CC BY
17
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Погребний В. Узагальнення поняття пох'дно)' // Ф'зико-математична осв'та : науковий журнал. - 2017. -Випуск 2(12). - С. 124-129.
Pogrebnoy W. Generalise Of Determination Of Derivativ // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. -Issue 2(12). - Р. 124-129.
УДК 517.6
В.Д. Погребний
Сумський державный педагог'чний ушверситет '¡мен А.С. Макаренка, УкраУна
mathematicsspu@gmail.com
УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ ПОХ1ДНО1
Анота^я. В рoбoтi обгоеорюються деяк проблеми узагальнення одного з найголовшших понять не тльки математичного анал'зу, а i вае'Уматематики - поняття пoxiднoУ. Це поняття дуже еажлиее не лише в математик, а i в багатьох iнших науках, оскльки характеризуе швидшсть зм'\ни р'зномаштних величин. А така характеристика величин е дуже суттееою в багатьох процесах. При еееденн пох'дноi тради^йним способом у студент'в з'являеться деяка неясшсть: задки ж з'являеться пох'дна як функ^я? Цей етап введення пох'дноi в статтi детально роз'яснений. Тради^йно спочатку вводиться поняття пох'дно), а пот'\м поняття диференцiйoeнoстi функцИ, i то не завжди для функ^й одше'Узм'шноУ Часто функ^ю просто називають диферен^йовною, якщо вона мае сшнченну помдну. Але при переходi до функ^й юлькох зм'1нних, поняття диференцiйoeнoстi вже oбiйти няк неможливо. Краще проводити цю л'1н'1ю починаючи з функ^й одн'е'У зм'1нно'У. Осюльки уже для функ^й двох зм'шних единого поняття поздно)'не снуе, а поняття диференцiйoeнoстi продовжуеться далеко у сучасний анал'з, то ми вважаемо б'1льш обфунтованим починати виклад диферен^ального числення з поняття диференцiйoeнoстi, а поняття пох'дно'Увводити пот'\м, спочатку пох'дне число, пот'\м помдну функ^ю. В рoбoтi досл'джуються проблеми означення поняття пох'дно'У функцИ юлькох зм'шних, пояснюеться причина неможливостi введення единого поняття поздно)' i пропонуеться метод введення частинних пох'дних, який показуе )х необмднкть i )х роль.
Ключовi слова: функ^я, диференцiйoeнiсть, пох'дна, напрям, границя.
Метою даноТ статп, що мае науково-методичний характер, е дослщження деяких проблем, пов'язаних з викладанням студентам математичних спещальностей одного з найважливших понять математичного аналiзу i ваеТ математики - поняття похщноТ. Це поняття важливе не лише для математики, оскшьки е математичним вщображенням важливоТ характеристики рiзноманiтних величин - швидкост Тх змши. У викладанш математичного аналiзу, як i шших дисциплш, склалися певш традици, термшолопя, символта, що мало не завжди рацюнальний i доцтьний характер, бо процес розвитку наук не завжди прямий та прозорий. Ми маемо на мел висловити деяк пропозици в галузi методики викладання деяких питань математичного аналiзу. Це, на наш погляд, буде сприяти бтьш устшному засвоенню студентами важливих понять математичного аналiзу.
Отже, в окремих пунктах, розглянемо ц моменти.
п.1. Похщна як функщя
У вах вщомих нам курсах класичного аналiзу поняття похщноТ вводиться таким чином. Розглядаеться
вщношення Д/(х) = f(xo + Дх)- f (х0). Якщо кнуе границя цього вщношення при д* ^ 0, то вона
Ax Дх
називаеться похщною функци /(х) в т. х0 i позначаеться f(xQ) (наприклад, [1, с. 96]). Далi працюють з
похщною уже як функщею. Але границя вказаного вщношення у данш точцi е число! У деяких студенлв (на жаль, у дуже небагатьох) виникають питання з цього приводу: де ж число, а де ж функщя? Цтком можливо, що в минулi десятирiччя, коли рiвень математичноТ пiдготови учшв i студентiв був, на порядок чи бтьше,
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
вищим, нiж тепер, вони могли самостшно у цьому розiбратися. Для сучасних студенлв це важко. Тому ми пропонуемо такий спосiб означення цих понять.
Розглядаемо у данш точцi х0 е йот/ вщношення А/(х) = /(хо + ^0 - /(х0). Якщо
А/(х) /(х0 + Ах)-/(х0), то це число називаеться похiдним або диференцiальним числом для
Ах^0 Ах х — х0
функцГГ /(х) в точц х0. Позначимо його /'(х0).
Б = {х0 е ^т/ : 3/'(х0) е К}. Розглянемо функцiю: g : Б ^К х0 е Б ^ /'(х0) е К. Це е функцiя: вказаному значенню х0 е Б вiдповiдае певне число /'(х0) еК. Цю функцiю i будемо називати похщною функцiею (або похщною, бо вона походить вiд деякоГ функцГГ /(х)) функцГГ /(х). Запис: g(х) = /'(х). Така методика не допустить неясност у студентiв з приводу того, де число, а де функщя.
п.2. Диференцiйовнiсть функцГГ i похiдна
Знову таки, у вщомих курсах класичного аналiзу, починають з поняття похщноГ . Функщю називають диференцiйовною, якщо вона мае похщну (скiнченну двосторонню). Але при вивченш функцГГ кiлькох змiнних такий пщхщ дае деякi методичнi труднощГ Для дiйсних функцiй одшеГ дшсно'Г змшноГ дiйсно диференiйовнiсть еквiвалента наявност пох^но?, що дае можливiсть так i означити поняття диференцiйовностi (наприклад, [1, с. 98]). А для дшсних функцш кiлькох дiйсних змшних це вже зовсiм не е^валентш поняття. Диференцiйовнiсть, як важлива властивiсть функцiй, йде далеко у сучасний аналiз. Вона означае можливiсть зручного i досить простого представлення приросту функцГГ А/. Ми пропонуемо такий порядок вивчення.
З першоГ лекцГГ роздiлу «Диференщальне числення дшсних функцш одшеГ дшсноГ зм^но^ вщразу вводиться поняття диференцiйовностi функцГГ в данш точци функцiя /(х) називаеться диференцiйовною в
т. х0, якщо А/ = /(х0 + Ах)—/(х0 ) = А-Ах + а-Ах, де А не залежить вщ Ах (вщ точки х0, А, взагалi кажучи не залежить), а = 0(Ах) — нескiнчено мала бтьш високого порядку вiдносно Ах при Ах ^ 0. Виясняемо, що А -Ах е головна частина А/ при Ах ^ 0, лшшна вщносно Ах . Встановлюемо, що необхiдною умовою диференцшовносп е неперервнiсть. Далi розглядаемо деяк задачi, що приводять до поняття похщноТ i означаемо похiдну функщю, як вказано вище. Далi звичайним порядком розглядаемо правила диференщювання i т.д.
п.3. Диференцiйовнiсть функцiй ктькох змiнних
Традицiйно для дiйсних функцш ктькох змiнних виклад починають вщразу з поняття частинних похiдних (наприклад, [2, с. 375]) без пояснення того, чому замiсть одного загального поняття похщно'Г вводять ктька бтьш спецiальних. Потiм означають повний диференщал i представлення А/ для випадку кнування частинних похiдних, вказуеться термш «диференцшовшсть функцГГ», як правило, без обговорення значення «хорошого» представлення А/ .
Ми пропонуемо такий порядок вивчення. Спочатку вводимо поняття диференцшовносп функцГГ: А/ = (А-Ах+В -Ау +... + С -Аг)+(а-Ах+ Р-Ау +... + у-Аг)
Вказуемо роль двох частин цього представлення. Пщкреслюемо продовження лiнií представлення А/, як суми головноГ лшшно'Г частини та нескiнченно малоГ бiльш високого порядку, яка була почата для функцГГ одше'Г змшно'Г. Доводимо неперервшсть i обмеженiсть диференцшовноГ функцГГ в околi даноГ точки. Встановлюемо диференцшовшсть функцГГ / + g, / — g, Л/, Уg при диференцiйовностi £д. Далi переходимо до обговорення введення поняття похщних для функцш ктькох змшних (про це наступний пункт).
п.4. Проблема введення похщно'Г для функцГГ ктькох змшних
Як ми вказували, для функцш ктькох змшних, традицшно вщразу вводяться поняття частинних похщних без будь-якоГ аргументаци саме таких означень. На наш погляд, цю проблему необхщно студентам висв^лити детальнее i аргументовано. Пропонуемо такий пщхщ.
На дiйснiй прямiй, похщна /'(х0) iснуе тодi i тiльки тодi, коли кнують лiва /'(х0) i права /'(х0)
похiднi i вони рiвнi мiж собою. Причиною цього е той важливий факт, що х ^ х0 може лише двома способами: х ^ х0 — 0 ^ва) чи х ^ х0 + 0 (справа). Для функцш ктькох змшних ситуащя стае значно бтьш складною. Способiв М ^М0 в Ет безлiч. Для простоти почнемо з функцiй двох змшних: М = М (х,у), /(М) = /(х,у), М ^М0 може по безлiчi шляхiв рiзних форм. Тому слiд чекати, що
проблеми означення i iснування похщних функцiй в Ет будуть значно бтьш складними, шж на прямш.
Спробуемо означити на площиш f (Mn) по аналоги з дшсною прямою. Там ми розглядали —. Для
V ' Ax
f (M), M(x,y), Af = f (M)-f (M0) е дiйсне число. Тут труднощiв немае. Що треба взяти зам^ь Ax ? Евклiдова площина E2 е дшсний лiнiйний прослр. AM = M — M0 мае зрозумiлий смисл. Але це не е дшсним числом, це вектор. Спробуемо взяти a = l^M^Mj . Це дiйсне число. А як бути з формою дуги
MM ? Результат не повинен залежати ш вiд напряму руху M до M0, нi вiд форми шляху. Спростимо собi задачу. Будемо розглядати лише прямолшшш шляхи
Значения /'(М0), якщо воно ¡снуе, не повинно залежати вщ напряму вектора ММ(1 . Але \ тут, при спрощенш задачу виникають труднощк Розглянемо приклад. /(х,у) = х, М(х,у}, М0(х0,.у0),
(ММ0,ЪХ+} = 01.
При M ^М0 буде х ^ х0, y ^ y0, А/ = / (М)-/ (М0 ) = ( x0 +Ax)-x0 = Ax,
А/ Ax
= cosa
А/ Ar cosa
При рiзних напрямах руху M ^Mn, тобто при рiзних a, limAf = cosa суттево залежить вiд
0 Al Al
напряму руху M ^M0 i единого значення для bcíx cnoco6ÍB M ^M0, HaBÍTb тiльки прямолшшних, не icHye. Доводиться зробити невтшний висновок: навiть для функцiй f (r,y) неможливо ввести едине поняття похщноТ, незалежне вщ способу M ^M0.
ГПдемо на дальня поступки. Виберемо один спещальний напрям руху М —>Мп по прямш, заданш
променем / , що проходить через точку М() i складае кут ос з bíccio Ох .
Нехай М —>Мп по променю / . Позначимо: д/ =
)]^м0\\,мм0П1
-||Л4М0||,Л4М0 It/
. Тодi Al е дiйсне число.
Al/ ЯшИП ¡ГЦ»С 1™ Alf
Al
значения називаеться похщним числом функци f (М^ вточц1 М() по даному напряму / . Запис:
Розглянемо A f = f(M)— f(M0), М е/. Складемо вщношення —Ы—. Якщо ¡снуе Нт —^-,то це
А/ А/
— (х0,y0), f'{M0), fi'(Xo,Уо). Звiдси одержуеться i похiдна функцiя f (M).
dl ol
Аналопчно все це можна зробити i в просторi E , i навiть в Em , хоча наглядно m6i уявити це ми не можемо.
Дал1 слщ перейти до означения поняття частинних похщних. Знову почнемо з функцш двох змшних. На площиш найважлившими, базовими е два напрями / . по осях координат.
" - - А - П М - Л Д/ Д l
Отже, нехай l || QX+ . Тодi y = yo, Ay = 0. Змiнюеться тшьки х. Al =Дх. = . Якщо кнуе
похiдна по цьому напряму, то вона називаеться частинною похiдною даноТ функци
/ ( х, У )
по змшнш
— г У 0/ f' рз 0/ ,,
Запис: - , /х . Аналогiчно одержуемо частинну похщну по змiннiй y , ——, /y . В просторi E , ще , Л
ох oy oz
T^m
Взагал^ в E для
/ (M )= / (х-!, X2,..., хт ) ,
о/
mj , частинна похiдна по змшнш хк /хк, або ^ . Це
vk
0/
позначення Якобi (C.G. Yacobi). Як практично шукати ^ ? Вс iншi змiннi не змiнюються, вважаемо Тх const i
застосовуемо звичайш правила знаходження похiдних функцiй одшеТ змшноТ.
Приклад. / (х У, z) = х4 + 3х'yz + 3yz .
/ = 4х3 + 6xyz / = 3х2z + 3z 0/ = 3х2y + 3y 0х ' 0y ' 0z
0/
Слiд пщкреслити, що —— е единий символ, не частка.
0хк
Встановимо зв'язок частинних похiдних i похщних по довiльному напряму. Почнемо з функцш двох змшних.
х
Ax = Oleosa, Ay = Alsina, A¡ f = f (M) - f(M0) = f (x0 + Ax,y0 + Ay) -- f(x0 ,Уо ) = (f(x0 +Ax,y0 +Ay) - f(x0 ,Уо + Ay))-(f(x0 ,Уо +Ay) - f(x0 ,Уо )) =
= A xf (xo, У0 + Ay) + A yf (Xo, Уо) Ax Ayf Ay A xf Ax , Ayf Ay Axf . A
Af - ^+ -Ay = Af .Ax+ .Ay = Afcosa + sua
Al Ax Нехай кнують
Al = ^Ax2 + Ay2
Al Ay
f f f. dl' dx' dy
Одержуемо:
Ax Al Ay Al Ax Ay
Перейдемо до границi при Al ^ 0, тодi Ax ^ 0, Ay ^ 0, оскшьки
df df df — = — eosa + — sina ■ dl dx
Позначимо fí —
dy
oy+)
= — - a ■ ТоДi
2
df df
df.
df = df cosa + f cos/. Аналопчно в Е3, df = df cosa + df cosp + df cos7 ■
dl dx dy dl dx dy dz
a = (l,"OX)p = (l,AOY)y = (l,nOZ). Тепер ясною е визначальна роль саме частинних похщних: через них можна обчислити похщну по довтьному напряму.
Вияснимо, ям ж функци можуть мати похщну, незалежну вiд напряму. Нехай f (M) = f (x,y) . При
a = 0, f =
dl dx
df
df
—
a = — 2
—
a = — 4
f = f dl dy
df 42 df
+
V2 df
dl 2 dx 2 dy Ц величини тотожно спiвпадають лише при
df = 0,df = 0, тобто f (x, y) = const ■
dx ' dy
Таким способом на наш погляд, ми даемо студентам достатньо аргументоване пояснення того, чому для функцш млькох змшних не iснуе единого поняття похщно'Г i чому важливими е частинш похiднi. п.5. Похiднi вектор-функцш
Для вектор-функцiй f: R ^ Em проблеми введення похщних немае. Якщо
f (t) = Cfl(t),f2(t),...fm (t)), то Af = (Afi(t), Af2(t),..Afm (t))
Af = í f f f) При iснуваннi всiх f , f = íf ,. At ^ At ' At At J. dt ' dt ^ dt ' dt
Зокрема в векторному аналiзi, маемо i геометричну iнтерпретацiю. п.6. Диференцiйовнiсть в нормованих лiнiйних просторах
Для диференцшовносп, як ми бачили, треба розглядати Af та Ax на прямш. Отже, в загальному випадку, аргумент повинен належати множит з лшшними операщями, тобто лшшному простору. Значення функци теж повинно належати лшшному простору. Потрiбно мати можливiсть для Ar ^ 0, а це вже
dL , dt
метрична проблема. В поеднанш це дае нормований лшшний простiр. Отже, продовжимо лшш диференцiйовностi у сучасний аналiз ([3,с.451-469]).
Нехай X,Y - нормоваш лiнiйнi простори, /: X ^ Y- оператор з X в Y. / означений на деякш
вщкритш множит G с X, х0 е G. Оператор / називаеться диференцшовним в т. х0, якщо
х Ах)
А/ = /(х0 + Ах) - /(х0) = L ■ Ах + а(х0, Ах) , де LEL(X,Y) - лшшний оператор, И_ 0'_lit = 0.
IIa^L ^0 Дх I _
л iiA || iiX
Ми бачимо, що, в принципi, це та ж сама ситуащя: А/ е сума двох частин: головноТ, лiнiйнот вiдносно Ах i нескшченно малоТ бiльш високого порядку при Ах ^ 0 по нормi простору X.
На наш погляд, запропоноваш методичнi пiдходи сприяють кращому розумiнню студентами.
Список використаних джерел
1. Давидов М.О. Курс математичного аналiзу. Ч.1. - К.: Вища школа, 1976. - 368 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. - М.: Наука, 1969. - 608 с.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. -496 с.
References
1. Davidov M.O. Kurs matematichnogo analizu. Ch.1. - K.: Vishha shkola, 1976. - 368 s.
2. Fihtengol'c G.M. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischislenija. T.1. - M.: Nauka, 1969. - 608 s.
3. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Jelementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: Nauka, 1972. - 496 s.
GENERALISE OF DETERMINATION OF DERIVATIV Pogrebnoy W.
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine Abstract. This paper discusses some problems of generalization one of the main concepts not only of mathematical analysis, but of the whole of mathematics - the notion of derivative. This concept is very important not only in mathematics but also in many other Sciences as a measure of the rate of change of various quantities. Such feature sizes is very essential in many processes. With the introduction of the derivative in the traditional way students have some uncertainty: where does the derivative as a function? This stage is the introduction of the derivative in the article explained in detail. Traditionally, first introduced the concept of the derivative, and then the concept of differentiability of a function, and not always for functions of one variable. Often the function is called differentiable if it has a finite derivative. But during the transition to functions of several variables, the notion of differentiability have to circumvent in any way possible. Better to pursue that line since functions of one variable. As for functions of two variables one of the concept of the derivative does not exist, and the notion of differentiability extends far in modern analysis, we believe it is more reasonable to begin the presentation of differential calculus from the concept of differentiability and the derivative notion to enter then, the derived number, then the derivative function. This paper investigates the problem of definition of derivative of function of several variables, explains the reason for the impossibility of introducing a single concept of the derivative and the method of introduction of the partial derivatives, which shows their need and their role. Key words: differentiation of functions, derivative, direction, border.
