Распространение волн Лэмба и SH-волн в пластине пьезоэлектрического кубического кристалла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.534

Распространение волн Лэмба и 8И-волн в пластине пьезоэлектрического кубического кристалла

Ольга П. Золотова* Сергей И. Бурков Борис П. Сорокин

Институт инженерной физики и радиоэлектроники, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 13.11.2009, окончательный вариант 25.12.2009, принята к печати 21.02.2010 В обзоре описана методика вывода дисперсионных уравнений для определения скоростей волн Лэмба и волн с горизонтально-поперечной (ЯП) поляризацией в изотропной и пьезоэлектрической средах. Рассмотрено влияние однородного внешнего электрического поля Е на характеристики и условия распространения волн Лэмба и ЯП-волн в пьезоэлектрической кристаллической пластине германосилленита Вг12ОеО20.

Ключевые слова: волна Лэмба, волна с горизонтально-поперечной поляризацией, влияние внешнего электрического поля, коэффициент управляемости.

Введение

В настоящее время свойства акустических волн, распространяющихся в тонкой изотропной пластине, толщина которой сравнима с длиной волны, исследованы довольно подробно [1—5]. Волны Лэмба применяются в машиностроении с целью технической диагностики различных элементов и узлов [6], а также используются для создания ряда устройств акустоэлектроники, устройств ультразвуковой дефектоскопии, исследования шероховатых поверхностей и т.д. [7-10]. Описание метода расчета смещений и напряжений с использованием гибридного метода граничных элементов и визуализация распространения волн Лэмба в алюминиевой пластине приведены в [11]. В пьезоэлектрических пластинах исследование условий и характеристик распространения акустических волн выполнено в [12]. Приложение к пьезоэлектрической пластине внешнего электрического поля предоставляет возможность управлять свойствами акустической волны и характеристиками акустоэлек-тронных устройств. В ряде работ [13-15] исследуется влияние внешнего электрического поля на анизотропию распространения нулевых мод акустических волн в пьезоэлектрических пластинах ниобата лития и ниобата калия.

Для создания новых материалов и, соответственно, новых теорий для их описания важной проблемой становится расширение хорошо известных классических решений, описывающих распространение волн Лэмба, на основе новых моделей в континуальном приближении. В статье [16] обсуждается построение аналитического решения для волн Лэмба и волн

* zop@krasu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

с горизонтально-поперечной поляризацией в рамках среды Коссера в тонкой пластине. Деформированное состояние в данной модели характеризуется независимыми векторами смещения и поворота. В отличие от волны Лэмба, полученное решение для поперечной волны не имеет аналогов в классической теории упругости. Теория среды Коссера предсказывает иное поведение волн в пластинах, чем классическая теория упругости.

Кроме того, в последние годы активно исследуется распространение волн Лэмба и волн с горизонтально-поперечной поляризацией в многослойных пьезоэлектрических структурах и композитах на основе численного моделирования с использованием различных алгоритмов матричного формализма [17-21].

Таким образом, исследования характеристик акустических волн в пластинах в основном касаются изотропных материалов, металлов либо таких кристаллов, как ниобат лития. Данные исследования проводятся в рамках численного моделирования или носят чисто экспериментальный характер. Практически отсутствуют работы, посвященные аналитическому выводу условий распространения волн Лэмба в анизотропных пластинах различных кристаллографических классов. Также следует отметить, что условия распространения и характеристики акустических волн в пьезоэлектрических пластинах под действием внешнего электрического поля к настоящему времени исследованы недостаточно подробно.

1. Распространение волн Лэмба и 8Ы-волн в кристаллической пластине

ЛА/

Рассмотрим пластину толщины 2h, в которой волна распространяется вдоль оси Xi, нормаль к поверхности направлена вдоль оси X3, причем начало координат находится в центре пластины (рис. 1).

Акустические волны в пластинах, в отличие от

поверхностных акустических волн, характеризуются

выраженной геометрической дисперсией. При этом,

поскольку h = const, а в континуальном приближе-2nv 2п

нии длина волны Л = ----- = —, очевидно, что соот-

ш к

ношение h/Л зависит от ш. Здесь v — скорость, ш — циклическая частота акустической волны. Поэтому для волн в пластинах наблюдается дисперсия, а для всех волн порядка выше нулевого существуют так называемые частоты отсечки [3].

С учетом дисперсии известное уравнение Грина-Кристоффеля, описывающее распространение волн

2h

X.

X

W

Рис. 1. Геометрия задачи

малой амплитуды в кристаллах, запишется в виде

(Гік ^ifc) ai — 0; i,k -

1.. . 4;

44

(1)

где Гік = СцктКзКш, Г43 = Г34 = КіКк, Г44 = -£ТПтКиКш — компоненты тен-

зора Грина-Кристоффеля, ро — плотность кристалла, с^-уш — модули упругости второго порядка, е^-у — пьезоэлектрические постоянные, £^ш — тензор „зажатой“ диэлектрической проницаемости, К = — N — волновой вектор, N — единичный вектор, а,і — компоненты

V

собственных векторов — упругих смещений поля плоской волны, а4 — амплитуда волны электрического потенциала.

0

Полные величины смещений и потенциала в тонком слое имеют вид линейных комбинаций, соответствующих области —к ^ Х3 ^ к:

■^8 ^ _ (п) _ .. , тЛп)г

U — ЕП=1 C„a(n) exp i (К1Ж1 + K'f1 Ж3 - wt

Ф = Sn= C4«4n) exp i (К1Ж1 + K3(n)X3 - wt

(2)

Здесь верхний индекс n = 1,..., 8 — номер парциальной волны.

Для нахождения амплитудных коэффициентов Cn необходимо подставить уравнения волн (2) в граничные условия, которые подробно сформулированы в [22].

Определитель граничных условий образует систему из восьми уравнений, четыре из которых описывают механические и электрические условия на верхней границе слоя, а четыре других — на нижней границе:

En=1 Cn c3jkmKm ak + ek3jKk a4 * exp

E

n=1 Cn

En=1 Cn

E

n= 1 Cn

iK.(n)h

0;

e3fcmKm)akn) - (£3fcK(n) - ie0) a4n)

• exp

iK.n)h

0;

(n) (n) (n) (

c3jkmKm ak + ek3jKk a4

(n) (n)

• exp

e3kmKmn)«kn) - f£3kKkn) + ieo) a4n)

-iK.n)h

• exp

0;

-iK.n)h

(3)

0.

Г

il —

(c12 + c|4) K1K. 0

C44K2 + C11K3 0

0

2e14K1K3

0

-ei1 (Ki + K3).

(4)

Равенство нулю определителя системы уравнений позволяет найти решения относитель-

Ш

но К и, следовательно, фазовой скорости волн V = ——.

К1

Для кристаллов кубической симметрии тензор Грина-Кристоффеля принимает следующий вид:

' сцК? + с|4к| 0

0 с4е4 (К? + К2)

(с12 + с44) К1К3 о

0 2в14^1 К3

Очевидно, что в данном случае можно разделить тензор на две независимые части, соответствующие движению в сагиттальной плоскости XХ3 и движению в поперечном направлении. Первая часть описывает непьезоактивные волны Лэмба, а вторая — пьезоактивные волны с горизонтально-поперечной поляризацией.

Характеристическое уравнение для части, описывающей смещения в сагиттальной плоскости, запишется так:

(сик3 + с44к33 — ро^3) (с44к3 + сик3— рош?)— (с1з + с44)?к3к3 =о. (5)

Решая его и принимая предположение об изотропности среды (С1? + С44 = СЦ — с44) ,

(п)

определим возможные значения КЗ :

K

(1,2)

±iq, q — yjk2 - k2;

K

(3,4)

±is, s — yjk2 - k2,

(6)

ш / Ро , ш / ро

где к = К1, к; = — = ш. /------, к = — = ш. /-----.

V; у сц vt у С44

В зависимости от величины волнового вектора к корни характеристического уравнения могут принимать различные значения и быть как мнимыми, так и действительными величинами. Определим собственные векторы, соответствующие найденным значениям К3п):

K

(1,2)

— ±iq, а(1,2) — ( 1, 0, ±-q, 0 ) ; k33,4) — ±is, а(3,4) — ( 1,0, ± —, 0 ) .

(3,4) 3

ik

(7)

Определитель граничных условий (3) принимает вид

сЕ42*де дН сі2к - сії^

хе

— дН

-сЕ42ідедН сі2к - сії ) х

с44

і(к2 + в2)

-вН

с44

і(к2 + в2 )

,вН

дН

к (сі2 - сії) е вН к (сі2 - сії) ев

с44

2ідедН сі2к - сіі

е

-с^Іде'

-дН

с44

і(к2+в2)

,вН

с44

і(к2 + 52)

е

дН

сі2к - сіі ) Х

е

-дН

к (сі2 - сіі) евН к (сі2 - сіі) е'

-вН

-вН

'Сі'

С2

Сз

А.

0. (8)

Очевидно, что структура данной матрицы симметрична. После сложений и вычитаний первой и третьей, второй и четвертой строк и аналогичных операций над первым и вторым, третьим и четвертым столбцами матрица, так же как и волновое уравнение, разделяется на две независимые части:

0

2 ( сі2к - сіі^ х х еЬ (дй)

-4ід бЬ (дй)

4ід еЬ (дй)

0

2к (сі2 - сіі) х х еЬ (вй)

-2*(кг + 5) х

х бЬ (вй)

2Чт + V х

х еЬ (ей)

0

0

-2к (сі2 - сіі) х х бЬ (ей)

Вычисляя два независимых определителя, в итоге получим дисперсионные уравнения, описывающие симметричные и антисимметричные волны соответственно:

)2

^2. „2_. -• (9)

4к2дв

Ш(дй) (к2 + в2)2’ Ш(дй) 4к29в

Данные дисперсионные уравнения имеют некоторое множество решений, причем количество решений относительно к зависит от толщины пластины 2й [2]. Следовательно, определив множество к*, можно найти фазовые скорости различных мод симметричных и

антисимметричных волн Лэмба ^г* = •

Кроме того, по известным значениям фазовой скорости либо волнового вектора и корням можно рассчитать картину полей смещений волн Лэмба в пластине по осям Х1 и Хз соответственно•

В симметричной волне смещение «1 имеет одинаковые знаки относительно средней плоскости пластины (Х3 = 0), а смещение «з — противоположные. В антисимметричной волне, напротив, аз имеет одинаковые знаки относительно средней плоскости пластины, а смещение «1 — противоположные (рис. 2).

Поэтому выражения для компонент полей смещений можно записать в следующем виде для симметричной волны:

еИ(джз) 2дв еИ (вхз)

и = и

бЬ (дй) (к2 + в2) вЬ(вй)

і(кхі — ші).

из = - ио 14

яЬ(дхз) 2к2 бЬ(5Хз)

БЬ(дй) (к2 + в2) вЬ(вй)

г(кж і —ші)

Е

Е

в

в

X

Н

Е

Е

в

в

X

0

0

0

0

е

Рис. 2. Волны Лэмба в пластинах: а — антисимметричные волны; б — симметричные волны

и для антисимметричной волны:

_sh(qx3)

2qs sh(sx3)

ch (qh) (k2 + s2) ch(sh)_

ch(qx3) 2k2 ch(sx3)

i(kx 1 —wt).

ch (qh) (k2 + s2) ch(sh)

i(kxi —wt)

(11)

где ^0 — произвольная постоянная.

В поперечных волнах с горизонтальной поляризацией (£Н-волнах) имеется только одна компонента смещения и (отсутствующая в волнах Лэмба), параллельная поверхности пластины и перпендикулярная направлению распространения волны. Таким образом, деформация в ЙН-волне является чистым сдвигом. Волновое уравнение для части, описывающей только смещение в поперечном направлении в случае отсутствия пьезоэлектрического эффекта в среде, имеет вид

[c44 (K1 + K3) — Р0^2] а2 — 0. Возможные значения к3п) в данном случае равны

К31,2) — ±is.

(12)

(13)

Выберем в качестве собственных следующие векторы, соответствующие найденным значе-

-К

3

j>^(n)

ниям K.

(1)

(1)

0,1,0,K

з(1) .

3

к32) = -гв = -к31}, а(2) = (о, -к31}, 0, 1) .

В определителе граничных условий (3) из восьми уравнений остаются только два:

(14)

-sh

„Е '„sh

cE s2esh '

C44S e „Е „2^ — sh

.C2.

0.

(15)

C44JSC —C44S e j |_C2_

Вычислив определитель этой матрицы, получим следующее дисперсионное уравнение:

4s3 sin (ish) cos (ish) — 0. (16)

Существуют три возможных решения данного уравнения:

1) s3 — 0, т.е. k — kt. Это решение не имеет дисперсии и соответствует однородной объемной сдвиговой волне с фазовой скоростью v — vt;

e

Е

2) sin (ish) — 0. В данном случае s — —-, n — 0,1, 2,..., т.е. волновой вектор принимает

ih

22

п2п2

значения к = у к)2----. Это решение описывает симметричные волны, поля смещений

которых симметричны относительно центральной плоскости пластины Х3 = 0;

п (2п + 1)

3) cos (ish) — 0. В данном случае s

ih

п = 0,1, 2,..., т.е. волновой вектор

принимает значения

2 п2 (2п +1)2

к = 1/ к2------—-----. Это решение для антисимметричных волн.

V ‘ ^2

Обобщая полученные результаты, можно записать единое выражение для фазовых ско-

ростей SH-волн в виде

vt

1

/ nnvt \ 2 V wh )

(17)

где п = 0, 2, 4, .. . для симметричных и п =1, 3, 5,. .. для антисимметричных мод [4].

2. Волны Лэмба и 8Н-волны в пьезоэлектрическом кубическом кристалле

Введем в рассмотрение кубический пьезоэлектрический кристалл класса 23 — германосил-ленит -8*12^вО20. Корни уравнения (5) принимают значения:

K3n) — ±i\/2O (Р Т 2 — 40Q,

где О = С11СЕ4, Р = С11 (сцк2 - ро^2) + сЕ4 (сЕ4к2 - ро^2) - (012 + сЕ4)2 к2,

Q = (сцк2 - ро^2) (сЕ4к2 - ро^2).

Тогда собственные векторы, соответствующие значениям к3п), записываются так:

К31) = ^1, а(1) = (1, 0,р1, 0) ;

К32) = -91 = -К31), а(2) = (1, 0, -р1, 0);

K33) — q3,

а(3) — (1, 0,рз, 0).

(18)

K34) — —q3 — —K33), а(4) — (1, 0, —рз, 0).

(1) ciik2 — ро^2 + с44 (3) c11k2 — Р0^2 + c44 (K33))

где pi — аЗ ) —------------;-;—Е N , тК1)----------- и рз — а, ) —

(сц + cE4) kK:

(сц + cE4) kK

(3)

С учетом (18) для компонент а(п) и К(п) получаем определитель (3) в виде сЕ4 (кр1 + 91) х -с|4 (кр1 + 91) х 0^4 (крз + 93) х -с|4 (крз + 93) х

e

iqi h

xe—iqih

e

iqsh

xe—iqsh

(cuk + C11q1P1) x (cuk + C11q1P1) x (c^k + cnq3P3) x (c^k + cnq3p,) x

e

iqi h

e

-iqi h

e

iq3h

e

-iqsh

clt (kp1 + q1) x —cE4 (kp1 + q1) x cE4 (kp3 + q,) x — c^ (kp3 + q,) x

Xg—iqih Xgiqih xe—iqsh xeiqsh

(cuk + c11q1p1) x (cuk + cnq1p1) x (c^k + cnq3p3) x (c^k + cnq,p,) x

e

iqi h

e

iqi h

e

-iqsh

e

iqsh

v—

После преобразований, описанных выше, получим дисперсионные уравнения относительно волнового вектора к, описывающие симметричную и антисимметричную волну соответственно:

Уравнения (20) имеют более сложный вид, чем классические аналоги для изотропной

Определив множество кг, можно найти фазовые скорости различных мод симметричных и антисимметричных волн Лэмба.

Скорости нулевых симметричных и антисимметричных мод $о и Ао с увеличением толщины пластины стремятся к скорости волны Рэлея, которую можно определить для кубического кристалла, решив следующее уравнение 3-й степени по Я [23]:

нита, например, = 1625, 9166 м/с.

Скорости мод высших порядков Бп и Ап (п = 1, 2,...) с увеличением толщины пластины стремятся к скорости поперечной объемной волны (рис. 3). Расчет осуществлялся на основе данных по материальным константам из [22].

Рис. 3. Скорости симметричных и антисимметричных волн Лэмба в пластине германосил-ленита Ы2ОеО20

Л (г^эЛ.) = qэ (сц (к2 — кг2) — С1252) (С12 (С12 + сф4) к2 — с11 (сц (к2 — кг2) + Сф^з));

th.(iqlh) ql (сц (к2 — к2) — с12^3) (с12 (с12 + см) к2 — С11 (с11 (к2 — к2) + сф4?2))

(20)

Л ^эЛ) = ql (си (к2 - к2) - 012qi) (с12 (с12 + с|4) к2 - сп (сп (к2 - кг2) + cf4q2))

th(iqlh) ^3 (сц (к2 - кг2) - с12^'2) (с12 (с12 + см) к2 - с11 (с11 (к2 - к2) + ^^З))

среды (9), поскольку для кристаллической среды с|4 = (сц - с12) /2.

после чего искомая скорость волны Рэлея определяется как ьл = Ь/л/Я. Для германосилле-

■ ^0

0 4 8 №12 1б

Смещения волн Лэмба принимают следующий вид для симметричной волны: еИ (%хз) (сц (к2 - кг2) - С1292) еИ (*93x3)

из = -

вИ (*91^)

Цр

(с12 + с|4) к91

- (с11 (к2 - к;2) + с449з)

и для антисимметричной волны:

91 (сц (к2 - к2) - С129З) вЬ(*9з^)

( (к2 к2) I СЕ 72\ 8И(*91Хз)

(С11(к - к1) + С4491) зЬ(*91^)

(С11 (к2 - к;2) - С1292) вЬ(*9зХз) (С11 (к2 - к2) - С12 9з) ^ (*9зМ

вИ (*91Хз) 9з (Си (к2 - кг2) - с1292) вИ (*9зхз)

еИ (*91 ^)

Цр

(С12 + С44) к91

91 (С11 (к2 - к2) - С129з)

(С11 (к2 - кг2) + с4492 )

еЬ (*9з^) еИ (*91 хз) еИ (*91 ^)

- (СИ (к2 - к;2) + с449з)

(с11 (к2 - к 2) - с1292) еИ (*9зхз) (сц (к2 - к2) - С129з) еИ (*9з^)

0г(кх1 —шЬ).

рг(кх1 —шЬ).

г(кх1 —шЬ).

аг(кх 1 — шЬ)

(22)

(23)

Для £Н-волны в кристалле симметрии 23 уравнение (12) теперь описывает взаимосвязанное смещение в поперечном направлении и волну электрического потенциала:

с|4(Кз + К|) - рр^2 2е14^1Кз

2е14К1Кз - £П1(К + к|)_

а2

а4

0.

(24)

Соответствующее характеристическое уравнение запишется так:

-е?1 [с444 (К2 + К2) - рр^2] [К2 + К2] - 4е24К2Кз2 = 0.

(25)

Как известно [24-26], коэффициент электромеханической связи (КЭМС) является важной характеристикой акустических волн, распространяющихся в пьезоэлектрических материалах. Он служит мерой пьезоактивности волн и позволяет сравнивать между собой с единых позиций различные пьезоэлектрики, кристаллографические ориентации и волны различных типов.

КЭМС определяется для объемных волн в пьезоэлектрике класса 23 как к14

е14

„ /рп СЕ

\/ & 11 С4

'11^44

Раскрыв скобки и приведя подобные в (25), получим квадратное уравнение относительно (к2 + К2):

(к2 + К|)2 + (4к24к2 - к43) (к2 + - 4к24к4 = 0. (26)

Уравнение (26) позволяет записать аналитическое выражение для четырех возможных значений Кз:

кз1’2’з’4) = ±ч/к2 - 2

к3 - 4к24к2 ± \!(к3 - 4к24к2)2 + 16к24к4

(27)

Собственные векторы, соответствующие значениям Кзп), равны:

*(1) = (0,1,0,р1);

(0,1, 0, -р1);

(0,1, 0,рз);

(0,1, 0, -рз),

кз1), а(1)

кз2) = -К (1) Кз , а(2)

кзз), а(з)

кз4) = з) (з К - а(4)

х

е

X

где р1 = а4

(1)

с44

к2 + (К31))‘

Ро^

2в14кк31) 2в14кК3°

В системе уравнений для граничных условий (3) из восьми уравнений остаются четыре — описывающие смещения в поперечном направлении и описывающие волну электрического потенциала для верхней и нижней границ слоя:

Рз

„(3)

с44

к2 + К

"(3)

Ро^

К3)

¥ А 1 ■й т е А - Ве*к(3)* -Ве"^3^ С'

(С + В) е^З1^ ■й т е В) - (С (Е + Е) е<к33)ь ■й ¥ т е - (Е С2

Ае-^к31} * ■й А - Ве-*к33)* -Ве^к33)* Сз

■й т е В) - (С ( (С + В) е^з1^ (Е - Е) е-4К33)* (Е + Е) е4К33)* _ С4

0, (29)

где

А = се4 К31) + 3в14кр1, В = сЕ4к33) + 3в14крз;

С = е14к - 3еП1к31)р1, Е = е14к - 3еП1 К33)р3;

В = *9еоР1,

(30)

Очевидно, что структура матрицы (29) имеет определенную симметрию. Это дает возможность провести сложение и вычитание соответствующих строк и столбцов. После этого матрица, аналогично решению для волн Лэмба, разделяется на две независимые части:

А еИ (гК.^Н

С (*К31)^ + +В еИ (гК^Н

В (*К;3)Н

Е еИ (*К33)^

В еИ (*К33) Н 0

0

Е(*К33)М +

+Е еИ (*К33)Н

(31)

В итоге получаются дисперсионные уравнения, описывающие две различные волны с горизонтально-поперечной поляризацией и связанной с ней волной электрического потенциала:

А еИ (*к31)Н

А (*К'31)Н

Е (*К;3)н) + Ь еИ (*К.(3)Н)

(3)^ ■ (ж^н) + В еИ ^К.1)Н

-В еИ (*К.3)Н

Е еИ (*К.3)^ + Ь ^К3

-В (*К;3)н) ■ С еИ (ж^н) + В ^К.1)Н

(3)

0;

0.

(32)

Подставляя в (32) значения выражений А - Е (30), получаем дисперсионные уравнения

2

0

0

0

0

0

0

в виде

3 (к2 - к2) + (к31})2 3 (к2 - к2)+ (к<3))2

2е24 к2 + 3в71 се4 к2 - к? + (к31) )2)' к31) th («І1' н) - і9єое|4 к2 - к| + (К-11))

2е24 к2 + 3еп1 се4 к2 - к2 + К’ )2); к33) th (ік33) н) - і9єое|4 к2 - к2 + К> )2)

3 (к2 - к2) + (к31))2 3 (к2 - к2)+ (к33))2

2е24 к2 + 3еп1 е44 к2 - к,2 + (К”)2)' К33) th (*К33) н) - І9єоС‘44 к2 - к,2 + К')2)

2е24 к2 + 3еп1 се4 к2 - к2 + к )2); К31) ш (*К31) н) — і9єоСІ4 к2 - к2 + (К-1-)2)

(33)

Решая дисперсионные уравнения численными методами, можно найти некоторое множество решений относительно волнового вектора к и, следовательно, фазовые скорости различных мод -волн (рис. 4).

и I I I I I I I I I I

О 4 8 №12 16

Рис. 4. Скорости -волн в пластине германосилленита ВІ2^еО20

3. Влияние внешнего электрического поля на характеристики волн Лэмба и 8И-волн

На основе основных дисперсионных уравнений, описывающих распространение акустических волн в пьезоэлектрических пластинах, выполним анализ изменения характеристик акустической волны в пьезопластине вследствие изменения симметрии кристалла и возникновения модифицированных материальных констант на примере кристалла германосил-

ленита В^СеС^о при воздействии Е. Рассмотрим случай распространения акустической волны в направлении [100] плоскости (001). Дисперсионное уравнение относительно (при отсутствии электрического поля) для симметричной и антисимметричной мод волны Лэмба запишется в виде (20).

Под действием приложенного внешнего электрического поля Е компоненты тензора Грина-Кристоффеля (4) изменяются следующим образом [27]:

Гвс = (САВСД + САВ^М/Е) КаКд;

Г с4 = еАдс ;

Г 4с = Гс4 + 2еАрд й/рс М/ ЕК^Кд;

Г44 = -е*г. К/ К/.

(34)

Эффективные упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные являются функциями электрического поля:

✓>*

АВКЬ — сАвКЬ + (сАВКЬЦД^ЧД е/АВКь) М/Е;

* _ е^Ав + (е^Авкь й/кь + Н^/ав) М/Е;

е№АВ

(35)

£

п

+ (НММАВ йРАВ + £^МР

) МРЕ.

В выражениях (34) - (35) cAвкLQД, е^АВкь, £?/мр — нелинейные упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные соответственно; й/цд — пьезомодули; й^МАВ — тензор электрострикции; К/ и М/ — компоненты волнового и единичного векторов направления электрического поля соответственно.

Определим матрицы эффективных материальных постоянных, индуцированных внешним электрическим полем для кристалла кубической симметрии класса 23:

е//

С11 С12 С12 а 3 М1 Е а2 М2 Е а1 М3Е

С12 С11 С12 а1 М1 Е а 3 М2 Е а2 М3Е

С12 С12 С11 а2 М1 Е а1 М2 Е азМзЕ

Оз М1Е а1 М1 Е а2 М1 Е с44 а4МзЕ «4М2Е

а2 М2 Е азМ2Е а1 М2 Е а4МзЕ о 04М1Е

а1МзЕ а2МзЕ азМзЕ «4М2Е 04М1Е с44

Ьз М1Е &1М1Е &2М1Е е14 &4МзЕ &4М2Е

&2 -М2 Е ЬзМ2Е 61 М2 Е &4МзЕ е14 &4М1Е

&1МзЕ &2МзЕ ЬзМз Е 64 М2Е 64М1Е е14

- £п1 ^МзЕ ^Е'

£* = £// = 3МзЕ £11 3М1Е ;

.^Е 5М1Е £11

(36)

(37)

(38)

где нелинейные параметры имеют вид

«1 = С166^14 — е124; Я2 = с155^14 — е^; аз = 0144^14 — ец4; 0,4 = 0456^14 — ехбв;

61 = е124й14 + й12 ; 62 = е134й14 + й21; Ь3 = е114й14 + й11; 64 = е156й14 + й44; (39)

5 = й44й14 + е123.

Пусть к кристаллу В*2СеС2о приложено внешнее электрическое поле Е || [010]. В этом случае компоненты единичного вектора направления электрического поля принимают значения: М1 = 0, М2 = 1, Мз = 0. Приложение Е к кристаллической пластине вдоль оси

*

*

второго порядка понижает эффективную симметрию кубического кристалла до моноклинной (класс 2), индуцируя появление новых упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных:

с15

с46

С155^14 — 6134; с

с456(14 — е15б; 6

С166^14 — е124; е156(14 + Н44;

(40)

123-

Тензор Грина-Кристоффеля в этом случае имеет вид, как и в случае отсутствия внешнего электрического поля:

Г11 0 Г13 0

0 2 2 Г 0 4 2 Г

Г31 0 Г33 0

0 Г42 0 Г44

(41)

(42)

но теперь компоненты Г^ принимают иные значения:

Г11 — с^К? + с55Кз2 + 20^5^1 Кз + Й14 (с^ + 0^4) К1К3Е;

Г13 — С15К2 + с35Кз2 + (с1з + 055) К1К3 + Й14 (сМ + СЕ4К32) Е;

Г 22 — с66К2 + с44 К3 + 2с46К1К3;

Г24 — е^К + в34^3 + (е^ + е36) К1К3;

Г31 — с^К2 + с35К32 + (с?3 + с55) К1К3 + Й14 (с^К2 + с^К2) Е;

Г33 — с55К2 + с33К32 + 2с35К1К3 + Й14 (сЕ + с^) К1К3Е;

Г42 — е^К2 + е34К2 + (в14 + е36) К1К3;

Г44 — —■— £33К3 — (е13 + £31) К1К3-Таким образом, под действием внешнего электрического поля изменяются только материальные константы. В результате структура волн практически не изменяется, т.е. волны Лэмба и ЙН-волны остаются "чистыми" модами. Поэтому аналогично случаю распространения волн в отсутствие внешнего электрического поля можно разделить тензор на две независимые части.

Рассмотрим волновое уравнение, описывающее только смещения в сагиттальной плоскости. Характеристическое уравнение (5) принимает следующий вид:

(с^К2 + сЕ4К| + [(сЕ2 + сЕ4) (^14 + 202] К1К3 Е — ро^2}х х{с44К2 + с^К + [(сЕ2 + с|4) (14 + 2а[] К1К3 Е — ро^2}-

— ((сЕ2 + с|4) К1К3 + [(с^^М + 02) К2 + (с44Й14 + 01) К2] Е}х

х{(сЕг + с^) К1К3 + [(сЕ4(14 + 02) К + (с^^^ + 01) К2] Е} — 0.

(43)

Подобное уравнение, которое теперь является уравнением 4-й степени относительно неизвестных К3, не позволяет выразить искомые корни к3”^ в явном виде. Решение может быть найдено численными методами (например, для уравнения четвертой степени -методами Феррари, Декарта-Эйлера или поиском корней полинома).

Уравнение (24) для ЙН-волны описывает взаимосвязанное смещение в поперечном направлении и волну электрического потенциала. Соответствующее характеристическое уравнение запишется так:

(с66к2 + с44К3 + 2с46К1К3 — ро^2) х (—■— £33К3 — (е13 + £31) К1К3) — (44)

— (е^К2 + е34К32 + (е?4 + е36) К1К3)2 — 0.

к

Аналогично случаю движения в сагиттальной плоскости не представляется возможным

В зависимости от величины волнового числа к корни характеристического уравнения могут принимать различные значения и быть комплексными, мнимыми или действительными величинами.

значения в определитель граничных условий (3), но постоянные с-кт, е-к, заменим значениями с3-кт, ек3-, ^3к • Равенство нулю определителя даст скорость и поляризацию волн Лэмба и -волн в случае приложения к кристаллу внешнего электрического поля.

ской деформацией. Отметим также, что эффекты, связанные с изменением геометрии кристалла и учтенные в выражениях (34)-(35), приводят к нарушению симметрии тензора Грина-Кристоффеля. На рис. 6 приведены рассчитанные коэффициенты управляемости фазовых скоростей, показывающие меру воздействия электрического поля на скорости волн:

Следует отметить, что значения коэффициентов а^ для мод нулевого порядка существенно меньше, чем для волн первого и последующих порядков, причем как для волн Лэмба обоих типов, так и для -волн. Характерной особенностью является также различие в знаке значений а^ ("симметричность") для симметричных и антисимметричных волн Лэмба, например, $1 и Ах, $2 и А2 и т.д., что обусловлено эффектом гибридизации акустических мод. При отсутствии внешнего электрического поля имеются две точки, в которых равны фазовые скорости мод $1 и Ах (рис. 5). Эффект гибридизации, который заключается в существовании связанных мод и обмена энергией в условиях пространственновременного синхронизма, был отмечен авторами [28] для металлизированной поверхности ниобата калия. При Е — 0 в дисперсионных кривых фазовых скоростей существуют точки пересечения различных мод, где взаимодействие (гибридизация) между этими модами отсутствует. Приложение электрического поля приводит к "расталкиванию" дисперсионных

найти корни к3п) в явном виде. Решение может быть найдено только численными методами.

Вычислив к3п) и построив соответствующие им собственные векторы, подставим эти

4,2

4’4 “І V, 103м/с

На рис. 5 приведен пример изменения скоростей волн $1 и Ах под действием постоянного электрического поля (Е У [010]) для локальной области параметра Л,/Аг. Данные для расчета взяты из [22].

Рис. 5. Участок кривых скорости мод Ах и $1. Сплошные линии — Е — 0, пунктирные линии — внешнее поле Е || [010]

4,0

3,8

3,6 -|--------------------1-1---1-------1—1----------1—і---------------1

6 7 8 ^ 9 10

В данном варианте приложения поля изменяются только уже существующие компоненты тензора Грина-Кристоффеля, вследствие чего структура волн практически не изменяется. Однако дисперсионное уравнение в данном случае перестает быть биквадратным и вывод раздельных уравнений для симметричных и антисимметричных мод становится невозможен. Отметим, что именно те члены в уравнениях (43) и (44), которые связаны с воздействием электрического поля, характеризуют все изменения в конфигурации анизотропной сплошной среды, обусловленной статиче-

(45)

Рис. 6. Коэффициенты управляемости для Б и А мод волн Лэмба и БИ-волн в направлении [100] плоскости (001) германосилленита в случае приложения Е || [010]

зависимостей фазовых скоростей и к снятию вырождения для гибридных акустических мод волны Лэмба (рис. 5), что, естественно, вызывает существенное увеличение значений коэффициента ау для гибридных мод, но с разным знаком (рис. 6).

При приложении Е || [100], т.е. вдоль направления распространения волны, индуцируются новые материальные константы:

с14 = С144^14 - 6ц4; с56 = С456^14 — е15в;

С24 = с155^14 — е134; = еИ4^14 + И11;

е35 = е156 ^14 + И44; е13 = е134^14 + И21 •

(46)

Таким образом, тензор Грина-Кристоффе-ля принимает общий вид, т. е. не имеет нулевых компонент. Как было показано ранее [29], действие Е в данной конфигурации практически не оказывает влияния на значение фазовой скорости продольной объемной волны. Однако происходит снятие вырождения сдвиговых волн вдоль направления [100], в невозмущенном случае являющегося акустической осью, и последняя расщепляется на две конического типа с индексом Пуанкаре ± ^, причем расщепление акустической оси происходит в плоскости (110). Следовательно, волны Лэмба перестают быть чистыми модами, т.е. в смещениях волны присутствуют колебания вдоль оси Х2. Аналогичная ситуация возникает и с БИ-волнами.

На рис. 7 представлены дисперсионные кривые коэффициентов управляемости ау в зависимости от параметра Н/Аг при приложении к пьезопластине поля Е || [100]. Приведены коэффициенты управляемости ау только для мод с большим значением ау, т.к. значения

Рис. 7. Коэффициенты управляемости волн Лэмба в пластине германосилленита в направлении [100] плоскости (001) в случае приложения Е || [100]

аь остальных мод на графике неразличимы. Следует отметить, что наиболее значимые величины аь имеют первые моды акустических волн, причем значения аь мод А0 и £Н0 стремятся к значению ау волны Рэлея, которое в данном случае равно -3,17 х 10-10 В/м, в то время как величина аь для мод 5Н и £0 почти вдвое превышает значение аь волны Рэлея.

Отличительной особенностью при Е У [100] служит проявление эффекта гибридизации с увеличением ^/А£, в частности, для мод А0 и £Н0, значения фазовых скоростей которых стремятся к скорости поверхностной акустической волны с увеличением ^/А£. Непосредственно вырождение отсутствует. Однако приложение Е к кристаллической пластине приводит к связи мод А0 и £Н0 и "расталкиванию" дисперсионных зависимостей, что объясняет симметрию коэффициентов управляемости этих мод.

Другой вариант проявления гибридизации наблюдается сразу для трех мод, в частности мод А1, $Н2 и £, ($2, $Н4 и А2), вырождение которых при Е = 0 происходит в одной точке (рис. 8). Приложение Е У [100] приводит к трансформации акустических мод А2 и £Н4,

7,2 ид* 7,6 8,0 13 14 ь/А* 15 16

Рис. 8. Локальные области гибридизации различных мод волн Лэмба в пластине германо-силленита в направлении [100] плоскости (001) в случае приложения Е У [100]

аналогичной описанному выше, и к снятию вырождения скоростей этих мод. Для моды $2 изменение не происходит, но в точке вырождения фазовых скоростей акустических мод происходит смена знака ау, т.е. значение фазовой скорости волны при воздействии Е меньше до точки вырождения и больше после. Характер изменения в окрестности области гибридизации всех трех мод носит экспоненциальный характер. Подобные области гибридизации на рис. 7 указаны вертикальными пунктирными линиями.

Далее исследуем зависимость фазовых скоростей волн Лэмба и -волн от направления распространения при различных значениях параметра /, где / — частота волны. Рассмотрим плоскость (001) в пластинах германосилленита в случае приложения электрического поля Е У [100], Е У [010], Е У [001] при /: 1 — 500 м/с, 2 — 1000 м/с, 3 — 1500 м/с, 4 — 2000 м/с, 5 — 2500 м/с, 6 — 3000 м/с.

На рис. 9, а представлены рассчитанные кривые анизотропии фазовых скоростей мод А0, £Н0, £0 при различной толщине пластины в случае отсутствия внешнего электрического поля. Здесь же для сравнения приведены фазовые скорости объемных акустических волн.

Фазовая скорость антисимметричной волны в тонкой пластине практически не зависит от ее ориентации. С увеличением толщины фазовая скорость А0 увеличивается и проявля-

Рис. 9. Анизотропия характеристик нулевых мод волн Лэмба, -волн и объемных акустических волн в плоскости (001) кристалла В*12Св020: а — фазовые скорости; б — коэффициенты управляемости мод А0 при Е У [100]; в — коэффициенты управляемости мод А0 при Е У [010]; г — коэффициенты управляемости мод А0 при Е У [001]. Цифрами обозначены кривые при значениях г/: 1 - 500 м/с, 2 - 1000 м/с, 3 — 1500 м/с, 4 - 2000 м/с, 5 - 2500 м/с, 6 - 3000 м/с

ется ее анизотропия. Это связано с преимущественным направлением механического смещения вдоль нормали к поверхности пластины, т.е. деформация является изгибной. В то же время скорость упругой волны однозначно определяется эффективной жесткостью пластины. Поскольку при изгибной деформации с ростом толщины пластины ее эффективная жесткость растет, следовательно, фазовая скорость изгибной волны также должна увеличиваться. Скорость А0 с ростом толщины стремится к скорости медленной квазисдвиговой волны

Скорость волны с горизонтально-поперечной поляризацией £#0 характеризуется сильной анизотропией. Для тонкой пластины она незначительно превышает скорость быстрой квазисдвиговой волны £ и с увеличением толщины также стремится к скорости быстрой квазисдвиговой волны.

В отличие от антисимметричной моды и аналогично £Н0-волне скорость симметричной волны £0 также зависит от направления ее распространения. В тонкой пластине она приближается к скорости квазипродольной волны с ростом толщины стремится к скорости меделенной квазисдвиговой волны. Таким образом, с ростом толщины пластины нулевые волны Лэмба и -волны повторяют ориентационную зависимость той или иной квазис-двиговой волны.

На рис. 9, б-г представлены коэффициенты управляемости антисимметричной волны А0 внешним электрическим полем Е У [100], Е У [010], Е У [001] для различных значений /. Отметим, что с ростом толщины пластины характер анизотропии волны А0 приближается к анизотропии медленной квазисдвиговой волны Как показал численный расчет, при

воздействии Е У [010] значения коэффициентов управляемости примерно на 2 порядка меньше, чем при других направлениях приложения поля.

На рис. 10, а представлен квадрат динамического коэффициента электромеханической связи (КЭМС) волны А0 для различных значений / в случае отсутствия внешнего электрического поля. КЭМС по аналогии с поверхностными акустическими волнами определяется соотношением

К2 = 2 ~ , (47)

V*

где ур и vs — фазовые скорости волн на свободной и металлизированной поверхностях соответственно. Пьезоактивность волны обладает ярко выраженной анизотропией. Значение К2 максимально в направлении [110] и уменьшается от 2,3 % в тонкой пластине до 0,8 % в толстой пластине. Следует отметить, что значения квадрата коэффициента электромеханической связи для антисимметричной волны Лэмба и поверхностной акустической волны Рэлея в одном и том же материале соизмеримы.

Для симметричной волны значение КЭМС, аналогично волне А0, максимально в направлении [110] и достигает 0,4 % в тонкой пластине.

Отметим, что значение КЭМС волны с горизонтально-поперечной поляризацией максимально в направлении [100] и достигает значения 2,8 % в тонкой пластине. -волны

характеризуются большей пьезоактивностью, чем волны Лэмба, потому что наибольший вклад в изменение электрической поляризации вносят механические компоненты смещения частиц, параллельные поверхности пластины. Для -волны это компонента смещения которая на 3-4 порядка больше компонент Ц и Цз. Это означает, что электрическое поле, сопровождающее такую деформацию, будет максимальным. Следовательно, и КЭМС, определяемый через отношение взаимной и полной энергии, примет максимальное значение.

О

О

[100]

ИЮ] ф,

О

[010]

о

10 20

б

30

а

Рис. 10. Анизотропия характеристик КЭМС волн Ао в плоскости (001) кристалла Bi\2GeO2о: а — квадрат КЭМС А0 при E = 0; б — квадрат КЭМС А0 при E = 0 и E || [100] (пунктирные линии). Цифрами обозначены кривые при значениях hf: 1 - 500 м/с, 2 - 1000 м/с, 3 - 1500 м/с, 4 - 2000 м/с, 5 - 2500 м/с, 6 - 3000 м/с

На рис. 10, б приведен пример изменения величины КЭМС волны Ао при воздействии внешнего электрического поля E || [100]. Для невозмущенного кристалла в направлении [100] плоскости (001) K2 = 0. Приложение поля увеличивает значение КЭМС до 0,06 % в тонкой пластине и до 0,25 % в толстой пластине.

4. Выводы

В работе рассмотрена методика вывода дисперсионных уравнений для определения скоростей волн Лэмба и волн с горизонтально-поперечной поляризацией в изотропной среде и кубическом пьезоэлектрическом кристалле. На основе этой методики получены дисперсионные уравнения для нахождения скоростей волн Лэмба и SH-волн в пьезоэлектрическом кубическом кристалле класса 23.

Рассмотрена возможность проанализировать изменения дисперсионных зависимостей акустических волн в пьезоэлектрической пластине, возникающие под воздействием внешнего электрического поля. Отмечено, что в этом случае решения могут быть найдены только численными методами. Показано, что при различных вариантах приложения электрического поля в одном направлении распространения может возникать взаимодействие мод, отмечен эффект гибридизации акустических волн различных типов. Исследована анизотропия распространения нулевых мод волн Лэмба и SH-волн в пластинах германосилленита при приложении внешнего электрического поля. Полученные аналитические и численные результаты могут быть полезными для создания акустоэлектронных устройств и исследования других практически значимых эффектов.

Список литературы

[1] H.Lamb, On waves in an elastic plate, Proc. Roy. Soc., London, A 93, 1917, 114-128.

[2] И.А. Викторов, Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике, М., Наука, 1966.

[3] И.А. Викторов, Звуковые поверхностные волны в твердых телах, М., Наука, 1981.

[4] Акустика в задачах, под ред. С.Н. Гурбатова и О.В. Руденко, М., Наука, 1996.

[5] В.А. Красильников, В.В. Крылов, Введение в физическую акустику, М., Наука, 1984.

[6] Г.С. Ангелов, И.Н. Ермолов, А.И. Марков, Применение ультразвука в промышленности, М., Наука, 1975.

[7] F. Benmeddour, S.Grondel, J.Assaad, E. Moulin, Experimental study of the A0 and S0 Lamb waves interaction with symmetrical notches, Ultrasonics, 49(2009), 202-205.

[8] Т. Ghosh, Т. Kundu, P. Karpur, Efficient use of Lamb modes for detecting defects in large plates, Ultrasonics, 36(1998), 791-801.

[9] G.De Cicco, B. Morten, New approach to the excitation of plate waves for piezoelectric thick-film devices, Ultrasonics, 48(2008), 697-706.

[10] C.Potel, D.Leduc, B. Morvan, C.Depollier, A.C. Hladky-Hennion, J.L.Izbicki, P. Pareige, M. Bruneau, Lamb wave attenuation in a rough plate. I. Analytical and experimental results in an anisotropic plate, J. Appl. Phys., 104(2008), №7, 10.

[11] T.Hayashi, Sh. Endoh, Calculation and visualization of Lamb wave motion, Ultrasonics, 38(2000), 770-773.

[12] Д.И. Бардзокас, Б.А. Кудрявцев, Н.А. Сеник, Распространение волн в электромагнитоупругих средах, М., Эдиториал УРСС, 2003.

[13] I.E. Kuznetsova, B.D. Zaitsev, I.A. Borodina, A.A. Teplyh, V.V. Shurygin, S.G.Joshi, Investigation of acoustic waves of higher order propagating in plates of lithium niobate, Ultrasonics, 42(2004), 179-182.

[14] I.E. Kuznetsova, B.D. Zaitsev, S.G.Joshi, I.A. Borodina, Investigation of acoustic waves in thin plates of lithium niobate and lithium tantalate, IEEE Trans. UFFC, 48(2001), №1, 322-328.

[15] B.D. Zaitsev, I.E. Kuznetsova, I.A. Borodina, S.G.Joshi, Characteristics of acoustic plate waves in potassium niobate (KNbO3) single crystal, Ultrasonics, 39(2001), 51-55.

[16] M.A. Kulseh, V.P. Matveenko, I.N. Shardakov, Constructing an analytical solution for Lamb waves using the Cosserat continuum approach, J. Appl. Mechanics and Tech. Physics, 48(2007), №1, 119-125.

[17] L. Wang, S.I. Rokhlin, Stable reformulation of transfer matrix method for wave propagation in layered anisotropic media, Ultrasonics, 39(2001), 413-424.

[18] B. Collet, Recursive surface impedance matrix methods for ultrasonic wave propagation in piezoelectric multilayers, Ultrasonics, 42(2004), 189-197.

[19] E.L. Tan, A concise and efficient scattering matrix formalism for stable analysis of elastic wave propagation in multilayered anisotropic solids, Ultrasonics, 41(2003), 229-236.

[20] Li Fan, Shu-yi Zhang, Kai Zheng, Wei Lin, Hui-dong Gao, Calculation of electromechanical coupling coefficient of Lamb waves in multilayered plates, Ultrasonics, 44(2006), 849-852.

[21] B.A.Auld, D.E. Chimenti, P.J. Shull, Shear horizontal wave propagation in periodically layered composites, IEEE Trans. on Ultrason., Ferroel. and Freq. Contr., 43(1996), №2, 319.

[22] К.С. Александров, Б.П. Сорокин, С.И. Бурков, Эффективные пьезоэлектрические кристаллы для акустоэлектроники, пьезотехники и сенсоров, т.1, Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2007.

[23] Э.Дьелесан, Д. Руайе, Упругие волны в твердых телах. Применения для обработки сигналов, М., Наука, 1982.

[24] Дж. Фарнелл, Поверхностные акустические волны, в кн. Фильтры на поверхностных акустических волнах. Расчет, технология и применение, под ред. Г. Мэттьюза, М., Радио и связь, 1981.

[25] B.A. Auld, Acoustic fields and waves in solids, Malabar, Klieger Publishing Company, 1990, vol. 1.

[26] M.K. Балакирев, И.А. Гилинский, Волны в пьезокристаллах, Новосибирск, Наука, 1982.

[27] М.П. Зайцева, Ю.И. Ю.И. Кокорин, Ю.М.Сандлер, В.М. Зражевский, Б.П. Сорокин, А.М. Сысоев, Нелинейные электромеханические свойства ацентричных кристаллов, Новосибирск, Наука, 1986.

[28] И.Е. Кузнецова, Б.Д. Зайцев, А.А. Теплых, И.А. Бородина, Особенности "гибридизации" акустических волн в пьезоэлектрических пластинах, Акустический журнал, 53(2007), №1, 73-79.

[29] Б.П. Сорокин, М.П. Зайцева, Ю.И. Кокорин, С.И. Бурков, Б.В. Соболев, Н.А.Четвергов, Анизотропия управления скоростью объемных акустических волн электрическим полем в пьезоэлектриках со структурой силленита, Акустический журнал, 32(1986), №5, 664-666.

Propagation of the Lamb and SH-waves in piezoelectric cubic crystal’s plate

Olga P. Zolotova Sergey I. Burkov Boris P. Sorokin

A technique of derivation of dispersive equations for computing the velocity of Lamb and SH-waves in an isotropic media and piezoelectric crystals has been considered. The E-influence on the properties of the Lamb and SH-waves propagating in a piezoelectric Bi\2OeO20 crystal plate has been investigated,. The effect of hybridization of acoustic waves of various types is studied. The analytical and numerical results obtained in the paper can be useful for the design of acoustic devices and research of other practically important effects.

Keywords: Lamb wave, SH-wave, influence of electric field, controlling coefficient.