CC BY
30
The application of an analytical method in kinematic analysis of planar multi-link mechanisms Gorshkov A. , Primostka V. (Russian Federation)
Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских
многозвенных механизмов
Горшков А. Д. , Примостка В. Е. (Российская Федерация)
1 Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент;
2Примостка Валентина Ефремовна /Primostka Valentina - преподаватель, кафедра общеинженерных дисциплин,
Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь
Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [1]-[5], применение которого проиллюстрировано на примере расчета скоростей и ускорений плоского многозвенного механизма. Проведено сравнение результатов, полученных графоаналитическим методом и предложенным аналитическим методом.
Abstract: this article proposes an analytical method for solving vector equations [1], [5], the use of which is illustrated on the example of calculation of standard deviation-rosta and acceleration of planar multilink mechanism. Conducted a comparison of the results obtained by analytical method and the analytical method.
Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение.
Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.
Рис. 1. Кинематическая схема механизма
Исходные данные
Примем для определенности следующие данные для расчетов:
1ОЛ = 0,1716 м, Iqa = 0,5895 м, lGB = 0,8342 м, 1ВС = 0,5179 м, 1ВЕ = 0,54 м, 1ш = 0,3013 м,
(рх = 38,1170, = 0 с-2, а1 = 4 с-1.
Координаты кинематической пары О (0,0).
Координаты кинематической пары F (0.8727,0).
Структурный анализ и план положения многозвенного механизма
Примем масштабный коэффициент pt = 0,01 м/мм. План положения и группы Ассура представлены на Рис. 2. Степень подвижности механизма определим по формуле Чебышева:
W = 3n - 2p5 - p4 = 3 • 7 - 2-10 - 0 = 1,
где р5=10 - количество кинематических пар пятого класса; п=7 - количество звеньев;
р4=0 - количество кинематических пар четвертого класса. Входное звено - 1.
Формула строения механизма: I ^ IIъ ^ II2 ^ IIX.
Определение положения кинематических пар
Определим координаты кинематических пар и углы, приведенные на Рис. 3, в глобальной системе координат.
Рис. 3. Вычисляемые углы
Координаты кинематической пары А( lOA • cos ф, lOA • sin ф) = A(0,135;0,106).
Л
Угол ф = arcsin
— sinl —Уф
VlGA V 2 у/
Л
(
= arcsin
0,1716 . (я
sinl —Уф V0,5895 V 2
= 13,237°.
Угол ф=п/2-ф- ф2=38,664°.
Координаты кинематической пары B(lBG • sin ф, /ш • cos ф - l^) = В(0,191;0,344).
ОВ = ^(вл )2 + (В12 )2 =40,1912 + 0,3442 = 0,394 м.
Угол ф = arccos
( В, ^
V OB /
= 60,962°; угол ф = arcsin
(В л
V 1bc /
= 41,640.
Угол ф6=п- ф4- ф =77,398°. Координаты кинематической пары В=
f 1 ■ \
lBC • sln ф6 0
= (0,578,0).
V sin ф4 /
Угол щ=ф5.
Вычисление координат кинематической пары Е:
- коэффициенты уравнений:
P = 4 -В) -(В,2) = 0,542 -0,1912 -0,3442 = 0,137 .
b = Fu -Ви = О,8725-0,191 =-1 1 Руг - Ву2 0 - 0,344
P = lip -(Fi) -(fi2) = 0,30132 -0,87252 -0 = -0,67
0,137 - (-0,67)
a =
P - P 1 1 1 2
1 2(FU - Bu) 2(0 - 0,344)
= -1,173
b • Вц -Bu -a • b1 (-1,98)-0,344-0,191 -(-1,173)-(-1,98) = _QMg
1 + ы
1 + (-1,98)2
q =
_a2 - 2a1 • B12 - P _ (-1 , 73)2 - 2 • (-1 , 73) • 0,344 - 0,173 _
= 0,416
1 + Ы 1 + (-1,98)2
- координаты пары:
Eu = -pk + 4pk2 - q = -(- 0,649) ^/(- 0,649)2 - 0,416 = 0,725 m.
E12 = a - Ы • E11=-1,173-(-l,98)0,725=0,263 m.
Угол 8 = arcsin
V lEF /
= arcsin
0,263
= 60,66°.
(
В - E
B1,2 E1,2
Л
h
Угол у = arcsin
V lBE /
Структурная группа 2-3
0,3013
0,344 - 0,263
= arcsin
0,54
= 8,677°
План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 3. В одной геометрической точке, совпадающей с центром шарнира А, в качестве элементов кинематических пар находятся кинематические точки А;, А2, А3, которые перемещаются со звеньями 1, 2, 3 соответственно. Численное значение скорости и ускорения точки А1 определим из выражений:
VA = щ • lOA = 4 • 0,1716 = 0,6864 м/c а л = = 42 • 0,1716 = 2,7456 м/c2
Векторное уравнение для определения скорости точки А3 имеет вид:
V = V + V
V A V A + V aa
Направления векторов и численные значения скоростей, полученные графоаналитическим способом, приведены на Рис. 4. Решим векторное уравнение (1) аналитическим способом.
(1)
Рис. 4. Планы положения, скоростей и ускорений для структурной группы 2-3 Проекции вектора Ум:
VAlx= УЛ1 ■cos(y-K/2)=0,686cos(38,1170-90°)=0,424,
Ул1у= VA1 ■sm(q-K/2)=0,686cos(38,n70-90°)=-0,54.
Система уравнений имеет вид:
^cos(n —) sin (V лх Л (— Viv Л (— 0,973 0,229Л (V лх Л (— 0,424Л
VA3 VA1x
= или
V v A3A1У — V VA1yУ
sin(n —) cos^2y
Решение системы дает VA3=0,536 м/c, VA1A3=0,429 м/c. Угловая скорость щ = Va3 = 0,536 = 0,909 1/c.
v 0,229 0,973
V
V A3A1У
0,54
l
GA
0,5895
Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:
aA3 = aA1 + a32k + a32r или — aA3 + aA1 + a32k + a32r = 0
Учитывая, что aA3 = aA3n + aA3t,
окончательно запишем:
— aA3n — aA3t + aA1 + a32k + a32r = 0 Решим это уравнение аналитическим методом.
Величина кориолисова ускорения:
a32£ = 2 • щ • VAiAi = 2 • 0,909 • 0,429 = 0,780 м/c2, при этом a32t A AB. Угол вектора с осьюX ак = 2 • п — фг . Проекции вектора а32к на оси координат:
a32kx = a32i • cos ак = 0,78 • cos 346,761° = 0,759 a32ky = a32k • sin ak = 0,78 • sin 346,761° = —0,179
Вектор нормального ускорения точки А3 численно равен:
а3и = о3 • = 0,9092 • 0,5859 = 0,487 м/с2
и направлен вдоль AG от А к G.
Угол вектора с осьюX а3п = ж/2 — (р2 = 76,761°. Проекции вектора а3п на оси координат: аЪпх = а3п • cos а3и = 0,487 • cos 76,761° = 0,112 апу = а3п • sin а3и = 0,487 • sin 76,761° = 0,474
Вектор касательного ускорения точки А3 а3( направлен перпендикулярно П3и, численное значение
неизвестно, угол с осью X равен aA3t = —ф2 = —13,329°.
Вектор нормального ускорения точки А1 численно равен:
«Л1 = • 1оа = 42 • 0,1716 = 2,746
м/с
и направлен вдоль АО от А к О.
Угол вектора с осьюX ам = ж + ф = 218,117°. Проекции вектора А1и на оси координат:
аА1х = аА1 • cos ам = 2,746 • cos 218,117° = —2,16 аА1у = аА1 • sin а = 2,746 • sin 218,117° = —1,695
Вектор относительного ускорения точки А а32г направлен вдоль АВ от А кВ, численное значение неизвестно, угол с осью X равен а32г =Ж — р2 = 76,761°.
Сумма проекций векторов на ось X:
Prx = ахх + азпХ + азш = —2,16 + 0,112 + 0,759 = —1,289
Сумма проекций векторов на ось Y:
Pr7 = а17 + а3и7 + азш = —1,695 + 0,474 — 0,179 = —1,399
Система уравнений:
cos(aA3t) sin(a32r)Л (ал^Л (— P^ Л
sin
(aA3t ) cos(a32r );
V а32г
— Pr
V PrY У
Решение системы аА32 = 9,934 м/с2, а32г = 1,657 м/с2.
Угловое ускорение S3
= 1,584 1/с2.
l
lGA
Ускорение а A3 численно равно:
аА3
7а33МаА3У = V0,9342 + 0,4872
1,054 м/с2.
Угол с осьюX а = ж + arccos(■аА3-) — ф„ = 180° + arccosf 0,934 | —13,239° = 194,316°.
аАЪ V 1,054 J
Структурная группа 4-5
План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 5.
Рис. 5. Планы положения, скоростей и ускорений для структурной группы 4-5
Скорость точки В3 равна VB3 = о3 • lBG = 0,909 • 0,8342 = 0,758 м/с. Векторное уравнение для определения скорости VС имеет вид:
Vc = VB3 + VCB.
Решим это уравнение аналитическим методом.
Проекции вектора VB3 на оси координат равны:
VB3x= VB3cos(-y2)=0J58cos(-13,239°)=0,738, VB3y= VB3-sm(-v2)=0,758cos(-13,2390)=-0,174.
Система уравнений:
^cos(^ - 0) sin уЛ( Vn Л (V ^
sin(^- 0) cosy Решение системы будет таким Vc=0,893 м/с, VCB=0,232 м/с.
V
V CB у
V
VB3у у
Угловая скорость со, =
CB
CB
0,232
0,5179
= 0,448 1/с.
Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:
аС = аВ + aCBn + aCBt или aC + aB + aCBn + aCBt = 0
Решим это уравнение аналитическим методом. Данные о векторах, входящих в данное уравнение, сведем в таблицу 1.
Таблица 1. Величины и направления векторов ускорений для определения вектора аСВ
Вектор Направление Величина (м/с2) Угол с осью Х Проекция Х Проекция Y
аВ В сторону аА3 1,491 194,316° -1,445 -0,349
аСВи Вдоль ВС от В к С 0,104 л — щ = 138,36° -0,078 0,069
аСВг aCBt ^ aCBn неизвестна aCBt =л/2 — щ = = 48,36° неизвестна неизвестна
аа От С к F неизвестна Для (—ас) aАС = 0 неизвестна неизвестна
Сумма проекций векторов на ось X:
Ргх = авх + аСВт = _1,445 — 0,079 = —1,522
Сумма проекций векторов на ось Y:
Рг7 = аш + aCBnY = —0,349 + 0,069 = —0,28
Система уравнений:
(cos(«CBt) sin (a AC^ (a \ aCBt
v sin(aCBt) cos(aAC )У V aC У
Решение системы aca = 1,096 м/с2, ac = 1,256 м/с2.
Ускорение асв численно равно:
(— Рг °i
— РГ
V PrY У
аСВ =7 (асв, )2 +(aCSn )2 = 41,0962 + 0,1042 = 1,01
м/с2.
Структурная группа 6-7
План положения, план скоростей и план ускорений построены на Рис. 6, 7.
Рис. 6. План положения структурной группы 6-7
Скорости
Ш=95 мм, V£f =0,95 м/с,
Ш=63мм, V[B=0,63 м/с,
ы6=У[ВА=0,63/0,5И17 1/с ы7АА=0,95/0,3=3,17 1/с
План ускорений р„=о,обоь м/Шс!!
Ускорения
(а„)=77 мм, а„/65 м/с2;
(От!=82 ММ, От,=5,80 м/с2;
Ы=96 мм, а=4,65м/с2, ав=\55 м/с2, Ы=26 мм; ат=ш6%£=1,172-0М=0,74 м/с f Ы=12 мм, аЛ=ш20=3,17?-0,3=3,02м/с2, (aj=50мм
Рис. 7. Планы скорости и ускорения для структурной группы 6-7
Векторное уравнение для определения скорости УЕ имеет вид:
VE = VB3+Vm.
Решим это уравнение аналитическим методом.
Проекции вектора VB3 на оси координат равны:
Уюх= VB3-cos(-y2)=0,758-cos(-13,2390)=0,738, VB3y= Vm-sm(-y2)=0,758cos(-13,2390)=-0,174.
Система уравнений:
fcos(K/2-у) sin(^/2 + 8 Л fVEBЛ f-VB3xл
vsin(^/2-у) cosу/(л/2 + 8) ^ Ve ) V-VB3y, Решение системы будет таким: VEB=0,621 м/c, VE=0,932м/c.
Угловые скорости со =
EB
°'232 = us 1* *,= i=-2.222 = 3.093 м.
0.5179
0.3013
1 BE ’ lEF
Векторное уравнение для определения ускорения точки А3 имеет вид:
aE = aB + aEBn + aEBt или — aE + aB + aEBn + aEBt = 0 aE = aF + aEFn + aEFt или aB + aEBn + aEBt = aE = aF + aEFn + aEFt •
aB + aEBn + aEBt — aF — aEFn - aEFt = 0
Решим это уравнение аналитическим методом. Данные о векторах, входящих в данное уравнение, сведем в таблицу 2.
Таблица 2. Величины и направления векторов ускорений для определения вектора аЕ
Вектор Направление Величина (м/с2) Угол с осью Х Проекция Х Проекция Y
аf - 0. - - -
аEFn Вдоль EF от E к F 2,883 л-8 = 119.34° -1,413 2,513
аEFt aEFt ^ aEFn неизвестна aEPt = л /2 -8 = = 29.34° неизвестна неизвестна
аВ в сторону ускорения а3 1,491 ав = 194.316° -1,445 -0,369
аEBn Вдоль BE от E к В 0,714 л-у = 171.323° -0,706 0,108
аEBt ^ aбвп неизвестна aEBt = 3Л/2 -У = = 261.323° неизвестна неизвестна
Сумма проекций векторов на ось X:
РГХ = aBX + aEFnx + aEBnx
Сумма проекций векторов на ось Y:
PrT = aBY + aEFnY + aEBnY
1.445 -1.413 - 0.706 =
-0.369 + 2.513 + 0.108
Система уравнений:
^cos(«£Bt ) Sin(«EFt ^ fa Л aEBt
V sin(aEBt ) COs(aEFt Ь V aEFt )
Решение системы aEBt = 4.708 м/c2. aEPt = 4.924 м/c2.
Ускорение a численно равно:
f- Pr Л
PrX
- Pr
V PrY )
3.563
2.252
a
E
<J(aEPt )2 +(aEPn )2 =^14.9242 + 2.8832
5.706 м/c2.
Заключение
Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических параметров многозвенных механизмов.
Литература
1. Горшков А. Д. Силовой расчет многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2012. - 32 с.: 9 илл.
2. Горшков А. Д. Использование графоаналитического метода в кинематическом анализе многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2014. - 24 с.: 6 илл.
3. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международное научное обозрение проблем и перспектив точных и технических наук: Сборник материалов 1-ой междунар. науч.-практ. конф.: 26-27 марта 2015 г. -Новосибирск: изд. «Проблемы науки», 2015 - С. 4-15.
4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке». Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 16-19.
5. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских механизмов // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физикоматематических и технических наук в XXI веке». Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 19-22.
