CC BY
36УДК 534.2:621.37
А.В. Данилов, А.А. Радионов
РАСЧЕТ ОБЪЕМНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В МОНОКРИСТАЛЛЕ НИОБАТ ЛИТИЯ (LI NB О 3)
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Рассчитаны дисперсионные характеристики объемных волн в монокристалле ниобата лития. Показано, что в любом направлении кристалла могут распространяться три волны. При распространении вдоль главной оси симметрии одна из этих волн является продольной, а две другие - квази-поперечными.
Ключевые слова: объемные акустические волны, кристалл ниобата лития, дисперсионное уравнение.
В настоящее время [1, 2] широкое распространение в радиолокации, радионавигации, измерительной технике получили СВЧ-резонаторы, фильтры и лини задержки, работающие на объемных акустических волнах в пьезокристаллах. К достоинствам подобных устройств следует отнести: технологичность изготовления; малые габариты и вес; хорошую сопрягае-мость с блоками микроэлектронной аппаратуры: высокую стабильность в процессе эксплуатации и надежность работы, так как они выполняются обычно в виде монолитных твердотельных устройств.
Как известно [3, 4], уравнения пьезоакустики имеют следующий вид:
д2Ф д2иг _ „
£ iк д^д7к + 6к'пп дхкдхт = 0; (1)
JHH = С д2 и t р д2ср
р д f 2 СМп дхкдхт + eniK дхтдхк'■ (2)
где обозначено: CiKln, ejtiKj, epq - тензоры упругих пьезоэлектрических и диэлектрических модулей кристалла соответственно; р - плотность кристалла.
Решение этой системы уравнений в общем случае представляет собой серьезные математические трудности. В настоящее время его удается выполнить только для плоских монохроматических волн. Решение уравнений (1) и (2) при этом можно представить в виде
Ui = Uiei Сkпкхх-шЪ = о, (3)
где U i - компоненты амплитудного вектора упругих смешений в волне. Для неограниченного кристалла сопровождающее упругую деформацию электрическое поле изменяется синфазно упругим смещениям. Поэтому электрический потенциал выглядит аналогично (3):
ф = (реКкпкхх
. (4)
Подстановка (3) и (4) в (1) и (2) дает следующую систему алгебраических уравнений:
q^p^q) ~ U ie к, ¡тХ^кГ^т ~ 0 , (5)
Р^ Ui ~ Сш Ue ~ im,iкГ^к^тФ _ 0 ■ (6)
Система (5), (6) является системой уравнений 4-го порядка относительно неизвестных амплитуд Ф, Ui = U-x, U2 = Uy и U3 = Uz. Учитывая, что множитель в круглых скобках
© Данилов А.В., Радионов А.А., 2013.
первого слагаемого в (5) представляет собой полную двухкратную тензорную свертку диэлектрических модулей кристалла с вектором волновой нормали п, т.е. является скалярным, преобразуем (5) к виду
Ф =
_ ек,]тпкпт
£pqnpnq
(7)
С учетом (6) и (7) получаем систему трех алгебраических уравнений, относительно компонент амплитудного вектора упругих смещений
(f"2S ie - QleWl = 0 ,
(8)
где 5 i i=-
' 1, если i = l, Д если i ф l.
Величина (( I г в системе уравнений (8) образуют симметричный ( (( £ г = (( г ¿) тензор второго ранга. Его компоненты определяются равенством
Qu — ~
С,-
ikml
+
p,iqnpnqeKem {EpqUpUq
HkJhn
(9)
где обозначено С г , ер , £ч ( еК1 т) ч элементы упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических модулей кристалла соответственно; Пр, п^ (пКпт) -компоненты вектора волновой нормали п .
Записывая условие нетривиальности решений системы уравнений (8) (равенство нулю ее главного определителя), получаем дисперсионное уравнение для плоских объемных акустических волн, распространяющихся в произвольном направлении пьезокристалла:
Qu-я2 Ql2
Q13
Qu Q22-V2 Q23
Q13
Q23
Q33-ß2
= 0.
(10)
После определения из (10) значений скоростей волн 0С) ( =1,2,3, - номер волны) каждое из них подставляем в исходную систему уравнений (5), (6). При этом для каждой волны получаем соотношение между компонентами вектора амплитудных смещений в виде:
и
СО
D
_ U 1у _ U|
Di
D
J
(11)
где обозначено:
D®=
D®= D3
Q22 ~ Q23
Q23 Q33-$m Ql2 Q22-$Ü)2
Q13 Q23
D C°= D2
Q23 Q12 Q33~-dU)2 Q13
учитывая то обстоятельство, что ^ = Vе ^ UCi ^ и N ^ 2 + N i 2 + N
(02
(12)
= 1,
где Л^ 1) - направляющие косинусы, характеризующие поляризацию волны, получаем формулу для определения
С0.
N,
(Л _
Da)2+Da)2+Da)2
(13)
Правильность определения направляющих косинусов для всей тройки волн можно контролировать условием
Ы( 1 ) ■ЛД2 ) =М(3) (14)
или ему эквивалентными условиями:
■ N (3) С ^ , # (3) ■ 1 ) (2) .
(15)
(16)
Для упрощения процедуры раскрытия тензорных сверток в (1) и (2) перейдем от тензорной формы их представления к матричной.
Учитывая свойство симметрии модулей упругости С £ к = С к ¿, а также равенства выполняющиеся между отдельными компонентами Сг-К, для кристалла тригональной системы[5]:
С22=Сц , С55=С44 , С24=С14,С56=С14,С66 = - (Сц =С12 ) , С23 =С13, матрицу упругих модулей кристалла ниобат лития записываем в виде:
С1к -
(С С11 С12 С13 С14 0 0
С12 С11 С13 _ С14 0 0
С13 С13 С33 0 0 0
С14 _ С С14 0 С44 0 0
0 0 0 0 С44 С14
0 V 0 0 0 С14 — (Сп _ С12 )
(17)
В итоге имеется всего шесть независимых модулей упругости, значения которых [5] приведены в табл. 1.
Таблица 1
с„ С33 С44 С12 С13 С14
2,02 1011 н м2 2,4-Ю11 н м2 0,607^1011 н м2 0,557-Ю11 н м2 0,6910х1 н м2 0,0749^1011 н м2
Пьезоматрица имеет вид:
0 0 0 0 е1,5 е1,6
еь* - е2,1 е2,2 0 е2,4 0 0 . (18)
е3,1 е3,2 е3,3 0 0 0
Для кристаллов тригональной системы, класса 3т, к которым относится кристалл ниобат лития, существует следующая связь между пьезомодулями в (18) [3, 4]:
е 1, б = - 2 е 2,2 , е2, 1 = - б2, 2 и е 3 2 = е 3, 1 .
Таким образом, пьезоматрица (18) для кристалла ниобат лития имеет четыре независимых пьезомодуля, которые имеют следующие значения [5]:
Кл Кл Кл Кл
е1,5 = 3 ■ 83-; е2.2 = 2-37-; ез,1 = О.2-,; ез,з = 1,8-. Матрица диэлектрических модулей для кристалла ниобат лития имеет вид [3, 4]:
Sr =
8
0
0
Si 0 0 0 8
(19)
В (19) элементы матрицы имеют значения [5]: ^ = 99,5, в3 = 38,5.
Подставляя значения модулей матрицы упругости (17), пьезоматрицы (18) и матрицы диэлектрических модулей (19) кристалла ниобат лития в (9) и раскрывая стандартным образом тензорные свертки, получаем значения модулей в дисперсионном уравнении (10) для объемных акустических волн, распространяющихся в кристалле ниобат лития. При этом выражения принимают следующий вид:
öii =
n2Cii + n^C44 + 4/72/7:Ci4 + 2n22 (Cii - Ci2) nl2 [n;|(ei5 + e3,i)- 3n2e2 2f .
Qi2 =
P[si(ni2 + n2 )+83n32 ] ni (n2Ci2 + nCi4) nin2 [n3(ei,5 + e3,i)-3n2e2 ,2 lnie2,2 + n (ei,5 + e3,i)].
P
Qi3 = n
nin3Ci
nin3 e3,3
P
Ö22 =
n2Cii + n Cm, - 2nnC
'3 C44
P[si(nl2 + n2 )+ 83n3 ] e3,3[n3 (ei,5 + e3,i)- 3n2e2,2] .
P[si(ni2 + n2 )+83n2 ] '
[nie2,2 + n3 (ei,
Ö33 =
P
n2C
2nCi4 n2 [nie2,2 + n3 (ei,5 + e3 [8i(ni2 + n2 )+83n32 ]
i )]2
P[
3 33
4 2 n3 e3,3
P
Ö23 =
nnC,
'2"3M3
+ -
P
P[8i (ni2 + n22 )+83n32 ] '
e3,3 [nie2,2 + n3 (ei,5 + e3,i)] P[8i (ni2 + n22 )+83n32 ] '
(20)
где обозначено: р =4,8 10 — плотность кристалла; п1, п2 , п3 -проекции волнового вектора
м
в выбранной системе координат.
Задаваясь направлением распространения объемных акустическх волн в кристалле ниобат лития, т.е. значениями проекций (п1, п2, п3) волнового вектора п в выражениях (20), находим из решения дисперсионного уравнения (10) фазовые скорости волн, которые распространяются в кристалле в этом направлении. Для волн, распространяющихся вдоль оси г (кристаллографическая ось 3-го порядка симметрии), полагаем п1=п2=0, п3=1. Решение уравнения (10) дает нам следующие значения скоростей:
Vx = 3593,7- ;V2 = 3593,7- ;V3 = 7145,9-.
Первые две волны поперечные (сдвиговые) распространяются в любых взаимно ортогональных направлениях, перпендикулярных оси г.
Третья волна продольная, вектор ее поляризации направлен вдоль оси г, а направляющие косинусы #к(3) имеют следующие значения:
М(3) =#2(3)=0, #3(3)=1.
Для волн, распространяющихся в любом другом направлении в кристалле, отличном от оси г, для определения волнового вектора п , необходимо проводить преобразование системы координат. При этом связь между направлениями волнового вектора в двух ортогональных системах координат задается табл. 2 [3, 4]:
2
Таблица 2
п1 п2 п3
п\ ац а12 а13
п2 а21 а22 а23
пз' а31 а32 а33
В табл. 2 обозначено п\,п2\п3' - проекции волнового вектора, на координатные оси системы координат х1! ,х'2 , х'3 , к которой мы переходим от системы координат х 1 , х 2, у2 с проекциями волнового вектора и1,и2,и3. Откуда имеем:
п1'= п1а11+ п2а12+ п3а13 ,
п2= п 1 а21+ П2а22+ пз а2з , (21)
п1= П1аз1+ П2аз2+ пзазз .
Наиболее простой вид элементы а^ приобретают в том случае, когда поворот от одной ортогональной системы координат к другой происходит вокруг оси г ( оси симметрии 3-го порядка) путем поворота на угол 9, отсчитываемый от оси 0Х1 в сторону оси 0Х2 . В этом случае матрица элементов (ау) имеет вид:
а11 а12 «13 ^ ' СОБ 9 9 0 >
а21 а 22 а23 = = - 9 соб 9 0 . (22)
^а31 а32 а33 у V 0 0 1 у
Определим направление волнового вектора для волны, распространяющейся вдоль кристаллографической оси у. В ортогональной системе координат (х 1, х 2, х 3), связанной с кристаллографическими осями, направим ось х2 вдоль у. В этом случае имеем п1=0, п2=1, п3=0. Ортогональная система отсчета, в которой необходимо решать дисперсионное уравнение (10), получается путем поворота системы координат (х 1, х 2, х 3) вокруг оси х 3 на угол 9=2л>30° в направлении от оси х 1 к оси х 2. При этом из (21) с учетом (22) получаем п1'=0,866, п2'=+0,5, пз'=0.
Результаты решения дисперсионного уравнения (10) для данных волн приведены в табл. 3.
Таблица 3
Номер решения Скорость волны м/с Ы®2 Ы®3
1 V =3581,9 0,04572 0,02637 -0,9986 N (2)х N(3) = Г0,0458 + + ]0,02638 - к0,9986
2 V =6562,1 -0,5 0,866 -0,000022 N (з)х N(1) =-/0,49999 + + ]0,8659 - £0,0000209
3 V =3945,015 0,8648 0,4993 0,05279 N ( 1 ) X N 2 = Г0 . 8 647 8 + /0 .499 3 + к 0 . 0 5 3 1 1
Кроме значений скоростей волн, распространяющихся в избранном направлении в кристалле, в табл. 3 приведены значения направляющих косинусов Ы/^, определяющих поляризацию каждой волны номера (/), и выполнена проверка правильности определения век-
торов N ^), а значит и решения дисперсионного уравнения. Результаты проверки приведены в шестом столбце таблицы. Как видно из таблицы, волны, распространяющиеся в кристалле в данном направлении, не являются чисто поперечными или чисто продольными. Их можно характеризовать как квази-поперечные или квази-продольные. Преимущественным направлением поляризации считается то направление, значение направляющего косинуса для которого максимально. Так, первая волна квази-поперечная и поляризована вдоль оси г , вторая -квази-продольная и поляризована вдоль оси у, третья - квази-поперечная и поляризована вдоль оси х.
Библиографический список
1. Гуляев, Ю.В. Резонаторы и фильтры сверхвысоких частот на объемных акустических волнах: современное состояние, тенденции развития / Ю.В. Гуляев, Г.Д. Мансфельд // Радиотехника, 2003. № 8. С. 42-54.
2. Каринский, С.С. Полупроводниковые преобразователи и их применение / С.С. Каринский. -М.: Наука, 1973.
3. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. - М.: Наука, 1979. - 639 с.
4. Балакирев, М.К. Волны в пьезокристаллах / М.К. Балакирев, И.А. Гилинский. - Новосибирск: Наука, 1982. - 239 с.
5. Акустические кристаллы: справочник / А.А. Блистанов [и др.]; под ред. М.П. Шаскольской. -М.: Наука,1982. - 632 с.
Дата поступления в редакцию 03.12.2013
A.V. Danilov, A.A. Radionov
CALCULATION OF BULK ACOUSTIC WAVES PROPAGATING IN THE CRYSTAL LINBO3
Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev
Purpose: In this work was researched dispersion characteristics of bulk waves in monokrystal LiNbO3. Design\methodology\approach: Derivation of the dispersion equation for bulk waves produced using equations piezoacoustics.
Finding: To find the velocity of bulk waves in piezocrystal determined eigenvalue Kristofell acoustic tensor. Reseach limitations\implications: Was proved, that three waves are able to propagate in the direction of axis of symmetry: one longitudinal and two transverse. At random direction propagate quasi-longitudinal and quasi-transverse waves.
Originality\value: Conclusions able to be used during create acoustoelectronic devices, such as filters, resonators, delay lines.
Key words: bulk acoustic wave, cristal LiNbO3, equation dispersion.
