изменяются на величину X (вектор дополнительных усилий в подвесках от временной нагрузки). Тогда натяжение в подвесках составит Ng + X. В этом случае на балку действуют

силы от собственного веса Ng и временной нагрузки

N (направлены вниз) и натяжения подвесок N и

X (направлены вверх). Суммарные силы, приложенные к балке, составят N = N - X.

Вектор прогибов балки в точках прикрепления подвесок определим с помощью равенства

V = K (N q - X),

(1)

где матрица влияния прогибов К = К'тОКт , Кт -матрица влияния моментов в простой балке; О -матрица упругих грузов; К'т - матрица влияния моментов в фиктивной балке.

Для случая однопролетной системы с балкой постоянного сечения имеет место равенство

Km = K'm = -

l

(n +1)2

-L',

тогда

Km = KL =-

l

L' = П+1 L-1,

-L"1 = L"1.

ё (п +1)

Здесь Ь' - матрица, каждая строка которой состоит из ординат линий влияния моментов в точках

1, 2, ..., п, взятых в масштабе I/(п +1)2; Ь"1 - матрица,

обратная

2 -1 -1 2 -1

Ь = — -1 2 -1

ё

-1 2

Матрицу упругих грузов определяем равенством

ё

G = ■

6EI

-G',

где

4 1

1 4 1

G' = 1 41

14

поэтому

d3

K =-

d3

6(n +1) EI

[6L '2 - (n + 1)L '] =

(n +1)2

6(n +1) EI d

- L-2 d

L"2 - L-

d2 ( 6

6 EI I d

-L"2 - L"

= 0,

(— + X) = H (tgaЛ - tgaf),

(2)

Рис. 2. Узел , после приложения временной нагрузки

Поэтому

(— + X) = H y У,-х - ^t^-v g h 1 d d

+ H (- V-1 + 2V - V+1К d

где i = 1, 2,..., n .

Выражение

yi - У

i - Уг-1 yi +1 - yi

представляет

Произведение двух матриц О' и Ь' представляет собой функцию от матрицы Ь'

О'Ь' = 6Ь' - (п + 1)В ,

где В - единичная матрица размерности п. Тогда

Ь'О'Ь' = 6Ь'2 - (п + 1)Ь',

собой разность тангенсов углов наклона а,0 элементов цепи в узле , до нагружения временной нагрузкой. Для кабеля, ось которого до деформации очерчена по квадратной параболе, эта величина постоянна и равна 8/ё/12 . В векторной форме имеем (82) w, где w - единичный вектор размерности п.

Тогда в векторной форме равенство (2) имеет вид

(n + X)= H f w + HLv .

Между усилиями в подвесках и ординатами оси кабеля после деформации существует следующая зависимость, получаемая проекцией всех сил на ось У :

l2

Из формулы (3) определим вектор X = И ^ w + ИЬу - Nв и подставим в уравнение (1). Получим

(В + НКЬ) = к{N + N -Н/w 1.

(3)

Введем обозначения:

c =

Hd2

(n + 1)EI

(4)

где Н - полный распор от постоянной и временной нагрузок; агл и аг" - углы наклона элементов кабеля слева и справа от узла , в деформированном состоянии. Из рис. 2 видно, что

ШаЛ = 1В + V; - У,-1 - У, -1 ); а

ШаП =1В+1 + У,+1 - У, - У,)-ё

Л =(N+)Lkl = (n +1)( 1L-1 -151;

v' = K(Ng + Nq); u =■

Тогда

8 fEI

(n +1) d3 v = — + cA)-1 — -cu ).

Kw.

(5)

В это уравнение кроме искомого вектора прогибов V входит неизвестный параметр с, зависящий от распора Н .

Составим дополнительное уравнение деформации оси кабеля. По принципу Лагранжа виртуальная работа внешних и внутренних сил от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю.

E Nsv -

( Hg H q 2S0 iEjHg Hq Л

cosß cosßEF i=1 cos2af EkF

= 0,

где 8 - длина элемента кабеля между точками , и

п

I -1, ЕкЕ - жесткость кабеля на растяжение, ЕМ^, -

+

работа внешних сил,

ренних сил в оттяжках,

внутренних сил в кабеле.

Г Hg Hq 2S0 Л cosß cosßEF

Г n H H

Е g q

- работа внут-

Л

Si

=1 cos2ai EkF

- работа

8 fd

Учитывая Ng = ~T~ Hg и Hq = H - Hg , получим

8fdH fv. =

,2 gZj i

i=1

Hg(h - Hg) 2So , Hg (H - Hg I

g

Si

cos2ßEkF

EkF

i=i cos a

Здесь

-=Е-

22 =i cos2a. i=i cosa. cos2a.

=Е-

d

H dx

Jo— = M = Ls

10 cos3a

=i cos a

- приведенная длина, ц - табличный коэффициент, зависящий от отношения f ¡1. Тогда

8 fd^

fT Еv = l i =1

((- Hg)

Г

EkF

2So

Л

cos2ß

2n + Ls

(6)

Из уравнения (6) найдем распор H и подставим в выражение (4):

f \

d2

(n + l)EI

Hgd' (n + l)EI

8 fdEkF

Г

l2

V v

2So

-Г" + M

cos2ß

8 fd3 EkF

Е V + Hg

i =1

2S o

-е vi =

lcos2ß

+ M

(n + l)EI

Hgd' (n + l)EI

8 fEkF

2So —2- + M lcos2ß

Hgd2

Обозначим: a = -

(n + l)EI

b =•

Л — е vi.

(n + l)4 EIi =1 8 fEkF

2So —T" + M lcos2ß

тогда

(n +1)4 EI (7)

Полученные уравнения (8) нельзя решить в замкнутом виде, так как они являются нелинейными по отношению к величине c, что характерно для расчета висячих систем по деформированной схеме. Систему решаем методом последовательных приближений. Задав величину ck+1 = ck +Ack (i = 1,2,...,n) и подставив каждое из этих значений в уравнение для v, получим векторы прогибов. Подставив последовательно каждую сумму значений перемещений

n

^vi с соответствующим параметром c в выра-

i=1

жение для f(c), получим ряд значений функции fl(c), f2(c),..., fk(c),... Необходимо отыскать такое значение c, при котором функция f (c) обращается в ноль. Процесс заканчивается, когда первый раз выполняется неравенство f (c )< е , где е - задаваемая точность вычислений. Закончив цикл, определим распор H, усилия в подвесках (Ng + X), вектор изгибающих моментов в сечениях балки жесткости M = Km (Nq - X ) .

По предложенной математической модели составлен проект в программной среде Delphi, который позволяет получить численные значения распора, усилий в подвесках, изгибающих моментов, перемещений в сечениях балки жесткости и представить их графически (рис. 3).

- 0

- -0,1 33

- -0,1 79

- -0,1 43

- -0,082

- -0,032

• 0

200

0

-43 421,993

— -35 050,104

— -7 981,859

— 8 250,624

— 8 839,004

— 0

С = а + Ь^ V,

1=1

Уравнения (5) и (7) являются основными. Представим их в виде:

V = (в + сА)-1 (у' - С и'); /(с) = -с + а + Ь^ у = 0 .(8)

1=1

Совместное решение этих уравнений позволяет найти вектор перемещений, распор, усилия в элементах системы.

б)

Рис. 3. Эпюры перемещений (а) и моментов (б) висячей системы пролетом 200 м, загруженной равномерно распределенной временной нагрузкой на крайней трети пролета

Литература

1. Воронцов Г.В., Бузало Н.А. Математические модели наблюдаемых и управляемых висячих конструкций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. № 2. С. 69-73.

2. Смирнов В.А. Висячие мосты больших пролетов. М., 1975.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

27января 2003 г.

1

c =

i=l

3

l