CC BY
65
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Мартиненко О.В., Чкана Я.О. Про pi3Hi методи знаходження ск'нченних сум // Ф'1зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. - Випуск 4(14). - С. 59-67.
Martynenko E.V., Chkana Ya. O. On Different Methods of Calculating Final Sums // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 4(14). - Р. 59-67.
УДК 517.52(075.8)
О.В. Мартиненко, Я.О. Чкана
Сумський державний педагог1чний ушверситет '¡мен'! А.С. Макаренка, УкраУна
elenamartova120@gmail.com, chkana_76@ukr.net
ПРО Р1ЗН1 МЕТОДИ ЗНАХОДЖЕННЯ СК1НЧЕННИХ СУМ
Анота^я. При дослдженн р1зних наукових аспекте можна отримати одну й ту ж саму математичну модель, яка в1дпов1дае певн1й математичн1й задачi, якщо розглядати УУ з точки зору формальноУ постановки. Не менш актуальним е питання в!дшукання рiзних методiв УУ розв'язування i вибору в певному розум '1нн'1 оптимального з низки можливих. Ця проблема завжди цкавила математиюв. Одшею з таких задач е задача на знаходження сюнченних сум, формулювання якоУ зустр'наеться в математичному анал'з'!, дискретнiй математик, теори ймов'рностей тощо. Завдання на пдсумовування пропонують на математичних ол'1мп'1адах р'зних р'вшв.
У роботi розглянуто р'1зн'1 методи розв'язування задачi знаходження сюнченних сум, а саме: метод елементарних перетворень над виразами, методи диферен^ального та iнтегрального числень, метод зведення до вже в!домих сум, застосування сюнченних р'зниць та р'зницевих р'внянь, теори комплексних чисел. Описано можливост'1 й особливостi Ух застосування, також обфунтувано доuiльнiсть вибору обраного методу в умовах окремоУзадач '!.
Ключовi слова: метод, задача, сума, тдсумовування, рекурентнсть, р'зницеве рiвняння.
Постановка проблеми та аналiз актуальних дослщжень. Кожна задача потребуе правильного вибору методу и розв'язування, тому важливо для кожного класу задач видтити так званий «свш» метод. Ця проблема завжди цтавила математимв. Але очевидно, що при описанш зовам рiзних процеав ми можемо прийти до одшеТ математичноТ модели яка виражаеться у формi задачу тому не менш актуальним е питання вщшукання рiзних методiв для одшеТ задачi з точки зору ТТ загальноТ постановки.
До знаходження скшченних сум нас зокрема приводять потреби самоТ математики та дослщження багатьох явищ у природознавств^ завдання на шдсумовування завжди пропонують на математичних олiмпiадах рiзних рiвнiв. 1снуе багато методiв розв'язування даноТ задачу кожен з них е самодостатшм, вщноситься до певного роздту математики i потребуе вщповщних знань, гарного володшня техшкою тотожних перетворень, розумшня особливостей його застосування в даних умовах. Нажаль, описання окремих методiв шдсумовування подано в рiзнiй математичнш л^ератур^ тому розумшня Тх вцтому, як i використання, е досить проблематичним.
Мета статтк Розглянути рiзнi методи розв'язування задачi знаходження скшченних сум, об^рунтувати доцшьшсть Тх вибору та описати особливост застосування, показати можливост та переваги кожного з методiв в умовах окремоТ задачк
Виклад основного матерiалу.
1. Методи, що базуються на властивостях скшченних сум
В основу цього методу покладено прийом перегрупування члешв iз подальшим вивченням поведiнки
n
вщповщних сум. Нехай Sn = ^ak , тодi
k=0
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
n+1 n+1 r , n
Sn+1 = Sn + an+1 = ¿ak = a0 + ¿ak = k ^ k+lj=a0 + Sak+1 k=0 k=1 k=0 n n
або Sn = a0 + Xak+1 _an+1. Очевидно, що сума ¿ak+1 формально схожа на Sn .
k=0 k=0
n
Отже, якщо ми зможемо застосовуючи властивост скiнченних сум виразити ¿ak+1 через Sn, то,
k=0 k+1
виконавши вiдповiднi тотожнi перетворення виразiв, отримаемо замкнений вiдносно Sn вираз для шуканоТ суми.
Приклад. Знайти суму квадралв перших n натуральних чисел.
n
Позначимо через Sn = ¿k3 i розглянемо Sn + (n+1)3. Маемо, що
k=0
Sn +(n+1)3 = £(k+1)3 = £(k3 + 3k2 + 3k+1)=Sn + 3¿k2 + 3 ¿k + £ 1 = Sn + 3¿k2 + 3n(n-1)+(
"(и+1)3 = £(к+1)3 = £(к3 + 3к2 + 3к+1)=^ + 3£к2 + 3 £к + £ 1 = + 3¿к2 + 3^^+(п+1).
¿=0 к=0 к=0 к=0 к=0 к=0 2
Отже, ^ +(п+1)3 = Бп + 3 ¿к2 + 3 и("+1)+(п+1), звщси
к =0 2
^ 2_ п(п+1)(2я+1) к=0 6 '
Приклад. Знайти ¿к• 2 .
к=0
Знаходження сшнченних сум такого типу значно спростить застосування спецiальних функцiй -квазiмногочленiв /(х) = х• ах. Пщ квазiмногочленами в математик прийнято вважати функцГГ, що е лiнiйними комбiнацiями добуткiв многочленiв та показникових функцш. Видiлення Тх в окрему математичну структуру обумовлено кшькома причинами, серед яких на особливу увагу заслуговуе можливiсть описання за допомогою квазiмногочленiв реальних фiзичних, хiмiчних та бiологiчних процесiв. п
}п
Нехай Sn = ¿k• 2k . За загальною схемою даного методу маемо, що
k=0
Sn +(n+i)-2n+1 = £ (k+1). 2k+1 = ¿k • 2k+1 + £ 2k+1 = k=0 k=0 k=0
2n+2 - 2 ,0
= 2S„ + 2-2 = 2S„ + 2 2 - 2.
2-1
n
Отже, Бп = ¿к • 2к = 2п+1(п-1)+2. к=0
2. Застосування диференцiального та штегрального числення
Часто при знаходженнi скiнченних сум безпосередне виконання тотожних перетворень е досить складним, але для даного виразу можна побудувати функцш /(х), де зм^ змшноТ х визначаеться умовами конкретноТ задачi. Ця функцiя е такою, щоб ТТ похiдна /'(х) або первiсна ^(х) краще спрощувались. Пiсля виконання вiдповiдних перетворень у /'(х) або в F(x), потрiбно повернутися до вихщноТ функцп /(х) i початкового значення змшноТ х у /(х).
Приклад. Подати суму 1 + 22 • 3 +...+22п 2 •(2п—1) у згорнутому виглядк
Очевидно, що змiнною х ми позначаемо один i той же вираз, що входить до кожного доданка, тому потрiбно вщшукати iнварiант, притаманний всiм доданкам суми. В умовах даноТ задачi це - число 2.
Розглянемо функщю / (х) = 1 + 3х2 + 5х4 +... + (2п—1)х2п—1 i знайдемо ТТ первiсну: ^(х) = х+х3 + х5 +... + х2п 1
2
. Члени ще1 суми складають геометричну прогресiю iз знаменником д = х , сума и перших п члешв дорiвнюе
F(x) =
x(x2n -1) x2-1 ■
Повернемося до вихщноГ функцГГ f(x):
f(x) = F(x)=(2n-1)x2n+2,-(2n++1)x2n + x2 +1, x*±1.
(x2-1)2
Звщси, при х = 2 отримаемо значення шуканоТ суми:
1+22 • 3+...+22п-2 -(2п-1)=
_ (2п-1)- 22п+2 -(2п+1)- 22п + 5 _ 22п (бп - 3)+5 9 = 9
У деяких задачах потрiбно знайти скшчену суму доданмв, що мiстять двi змшних, одну з яких можна вважати певним параметром. У цьому випадку iнодi доцшьно застосувати метод знаходження сум диференщюванням по параметру.
Приклад. Обчислити суму а Ф1.
к=1
В умовах даноТ задачi будемо вважати параметром основу а
Г " Л ^ а(ап -1)1 ' = пап+2 -(п+1)ап+1 + а V а-1 у а (а-1)2 .
Маемо
1 _П_ 1
£как = а £ак
Vк=1 )
к=1
=а
Приклад. Обчислити суму £ксоъкх, хФ2тп, теZ.
к=1
Вважаючи параметром змiнну х отримаемо, що
/
п — п
к=1 —х V к=1 у
— —х
. пх ■ (п +1)х ( . х 81П--<— I 81П—
2 2 V 2
(2п+1)х _>_
= (п + 1)з1п (2п + 1)х I 2з1п— | - 81П
(п + 1)х
2з1п'
2 х
1
1
2 V 2У
3. Геометрична штерпретащя сум
Можливiсть iнтерпретувати алгебраТчш задачi мовою геометричних об'ектiв у деяких випадках значно спрощуе Тх розв'язування, робить його бiльш наочним. Методи, в основу яких покладена геометрична штерпретащя, використовують властивiсть адитивност сум; ця властивiсть також притаманна i поняттю площi. Приклад. Знайти суму квадралв перших п натуральних чисел.
о -
Розглянемо прямокутники зi сторонами а = 1,6 = к , к = 1,п + 1 (рис. 1).
Рис. 1
Рис. 2
Очевидно, що 51 + 52 +...+Бп =(п+1)3 -1.
За побудовою Бк = к3 -(к-1)3, тому попередню рiвнiсть перепишемо у виглядi :
1+(23 -13)+(з3 -23)+...+((п+1)3 -п3)=(п+1)3 -1
Оскiльки (п + 1)3 -п3 = 3п2 + 3п+1, то отримаемо, що
1+(3-12 + 3-1+1)+(3-22 + 3-2+1)+(3п2 + 3п+1)=(п+1)3 . Перегрупуемо члени в останнш рiвностi:
3(12 + 22 +...+п2 )+ 3(1+2+...+п)+(п+1) = (п+1)3,
звщси 12 + 22 +...+п2 = 1 ((п+1)3 - 3 п(п+1)-(п+1)1 = п(п+1)(2п+1).
3^ 2 4 7 4 ') б
Приклад. Знайти суму нескшченноТ спадноТ геометричноТ прогресп зi знаменником |д| < 1.
Розглянемо рисунок 2: довжини вiдрiзкiв ОС =1, АВ = д, А1В = д2, А2В2 = д3 i т.д. складають геометричну прогресiю. Цi рiвностi слiдують з подiбностi вщповщних трикутникiв. Наприклад, ДАСВ ДА1ВВ1
АВ АВ АВ д А1> 2
, тому —— =——; —— = д .
, у АВ АС д 1 1 1 *
Аналопчними мiркуваннями доводимо, що АкВк = дк, к = 2,3,...'
З умови ОС+ АВ+ 4В +...+АпВп +... = ЫЬ випливае, що довжина вiдрiзка МЬ дорiвнюе шуканш сумк Для знаходження ЫЬ скористаемось подiбнiстю трикутникiв ДВСО~ ДОСЫ та ДАСО~ ДЬОЫ:
ВО СО АО ВО АО ОС АО 1
-——; —— =—- , отже ЫЬ=
ОС ОЫ ЫЬ ОС ЫЬ ВО 1—д
Сума нескшченноТ спадноТ геометричноТ прогреси зi знаменником |д| < 1 буде визначатись формулою
1+д+д2 +...+дп +...|д| <1.
1—д
Зауважимо, що метод геометричноТ штерпретаци в даному прикладi був застосований для знаходження нескшченноТ суми, оскшьки саме вiн давав «красиве» i наочне розв'язання.
Також цiкавий метод знаходження скшченних сум з використанням геометричноТ штерпретаци визначеного штеграла був описаний в робот [1].
4. Зведення шуканоТ суми до вже вiдомих сум 12 12 + 22 12 + 22 + 32 12 + 22 +...+п2
Приклад. Знайти суму--1---1---+...+-
1 2 3 п
Очевидно, що чисельник к -го доданку е сумою квадралв к перших натуральних чисел, тому, за отриманим вище стввщношенням, к-й доданок можна подати у виглядк
12 + 22 +...+к2 _1 к(к+1)(2к+1) _ 2к2 + 3к+ 1 _ к2 к 1
к к 6 6 3 + 2 + 6
Застосувавши цю формулу до кожного доданку суми, отримаемо, що
!2 1 И
12 12 + 22 12 + 22 + 32 12 + 22 +...+n2
—+-+-+...+-
12 3 n
12 1 1
—+-+3 2 6,
V У
+
f о Л
22 2 2 -+ -+3 2 6,
V У
+
f 32 3 3 ^ f 2 > n n n
+ - +— +- +.. .+ —+-+-
3 2 6 3 2 6
=1 (12 + 22 +...+n2)+-(1+2+...+n)+n -1 =
3V ' 2У '6
= 1 n(n+l)(2n+1)+1 n(n±l)+n =JL (4n2 +15n+17).
(S, 9 9 ft /
-+--=>-<=■+—=■ ,
3 6 2 2 6 36'
Приклад. Знайти суму 1+2-2+3-22 + 4-23 +...+100299. [4]
Позначимо через S шукану суму та виконаемо наступш перетворення:
S = 1+2- 2+3-22 + 4- 23 +...+100- 299 = 1+(1+1)- 2+(1+2)-22 +...+ +(1+99)-299 =(1+2 + 22 +...+299)+ 2(1+2-2 + 3-22 +...+99-298)=
= 2100-1+2(s-100- 299)
Приходимо до рiвняння вiдноcно суми S:
S = 2100-1+2(S-100- 299).
Звiдcи S=99- 2100+1.
5. Суми та рекурентнi nослiдовностi
Нехай задано деяку послщовшсть дiйсних чисел а\,а2,а3,...,ап. Розглянемо суму ТТ членiв = а\ +а2 +...+ап, яку можна подати виразом Бп = Бп—\ + ап або у виглядi рекурентного стввщношення
Г* =а1, (1)
Як = Як—1 + ак, к > 0
Наприклад, для геометричноТ прогреси можна скласти двi рекурентностi:
р1 = а
1 '[Як = Як—1 + адк—1,
Sj = a, 2) <jS2 = aq,
Sk+2 =(i+q)Sk -1 - qSk.
Вiдмiтимо, що в першiй рекурентносп номер деякого елемента суми k можна вважати параметром, ТТ вигляд зумовлюе застосування так званого репертуарного методу розв'язання рекурентних рiвнянь. У другш рекурентностi трете спiввiдношення е рiзницевим рiвнянням.
При розв'язуваннi рекурентносп за допомогою репертуарного методу застосовуеться метод невизначених коефiцiентiв.
Нехай рекурентшсть (1) задана у виглядi
fS| = а,
<! 1 (2)
[Sk = Sk-1 +P+yk, k > 0, ()
де ak - загальний член суми, який дорiвнюе сумi сталоТ величини i деякого виразу, кратного k. Загальний розв'язок такоТ рекурентностi шукаемо у виглядi Sn = A(n)a+B(n)3+C(n)y, де A(n),B(n),C(n) - невизначеш коефiцiенти. Для Тх знаходження зробимо послщовш пiдстановки:
1) якщо покласти Sn = 1, то а = 1, ¡ = 0, у = 0 i A(n)=1;
2) при Sn = n отримаемо, що а = 0, ¡3 = 1, у = 0 i B(n) = n;
3) при Sn = n2 отримаемо, що а = 1, ¡ = -1, у = 2 i C(n)= П +П . Отже Sn =а+3+у П +П .
Приклад. Знайти суму (a+bk).
k=1
Цю суму можна подати через рекурентне сшввщношення (2) у виглядi
Г$1 = a,
[Sk = Sk-1 + a+Ьк.
Звщси маемо, що а = a, ¡3 = a, у=Ь i
S _ a+an+bn2 + n _(n+1X2a+nb)
— a+an+ь-—-.
n 22
Розглянемо рекурентшсть
iS =а,
lSk = Sk-1 +(- 1)k (3+yk+tfk2) k > 0, ТТ загальний розв'язок шукатимемо у виглядi Sn = A(n)a+B(n)3+C(n)y+d(n)S, де A(n),B(n),C(n),D(n) -невизначенi коефiцiенти. Використовуючи допомiжнi пiдстановки, отримаемо:
1) якщо Sn = 1, то A(n) = 1;
2) при Sn =(-1)n отримаемо, що A(n)+2В(и)=(-1)";
3) якщо Sn =(-1)nn, то - B(n)+2C(n) = (-1)nn;
4) для Sn =(-1)nn2 будемо мати, що B(n)-2C(n)+2D(n) = (-1)nn2. Розв'язавши систему вщносно невiдомих коефiцiентiв, знайдемо шукану суму:
Sn =a+(-1)n^1 ¡+1 ((-1)n(1+2n)-1)y+(-1)nn2±ntf .
п 2
Наприклад, сума £(-1^к2 (тут а=Р = у = 0,^ = 1) буде дорiвнювати Бп =(-1)"-.
к=0 2 Репертуарний метод не е ушверсальним, тому постае питання, чи не можна якимось чином його узагальнити для застосування до бтьш широкого класу сум. Вщповщь на це запитання дае наступне твердження [5]: нехай задано послщовшсть а\,а2,а3,...,ап,.... Якщо кнуе натуральне число к i числа ац,а2,...,ак там, що
ап+к =а\ап+к-\ +а2<ап+к-2 +...+акап, (п>к>1) (3)
то
Бп+к+1 =(1+а1 К+к +(а2 -а)Бп+к-1 +...+(ак -ак-1)Би+1 -акБп. (4)
Отже, коли послщовшсть (ап) може бути задана рекурентно виразом (3), то послщовшсть п-тих частинних сум задовольняе рекурентне рiвняння (4), яке вже не мiстить членiв послiдовностi в явному виглядк Розв'язуванням таких рiвнянь займаеться теорiя скiнченних рiзниць, на и застосуваннi ми зупинимося далi. На даному етат нашою задачею е зведення суми до рекурентного рiвняння к-го порядку (порядок рекурентного рiвняння дорiвнюе кiлькостi членiв послiдовностi, через як виражаеться кожний наступний и член) .
Приклад. Побудувати рекурентнi рiвняння (3) та (4) для
1) арифметичноТ прогресп;
2) геометричноТ прогреси;
3) послiдовностi квадратiв натуральних чисел;
4) послщовносл чисел Фiбоначчi.
1) За означенням арифметичноТ прогресГТ ап+\ = ап + й, де б - рiзниця прогресГТ. Зведемо це
п . Н+1 = ап +й
рiвняння до типу (3). Для цього достатньо розглянути систему двох рекурентних рiвнянь < ,
[ап+2 = ап+1 + й
з якоТ отримаемо спiввiдношення ап+2 = 2ап+1 -ап. За (3) маемо, що «1 = 2,«2 = —1,«3 = 0 i
5и+3 = 355п+2 —3Яп+1 + 5п ■
2) Для геометричноТ прогреси ап+1 = апц, тому очевидно, що «1 = д, «2 = 0. Рекурентне рiвняння
другого порядку для суми геометричного ряду мае вигляд: Яп+2 =(1+ч)Яп+1 — ■
3) Розглянемо послщовшсть, загальний член якоТ ап = п2 . Запишемо систему рекурентних рiвнянь ап+1 =(п+1)2 = п2 + 2п+1 = ап + 2п+1, ап+2 =(п+2)2 =((п+1)+1)2 =(п+1)2 + 2п+3 = ап+1 + 2п+3,
звiдки ап+2 = 2ап+1 — ап + 2 i ап+з = 2ап+2 — ап+1 + 2. З рiзницi двох остaннiх виразiв ап+3-ап+2 отримаемо рекурентне сшввщношення потрiбного вигляду: ап+з = 3ап+2 — 3ап+1 + ап, де «1 = 3,«2 =—3,«3 =1 «4 = 0. На основi цього рекурентне стввщношення для сум набувае вигляду
Яп+4 = 4Яп+3 —6Яп+2 — 4Яп+1 — Яп ■
4) Послщовшсть чисел Фiбонaччi задаеться рекурентним рiвнянням ап+2 = ап+1 + ап, з якого маемо,
що «1 =1, «2 =1, «3 = 0, а вираз для суми 5п+3 = 25п+2 — Яп ■
Розглянутi нами вище методи пiдсумовувaння е досить штучними, кожен з них потребуе виконання своТх тотожних перетворень. З шшого боку, розв'язування кожного окремого прикладу мае певну специфту, що безпосередньо впливае на вибiр методу. Тому цтком природньо виникае питання про знаходження деякого загального методу розв'язування широкого класу задач на знаходження сум. Одним iз таких е метод скшченних рiзниць, що фунтуеться на теори рiзницевих рiвнянь.
З точки зору рiзницевих рiвнянь рекурентна послщовшсть порядку к е розв'язком лшшного однорiдного рiзницевого рiвняння к-го порядку зi сталими коефiцiентaми. Задання перших к члешв рекурентноТ послщовносл рiвносильне заданню початкових умов зaдaчi Кошi. Теорiя розв'язування лiнiйних однорщних рiзницевих рiвнянь зi сталими коефщентами е aнaлогiчною теори розв'язування лшшних однорiдних диференцiaльних рiвнянь (ЛОДР) зi сталими коефiцiентaми, вона дозволяе знайти формулу загального члена рекурентноТ послщовносл.
Нехай маемо рекурентне стввщношення для суми
Яп+к+Х =(1+«1 К+к +(«2 —1«К+к—1 +•••+(«к —ак—\)5п+\ —«кЯп
або
5п+к+1 —(1+«1 К+к —(«2 —«К+к—1 —••• —(«к —«к—1)5п+1 +«кЯп = 0 ■ Рiвняння Л+1 — (1+«1 )^к —(«2 — «1)-Як— —••• — («к —«k-l)Л+«k = 0 називаеться характеристичним рiвнянням. Легко переконатися, що Л = 1 е розв'язком цього рiвняння.
Анaлогiчно теорГГ ЛОДР-п можна побудувати загальний розв'язок рiзницевого рiвняння в залежност вiд коренiв характеристичного рiвняння.
1) Нехай Л,Л2,—,Лкi Л ^ Л/,г ^/, тодi загальний розв'язок матиме вигляд
С1Лп +С2%2 + ••СЛ;
2) якщо Л^^-Л е коренями кратност з^,я^,—,Як вiдповiдно, то кореню Л, ¿ = 1,2, ...к вщповщатиме сума (С + С2п+¿3п2 +•••+СЯ пЯ'—1 Л1;
3) якщо А, X - пара спряжених комплексних чисел, то загальний розвязок рiзницевого рiвняння буде мати вигляд pn(Cjcosan + C2sinan), де p - модуль, а - аргумент одного з корешв [3].
Приклади. 1) Ранiше було з'ясовано, що рiзницеве рiвняння для суми геометричноТ прогресп можна подати як Sn+2 =(l+q)Sn+1 —qSn або Sn+2 —(l+q)Sn+1 + qSn = 0. Його характеристичне рiвняння
А2 —(l + q)X + q = 0 мае кореш X = q, ^ = 1, а загальний розв'язок запишеться у виглядi Sn = Cjqn + C2 .
1
1
Kоeфiцieнти Q,C2 знаходимо з початкових умов Si —1, S2 —1+q : Cl —-, C2 —-. Отже, остаточно
q -l 2 l-q
отpимaeмо, що Sn — 1 qn +
l l - qn
q -l l - q l - q
2) Рiзницeвe piвняння для знаходження суми члeнiв арифметичноУ прогреси мae вигляд Sn+3 — 3Sn+2 —3Sn+l + Sn. Число Л,2,3 — 1 e трикратним коренем вщповщного характеристичного piвняння
Л3 -3Л2 + 3Л-1 — О, тому вираз Sn —(Cl + C^n + C3n )■ 1' — Cl + C2n + C3n зaдae загальний розв'язок piзницeвого piвняння. Враховуючи, що Sj = a, S2 = a + d, S3 = a + 2d, отpимaeмо там значення сталих:
Cl — О, C2 — a ——d, C3 — —. Звiдси
Ь\ + +(n-l)d
S„ —I a——d In+—dn
2
2
2
n.
3) Для суми послщовносл чисел Фiбоначчi було отримане сшввщношення Sn+3 — 2Sn+2 — Sn.
,, ■ i3 -л2 i ^ 1 l+V5 1—45
Коренями характеристичного piвняння Л —2Л +1 — О e числа 1, —-—, —-—, отже, вираз для суми мae
2
2
вигляд Sn — Cl ■l' + G
-2 ■
1+У5 2
vJ
n
+C
\S 2
vJ
n
З початкових умов Sj — О, S2 — 1, S3 — 2 знайдемо, що Q — —1, C2 — 5 + ^ , C2 — 5 i У5 , тому
1О
1О
Sn =
5+V5II 1+V5Y' 15^л/5Y1—>/5
n
+
1О II 2 1О
v J v J v
n
-1=75
lW5
v 2 ,
vJ
\n+1
J_
s
1—/5
V 2 ,
vJ
n+l
-l .
Приклад. Обчислити суму Sn — ^slnka.
k=1
Маeмо un = slnna, де a Ф nm,m g Z. Тодi
un+l = sln(n+l)a=slnnacosa+slnacosna—un cosa+slnacosna
un+2 = sln(n+2)a = sln nacos 2a + cos na sln2a = un - 2sln2 a^ un + sín2acos na. Якщо друге сшввщношення помножити на —2cosa i ва три додати, то отpимаeмо рекурентне piвняння un+2 —2cosaun+l +un — О та вщповщне рекурентне спiввiдношeння для суми при
al = 2cosa, a2 = —= О :
Sn+3 =(1+2cosa)S„+2 -(1+cosa)S„+l + Sn. Характеристичне piвняння Л3 —(2cosa+l)/i2 +(2cosa+l)Л—1 — О мae коpeнi \ —1, Л23 — cosa±/slna , а замкнений вираз для суми матиме вигляд Sn — Cj +C2slnna+C3cosna. Для знаходження нeвiдомих коeфiцieнтiв Cj,C2,C3 викоpистаeмо почaтковi умови S3 — О, Sj — slna, S2 — slna+sln2a. Розв'язком вщповщноУ системи
'C1 + C3 = О,
¡Cl + C2sína+C3cosa = slna,
Cl + C2sín2a+C3cos2a = slna+sln2a
^ 1+cosa „ 1 „ 1+cosa e такi значення сталих: Ci —-, C — —, C =--.
1 /-s • ' 2 ^ ' 3 •
2slna 2 2slna
Остаточно отpимаeмо, що
2
. na
. (n+l)a
. m -L—
1 л , Yi sin—sm „ 1 . (1+cosalll-cosna) 2 2 Sn = -sinna+--4-'- =-2-2—.
2 2sina • a
sm— 2
Одним Í3 спецiальних методiв пiдсумовування можна вважати використання антирiзниць. Поняття антирiзницi е в певному розумiннi аналогом поняття первкноТ. Антирiзницею А 1 f (x) функцГГ f(x) будемо називати таку функцш F(x), що AF(x) = f(x), де пiд AF(x) розумiемо скiнченну рiзницю функцГГ F(x). Знайшовши рiзницi для всiх основних елементарних функцш, можна скласти таблицю антирiзниць i вивести певний аналог формули Ньютона-Лейбнща [3]:
n-1
If (k) = F(k) 0n = F(n)-F(o).
k=o
Приклад. Знайти суму
1 1 1
arctg-т+arctg-т+...+arctg-т. [4]
1+1+12 1+2+22 1+n+n2
Оскшьки A-1 arctg-1—у = arctg:, то
1+x+x2
n 1 1 1
I arctg-— = A arctg-
k=1 1+k+k2 1+k+k2
n+1
= arctg k n+1 = arctgn+1) - arctg1 = arctgn+1)-—. 1 4
n° n+1 n
При знаходженнi деяких сум доцiльно застосувати формулу XAa¿b¿ = a¡b¡| — Xa¿+1Ab¿, яка
n°
i =n° i =n°
називаеться формулою пiдсумовування частинами i e певним аналогом вщомо'Г формули iнтегрального числення, а також шшим записом перетворення Абеля [7].
n
Приклад. Обчислити суму Sn = ¿sinka, аФ 2лтп, mz Z.
к=1
Г 11
cosí x—^\а
Оскiльки функцiя —---— е антирiзницею для sinax, то застосувавши формулу пщсумовування
\
2sin— 2
частинами, отримаемо, що
n n
Isinka = IА
k=1 k=1
^ ^ 1 ^ ^ / i Л na . (n+1)a
cos^k -1 \a
2sin— 2
cos k -1 a
2sin— 2
sin—sin-= 2 2
. a sin—
1 2
6. Застосування теорГГ комплексних чисел
Одним iз цiкавих методiв пiдсумовування е використання теорГГ комплексних чисел. Покажемо його
n
на прикладi обчислення суми Sn = I (¡2)^sin——
k=1 4
Розглянемо комплексне число z = 1+ i =-\/2| cos—+ isin— 1. Маемо, що
I 4 4 1
Sn = IШ sin—k = Im(z+z2 + zn )= ImZiz^-) n ^ ' 4 v ' z-1
= Im (1+Í+b1) = im((1-i)((1+i)n-1))=
=1+im (V2 )r
(Я )T+1sin—(n-i).
| —^ . . | —W —n . . —n^
cos -— 1+i sin| -— I II cos-+ i sin-
V v \ 41 \ 4Д 4 4„
—(n -1
=b^2- -- 4
Цю суму можна також обчислити за допомогою дискретного перетворення Лапласа [8].
Висновки. Розглянут в данiй робот методи пiдсумовування далеко не вичерпують усiх можливих, тому було б доцтьним продовжити пошук iнших способiв знаходження скiнченних сум та прикладiв, при розв'язуваннi яких вони застосовуються.
Список використаних джерел
1. Мартиненко О.В., Чкана Я.О. Диференщальне та штегральне числення в задачах на послщовносл // Фiзико-математична освiта: науковий журнал. 2015. Вип. 3(6). С. 33-40.
2. Бекишев Г.А., Кратко М.1. Пщсумовування послiдовностей. К.: Вища школа, Головне видавництво. 1981. 64 с.
3. Волков Ю.1., Войналович Н.М. Елементи дискретноТ математики: навчальний посiбник. Мровоград: РВГ 1Ц КДПУ iм.. В. Винниченка. 2000. 176 с.
4. Вышенский В.А. Сборник задач киевских математических олимпиад. К.: Вища школа. 1984. 240 с.
5. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная информатика. М.: Мир. 1998. 703 с.
6. Ласунский А.В. Некоторые методы суммирования числовых последовательностей// Математика в высшем образовании. 2013. № 11. С. 31-42.
7. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1979. 408 с.
8. Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. М.: Высшая школа. 1976. 184 с.
References
1. Martynenko, Ya. O. Chkana. Differential and integral calculus in problems on sequences// Physical & Mathematical Education: scientific journal. 2015. Rel. 3(6). P. 33-40.
2. Bekishev G. A., Kratko M. I. On summation of sequences. K.: Vischa shkola. 1981. 64 p.
3. Volkov Yu. I., Voynalovich N. M. The elements of discrete mathematics. Kirovograd. 2000. 176 p.
4. Vishensky V. A. The collection of problems of the Kiev mathematical olympiads. K.: Vischa shkola. 1984. 240 p.
5. Graham R., Knut D., Patashnick O. Specific informatics. M.: Mir. 1998. 703 p.
6. Lasunsky A.V. On some methods of summation of numerical sequences // Mathematics in higher education. 2013. #11. P. 31-42.
7. Vorob'yov N.N. Theory of series. M.:Nauka. 1979. 408 p.
8. Shelkovnikov Ph. A., Takayshvili K.G. The collection of exercises on operational calculus. M.: Visshaya shkola.1976. 184 p.
ON DIFFERENT METHODS OF CALCULATING FINAL SUMS E.V. Martynenko, Ya. O. Chkana
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. The research of different scientific aspects leads to the same mathematical model corresponding to a definite mathematical task if viewed from the point of its formal statement. To find different methods of calculating it, choosing the optimal one among the number of possible choices, seems to be quite acute. The problem has always been in the focus of mathematicians. One of such tasks found in mathematical analysis, discrete mathematics, probability calculus and other sciences is the calculation of the final sum. Summing tasks are offered at the mathematical Olympiads of different stages.
The research deals with different methods of calculating the final sums, namely: the method of elementary transformations over expressions, the methods of differential and integral calculus, the method of reduction to already known sums, the application of finite differences and difference equations, the theory of complex numbers. The article deals description of possibilities and peculiarities of applying them, grounding the appropriateness of a definite method according to the task.
Key words: method, point, sum, summing, recurrence property, finite-difference equation.
