CC BY
58
УДК 548.0:534
Р. А. Браже, А. И. Кочаев
МЕТОД ПОИСКА ЧИСТЫХ МОД УПРУГИХ ВОЛН В КРИСТАЛЛАХ ИЗ 3Я-ПОВЕРХНОСТЕЙ ФАЗОВЫХ СКОРОСТЕЙ1
Аннотация. Предложен новый метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах из анализа 3_0-поверхностей фазовых скоростей. От известных методов данный метод отличается учетом пьезоэффекта, что существенно влияет на результаты, особенно для сильных пьезоэлектриков. Разработана компьютерная программа, позволяющая строить указанные поверхности и их сечения базовыми плоскостями кристалла, а также указывать на них направления распространения чисто продольных и чисто поперечных упругих волн. Данную информацию можно получить, если известен класс симметрии кристалла, его упругие, диэлектрические, пьезоэлектрические константы и плотность.
Ключевые слова: упругие волны, волновые поверхности, продольные нормали, поперечные нормали, пьезоэффект.
Abstract. The article suggests a new method for pure modes of elastic waves search in crystals. The method is based on analyzing 3D-surfaces of phase velocities and differs from the known analogous methods by consideration of piezoeffect. The piezoelectric corrections essentially influence the research result. A special computer program has been built to construct these surfaces and their sections from the base planes of a crystal. The program also indicates the directions of pure longitudinal and pure transverse elastic waves propagation on these surfaces.
Key words: elastic waves, wave surfaces, longitudinal normals, transverse normals, piezoeffect.
Введение
В работе [1] нами был предложен общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах с учетом дополнительной жесткости, обусловленной пьезоэффектом, основанный на диагонализации коэффициентов волнового уравнения. Там же была описана компьютерная программа, позволяющая отыскивать направления распространения и поляризации чисто продольных и чисто поперечных волн, если заданы класс симметрии, компоненты тензоров упругих постоянных, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей кристалла. Этот метод обладает точностью, определяемой точностью задания соответствующих констант, но не обладает наглядностью.
Известно также [2], что направления продольных и поперечных нормалей перпендикулярны поверхностям фазовых скоростей упругих волн, как, например, в оптике векторы групповой скорости, определяющие направление переноса энергии, перпендикулярны волновым поверхностям [3]. Методы построения трехмерных (3D) поверхностей волновых скоростей также известны [4-6], однако они не учитывают дополнительной жесткости кристалла, вызванной пьезоэффектом (в тех случаях, когда он присутствует). Между тем наличие пьезоэффекта, как показано в [1], может существенно исказить результат.
1 Работа поддержана грантом (проект 10-02_97002-р_поволжье_а).
В данной работе мы восполняем этот пробел. Разработанная нами компьютерная программа позволяет строить 3,0-волновые поверхности упругих волн с учетом пьезоэффекта и указывать на них направления распространения чисто продольных и чисто поперечных упругих волн. Метод обладает большой наглядностью.
Сначала рассмотрим плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей непьезоэлектрической среде. Уравнение Грина - Кри-стоффеля [7] имеет вид
Лау са|3у8 а1|За18,
где и и а - направления поляризации и распространения; Лау = сару801ра18 -тензор Грина - Кристоффеля; р и V - плотность кристалла и скорость распространения волны. Вектор смещения плоской волны и является собствен-
Компоненты тензора Грина - Кристоффеля расписываются по следующему правилу:
Поправки к уравнению Грина - Кристоффеля
(1)
2
ным вектором, а произведение плотности и квадрата фазовой скорости рv -собственным значением тензора ^ру^а^а^. Поэтому рv2 есть корень характеристического уравнения
(2)
или в развернутом виде
Л11 ~ру2 Л12 Л13
Л21 Л22 -^2 Л23 = 0.
Л31 Л32 Л33 -ру2
(3)
Л11 = °ПС11 + а12с66 + °123с55 + 2°12°13с56 + 2а11а13с15 + 2а11а12с16; Л12 = °Пс16 + а\2с26 + °123с45 + °12°13(с46 + с25) +
+°11°13(с56 + с14) + а11а12(с12 + с66);
Л13 = аПс15 + а122с46 + а123с35 + а12 а13(с45 + с36) +
+апаі3(Сі3 + с55) + аца12(с56 + с14);
Л21 =Л12;
Л 22 = аПс66 + а\2с22 + а123с44 + 2а12а13с24 + 2а11а13с46 + 2а11а12с26; Л 23 = аПс56 + а122с24 + а1зс34 + а12 а13(с23 + с44) +
+°11°13(С45 + с3б) + °11°12(с4б + с25);
Л31 = Л13;
Л32 =Л 23;
Л33 = °ПС55 + а12с44 + °123с33 + 2°12°13с34 + 2°11°13с35 + 2°11°12с45-
2
Уравнение (3) кубическое относительно ру и имеет в общем случае
три независимых решения, каждое из которых определяет фазовую скорость изонормальной волны. Фазовая скорость зависит, таким образом, от постоянных величин - модулей упругости и плотности кристалла, и от переменных -направлений распространения. Для определения величины скорости волны в произвольном направлении удобно построить трехмерную поверхность. Она образована концом вектора фазовой скорости, проведенного из начала кристаллофизической системы координат. На такой поверхности легко увидеть направления, для которых скорость волны имеет экстремальные значения, что важно для целей практического применения. В работах [5, 6] построение 3,0-моделей было проведено описанным выше способом. Данные компьютерные программы не позволяют получить правильного результата при исследовании акустических свойств пьезоэлектрических кристаллов.
Поправки для случая пьезоэлектрической среды были сделаны в [8]. За счет пьезоэлектрической связи в пьезоэлектрике при распространении упругой волны возникают электрические поля, действие которых проявляется в увеличении эффективного модуля упругости. Поэтому ко всем неужесто-ченным модулям упругости в (1)-(4) следует учесть добавочную жесткость, зависящую от направляющих косинусов, пьезомодулей и диэлектрических проницаемостей:
Будем рассматривать плоские упругие волны в неограниченной анизотропной непроводящей (в общем случае пьезоэлектрической) среде, используя адиабатическое приближение. Предполагаем, что магнитные эффекты отсутствуют, а электромеханические поля являются квазистатическими. Кристалл считается электрически разомкнутым.
С учетом поправки (5) уравнение Грина - Кристоффеля (1) принимает
вид
а1па1тету'епк1 а1гаЪ ег.5
(5)
Программная реализация метода
°1г°Ь
и,
у ?
(6)
а соответствующее характеристическое уравнение -
Г
а1па1тетпеик1 2 п
---------- ---- -ру = 0.
°1г°Ь )
V
Кубическое уравнение (7) успешно решается с использованием программного пакета Maple 11 в операционной системе Windows XP. Его решением являются три явно установленные функциональные зависимости (1, f2, f3) скорости волны v от модулей упругости, пьезоконстант, диэлектрических проницаемостей, плотности кристалла и трех направляющих косинусов направлений распространения ац, a^, a^:
v1 _ f1 (cijkl,enkl,ers, P,a11,a12, a13);
v2 _ f2 (cijkl, enkl, ers,p, a11, a12,a13);
v3 = f3(cijkl, enkl, e rs, P, a11, a12, a13). (8)
Значения постоянных величин для каждого кристалла можно взять из [9].
Расширенный пакет plots (в Maple 11) предоставляет возможность построения трехмерной поверхности в сферических координатах. Для этого необходимо задание двух изменяющихся углов - широты ф е [0,2л] и долготы 9е [0,л] (рис. 1).
Рис. 1. Ориентация направления распространения упругой волны в кристаллофизической системе координат
Соответствие между направляющими косинусами направления распространения и углами ф и 0 в сферической системе координат задается в виде
an > ^ cos ф ^
a12 = sin ф . (9)
a1 v cos 0
Выражая в уравнениях (7) направляющие косинусы через соответствующие углы с помощью (9), получим приемлемое для построения в Maple 11 выражение для скорости волны, в котором углы ф и 9 пробегают значения в указанных промежутках. Приведем пример этого выражения: plot3d(f phi = 0..2*Pi, theta = 0..Pi, coords = spherical).
Программа позволяет также строить сечения трехмерной волновой поверхности различными плоскостями, в том числе координатными, и указы-
вать направления продольных и поперечных нормалей. Для нахождения данных направлений необходимо приравнять нулю производную функции / по двум координатам - углам ф и 0:
В качестве примера рассмотрим непьезоэлектрический кристалл сапфира (а-Л120з), принадлежащего к классу симметрии 3 т тригональной син-гонии, и пьезоэлектрический кристалл ниобата лития (Ы№03) из класса симметрии 3т той же сингонии. Все необходимые константы взяты из [9]. На рис. 2-7 приведены примеры построения трехмерных поверхностей фазовых скоростей квазипродольной и двух квазипоперечных упругих волн в этих кристаллах, а также сечения этих поверхностей координатными плоскостями, где стрелками указаны направления распространения чистых мод упругих волн. Числа при осях указывают скорость распространения волны.
(10)
Примеры применения компьютерной программы
км/с
8 1 У, км/с
Хр і
км/с ^ ю
в)
г)
Рис. 2. Поверхность фазовых скоростей продольной волны в сапфире (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г)
км/с
5 X, км/с
в) г)
Рис. 3. Поверхность фазовых скоростей первой поперечной волны в сапфире (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г)
6-
3
км/с I
Рис. 4. Поверхность фазовых скоростей второй поперечной волны в сапфире (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г)
в) г)
Рис. 4. Окончание
Рис. 5. Поверхность фазовых скоростей продольной волны в ниобате лития (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), 010 (в) и 001 (г)
в) г)
Рис. 6. Поверхность фазовых скоростей первой поперечной волны в ниобате лития (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), 010 (в) и 001 (г)
а) б)
Рис. 7. Поверхность фазовых скоростей второй поперечной волны в ниобате лития (а) и сечения поверхности плоскостями (100) (б), (010) (в) и (001) (г)
X, км/с*
Y, км/с
* Sa Z, км/с
X, км/с
в)
г)
Рис. 7. Окончание
Заключение
Прежде всего отметим корреляцию в результатах отыскания чисто продольных и чисто поперечных упругих волн в исследованных материалах между предложенным здесь методом и методом диагонализации коэффициентов волнового уравнения, описанным в [1].
Отличительным свойством метода отыскания чистых мод упругих волн из 3.0-поверхностей фазовых скоростей является предусмотренная нашей программой возможность вращения в режиме multimedia указанных поверхностей с целью лучшего обозрения интересующих нас продольных и поперечных нормалей. При этом мы легко можем оценить величину скорости распространения интересующей нас волны.
Недостатком метода является невозможность в ряде случаев определить поляризацию чисто поперечных волн. В то же время модель, описанная в [1], позволяет точно определить направления распространения и поляризации чистых мод упругих волн, но лишена наглядности.
В совокупности оба метода полностью описывают акустические свойства кристаллов, а разработанные компьютерные программы автоматизируют эту задачу.
1. Бр аже, Р. А. Общий метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 115-125.
2. Ting, T. C. T. Longitudinal and transverse waves in anisotropic elastic materials / T.C.T. Ting // Acta Mechanica. - 2006. - V. 185. - P. 147-164.
3. Калитиевский, Н. И. Волновая оптика / Н. И. Калитиевсий. - М. : Высш. шк., 1978. - 383 с.
4. Pelaez, K. P. Calculation of phase and group angels, slowness surface and ray tracing in transversely isotropic media / K. P. Pelaez // Ciencia, Tecnologia y Futuro. -2006. - V. 3. - P. 41-56.
5. Duarte, M. Slowness surface calculation for different media using the symbolic mathematics language Maple / M. Duarte // Earth Sciences Research Journal. - 2004. -V. 8 (1). - P. 63-67.
6. Laboratory for scientific visual analysis [Электронный ресурс]. - URL : http://www.sv.vt.edu.
Список литературы
7. Christoffel, E. B. Ueber die Fortpflanzung von Stössen durch elastische feste Körper / E. B. Christoffel // Ann. di matematica pura ed applicata (2). - 1877. - V. 8. -P. 193-243.
8. Любимов, В. Н. Учет пьезоэффекта в теории упругих волн для кристаллов различной симметрии / Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 186, № 5. - С. 1055-1058.
9. Блистанов, А. А. Акустические кристаллы / А. А. Блистанов и др. - М. : Наука, 1982. - 632 c.
Браже Рудольф Александрович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет
E-mail: brazhe@ulstu.ru
Кочаев Алексей Иванович
аспирант, Ульяновский государственный
технический университет
E-mail: a.kochaev@ulstu.ru
Brazhe Rudolf Alexandrovich Doctor of ohysical and mathematical sciences, head of sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University
Kochaev Aleksey Ivanovich Postgraduate student, Ulyanovsk State Technical University
УДК 548.0:534 Браже, Р. А.
Метод поиска чистых мод упругих волн в кристаллах из 3D-поверхностей фазовых скоростей / Р. А. Браже, А. И. Кочаев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 116-125.
