Спиральные волны в кровеносном сосуде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 382-383

УДК 531:534:57

СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В КРОВЕНОСНОМ СОСУДЕ © 2011 г. В.А. Батищев, Н.Д. Ломакин

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

batish@math.rsu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

На основе системы Навье- Стокса численно и асимптотически рассчитаны две серии спиральных волн, распространяющихся в кровеносном сосуде, ограниченном тонкой вязко-упругой оболочкой. Ко -роткие волны заполняют все поперечное сечение сосуда. Длинные волны локализованы в пограничном слое вблизи стенки сосуда.

Ключевые слова: кровеносный сосуд, спиральные волны, течение Пуазейля, пограничный слой, критический слой.

Математическая модель

Кровеносный сосуд моделируется полубес-конечным круговым цилиндром, ограниченным тонкой вязкоупругой оболочкой толщины И и радиусом срединной поверхности а. Динамические уравнения цилиндрической оболочки приведены в [1]. Движение жидкости изучается на основе нелинейной системы Навье — Стокса с учетом условий осевой симметрии. Исследуются волны в жидкости и в оболочке, ко -торые удовлетворяют условиям периодичности по времени с заданной частотой ю и затухают с ростом осевой координаты г. В [1, 2] найдены длинные пульсовые волны, распространяющиеся в кровеносном сосуде, причем поля скоростей, давлений и смещений оболочки представлены в виде рядов Фурье с учетом нулевой гармоники, которая представляет собой течение Пуазейля. Полученные разложения оказались неравномерными по осевой координате, так как старшие члены рядов Фурье уже не описывают длинных волн, а спиральное течение оказалось сосредоточенным только в колеблющемся пограничном слое вблизи оболочки.

Асимптотические разложения

Решение задачи, описывающее спиральное течение, распространяющееся по всему поперечному сечению цилиндра, представлено в виде суммы длинных волн и волн конечной длины:

^ ^о(r, t, 8к ) + 82 ^, z, t, 8 к X

уе = £куео(r,гьt,£к) + 4™е (r,г,гьt,екX (1)

иг = иг0 + 8 Кг

Аналогичные формулы построены для радиальной компоненты скорости, смещений оболочки иг, и0 и давления. Здесь г, 0, г — цилиндрические координаты, г1 = екг — медленная осевая координата, гк = юа/с0 — малый параметр, с0 — фазовая скорость Моуэнса — Кортевега [2]. Функции Уг0, у00, иг0 описывают длинные пульсовые волны в цилиндре, а wz, w0, wz1 — волны конечной длины. Отметим, что волны конечной длины затухают значительно быстрее, чем длинные волны, поэтому область их определения лежит недалеко от входа в цилиндр.

Все слагаемые в (1) представлены в виде асимптотических рядов по степеням введенного малого параметра. Главные члены этих рядов для функций Уг0, у00, иг0 удовлетворяют уравнениям движения в длинноволновом приближении и найдены в [1, 2]. Краевые задачи для главных приближений, описывающих волны конечной длины, получены как возмущения пульсовой волны. Приведем уравнение для определения окружной компоненты скорости жидкости:

Эw(

00

дw,

00

=е:

гу2 wl

V ^ 0—

00

(2)

дt 1 ' дг

\ / Здесь К = и/( юа), и — пиковая скорость пульсовой волны, £у — малый параметр, пропорциональный толщине пристеночного пограничного слоя. На стенках цилиндра функция ^ео обращается в нуль, т. е. выполняется условие прилипания, как на поверхности жесткого цилиндра. Вязкоупругие свойства оболочки для волн конечной длины учитываются теперь в старших приближениях. Функция у(г, г1, {) определяется значением осевой компоненты скорости пульсовой волны и является заданной.

Расчеты спиральных волн

Спиральные волны найдены путем решения задачи на собственные значения для уравнения (2). Осевая компонента длинной пульсовой волны определена в [1, 2], а функция у(r, г1, ?) представлена в виде суммы у =f (^ г1) + + V0(r) + И(г,г1,t,8у), где /и и найдены методом пограничного слоя, а V0( г) = и 0 (1 - г2) — скорость среднего стационарного течения крови. Отметим, что пиковая скорость пульсовой волны превышает скорость среднего течения приблизительно в 8—10 раз. Решения уравнения (2) найдены асимптотически, причем поправка к спиральной моде за счет пристеночного пограничного слоя оказалась малой. Главный вклад в выражение для спиральных мод определяется формулой

00

= Qnm (t’Z1)Fn,m (r) exP(i(kn,- nt))•

Для мод при т = 1, п > 0 возникает критический слой вблизи оси цилиндра. Собственные функции локализуются в этом слое, причем эффект локализации усиливается как с ростом номера моды, так и с ростом частоты, а также с уменьшением вязкости жидкости. На рис. 1 изображены амплитуды спиральных мод при п = 1, т = 1.

F 1

0.5

0 0.4 \0.5 ^ ' r

Здесь п, т = 1, 2, 3, ... Значению п = 0 соответствуют «квазистационарные» моды. Влияние пульсовой волны учитывается функцией (2пт. Амплитуды Еп т и комплексные декременты кпт определены как численно, так и асимптотически. Показано, что фазовые скорости и декременты затухания спиральных волн монотонно убывают как с ростом скорости среднего течения, так и с уменьшением частоты.

Рис. 1

Оси абсцисс и ординат соответствуют радиальной координате и действительной части (для кривой 1) и мнимой части (для кривой 2) амплитуды Еп,т •

Список литературы

1. Богаченко С.Е., Устинов Ю.А. // Российский журнал биомеханики. 2009. Т. 13, № 1. С. 29—42.

2. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983. 400 с.

SPIRAL WAVES IN A BLOOD VESSEL V.A. Batishev, N.D. Lomakin

Based on Navier-Stokes equation, two collections of spiral waves in a blood vessel with a thin viscoelastic cover are calculated using numeric and asymptotic methods. The short waves spreade all over the cross-section of the vessel. The long waves localize in the boundary layer near the wall of the vessel.

Keywords: lood vessel, spiral waves, Puazeil flow, boundary layer, critical layer.