Перистальтический транспорт вязкой жидкости в цилиндрических трубах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.542

ПЕРИСТАЛЬТИЧЕСКИЙ ТРАНСПОРТ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ

И.П. Бойчук, ассистент, ХНАДУ

Аннотация. При помощи метода интегральных соотношений проведен расчет перистальтического транспорта жидкости по тонким трубам. Исследовано изменение расхода жидкости при изменении амплитуды бегущей волны.

Ключевые слова: перистальтический транспорт, вязкая жидкость, метод интегральных соотношений.

Введение

Перистальтический транспорт - это перенос жидкости или твердых тел по трубке за счет распространяющихся по ее стенкам волн деформации. Перистальтический транспорт свойствен многим органам животных. В технике используются перистальтические насосы, предназначенные для перекачивания жидкостей с высокой вязкостью, содержащих твёрдые частицы. Классификация перистальтических течений и обзор посвященных им теоретических исследований представлен в [1].

Цель и постановка задачи

Рассмотрим нестационарное движение вязкой несжимаемой жидкости по тонкой трубе, имеющей круговое медленно изменяющееся сечение. Предполагается, что характерный поперечный размер трубы остается всегда значительно меньшим продольного масштаба, а поперечная скорость в такой же степени меньше продольной.

Используя метод интегральных соотношений и подход, описанный в [2], из уравнений неразрывности и Навье - Стокса, описывающих движение вязкой жидкости в цилиндрической трубе, получим

дБ д0 п

— + — = 0 дг дх

(1)

. _. 1 7 дО dz

р(г, х) - р(г,0)+——--------=

%БН 0 дг к (г, х)

2 7 (ди7 Л dz Л О дБ dz

=— П — I ----------+ 4[—-----2----+ (2)

т>~-4 1 с Я/ и2 г ■ 4

Яе0 \дг )г=к к (г, 7) 0 Б дг к (г, х)

102 дБ d7

+2\^т----------------------2-= 0,

0 Б дх к (г, 7)

где г - время, р(г, 7) - функция давления, К(г, 7)

- уравнение контура поперечного сечения труб-

ки, Б (г, 7) - площадь поперечного сечения трубки, 0(г, 7) - расход через поперечное сечение трубки, у7 (г, г, х) - продольная компонента скорости в цилиндрических координатах (г, ф, х),

БН - число Струхаля, Яе - число Рейнольдса. Эти уравнения позволяют определить связь между расходом и давлением.

Пусть теперь деформация стенки имеет характер бегущей волны (перистальтические течения), т.е. Б = Б(§), | = 2п(х - г). Тогда

дБ

дг

дБ

"дГ

Из (1) получаем

■ дБ

(3)

0 (г, 7 ) = б (г ,0 )-\~дг-^ =

0 дг

= б (г ,0)-Б (г,0)+Б (г ,7). Подставляя это выражение в (2), получим

да ( 1 Л 2/ ч ( ^ 7 дБ d7 Л

а1БН\БГа <г>I-2'! аТБз)+

+д(1) ^8п \^ + [(’7) - Р(г’0)) + 1 \ дБ d7 2 \ (ду7 Л d7 \ дБ d7

+БН\~д7~Б ~Яе\["дТ")г=к~к ~ п0~57~б где а(г) = 0(г,0) - Б(г,0).

Предположим, что нам известен перепад давления 5рь (г) = р(г, Ь) - р(г, 0) в трубе длиной ь. Тогда функция д(г) находится из дифференциального уравнения

= 0,

d а (г) d г

= / (г )а2 + g (г) а+Н(г), (4)

где

рядка 78. Для вычисления использовались следующие данные: К = 1 + а соб(7 - г), см, Ь = 20 см, г = 10 с. На рис. 1 показана функция расхода б(г, 7) при Яе = 1, а = 0,1.

/ (,)=|2„; ^4Ли \±

1 0 се Б3 )| БН; Б

g «) = | -8п\^ ¥.1 \±

1 0 д7 Б2 Л БН 0 Б

Исследовалось влияние амплитуды бегущей волны а на изменение расхода 0(г, 7). С увеличением амплитуды а расход растет, соответственно, увеличивается и перенос жидкости.

Выводы

Н(г) = -

( , ч , П1\ 1 7 дБ d7

(,7)- „ло)+- |-т

2 О ( Л d7 О дБ d7

Яе 0 [ дг )г=к К о д7 Б

Если решение а(г) найдено, то по (3) находим 0(г, 7), подставляем в (2) и оттуда уже находим

р(г, 7).

Рис. 1. Функция расхода б(г, 7) при Яе = 1,

а = 0,1

Когда получение детальных сведений о картине течения не обязательно, расчет перистальтического транспорта можно проводить с помощью метода интегральных соотношений. Полученные формулы можно запрограммировать в любом из математических пакетов. Код программы будет содержать не более 40 строк, а сама программа позволит исследовать влияние различных параметров на транспорт жидкости без существенных затрат времени и ресурсов.

Литература

1. Быкова А. А., Регирер С. А. Модели перисталь-

тического транспорта в активных трубках //

II съезд биофизиков России. - М. - 1999. -С. 36.

2. Бойчук И.П., Тарапов И.Е. Применение метода

интегральных соотношений для изучения движения вязкой жидкости по деформируемым трубам // Вест. Харьковского ун-та, сер. Математика, прикладная математика и механика. - 2002. - №542. - С.13-18.

Результаты исследования

Общее уравнение Риккати (4) имеет решение в конечном виде лишь в частных случаях или в приближениях. Дифференциальное уравнение (4) решалось численно методом Рунге - Кутта по-

Рецензент: М.А. Подригало, профессор, д.т.н.. ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 29 января 2005 г.