Кинематическое исследование кривошипно-шатунного механизма Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

3. Горшков А. Д. Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом. // European Science. 2016. №. 2 (12). С. 20-26.

4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. ХV Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в ХХ! веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015. С. 16-19.

5. Горшков А. Д., Кузьминова Н. А. Применение аналитического метода в силовом анализе рычажного плоского механизма. // European research. 2015. № 3 (4). С. 98.

6. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов. // European Research 2015. № 8 (9). С.6.

7. Сб. ст. по мат.: IX межд. науч.-практ. конф. (Россия, Москва, 23-24 октября, 2015). М. 2015, 6-17 с.

Kinematic study of the crank mechanism Gorshkov A. (Russian Federation) Кинематическое исследование кривошипно-шатунного механизма Горшков А. Д. (Российская Федерация)

Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Alexander — кандидат технических наук, доцент, кафедра общеинженерных дисциплин, Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь

Аннотация: в статье рассмотрено определение кинематических параметров пространственного кривошипно-шатунного механизма. Для этой цели использовано два аналитических метода: метод, изложенный в [1], и метод, предложенный в работах [2]-[6]. Проведено сравнение результатов, полученных в результате применения этих методов.

Abstract: in the article the definition of kinematic parameters of a spatial crank mechanism. For this purpose, we considered two analytical methods: the method presented in [1 ] and the method proposed in [2]-[6]. The comparison of the results obtained by these methods.

Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение. Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.

В качестве расчетной кинематической схемы примем схему механизма, изложенную в [1] , стр. 94 (Рис. 1а).

Рис. 1. Кривошипно-шатунный механизм: а) углы Эйлера, б) векторы угловых скоростей.

Структурный анализ механизма приведен в [2].

Требуется определить положение, скорости и ускорения всех звеньев механизма при заданном значении обобщенной координаты ф10, известных размерах, указанных на кинематической схеме: 1ав=1ь ¡ВС=Ь, ¡3,1о, законах изменения углового ускорения и угловой скорости. Примем, для определенности,

1ав=11=0,05м, 1вс=12=0,2 м, ¡3=0,15 м, ¡0=0,05м, 1=5 с, е10=2 с'2, а10=21. На рис. 1 а) показаны звенья механизма 1, 2, 3 и углы Эйлера:

&21 - угол нутации, ф21 - угол собственного вращения, угол прецессии щ21 при таком выборе осей равен нулю.

Преобразование координат выполняются по формулам (3.23), (3.24) [1]:

(х1,у1^1)^(хо,у^о) (х2,У2,г2>^(х1,У1,г^

х0 = xlCosфl0 - ух&пу1й + ¡¡Соя^

Уо = х^Бтфю + + ¡^Бтфю

2о =

х1 = х2Со$у21 - у2$1пу21

у = Х2Сояв2г81Пф21 + у2Со$в2Со$ф21 - 22&пв21 2 = х2$1пв2 г81пф21 + у2$1пв2 £о$у21 + г2Со$в21

На рис. 1 б) показаны направления векторов угловых скоростей.

Угловые скорость и ускорение звена 2 относительно стойки определятся из выражения (3.30), (3.31) [1]:

(Ь2=ах+а21 (1)

+^21 +ЩХ&21 (2)

Скорость V (X, у, г) и ускорение а2 (X, у, г) какой-либо точки звена 2 с координатами х, у, 2 относительно стойки определятся из выражений

У2(х,у,г) = ¥в + 32 хр(х,у, г) (3) а2 = ав +е2х р(х, у, г) + ю2х (р2 х р(х, у, г)) (4)

где р(X, у, г) - радиус-вектор точки (х, у, г), определяющий положение рассматриваемой точки относительно полюса (кинематической пары В).

1. Определение углов и координат кинематических пар. Определение этих кинематических параметров проведем в соответствии с [1]. Значение угла ф21 получим из соотношения (3.28) [1]:

а - VА2 - в

СО£^21 =--- , (5)

¡2

где А = (¡3 -¡! • Ъту^)Бтф10 = (0,15 -0,05 • Яот25°)$п25° = 0,05446 м, В = (¡3 -^ • 8тр10)2 + (¡2 -¡¡)Со>?>10 = (0,15 - 0,05 • 5ш25°)2 -(0,152 -0,22)Со^225° = -0,0142 м.

Подставляя эти значения в (5), получим

Л 0,05446 ±л10,054462 + 0,0142 0,05446 ± 0,13102

(Со^21)12 =-*-=-.

2 1,2 0,2 0,2

(^21)1 = 21,968°, (^ = 112,500°.

46

Принимаем далее р21 = 21,968° и в соответствии с (3.27) [1] вычислим

Sin = —^-=-005-= 0,66828,

21 l2Sinp2l 0,2 • Sin21,968°

откуда получим 021= 41,934°. Координату s30 вычислим из выражения (3.25) [1]

s30 = l2Cosp2Cospw -12 • Cosd2 fiinp2 fiinpw + l£osp10 = 0,2 • 0,92739 • 0,906307 -- 0,2 • 0,744207 • 0,374095 • 0,42262 + 0,05 • 0,906307 = 0,18988м.

Координаты кинематической пары С в неподвижной системе координат будут такими

xc¡> = s30 = 0,18988 м, _ус = l3 = 0,15 м, zc = l0 = 0,05 м.

2. Определение скоростей и ускорений в кривошипно-шатунном механизме. 2.1.1. Определение скоростей по методу Левитского Н.И. [1]. В этом случае для определения скоростей и ускорений дифференцируются выражения (3.25)-(3.27)

[1], откуда получаем систему линейных уравнений относительно S30, рр21,в2\:

^зо = -Рг А (Sinp £ospw + Cos02 £osp2 Sinpw)-

-pl 0 (l2Cos p2 Sin pw+ l2Cos 62 Sin p2 Cos pw +1Sin plQ) + 62 J2Sin 62 Sin p2 Sin pw, 0 = -p2 J2 (Sin p2 Sin pw- Cos 62 Cos p2 Cos pw ) +

+ px jl2Cosp2Cospw -l2Cos62Sinp2Sinpw + lCospw)-62 J2Sin62Sinp2Cospw,

(6)

0 = <p21Sin621Cosp21 + 62Cos62lSinp2V

Подставляя в (6) численные значения, получим решение системы (без вывода):

ф21 = -9,770с-1, 621 = 21,737 с-1, s30 = 0,193 м/с. (7)

Линейная скорость кинематической пары С Vc=0,193 м/c.

Проекции угловой скорости й)21 на оси координат (x1,y1, z1) найдем из выражения (3.29) [1]

^ = 621 = 21,737 с-1, 4yi) = -p Sin62l = -(-9,77) • 0,6683 = 6,529 с-1,

= <PiCos62X = (-9,77) • 0,7442 = -7,275 с-1.

В системе координат (x0hyo,z0) проекции скорости т21 будут такими

411o =®2íCospi0)Sinpi0

= 4x)Cospw-42yl)Sinpw = 21,737 • 0,906307 -6,529• 0,42262 = 16,941

®21о) = С0 ®пр10 + С Совр^ = 21,737 • 0,42262 + 6,529 • 0,906307 = 15,104

= = -7,275 с-1.

По уравнению (3.30) [1] найдем проекции угловой скорости звена 2 на неподвижные оси

С ]=С2° ) = 16,941 с-1,

С )=Су0 )= 15,104 с-1,

4Z0) = p10 + 4?) = 10 - 7,275 = 2,725 с-1.

с-1

с-1

2.1.2. Определение скоростей методом аналитического решения векторных уравнений.

Определим полученное ранее значение скорости точки С методом аналитического решения векторных уравнений, изложенным в [3]-[7].

Учитывая, что Ю21 = 621 + <р21, равенство (1) запишем в виде

ё2 = Щ +в21 + <

Из соотношения (3) получим

Гс = Гв + (Щ +¿21 + <<21) *Ра (8) Проекции вектора рс на оси координат будут такими

рсх=0,19-0,05Соз25°=0,145 м, рсг=0,15-0,05Бт25°=0,129 м, рс2=0,05 м. Проекции векторов скоростей, входящих в соотношение (8), на оси неподвижной системы координат приведены в таблице 1.

Таблица 1. Проекции векторов скоростей на оси координат

Ус Ув Щ <1 6 Рс

Прх -1 ^т фт=-0,42262 0 Sin в21 Sin фю=0,28243 Со: фю=0,906307 0,145

Пру 0 Сои фм=0,906307 0 ^т в21 Со:! ф10=-0,60567 Sin фю=0,42262 0,129

Прг 0 0 10 0 0 0,05

Раскрывая скобки в соотношении (8), вычислим соответствующие векторные произведения

У»Р = ®х х Рс ='

- 0,129 1,45

' ; Гер = 0 хрс

0,021 - 0,045

Кр=<Р *Рс =

- 0,126 0,094

0 ] [ 0,056 ] 0,124

Систему алгебраических уравнений составим, исходя из векторного соотношения

- Ус + 6 хрс+ф хрс = -Ув -ю1хрс

Правая часть системы уравнений Система линейных уравнений имеет вид

' Р1 — У - У Юр Вх ' 1,501 1

<Рг ■ = ■ — V - V юру Ву ■ = ■ -1,903

— V - V у юр у Вг 0

1 0,021 - 0,126 ^ 1,501 1

0 - 0,045 0,094 • 6 > = < -1,903

ч 0 0,056 0,124 , 0

Решение системы будет таким

Угловая скорость Ю2 будет равна

0,192 '

6 > = < 21,792

- 9,762

6 ■ Со:<10 + <р ■ Бтд11 ■ Бт< + 0 16,9951

ю=• 6 ■ Бт< - <р ■ Бтд11 + 0 ■ = • 15,119

0 + < ■ соь'021 +10 2,739

2.2.1. Определение ускорений звеньев механизма. 48

Приведем вычисления ускорений звеньев механизма способами, изложенными в [1] и [3]-[7]. Для вычисления ускорений по методу, изложенному в [1], необходимо провести повторное

дифференцирование соотношений (6), что также дает систему линейных уравнений относительно ф21, 621, S 0 . Приведем без вывода результаты решения этой системы:

ф21 = 206,076 с"2, 621 = 502,996 с"2, s30 = -8,928 м/с2. (9)

В случае аналитического решения используем векторное уравнение (4). Подставляя в выражение (4) равенство (2), получим

ас = ав + +£21+ ( х âj хр + (2 х ((2х Pc) Раскрывая скобки в этом равенстве, получим

Йс = ав + ¿хх pc + ¿21х pc + щх ( хрс+(2х (( х рс ) (10)

Составим систему линейных уравнений относительно Яс, ф21з .

- линейное ускорение кинематической пары С, направлено вдоль оси Х, численная величина неизвестна;

- линейное ускорение кинематической пары В, известна и величина, и направление;

- угловое ускорение звена 1, известна и величина, и направление;

О векторах рс, , С21, С2 сказано выше. Примем

ас =

—1 — 0,1 • Sin( — 5 • Cos( — 4,574 0 0,145'

ас ■ 0 ■, ав =• 0,1Cos( — 5Sin ф0 • . — 2,022 ., ¿1 = - 0 -, Pc =• 0,129

0 0 0 2 0,05

Co(c' 0,906' ' 0,021 ' Sin62 Sin( ' 0,282 '

= 6. Sin( ■ = 6. 0,423 -, 6хр = 6. — 0,045 II (3: — Sin6Cos( -- = ф — 0,605

0 0 0,056 Cos62l 0,744

'0 ' 16,941 ' 8,470 16,941'

( = - 0 (21 = - 15,104 •, (х(х p = - 7,552 •, S2=- 15,104

10 — 7,273 — 44,049 2,727

( х (( х Р) = -Система линейных уравнений имеет вид

1,161 1,18 -13,744

1 - 0,126 0,021 ^ ac - 4,799"

0 0,094 - 0,045 Ф - = —[aB + X pc +6)xx 6)2l хрс+6)2х (ю2 X pc)] = - — 6,999

v 0 0,124 0,056 y 6 57,793 ^

ac — 8,663

Решение этой системы имеет вид - ф > = - 203,682

6 581,007

Видим, что результаты, приведенные в (8), практически совпадают с полученными. Аналогичным образом могут быть получены значения скоростей и ускорений любой точки звена механизма.

Заключение.

Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических параметров пространственных механизмов.

>

Литература

1. Левитский Н. И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1990.

2. Горшков А. Д. Структурный анализ пространственных механизмов. // European science. 2016. №. 2(12), с. 17-20.

3. Горшков А. Д. Определение кинематических характеристик шарнира Гука аналитическим методом. // European science. 2016, №. 2(12), с. 20-26.

4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. XV Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке» Россия, г. Москва, 27-28.03.2015, с. 16-19.

5. Горшков А. Д., Кузьминова Н. А. Применение аналитического метода в силовом анализе рычажного плоского механизма. European Research: Innovation in Science, Education and Technology // European research. 2015. № 3(4), с. 98.

6. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских многозвенных механизмов. // European Research. 2015, № 8(9), с. 6-17.

7. Горшков А. Д., Примостка В. Е. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских многозвенных механизмов. // European Research 2015. № 8(9), с 17-28.

The criterion of optimization of a design resistant gas-static bearings Krasilnikova O. (Russian Federation) Критерий оптимизации конструкции упорных газостатических подшипников Красильникова О. А. (Российская Федерация)

Красильникова Ольга Алексеевна / Krasilnikova Olga - кандидат технических наук, доцент,

кафедра кораблестроения, Государственное образовательное учреждение высшего образования Комсомольский-на-Амуре государственный университет, г. Комсомольск-на-Амуре

Аннотация: в работе дано обоснование выбора независимых переменных, по которым идет процесс оптимизации конструкции газостатических упорных подшипников (УГСП). Представлены ограничения решаемой задачи, накладываемые на значения независимых переменных. Abstract: in work the substantiation of the choice of independent variables, which is the process of optimizing the design of gas-static thrust bearing (UGSP). Submitted by the constraints of the task, imposed on the values of the independent variables are presented.

Ключевые слова: критерий оптимизации, газостатический подшипник, несущая способность, жесткость смазочного слоя, расход газа.

Keywords: optimization criterion, gas-static bearing, bearing capacity, stiffness of lubricating layer, the gas flow rate.