CC BY
43
The application of an analytical method in the kinematic analysis of planar mechanisms Gorshkov A. (Russian Federation)
Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов Горшков А. Д. (Российская Федерация)
Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Alexander - кандидат технических наук, доцент,
кафедра общеинженерных дисциплин,
Пермский военный институт внутренних войск МВД России, г. Пермь
Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [1, с. 15], [2, с. 18], применение которого проиллюстрировано на примере расчета скоростей и ускорений шестизвенного механизма. Проведено сравнение результатов, полученных графоаналитическим методом, методом проекций векторных контуров и предложенным аналитическим методом.
Abstract: this article proposes an analytical method of solving vector equations [1, p. 15], [2, p. 18], the use of which is illustrated in the example of calculating the speed and acceleration of the six-link mechanism. A comparison of the results obtained by graphical, method of projection vector paths and proposed analytical method.
Ключевые слова: механизм, кинематическая пара, скорость, ускорение.
Keywords: mechanism, kinematic pair, speed, acceleration.
Исходные данные
Примем для определенности следующие данные для расчетов:
lM = 1,48 м, lBC = 2 м, lDC = 1,965 м, lEQ = 1,48 м, = 1,48 м, lCE = 1,36 м, ^ = 1150,
р2 = 80, p3 = 1060 ^ = 50 c2, ^ = 20 c2
Кинематическое исследование рычажного механизма методом планов положений, скоростей, ускорений
Примем масштабные коэффициенты /иг = 0,04 м/мм, /иу = 0,37 м/(смм), /иа = 2,96
2
м/(с •мм). План положения и план скоростей представлен на рис. 2.
Рис. 2. План положения и план скоростей механизма
Линейную скорость точки В звена 1 определим по формуле
V =Щ- Iab = 20 • 1,48 = 29,6 м/c Скорость точки С определим из векторного уравнения
Vc = V + Vcb (1)
Решение векторного уравнения приведено на рис. 2.
Скорость точки F определим из векторного уравнения
-f = VE + Vfe (2)
Решение векторного уравнения приведено на рис. 2. Скорости точек S2, S3, E находим по принципу подобия. Угловые скорости щ, щ определим из соотношений
-
Щ2 =
CB
1
4,57
2
= 2,29с-1, щ= =
3 l 1Г
К 28,36
lCB ^ CD
План ускорений приведен на рис. 3.
Ускорение точки В звена 1 определим по формуле:
1,965
= 14,43с-1.
a = ac + a*
wB ^B ' ^B 5
где anB = Щ = 202 • 1,48 = 592 м/с2 - нормальная составляющая ускорения,
на плане ускорений ему соответствует отрезок (aB )=200 мм;
а*в = sx • 1^ = 50 • 1,48 = 74 м/с2 - нормальная составляющая ускорения, на плане ускорений ему соответствует отрезок (aB )=25 мм.
Ускорение точки С звена определим из совместного решения векторных уравнений:
aC aB ^ aCB aCB , (3)
ac = aB + ac,
(4)
где anCB = Щ • lBC = 2,292 • 2 = 10,49 м/с2, anc = Щ • lCD = 14,432 • 1,965 = 409,16 м/с2 -нормальные составляющие ускорения; на плане ускорений им соответствуют отрезки (aB )=4 мм, (aB) = 138 мм.
Тангенциальные составляющие определим из плана ускорений:
a/D = (a^J- /ла = 60,72 • 2,96 = 179,73 м/с2,
*CB
CB
aC = (aC
(aTc\va = 10,45 • 2,96 = 30,93
2
м/с .
В результате получим:
асв = = 410,492 +179,732 * 180,0 м/с2, (5)
ac =т](апУ +(aTcJ =430,932 + 409,162 *410,3 м/с2. (6)
Ускорения центров масс 52, 52 и точки E находим по принципу подобия.
Ускорение точки F определим из векторного уравнения:
ap aE aFE aFE , (7)
где akF = 2 • со3 • VFE = 2 • 14,43 • 16,724 * 487 м/с2 - ускорение Кориолиса точки F в относительном движении относительно точки Е. Из плана ускорений получаем:
aF = (aF ) • Я = 173,55 • 2,96 = 513,7 м/с2. (8)
Кинематическое исследование рычажного механизма аналитическим методом
Эквивалентная система векторных контуров механизма (рис. 4).
Рис. 4
На рис. 4 ф 1=115°, ф2=8°, фз=106°
Векторный контур, определяющий положение точки В (рис. 5).
Проекции этого контура на оси координат:
xB = lAB • cos(jj) = 1,48 • (-0,423) = -0,625 м,
Ув = Iab • sin(jj) = 1,48 • (0,906) = 1,341 м.
Проекции скоростей и ускорений на оси координат:
VBx =-1^ • щ • sin( j ) = -1,48 • 20 • (0,906) = -26,827 м/с,
V^ = lM • a, • cos(j) = 1,48 • 20 • (-0,423) = -12,51 м/с,
2
aBx = -l^ • s1 • sin( j ) -1^ • col • cos(j ) = -1,48 • 50 • (0,906) -1,48 • 202 • (-0,423) = 183,1 м/с ,
2
aBy = Iab • ^ • cos(j) -1^ • o2 • sin(j ) = 1,48 • 50 • (-0,423) -1,48 • 202 • (0,906) = -567,808 м/с . Скорость и ускорение точки В:
Vb =V VBl + VBy =yl{- 26,827)2 + (- 12,51)2 = 29,6 м/с,
a =<J aL + aly = V(183,l)2 +(- 567,808)2 = 596,607 м/с.
Векторный контур, определяющий положение точки С, представлен на рис. 6. Проекции этого контура на оси координат:
хс = 1^ ■ 008(7!) + he • oosj) = 1,48 • (-0,423) + 2 • (0,99) = 1,362 м,
Ус = lab ■ sinCjx) + he ■ sin(j2) = 1,48 ■ (0,906) + 2 ■ (0,139) = 1,621 м.
Определим угловые скорости о2 и о3, вычислив первую производную из этих соотношений:
VCy = lAB щ1 ■ cas(ji) + he ■ щ2 ■ COsC/2) = Ibc щэ ■ COsC/э) .
Решая эту систему уравнений относительно угловых скоростей звеньев о2 и о3, получим:
-lM ■ щ ■ sin(j) = -1.48■ 20■ 0.906 = -26,818,
-lBC ■щ^sin(j2) = -2■ 0,139■щ =-0,278■щ - lDC ■ щ ■ sin( j) = -1,964 ■ 0,959 ■ щ = -1,884 ■ щ hs ■ щ ■ cos( j) = 1,48 ■ 20 ■ (-0,423) = -12,521 lBC ■ щ ■ oos(j2) = 2 ■ щ ■ 0,99 = 1,98 ■ щ he ■ щ ■ oos(j) = 1,964 ■ (-0,284) ■ щ = 0,558 ■ щ
26,818“ “0,278 -1,884" щ2
12,521 -1,98 0,558 щ
со2 =2,212 1/с, со3=14,573 1/с.
Определим линейную скорость точки С:
V& = ~hc ■ щ ■ sin(j ) = -1,964 ■ 14,573 ■ 0,959 = -27,443 , V^ = he ■ щ ■ oos(j ) = 1,964 ■ 14,573 ■ (-0,284) = -8,129,
Vc =yl VCx + VCy =<J(- 27,443)2 + (- 8,129)2 = 28,621 м/с.
Угловые ускорения звеньев e2, s3 и ускорение точки С определим из системы уравнений:
3in(/2)-Ibc-6)1 • cos(/2b-lDc -£3 • sin(j3)- 1DC-®l • cos(/3),
s(j2 )-lBC • 62 • Sin(/2 ) = lDC 'S3 • COs(j3 )-lDC ' 63 • sin(j3 ) ,
-lBC •rn\ • cos(J\ ) +6] • cos( j ) = 18,123 - 2 • 2,2122 • 0,99 + 1,964 -14,5732 • (-0,284) = 54,97
aCx aBx lBC • S2 • sin(j2
aCy = aBy + lBC 'S2 • COs(
aBx iBC 6 2 • COs(j2 ) + lDC
„,„^2 ) + ldc 63 ' sinV3
" 54,97 " " 0,278 -1,883 " ^2
-169,247 -1,981 - 0,558 _еъ
- iBC 622 •sinj ) + i^ 632 •sinj) = -567,808 - 2-2,2122 • 0,139 +1,964 • 14,5732 • 0,959 = -169,247
; e2=84,956 1/c2, s3=-48,687 1/c2.
= авх - Ibc s2 •sinj )-lBC 6^ •cos(j2 )= 18.123-284,956 0,139=210,146,
= aBy + lBC s2 •cos(/2 )-lBC •sinj ) = -567,808+2 84,956 0,139=-372,765,
ac = л[а^+а^у ^/(210,146)2 +(- 372,765)2 = 427,92 Wc.
aCy aBy
a
Кинематическое исследование рычажного механизма с использованием аналитического метода решения векторных уравнений
Определение скоростей в кинематических парах механизма
Решим векторные уравнения (1) и (2)
Vc = Vb + Vcb , Vf = Ve + Vfe
аналитическим методом в соответствии с алгоритмом, приведенным в Приложении. В соответствии с рис. 7 для первого уравнения:
Vcy=VcSm(16°)= Vc 0,276, Vcx=VcCos(16°)= Vc0,961, VcBy=VcB^sin(-82°)=-VcB^0,99, Vcbx=Vcb^cos(-82°) = Vcb0,139, VBy=VB-sin(25°)= 29,60,423=12,51, Vbx=Vbcos(25°)= 29,60,906=26,827. Неизвестные скорости Vc и VcB получаем из решения системы уравнений:
Рис. 7
"0,961 0,139 " " Vc " “26,827“
0,276 - 0,99 Vcb _ 12,51
Решение системы Vc=28.951 м/c; Vcb=-4,666 м/c.
а2 =
CB
lr
4,666 „„„„ V 28,951 лл^л
------= 2,333 1/c, о-, = — =--------= 14,74 1/c.
2 3 U 1,964
lCB ^ CD
Для второго уравнения VFy=VF-sin(0°)= 0, VFx=VF-cos(0°)= VF-1,
VFEy=VFE-sm(-74°) =-Vfe 0,961, Vfex=Vfe'Cos(-74°) = Vcb'0,276,
VEy=VEsin(16°)= 56,65 0,276=15,635, VEx=VEcos(16°) = 56,65 0,961=54,44. Неизвестные скорости VF и VFE получаем из решения системы уравнений:
“1 0,276 " " Vf " “ 54,44"
0 - 0,961 1 1 15,635
Решение системы дает VF=58,93 м/c; VFE=-16,27 м/c.
Определение ускорений в кинематических парах механизма
На рис. 8 приведены векторы ускорений точек механизма.
Ускорение точки В звена 1 определим по формуле
ав = аВ + ав
апв = а>2 ■ ^ = 202 • 1,48 = 592 м/c2; а*в = ^ ■ lM = 50 • 1,48 = 74 м/c2;
а =л1 (р"в )2 + (&в )2 = V5922 + 742 = 596,607 м/c2; авх = аБх + aL = аВ ■008 65° + ав ■ cos 205° = 592 ■ 0,423 - 74 ■ 0,906 = 183,349 аВу = авВу + = -аВ ■ sin 65° + а‘в ■ sin 205° = -592 ■ 0,906 - 74 ■ 0,423 = -567,625
Ускорение точки С определим из решения векторных уравнений:
ас = ав + а"в + аЕВ и ас = аС + аЕ,
где а^ = Щ ■ /вс = 2,332 • 2 = 10,86 м/с2; ас = щ2 ■ lCD = 14,742 • 1,964 = 426,71 м/с2; а^ = 10,86 ■ cos1880 =-10,754, апСВу = 10,86 ■ sin1880 =-10,86 ■ 0,139 = -1,511 апСх = 426,71 ■ cos 74° = 117,617, а^ = 426,71 ■ sin74° = 410,179 аЕх = аЕВ ■ cos16° = аЕ ■ 0,961, а‘Су = а‘с ■ sin16° = а‘с ■ 0,276,
аСБХ = аСБ ■ COs 278° = аСВ ■ 0,139 , аСВу = аСВ ■ sin 278° = -аСВ ■ 0,99
Составим систему уравнений:
-*С -*-f -*■ . -*n
ап + ап = ав + а,
, -*-f -*-t . -*-f -*■ . -*n -*n
+ аС£ — асв + ас — ав + асв — ас.
-а*св ■ 0,139 + а*с ■ 0,961 = аВх + апСВх -апСх=183,349-10,754-117,617=54,978
а*св ■ 0,99 + аЕ ■ 0,276 = а
Ву
+ а” - а” =-567,625-1,511+410,179=-159,139
СВу
Су
"- 0,139 0,961" аСВ " 54,978 "
0,99 0,276 _ аС _ -159,139
^ асв = -169,847, ас = 32,642
Ускорение точки С:
ас =у1(ас ) + (аС ) ^/(32,642)2 + (426,71)2 = 427,956 м/с2,
асв =у1(асв )2 + (а^ )2 =^(~ 169,847)2 +(18,86)2 = 170,194 м/с2. Ускорение точки Е:
DE 3 325
а = аг-----= 427,956 ■ 3---= 427,956 ■ 1,693 = 724,518 м/с2,
Е С БС 1,964
аа = (аСх + а*Сх) ■ 1,693 = (117,617 + 31,369) ■ 1,693 = 252,233 м/с2, аЕУ = (аСу + асу) ■ 1,693 = (-410,18 + 9,01) ■ 1,693 = -679,182 м/с2.
Ускорение точки F определим из решения векторного уравнения:
ар = аЕ + акРЕ + аЕ ^ 3F - а*Е = аЕ + акРЕ ,
где аЕ = 2 ■щ ■ Vm = 2 ■ 14,43 ■ 16,72 = 482,54 м/с2 - ускорение Кориолиса точки F в относительном движении относительно точки Е.
Получили систему уравнений:
аг ■ cos180° - drE ■ cos 106° = + акш ■ cos196° = 252,233 + 482,54 ■ (-0,961) = -211,614
ар ■ sin180° - а‘ш ■ sin 106° = аЕу + акш ■ sin196° = 0 + 482,54 ■ (-0,276) = -133,006 ар ■ (-1) - dFE ■ (-0,276) = + акш ■ cos 196° = 252,233 + 482,54 ■ (-0,961) = -211,614
аР ■ 0 - а‘т ■ 0,961 = аВу + акш ■ sin196° =-679,182 + 482,54 ■ (-0,276) = -812,188
"-1 - 0,276" аf "- 211,617"
0 0,961 а* _UFE J - 812,188
Решение системы aF=444,878 м/с2, аЕЕ =845 м/с2.
Заключение
Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для расчета кинематических параметров многозвенных механизмов.
Литература
1. Горшков А. Д. Силовой расчет многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2012. - 32 с.: 9 илл.
2. Горшков А. Д. Использование графоаналитического метода в кинематическом анализе многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2014. -24 с.: 6 илл.
