Проблема прогнозування в задачах математичного моделювання Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Абрамчук В.С., Абрамчук 1.В., Петрук Д.О., Пугач О.С., Юзва А.П. Проблема прогнозування в задачах математичного моделювання//Ф'зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2016. - Випуск 2(8). - С. 9-16.

Abramchuk V., Abramchuk I., Petruk D., Puhach O., Yuzva A. The problem of forecasting in mathematical modeling tasks // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 2(8). - Р. 9-16.

УДК 519.652

В.С. Абрамчук, Д.О. Петрук, О.С. Пугач, А.П. Юзва

Шнницький державний педагогчний унверситет ¡м. М. Коцюбинського, УкраУна

1.В. Абрамчук

Шнницький нац1ональний техн1чний ун1верситет, УкраУна

helenpugach@gmail. com

ПРОБЛЕМА ПРОГНОЗУВАННЯ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Вступ. В рiзних областях наукових дослщжень необхщно розв'язувати проблему вибору математичноТ моделi прогнозування, корекцш, прийняття управлшських ршень тощо. Особливо ця проблема гостро постала з розвитком теорп катастроф i хаосу [2, 3]. Необхщш новi математичш модели з допомогою яких можна дослщжувати стшмсть запропонованоТ моделi до рiзних збурень, ступшь ризику про прийнятт нових проекпв (управлшських ршень). Наведемо рiзнi приклади та пiдходи до задачi прогнозування, щоб потiм Тх об'еднати спiльною метою.

Задача розв'язування звичайних жорстких диференщальних рiвнянь (або систем - задача Кош^, права частина яких задовольняе умовам кнування i eдиностi розв'язку [4]. Нехай розв'язок належить простору Cm[a;b],m > 2. Прогнозований розв'язок будуемо в OKOЛi початковоТ точки x0 е (a;b) у виглядi вiдрiзку ряду Тейлора : y( x) = Pm_1(x). Зкоректуемо розв'язок методом Адамса-Башфорта [4], iнтегруючи праву частину одним з методiв чисельного штегрування з точнiстю o(hn), n>m_1, за даними прогнозу. Виникае проблема стшкост наближеного розв'язку для жорстких диференщальних рiвнянь [1].

Розглянемо проблему побудови оптимальних штерполяцшних квадратур за певних критерив (найвищоТ алгебричноТ точносп, вибору оптимальних вузлiв, оптимальних вагових коефiцiентiв тощо [4, 5]).

Попередня проблема штегрування ткно повязана з побудовою iнтерполяцiйних многочленiв, похибкою обчислення Тх коефiцiентiв [4, 5]. Дослщження форм Морса i Тома стану рiвноваги фiзичних систем (стiйкого або нестшкого) пов'язана з проблемою дослщження квадратичних форм, врахуванням умов стшкосп при розв'язуваннi диференцiальних рiвнянь [2]. В економщ^ екологп, хiмiчнiй кшетищ, в процесах горiння, вибухiв, землетруав, деформaцiй, пошкоджень необхiдно розв'язувати одну й туж принципову задачу прогнозування та ступення визначення ризику.

Постановка проблеми. 1. Розробити теор^ позiномiaльноТ штерполяци неперервних або дискретнх функцш.

2. Обгрунтувати умови кнування штерполяцшних позiномiв.

3. Показати зaстосовaнiсть позiномiaльних многочленiв.

Основна частина. 1. НайпростЫ iнтерполяцiйнi позiноми (многочлени одшеТ змшноТ з довiльними дiйсними показниками). Нехай задана аткова функцi даними (x0;y0), (xi;y1), (x2;y2). 1нтерполювати сiткову функцiю позшомами:

nx (x) = A + A (x _ X )(x _ X +1)", (x) = B + B (x _ X )(x2 _ x + 1/, X < X < x2, X е У е R, i = 0,1,2.

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Позшо1^альна триточкова штерполящя функцГГ на сiтцi {х„ х XI V -х°+ ^ за умови, що

V 0' 1' 2 X — ,

1 2

середня швидшсть змiни функцГГ на пiвпромiжках [х,х], [х,х] одного знаку. Нехай позiном заданий формулою [1]

ln

7Ti(x) — A0 + A1(x-x0 + Г (x-Xj), A0 — A — , g = y -y , (1)

x1 - x0 ln(1 + h)

ln yl - y0

n2(x) — Bo + Bj(x2 -x +1/(x-xj), Bo — yj, B — У^А, p = y -У1 =

x - x ln(1 + h)

Де h — x'

Теорема 1. Якщо функцiя f (х) неперервна i монотонна на [а;Ь] то позiноми л (х), л2(х) визначенi на атц {х,X,X}' [X; X] с [а;Ь], iснують i гх параметри визначаються однозначно над полем дшсних чисел, р — -а,-

X I X'2^

Доведення. Приймемо для однозначностi x1 ——-—.

Маемо: X — x1, А0 — у1, В0 — у; X — x0 (для л1(X)), А — , X — x2 (для л^)), В — У - У;

X — ^ (для л^)), А2 — у—у^1у—Ууг — (1 + к)а, к — x2 -x0; X — x0 (для л2(x)), В1 = У1—— / У—У =(1 + к)Р. Оскiльки — — П, то вирази А, В спростяться:

V _ V I V _ V 2 110^ 2 2

■Л Л'2 Л'1 2

А2 — (У2 - У1 ^СУ - У0) , В2 — (У1 - У0У(У2 - У1) .

За умовою iнтерполююча функщя монотонна, тому а1 , В2 е додатними числами (прирости функцiй

1 X ■ О А а 1п В2 одного знаку). З форми запису виразiв а, рвипливае, що р—-а, а —-— , р — --—.

1п(1 + к) 1п(1 + к)

Пiдставивши значення А2, В2 Дiстанемо формули (1). Доведення завершено.

Параметр а(аналопчно р вказуе на логарифмiчну швидмсть змiни функцГГ на переходi вщ одного пiвпромiжка до iншого по вщношенню до логaрифмiчноí довжини промiжка, змщено'Г на одиницю. За допомогою значення параметра а можна судити про швидшсть затухання процесу, якщо 0 <а +1 < 1, або про наближення до катастрофи (розриву функцГГ), якщо а + 1 < 0.

Порiвняемо позiномaльну штерполяцш з триточковою параболiчною на атц IX,,,X,X}

Р2ы — С0 + Cl(x-xl) + С^-^)2: С0 — у15 с — у2 у0 с — у0-2 у1 + у

X2 - Xo 2 к2 / 2

Пaрaболiчнa iнтерполяцiя визначае швидкiсть змши функцГГ на всьому промiжку лише за рахунок коефiцiентiв i не визначае порядку змши функцГГ при переходi вщ одного пiвпромiжкa до шшого. Тестовий приклад погано зумовленоГ функцГГ

У — /(X) — ^, X е [е-2;е2], ^dx — -1(1 + 1п X)- .

X •> X X 10

X)

Промiжок [е ~2;е2] розiб'емо на три промiжки [е е0,5],

5 5

[е0'5;е6], [е6;е2]. На першому промiжку функцiя сильно зростае вщ значення -109 до значення 0,18393972; на промiжку

5

[е0,5; е6 ] функщя монотонно спадае (опукла вгору); на промiжку

5

е1 ~ 1

х [е6 ;е~] - монотонно спадае, але опукла вниз (рис. 1)

На кожному з цих пром1жшв показник а приймае р1вш Рис■ 1 значення.

1) х е [е~2; е ], х0 = е~2 = 0,135335283 , х = е0,5 = 1,6

х0 I X 2

= 0,8 8 ,: у0 =-1 ,10 9 9

1 2

у2 = 0,18393972, у = -0,143591016, у - у = 109,0527091, у - у = 0,327530736

1п У^^^

И = 1,513385987 , а = У' -У0 = - 5,808004713 = -6,301877545

1п(1 + И) 0.921630842

5

2) х е [е0'5;е6], а = 1,174107023

5

3) X е [е6;е2], а = -0,598507395

1п х

Коефiцieнти позшомальноТ штерполяцп функцГГ у =- на кожному промiжку розбиття

X 2

1) х е [е-2;е05], А0 = у = -0,143591016 , Д = = 144,1175087 ;

Х1 - х0

5

2) хе [е0'5;е6], А0 = у1 = 0,174483852 , А1 = = -0,029056346 ;

х1 - х0

3) х е [е5;е2], А0 = у = 0,067220688 , Д = ^^^ = -0,035445843.

х1 - х0

2. Позшомiальш квадратурнi формули. Нехай функщя у = у(х), /(х) е С[а;Ь], [х; х] с [а; Ь] , iнтерполюeться позiномом л (х). Тодi застосувавши метод штегрування частинами, д^анемо

'И 1 + И I И 1 + - + -

I = | л (х)^х = | (А + А (х - х + 1)а(х - х )^х = уИ +- (1 + И)а+11---I

^а + 1 \ 2 ^а + 2 у

г. г. _ 4 '

а +1

_ 1п(1+И)

2 а + 2 У 2 а + 2

Позначимо 1 + И = е , матимемо

у2 - У1

1пС+Л)_-у1-у^ 1пу2-у1 у - у

а „ 1п(1+И) _ у - у0 _ У 2

1п

>"Г

(1 + И)а= е ln('+А) = е

у - у0

Отже, I = у И + -

1 у2 - у (1+И)( И - 1 + И )у2 - у

а +1 у1 - УС а +1 1* - ус

+ — + -

(2)

0,5

Застосуемо формулу (2) для обчислення визначеного штегралу, маемо (хух = -14 74243864

е-2

- за позшомп"альною квадратурною формулою, ^_И(у + у ) = _27 64116884 - за квадратурною

6

е0'5

формулою ймпсона, точне значення г 1пх ^ _ 3 2989

-2 х2 ,

е

Висновок. Якщо функцiя у = у(х) е погано зумовленою (1 + а < 0), то позiномiальна квадратура

мае перевагу перед квадратурою ймпсона.

3. Адаптивш квадратурнi формули. Адаптивнi квадратурнi формули враховують рельеф змши кривоТ тдштегральноТ функцГГ на промiжках розбиття, щоб зменшити кiлькiсть обчислень значень функци i збiльшити точшсть квадратурних формул на всьому промiжку iнтегрування. Однiею з таких адаптивних формул е формула на основi квадратурноТ формули Сiмпсона:

^ = [ (С + с (х - х) + С (х - х )2)^х = С0к + с ~—х)"

3

х0

х2

И ,

= - (у0 + 4у1 + у2). 6

Обчислення проводиться на всьому промГжку з кроком h та на шдштевалах з кроком h ,

2 h5

розбиваючи промiжок Г x • x ] навпш, дГстанемо S(1) + S(2) = S, де точшсть формули S дорiвнюe O(—)

o ' 21 h h 16

[4]. Якщо 1

Sh1) + S? -Sh

2 2

2 2

c0) ç(2)

<s , де S h - значення квадратури Сiмпсона на першому пiдiнтервалi, а Sh

2 2

10

на другому, s - задана похибка, то за наближене значення штегралу приймаеться J f (x) ~Sh ^ + Sh

x,

(1) ^ c(2) . h i

2 2

x0

процес продовжуеться.

Якщо умова не виконуеться, то шдштервали розбиваються навпiл, повторюють обчислення з

похибкою s = s i т.д. Метод може "провалитися", якщо iснуе такий вузький штервал, на якому функцiя

1 2

швидко змiнюеться [5].

4. Ермггова позшомiальна двоточкова iнтерполяцiя e (Х) = щ(Х) ■

Нехай на промiжку [x;Xj] виконана позiномiальна штерполяцГя щ (x) i нехай шдштегральна функцiя y = f ( Х) е неперервною разом з першою похiдною. Позiноми Ермiта задамо у формк

E (x) = A + A (x-x )(x-x +1)" (4)

а знайдемо з умови iнтерполяцil , y, ), (x, y ) на промiжку | x„, x |, x = xo + x2 :

Праметри д, A, а знайдемо з умови штерполяцГГ (x,y0,y'0), {xl,y) на промiжку [x0,x], x = -

A0 = y!, x = x0 ^ A = ;

x1 - xo

f '(xo) = A1 ("(x - xo +1)а-1 (x - x1) + (x - xo +1)а )|x = A1 (а(xo - x) -1 ^

ix0

1-Ùxl=ah, A 2

1-ih!^ = Ih-а, h = x1-xo, а = аЕ. 2 y1- yo 2 2

Ермiтiв позшом E(x) i Гнтерполяцшний позiном вибираються за однаковою формою

E (x) = щ ( x) = A + A(x-x0 +1)"( x - x ), але iнтерполяцiйний позiном обчислюеться з умови:

h

задана атка (x,x1 = x, + -,x2 = xo + h) i значення функцГГ у вузлах сггки yo = f(x0), y = f (x), y = f (x2).

h

Ермтв позГном будуеться з використанням двох вузлГв (x,x = x + ^) i значень yo = f (x), y^ = f '(x),

y = f (x ). Параметри iнтерполяu,iйного поз>нома: A = y, д1 = y1 - yo, а1 = ln y2 - y1 / ln(1 + h)

x1 - xo y1 - yo

Параметри ерм>тового позНома:

A = y, A = ^^, аЕ = (1-1 hÄ^/2, (5)

x1 xo 2 y1 yo

отже ae = Ai, ae = A.

Якщо а1 «аЕ, то крок h е прогнозованим i штеграл обчислюеться за формулою (2).

Теорема 2 . Якщо f (x) <EC\a;b] i функцГя y = f (x) штерполюеться позГномом E ( x) на сГтцГ

{x,x,x}, x = xo + x2, x < x < x, за даними yo = f '(x), y = f(x), y ф y0, то ермтв позшом Гснуе i

1 2

единий.

Задамо деяку послГдовшсть крошв, наприклад, ^ш) 1 Якщо для деякого найбГльшого

'2'4'"'' ш '

значення h. е (h(m)) виконуеться критерГй а «aE, то пГдГнтервал [a] приймаеться i обчислюеться значення штеграла за позГномГальною формулою (2) або формулою ймпсона .

Виконаемо розбиття промiжка [а;Ьо] = [е~2;е0,5], на якому функцiя _1пх погано зумовлена

у — х2

Результати обчислень наведенi у табл.1.

Таблиця 1

И* ак а + Ь „ _ к к ск — 2 Ьк ак' акЕ

1 0.135335283 0.892028276 1.648721271 -6.301877545 -17.17592347

2 0.135335283 0.513681779 0.892028276 -6.748364624 -16.26674426

3 0.135335283 0.324508531 0.513681779 -7.161531879 -15.19060588

4 0.135335283 0.229921907 0.324508531 -8.99804994 -14.211711

5 0.135335283 0.182628595 0.229921907 -10.19376503 -13.50367434

6 0.135335283 0.158981939 0.182628595 -11.13837407 -13.06776847

Висновок. Шiсть крокiв достатньо, щоб розбити промiжок [е~ ;е ' ], на якому функщя змiнюе свою швидкiсть вiд /'(е"2) = 2017.143967 до /'(е05) = 0, на шдштервали, на яких можна застосувати позiномiальнi квадратури.

Обгрунтуемо, що при И ^ 0, а1 ^аЕ . Мае мiсце лема. Лема. Якщо функцiя у — / (х) еС"[а;Ь], т — 3 i /'(х) Ф 0, то

Я _ 1 у(2)(с)

Нша/ = НшаЕ = -1- ,,,

и^0 и^0 2 у (с)

(5)

де с — ±0

--[Х0;Х2] с [а;Ь] у(1)с =

2 у К ) dx

У (2)(с ) =

d2 у

dx2 Доведення

а1 — Иш1п У2 У' / 1п(1 + И) = Нш1п

У( с + -) - У (с)

У1 - У0

г \ г И У(с) - У(с --)

/ И,

И — Хл Хл 1

Ич

У(с +-) - У(с)

Розкладемо вираз-у вiдрiзок ряду Тейлора в околi точки х — с :

У(с) - У(с - -)

у(с + И) - у(с) у'( с) И + ^Й2 +... + О.И)

2

2

2! 2

У(с) - У(с - И) у'( с)И - И)2 +... + О2(Ит)

— 1 +

у" (с)И

- + Оз(Ил)

у'(с) 2

i скористаемось розкладом функцГГ 1п(1 + х) в околi точки х — 0,

/ _ 1 у" (с)

1п(1+уЧс)И+О (И3)) — у^с).И+О( (И3). Звiдси випливае ¡стинн^ь формули Иша = 2 у(с) у'(с) 2 у'(с) 2

Доведемо праву частину формули (6)

Нш ав — Нш(1 -

' ->0 И —

1 у ' (с)

у '(И) = 2(1 _

у1 - У0 2 И

У (с) - /м И + ^И )2 + о,(И3) 1! 2 2! 2

у ' (с) - ^ И) + О2(И3)

)—

2 у '(с)

+ О(И).

Звiдси випливае iстиннiсть правог частини формули (6) при переходi до границ при И ^ 0. Доведення леми завершене.

5. Задача про р1вновагу динамтноТ системи. Ступшь ризику (спйкосп). В роботах [Морс, Том, Плмор] поведшка к - параметричноТ ам'Т потенц1ально'| функцм К(х,с), хеЯ" вектор координат, сеКк вектор параметр1в може бути описана наступними формами [2]:

-якщо уу^О вокол1точки (хп,сп),то повеД1нка функцмV може бути описана з використанням теореми про кнування неявног функцГГ;

- якщо VV = 0, але detV Ф 0 (V - матриця стшкосл, матриця складена з других частинних

V и

похщних функци V у точц1 (х0,с0))/ то функщя може бути приведена до каношчноТ форми Морса

п

(V = ХЛу,2 , Л - власнi значення матриц стiйкостi у);

/=1

- якщо ДV = 0 i detV,■ = 0, то використовуеться

п

(V = CG(/) =ХЛу2 , СО(1) - росток катастроф, визначений через I

каношчна

форма Тома нульових власних значень

.(0)

■ вироджена критична точка)

Л1(с0) = ... = Л?(с0) = 0, х'

У вщповщносл до щеТ моделi стан рiвноваги системи може бути стiйким - локальний м^мум, нестiйким - локальний максимум або сщлова точка (точка оптимальноТ стратеги економiчноТ дiяльностi (м^мальш затрати - максимальний прибуток)). Виникае проблемна задача, як управляти динамiчним процесом в умовах флуктацп, щоб система весь час знаходилась в умовах стшкосл. Тобто за дискретними значеннями спостережень (обчислень) деякоТ характеристики (сукупносл характеристик) прогнозувати ступiнь стшкосл (або ступiнь ризику до флуктацш). Ця задача е задачею як сьогодення так i на перспективу у зв'язку з новими техшчними та технолопчними конструкцiями, матерiалами, новими структурами в обласл економiки [3]. Економiчнi процеси розглядаються, не як статичш структури, а як процеси розвитку, як свого роду еволющя [3]. 1ндус^альне суспiльство проходить у своему розвитку проходить через фози благополуччя i депресп (теорiя Готфща Хеберлера). 1снують не лише випадки максимально! стшкосл, досягнутоТ укрiпленням економiчних зв'язкiв, а й при укршленш i посиленнi економiчних зв'язкiв можливi швидкi втрати стiйкостi, що е джерелом кризисних явищ i катастроф. Тобто умови стшкосл без прогнозування i управлiння можуть привести в силу сусптьно-пол^ичних i природних флуктацш до рiзних стадiй економiчного розвитку [3]. Текстовий приклад математичноТ характеристики - функци у = 1п х / х2

в околi критичноТ точки х = в0'5 е прикладом того, як вщ вибраного напрямку (стратегГТ) можуть рiзко змшюватись поведiнка функци. Це вимагае введення для таких погано зумовлених функцш ступеня швидкосл змiни функци (показника степеня) при переходi вщ одного промiжка спостереження даних до шшого (у загальному, не лише вщ значень параметрiв, а й вщ обраного напрямку).

6. Позшомнальш ¡нтерполяцшш многочлени багатьох змшних. Стушнь ризику. Якщо параметр1в управляння е бтьше одного \ характеристика /(.?), х = (х1,х^,...,хш)Г/ Щ° описуе процес е погано зумовленою в одному або в декшькох напрямках в окол1 точки ^ , то необхщно розвинути теорш

¡нтерполяцшних багатом1сних позшом1в.

Домустимо, що /(х) задана на деякому прямокутному паралелешпед1 \ погано зумовлена лише

в одному напрямку по змшнш Х- Нехай ¡нтерполящя виконуеться на атц1 (х0,х15хо) за заданими значеннями = =/(Зс,.)/ /'=0,1,2, ¡, нехай функц1я монотонна по змшш хг у заданому напрямку. Виконаемо по змшнш х = х позiномiальну iнтерполяцiю для фiксованих значень параметрiв х2,...,хт на заданш сiтцi:

(Xj, xf,..., X™) = 4" + 4" (X - X )(х - X +1 T,ie [1; З"-1 ] ■

40)

ХО

ХО

У2 У1 У0

•-•

Оскшьки функщя - = /(х) монотонна по змшнш х1 У заданому напрямку, то параметри

А('),4визначаються однозначно (теорема 1).

Позначимо через Ь триточковий штерполяцшний оператор Лапласа, Ь(8) = В0 + В(8-8) + В(8-8)(8-8) однiеТ змшноТ 8, що виконуе штерполяцш функци ^(8) на сiтцi 80 < 8 < 8 за даними

В0 = *, В ^, В 1 /(82-80) .

82 -8, \82-81 81 -80 )

Послiдовно застосуемо оператор Лапласа для кожноТ змшноТ X,. .,Хт. Пояснимо цей процес для атки простору Я2 (рис. 2). Позначимо

41-<>■

Хо XI Рис. 2

Х2

x

^XxУ0) = %, я(2)(x,у) = , ж(3)(X,y2) = ф2 i

зшиемо позiноми

Ж , я(2), Ж по змiннiи у:

я(x,y) = B0 + Bx(y - y) + B2(y - y!)(y - y2) Б0 = Ж0)(x,y0) = р0

У

_ж(2\х,y2)-ж(1\х,

B1

У2 - У У2 - y

ж(3)( х, У2) -к(2)( х, У) ж(2)( х, У1) -ж(1)( х, Уо) У2 - У1 У2 - Уо

У2 - Уо)

/(У2 - Уо) =

v У2 - У1 У1 - Уо,

CTyniHb ризику - показник min(a, +1 + 2), i = 1,2,3. Таким чином, якщо ризик в основному залежить вщ одного параметра керування, то наявшсть iншого параметра, що не мае ризику, демфуе (сповiльнюe) ризик. Це вщповщае теори катастроф [2]. Проте, якщо змша двох параметрiв може визивати ризик, то загальна модель може тдвищити стушнь наближення до катастрофи. У цьому випадку необхщно позшом 7и(х,у) модифiкувати. Нехай визначен позiноми л{,)(х,yM), i = 1,2,3. Визначимо параметри *(i) позiномiв вiд змшноТ y :

Ф(0( У, х,-1) = C0(i) + C(i)(y - У1) + C2°( У - У1)(У - Уо +1)* Виберемо min(*+1) = *, i = 1,2,3.

Якщо *0 < о, тобто iснуe ризик по другш змiннiй, то оператор Лапласа модифтуемо:

гг(х,у) = Д + Д(у - У1) + D2(y - y1)(y - y2Xy - Уо +1)*°,

00 = t = Во, D^^z-t = Bu D2(y2 - Уо +1)*= = В2.

У 2 У1

Тодi ступiнь ризику буде визначатись показником min(a + * + 3), i = 1,2,3.

Перехщ до змшноТ х3 е рекурентною (тензорною) операцieю, виконаною за допомогою оператора Лапласа над позiномами х, у), л{1)(х, у), ^(3)(х, у).

Позiномiальна iнтерполяцiя погано зумовленоТ функци багатьох змшних дозволяе обчислювати кратнi штеграли неперервних функцiй на прямокутному паралелешпедк Загальний пiдсумок сформулюемо в теоремк

Теорема 3. Якщо функщя z = f (хг,...,хт), т>2 неперервна на замкненому паралелептед1

D = {x: <Xj(,) < xi'\i = \,...т} i погано зумовлена по однш змшнш Xl, по якш вона монотонна (або по

1 <т змшним, по яким вона монотонна), то ¡нтерполяцшний позшом л(х) Лагранжевого типу на атщ з 3" вузлами кнуе.

Для единост позiнома багатьох змiнних необхiдно обмежити умови задання функци, що штерполюеться.

Список використаних джерел

1. Абрамчук В.С. Наближене штегрування жорстких задач / В. С. Абрамчук, I. В. Абрамчук // Матиматичне та комп'ютерне моделювання. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - Кам'янець-Подшьський нацiональний унiверситет, 2012. - №7. - 292 с. / С. 3-17.

2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2-х книгах. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 350 с. (кн. 1).

3. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер. с англ./ В. Б. Занг. - М.: Мир, 1999. - 335 с.

4. Мэтьюз Дж. Численные методы. Использование MATLAB. Пер. с англ. / Дж. Мэтьюз, Ф. Куртис. - М.: Вильямс, 2001. - 720 с.

5. Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа / А. Г. Сухарев. - М.: Наука, 1989. - 304 с.

Анота^я. Абрамчук В.С., Абрамчук 1.В., Петрук Д.О., Пугач О.С., Юзва А.П. Проблема прогнозування в задачах математичного моделювання.

У cmammi описаний двоточковий i триточковий метод поз'1ном'1ально'{ '¡нтерполяци для iнтегрування погано зумовлених функ^й, визначення ступення ризику. Розроблено теор>ю поз'1ном'1ально'{ iнтерполяци неперервних або дискретнх функ^й. Обгрунтовано умови '¡снування iнтерполяцiйних поз'1ном'1в. Продемонстрованозастосовувашсть поз'шом'альнихмногочленiв. Знайшли умови снуванняЛагранжевого типу позному на 3". Дйшли до висновку, що для еднот познома багатьох зм 'шних необидно обмежити умови задання функци, що iнтерполюеться.

Ключовi слова: поз 'шом, iнтерполяцiя, погано зумовлена функ^я, '¡нтегрування, ступiнь ризику, р>вновага динам 'мно)'системи.

Анотация. Абрамчук В.С., Абрамчук И.В., Петрук Д.О., Пугач Е.С., Юзва А.П. Проблема прогнозирования в задачах математического моделирования.

В статье описан двухточечный и трехточечный метод позиномиальной интерполяции для интегрирования плохо обусловленных функций, определения степени риска. Разработана теория позиномиальной интерполяции непрерывных или дискретнх функций. Обоснованно условия существования интерполяционных позиномов. Продемонстрировано применимость позиномиальних многочленов. Нашли условия существования Лагранжевого типа позинома на сетке зт. Пришли к выводу, что для единства полинома многих переменных необходимо ограничить условия задания интерполированной функции.

Ключевые слова: Позином, интерполяция, плохо обусловлена функция, интегрирования, степень риска, равновесие динамической системы.

Abstract. Abramchuk V.S., Abramchuk I.V., Petruk D.O., Puhach O.S., Yuzva A.P. The problem of forecasting in tasks of mathematical modeling.

This article describes the two-point and three-point interpolation method for integrating pozinomialnoy ill-conditioned function, determine the degree of risk. The theory of interpolation of continuous or pozinomialnoy diskretnh functions. Reasonably conditions for the existence of interpolation pozinomov. It demonstrated the applicability pozinomialnih polynomials. They found the conditions of existence of Lagrangian type pozinoma on the grid. Concluded that the unity of a polynomial in several variables necessary to limit the terms of the job interpolated fun ction.

Keywords: pozinom, interpolation, function poorly conditioned, integration, integration risk, balance of dynamical system.