Спектральные течения жидкости в цилиндре с упругой границей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534:47

СПИРАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРЕ С УПРУГОЙ ГРАНИЦЕЙ

© 2012 г. В.А. Батищев, Д.С. Петровская

Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: batish@math.sfedu.ru.

Batischev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: batish@math.sfedu.ru.

Петровская Дарья Сергеевна - магистр, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: d_manchenko@mail.ru.

Petrovskaya Darya Sergeevna - Master, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: d_manchenko@mail.ru.

Построены асимптотические разложения спиральных волн в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости внутри цилиндра конечной длины, ограниченного тонкой упругой изотропной оболочкой. Рассчитаны два семейства спиральных волн (длинных и коротких) и семейство стационарных спиральных течений жидкости. Показано, что стационарный поток является механизмом переноса как коротких волн, так и стационарных спиральных мод. Полученные решения могут моделировать закрученные потоки крови в аорте.

Ключевые слова: спиральные волны, стационарный поток, пограничный слой.

Constructed asymptotic expansions of spiral waves in the stationary flow of viscous incompressible fluid inside a cylinder of finite length, being limited to a thin isotropic elastic shell. Are two families of spiral waves (long and short) and a fixed scroll fluid currents. It is shown that a stationary flow is the transport mechanism as short-wave or stationary spiral mod. The solutions can simulate the twisted threads of blood in the aorta.

Keywords: spiral waves, stationary flow, boundary layer.

В конце XX в. появились сообщения об обнаружении закрученных потоков крови в артериях человека и животных [1-3]. Среди причин возникновения спиральных течений могут быть структура стенок в левом желудочке сердца, наличие вихревого движения жидкости на входе в кровеносный сосуд, механические свойства стенок сосудов [1-7] и др. В [4-6] рассчитаны длинные спиральные волны в кровеносном сосуде, вызванные анизотропией стенок сосудов. Однако эти волны оказались локализованными в пограничном слое (вблизи стенок сосудов). В настоящей работе рассчитаны спиральные волны конечной длины в стационарном потоке жидкости в цилиндрической области, ограниченной тонкой изотропной упругой оболочкой. Эти волны заполняют все поперечное сечение цилиндра и слабо зависят от упругих свойств цилиндрической оболочки. Численные расчеты показали, что волновые числа и декременты затухания спиральных волн убывают с ростом скорости стационарного потока. Показано, что механизмом переноса спиральных волн является стационарный поток. Рассчитано семейство стационарных спиральных течений жидкости, затухающих вниз по потоку.

Показано, что длинные спиральные волны локализованы в пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Свойства этих волн (фазовая скорость, декремент затухания и др.) сильно зависят от упругих

свойств стенок цилиндра и вязкости жидкости. Порядок фазовой скорости совпадает с порядком скорости длинных продольных волн [1, 4-6, 8].

Уравнения движения

Рассматривается задача о распространении спиральных возмущений малой амплитуды в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей круговой цилиндр конечной длины. Движение жидкости изучается на основе системы уравнений Навье-Стокса

— + (у, Уу) = ~р~1Чр + V АУ, (1)

д 1

&уу=0.

Здесь у = (уг,уе,у2) - вектор скорости; -

цилиндрические координаты; р - давление, V - кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Задача посвящена расчету спиральных волн, которые могут моделировать закрученные потоки жидкости в крупных кровеносных сосудах человека и животных. Кровеносный сосуд моделируется круговым цилиндром конечной длины, который ограничен тонкой упругой изотропной оболочкой толщины И и радиусом срединной поверхности, равным а.

Исследуется осесимметричная задача, для которой скорость, давление и смещения точек срединной поверхности оболочки не зависят от окружной координаты в. Течение жидкости предполагается периодическим по времени с периодом Т . Уравнения движения приводятся к безразмерному виду, причем в качестве масштабов длины, времени, скорости, давления и смещений точек оболочки приняты соответственно

следующие параметры: а, 1/а, О, рО2,О /а . Здесь а = 2я / Т; р - плотность жидкости; О - характерная скорость стационарного потока. Приведем уравнения в безразмерных переменных для окружной компоненты смещения ив точек срединной поверхности тонкой изотропной оболочки в рамках безмо-ментной теории с учетом гидродинамического воздействия на ее срединную поверхность (г = 1)

д ug

J7

-4 p0h (i+^o) ^ = Ф2Л

pa

д tl

д vg д г

(2)

д ua

sk = coa^2ap/(hE) , £V=-J2 /(a>a2) .

в - Г

Здесь у0 - коэффициент Пуассона, который принимается равным 0,5; Е, р0 - модуль Юнга и плотность материала оболочки. В численных расчетах будем использовать те значения параметров в (1), (2), которые соответствуют кровеносным сосудам собаки [1]. Заметим, что параметры еу и ек малы (для аорты собаки еу~ 1/13, ек~ 102 [1]). Малость параметров еу и ек связана с малой вязкостью жидкости и большим значением модуля Юнга.

В [4-6] изучены пульсовые продольные и спиральные волны, распространяющиеся в цилиндре, ограниченном анизотропной оболочкой, причем поле скоростей представлено в виде ряда Фурье с нулевой гармоникой, которая представляет собой течение Пу-азейля. В связи с этим предположим, что стационарный поток определяется полем скоростей, у которого осевая компонента скорости квадратична по радиальной координате, а ее максимальное значение определяется расходом жидкости Q в цилиндре

У:0 = 1 - Г2 , Уг0 = Ув0 = 0 Ро = С - 4ег 2 / Я;

Я =и /(аа) ; О=20^а.

Асимптотические разложения

Решение задачи, описывающее спиральные волны, представим в виде суммы двух вектор-функций

V = V (г, 2,^ + V(г, 2,0 . (3)

Здесь V = (уг,ув,у:,р, иг,ив,и2), V = Я, и'г,и'в,и'2). Первые 4 координаты

векторов V и V - компоненты скорости и давление, последние 3 - компоненты смещения точек оболочки. Вектор V описывает стационарный поток и волны конечной длины, распространяющиеся по всему поперечному сечению цилиндра, V - длинные волны. Отметим, что в результате сердечной деятельности в аорте распространяются длинные продольные пульсовые волны с амплитудой порядка 0(1). Они

изучались во многих работах, в том числе и в [1, 4-6, 8]. В данной статье основное внимание уделено исследованию спиральных волн конечной длины с малой амплитудой в стационарном потоке жидкости. Отметим, что длинные продольные волны с амплитудой порядка 0(1) [1, 8] здесь не рассматриваются. Функция V зависит от медленной осевой координаты 2 = £к2 и координат г. Главный член асимптотики вектора V при 0 - компонента м>в порядка 0(е к ). В этом случае продольная и поперечная компоненты скорости жидкости у вектора V малы, имеют порядки ^ = 0(%), ^ = о(е1) и находятся после определения компоненты .

Рассмотрим волны конечной длины малой амплитуды, предполагая, что окружная компонента скорости у д имеет порядок 0(ек ). Вектор V построим в виде суммы, состоящей из функций, описывающих стационарный поток у20, р0 и малые возмущения. Компоненты V разложим в асимптотические ряды по степеням параметра ек

У: = У:0(г) +%Ч=1 , Ув=%Ув1 + (4) ив = екив1 + •••

Остальные компоненты разлагаются в аналогичные ряды. Отметим, что порядки главных членов разложений (4) определяются из уравнений Навье-Стокса и динамических уравнений оболочки.

Приведем уравнение для окружной компоненты скорости жидкости в безразмерном виде

дуд „ | ду„ —^ + Я, I уг -у^

д t

д г

+ у,

д vg д z

VЧ- |.

Подставим вектор V в систему уравнений (1), динамические уравнения оболочки и приравняем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра ек. Главный член асимптотики (4) для окружной компоненты скорости у определяется из краевой задачи, учитывающей конвективный перенос стационарным потоком

д yei ,R v д yei

+ Rs Vz0-

д t

= 4

д 2Vg д r2

д z i ду„

(5)

r д r

д 2Vg д z2

Ув1 = 0 (г = 1), Ув1 = 0 (г = 0).

По временной координате выполняется условие периодичности. С ростом осевой координаты г функция убывает. Отметим, что краевое условие в задаче (5) на поверхности цилиндра г = 1 соответствует условию прилипания к границе жесткого цилиндра уео = 0. Определяя из динамических условий на поверхности цилиндра порядки компонент скорости и смещений оболочки, находим, что упругие свойства оболочки проявляются в высших членах асимптотики (4).

Решение задачи (5) строим в виде бегущих волн, затухающих вниз по потоку уя = Е(г)ехр((к2 - П)). Здесь к = к + ¡к - комплексный декремент, подле-

v

в

г

г

у

+

2

r

жащий определению; к > 0, к - соответственно декремент затухания и волновое число спиральных волн; п = 0, 1, 2... Комплексно-значная функция Е(г) и комплексный декремент определяются из краевой задачи на собственные значения

d2 F 1 dF ■ + ■

dr2

r dr

k2 + "г)F = JT(-n + kRs(l-r2)), (6)

Е(0) = 0, Е(1) = 0 .

Результаты расчетов

Решение задачи (6) получено численно и асимптотически. Собственные решения задачи (6) обозначим через Епт(г) и кпт , где п = 0,1,2, ..., т=1,2,3,... При п = 0 получаем счетное число стационарных мод, которые будут рассмотрены ниже. Приведем некоторые результаты расчетов для значений вг ~ 1/13,116 и Л е [1,4], которые соответствуют кровеносным сосудам собаки [1]. При п = 5, т =1 и Л = 2 приведем численные значения к51 = 2,7347 + г 0,2872. Расчеты показали, что с ростом индекса п декремент затухания и волновое число увеличиваются. Введем обозначение Рпт = Яп.т + гЛ,т. На рис. 1 при п = 5 т=1 приведены зависимости функций / Дг) (кривая 1) и g5,1(г) (кривая 2) от радиальной координаты г при нормировке тах / ^г)=1. Расчеты показывают, что с ростом индекса п происходит локализация функций /п1 (г) и gn,1 (г) к оси цилиндра. Численно рассчитаны

зависимости комплексного декремента к от параметра Л . Параметры кг и К монотонно убывают с ростом Л, т.е. волновые числа и декременты затухания убывают с ростом скорости потока.

Критический слой

Вблизи оси цилиндра для т=1, п >1 и ё — 0 возникает вязкий критический слой с толщиной порядка . При выходе из этого слоя спиральные волны

быстро затухают. Главное приближение фазовой скорости спиральных волн при п=1 совпадает со скоростью потока на оси цилиндра. Асимптотические разложения функции Е(г) и комплексного декремента при ё — 0 представим в виде

Е = Е^) + ё РМ) + ... (ё—0) (7)

к — к0 + к| + ...

Здесь 51 = г / . Функции р, р убывают при ^ —. Подставляем ряды (7) в задачу (6) и переходим к переменной ^. Приравниваем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра ё. В первом приближении находим коэффициент к0, который оказался вещественным к0 = п / Л. Для определения функции р и поправки кх получаем задачу на собственные значения на полуоси

d2 Fr,

1 dF Fn

= i (ki - k0 si2 )RsF0, Fo(0) = 0 ,

0,75

Рис. 1. Спиральная мода п = 5, т = 1

Расчет функций р (г) и параметров к проводился численно методом пристрелки с использованием метода Рунге-Кутта, интегрирование уравнения (6) - от стенки к оси цилиндра. Вблизи оси проводилось сращивание со степенной асимптотикой. Для т > 1 поперечное сечение цилиндра разбивается на несколько областей, в которых жидкость вращается в разные стороны.

$ 51 51 $ 51 51

Е,(°°) = 0.

При численном расчете переходим к переменной Г = Vп ^ и вводим параметр а = - г4г кЛ /4п . С относительной погрешностью порядка 10-4 получаем а = — 4 и к = 242п (1+г)/Л . Комплексный декремент при т = 1, п > 1 приводится к виду

к = п + ё Щ^1 + 0(£) . (8)

Порядок толщины критического слоя имеет значение О^ 4/ £ / п ^. Очевидно, что толщина этого слоя

уменьшается с уменьшением вязкости жидкости и с ростом номера моды п . В этом слое локализуются рассмотренные моды. Критический слой возникает и при т > 1 , но для значений индекса п больших, чем некоторое значение п , которое находится численно, например п0 = 4 при т = 2. В этом случае комплексный декремент определяется по формуле (8), в которой второе слагаемое в правой части следует умножить на индекс т .

Отметим случай Л = 0, когда стационарный поток отсутствует. Задача (6) при Л = 0 имеет точное решение, из которого следует, что порядок декремента затухания спиральных волн равен О(1/ё) при ё —^0. В случае, если Л =О(1), то из (8) следует, что порядок декремента затухания мал и равен О(ё). Следовательно, механизмом переноса спиральных волн является стационарный поток, так как при его отсутствии короткие спиральные волны очень быстро затухают.

Стационарные спиральные моды

Рассмотренные спиральные волны изменяют направление вращения жидкости на обратное либо со временем, либо по сечению. Найдем семейство стационарных спиральных течений, у которых первая мода не изменяет направления вращения. Главный член асимптотики (4) для окружной компоненты скорости в случае стационарных мод представим в виде vei = F(r)exp(-Äz). Полагаем в краевой задаче (6) n = 0 и k = i Ä. В данном случае удобно ввести число Рейнольдса Re = Ua /2 . Для определения амплитуды F(r) и параметра Ä получаем краевую задачу, которая решалась как численно, так и асимптотически. Найдено счетное число собственных значений Ä = Äm (m = 1, 2,3,...). Все собственные числа оказались вещественными, положительными и возрастающими с ростом индекса m. При Re = 0 получаем

Äm = jim, где - корни функции Бесселя

J (j\m ) = 0. При Re > 0 собственные числа получены численно путем продолжения по параметру Re. Первая собственная функция F (r) при m = 1 на промежутке [0,1] положительна и достигает максимума в окрестности точки r да 0,45, причем график этой функции слабо изменяется при изменении параметра Re для всех Re > 100. Это означает, что профиль окружной компоненты скорости стационарного спирального течения слабо зависит от параметров задачи. На рис. 2 изображен график функции F (r) при m = 1, нормированной по пространству Ь2 [0,1] при Re =200.

Рис. 2. Стационарная спиральная мода п = 0, т = 1

При m > 2 поперечное сечение цилиндра разбивается на области, в которых жидкость вращается в разные стороны, причем с ростом индекса m число таких областей увеличивается. Для больших значений числа Рейнольдса приведем асимптотику собствен-

о Ят,0 , Ят,1 , /т-> ч

ных чисел Я = —2—I--т- + ••• (Ке ^ю).

т Ке Ке3

Численные расчеты приводят к значениям Я = 21,3823, Я = -647,649 при т=1.

Длинные спиральные волны

Упругие свойства цилиндрической оболочки являются причиной возникновения длинных спираль-

ных волн. Покажем, что они локализуются в пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Главный член асимптотики окружной компоненты скорости (коэффициент при ек) вектора У2 в (3) представим в виде

Wвl = ^г) ехр(/ ^ - пГ )). (9)

Для определения функции О(г) и параметра кс применяем метод пограничного слоя, разложив О и к в асимптотические ряды

G = ад + ^ед + ,,, (^0)

кс = К0 +£у кс1 + где 5 = (1 - г)/. Отметим, что вне пограничного слоя функции G0 ,G1 исчезают. Для определения О0, 01, кс0, кс1 получаем краевые задачи, из которых

следует О0 = ехр((/ - 1)5 л/п/2),

k

1 + 4

(1+i)

a p

+ L (1 + 20)

h P0

У г^Ъпкр )\ а р

Итак, волны (9) локализуются вблизи оболочки в тонком пограничном слое толщиной порядка 0(£у), движутся со скоростью, имеющей порядок скорости длинных продольных волн [1, 8]. Их свойства полностью определяются упругими свойствами оболочки.

Выводы

В работе построены асимптотические разложения спиральных течений в стационарном потоке жидкости в круговом цилиндре, который ограничен тонкой упругой изотропной оболочкой. Рассчитанные течения жидкости могут моделировать спиральные течения и спиральные волны в крупных кровеносных сосудах человека и животных. Волны конечной длины заполняют все поперечное сечение цилиндра. Свойства этих волн слабо зависят от упругих свойств оболочки. Часть мод этих волн локализована в критическом слое вблизи оси сосуда. Механизмом переноса спиральных волн конечной длины является стационарное течение, причем с ростом скорости стационарного потока уменьшаются волновые числа и декременты затухания волн. Длинные спиральные волны локализованы в тонком пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Свойства этих волн полностью определяются упругими свойствами цилиндрической оболочки и вязкостью жидкости.

Авторы выражают благодарность профессору Ю.А. Устинову за полезное обсуждение работы.

Литература

1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М., 1983. 400 с.

2. Кикнадзе Г.И., Олейников В.Г., Гачечиладзе И.А., Городков А.Ю., Доброва Н.Б., Бакей Ш., Бара Ж.-Л. О структуре потока в левом желудочке сердца и аорте с применением точных решений нестационарных уравнений гидродинамики и морфометрических исследований // Докл. АН. 1996. Т. 351, № 1. С. 119.

3. Багаев С.Н., Захаров В.А., Орлов В.А. О необходимости винтового движения крови // Рос. журн. биомеханики. 2002. Т. 6, № 4. С. 30.

4. Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах // Докл. РАН. 2004. Т. 398, № 3. С. 71.

5. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для тел с винтовой анизотропией // Успехи механики. 2003. Т. 2, № 4. С. 37.

6. Богаченко С.Е., Устинов Ю.А. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ

Поступила в редакцию

напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии // Рос. журн. биомеханики. 2009. Т. 13, № 1. С. 29.

7. Кизилова Н.Н. Винтовые движения жидкости в трубках: обзор экспериментальных и теоретических результатов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск. Актуальные проблемы механики. С. 76.

8. Громека И.С. Собрание сочинений. М., 1952. 296 с.

20 марта 2012 г.