CC BY
56
УДК 531/534:57+612.7
Российский
Журнал
Биомеханики
www. biomech. ас. ru
О ДВИЖЕНИИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
М.А. Ильгамов*, В.Л. Федяев**
* Институт механики Уфимского научного центра РАН, 450025 г. Уфа, ул. К. Маркса 12, e-mail: ilgamov@anrb.ru
** Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН, 420111, г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31
Аннотация. Рассматривается движение тела, вызванное деформациями его поверхности, что моделирует движение рыб, змей и других живых существ, обитающих в жидкой среде. Искомые функции представляются в виде суммы стационарной и нестационарной частей. При больших частотных числах Рейнольдса в квазистационарном приближении методом сращиваемых асимптотических разложений приводится решение для эллипсоида вращения, поверхность которого деформируется в виде бегущей волны с переменной амплитудой. Результаты сравниваются с решением задачи о движении бесконечного кругового цилиндра. Показывается, что при удлинении эллипсоида скорость его движения стремится к скорости цилиндра.
Ключевые слова: деформации твердого тела, бегущая волна, вязкая жидкость, среднее продвижение как нелинейный эффект, частотные числа Рейнольдса, метод сращиваемых асимптотических разложений.
1. Введение
Задача в постановке, описанной в данной статье, решалась теоретически и экспериментально различными авторами при изучении движения гибких рыб, змей, микроскопических организмов, обитающих в жидкой среде [1, 2, 7, 8, 11 и др.]. С помощью аналогичных моделей описывается механизм перистальтического переноса вязких жидкостей и смесей в пищеварительной системе животных и человека. В общем случае задача состоит в интегрировании нестационарных нелинейных уравнений движения жидкости и центра масс тела с соответствующими граничными условиями. Аналитическое решение наиболее просто отыскивается, когда линеаризуются уравнения движения жидкости.
В случае идеальной жидкости изучению движения тонких тел посвящены работы Lighthill [1-3], Wu [5-7], Логвиновича [8] и т.д. Авторы, применяя разные методы: вихревой теории крыла, потенциала ускорений, плоских сечений находят силу тяги и коэффициент полезного действия. Возможность движения деформируемых тел только за счет сил инерции рассматривалась Лаврентьевым [9], Saffman [10].
В случае вязкой жидкости Taylor [11], Lighthill [4], Hancock [12], Blake [13-15] нашли выражения для скорости продвижения бесконечной полосы, цилиндра и сферы в стоксовом приближении. Следует заметить, что уравнение движения центра масс тела
© М.А. Ильгамов, В.Л. Федяев, 2003
при этом удовлетворялось автоматически. В приближении Озеена задачу о движении "стручка" - тонкого цилиндрического тела, интегрируя уравнение движения жидкости и тела, рассмотрел Lavie [16]. В работах Tuck [17], Калугина, Коханенко, Панчук [18], Brennen [19], Ильгамова, Федяева [20], Федяева [21] нелинейность, помимо граничных условий, учитывалась и в уравнениях движения жидкости. Полученные результаты формально пригодны для большого диапазона частотных чисел Рейнольдса R. Однако, в случае промежуточных и больших значений R необходим специальный анализ (Tanaka [22, 23]).
Задача исследовалась экспериментально Kelly, Rentz, Siekman [24], Botman [25], Ильгамовым, Сулеймановой, Федяевым, Талдыкиным [26], Paidoussis [27], Ильгамовым, Талдыкиным [28, 29].
В данной статье, в пункте 2, основываясь на том, что явление возникновения движения тел вследствии деформаций поверхности по своей природе аналогично перистальтическому перекачиванию жидкости в каналах и трубах, а также потокам, наблюдаемым при продольных или крутильных колебаниях тел в жидкости, либо распространении в ней волн, производится анализ задачи на базе теории вторичных течений (Руденко, Солуян [30]). Вводится двойная шкала времени. В пункте 3 приводится решение задачи об установившемся движении эллипсоида вращения в случае, когда амплитуда колебаний точек поверхности эллипсоида меньше толщины пограничного слоя.
В заключение заметим, что строгое решение данной задачи возможно, вероятно, лишь с помощью численных методов. В частности, Мукосеевым [31] и Сулеймановой [32] были предприняты попытки отыскания скорости и силы упора, развиваемых деформируемыми пластиной и телом вращения.
2. Постановка задачи
Пусть вязкая жидкость, занимая пространство Qj, заключенное между Ej и
поверхностью E тела Q, движется относительно тела с постоянной скоростью U. Предположим, что колебания поверхности E вызовут поступательное движение центра масс тела со скоростью V . Требуется, зная форму тела, его массу m , внешнюю силу T либо скорость V, коэффициент вязкости v, плотность р, скорость жидкости U, найти из уравнения движения жидкости и центра масс тела вектор скорости v, давление p, значения V либо T . В начальный момент времени величины v, p , V (T ) известны. На поверхности E должно выполняться условие прилипания, на бесконечности (в случае, если Qj простирается бесконечно) - условие затухания возмущений.
Не вводя специальных обозначений, перейдем к безразмерным величинам, относя время к a_1 (a - частота колебаний), координаты - к d, скорости - к ad, напряжения - к рсо2d2. Основными параметрами поставленной задачи будут: а -величина, характеризующая вытянутость тела Q, 3 - относительная длина волны, у -
амплитуда колебаний точек поверхности E, 5 = v/ ad2 - толщина слоя Стокса (R = 5_2), 8 = m/pd3, к = U/ad (U = |U|) и Sa = 1/aS, где S - характерное время изменения поступательной скорости центра масс тела. Следует заметить, что Sa, вообще говоря, зависит от вышеперечисленных величин.
Предположим, что величина у мала, число волн, укладываемых по длине тела, невелико, течение жидкости и перемещения поверхности E двумерны, первоначально недеформированное тело Q0 с поверхностью Е0 имеет ось (плоскость) симметрии z, U, V и T направлены вдоль z . В ортогональной системе криволинейных координат Ч\, q2, q3 уравнение поверхностей Е0 и E запишем следующим образом:
* * * r0 = q1e1 + q2e2, r = Ч\ e1+q2e2,
где ek = Hkik (k = 1,2) ; ik - единичный вектор, касательный к координатной линии qk = const; Hk - параметры Ляме, t - время.
Представим функцию q* (k = 1,2) в виде
q* = q*s )(q2, t*)+уqi*(и)(q2, ЛtX (1)
где
q*( s) = q1 (q2)+ъ (q2, t * X q*( s) = qi +% (q2, t* X (2)
t = Sat, индекс ( s ) означает часть соответствующей функции, не зависящую от t, (и )
- зависящую от t. По аналогии с (1), положим
V = v(s) + YV(U), p = p(s) + YP(U), V = V(s) + yV(u), T = T(s) + yT(u). (3)
Подставим соотношения (1 )-(3) в уравнения движения жидкости и центра масс тела начальные и граничные условия. Пользуясь формулой:
Ф(г ) = Фм (r-) + тФ,u) (r') * в, (Ф(|-0)) + в (Ф(г0 )),
(u)
где
в, ( ) = (1 + L, + 0.5L2)( )<0 + у2 Г L, ( )(u) + 0.5Lu ( )
(s)
(s )
в( ) = (1 + L,)( )(u) +[A, + 0.5(4L, + L,L„)]( )(s) + у Lu( )<u) + 0.5L2( )
(s)
(u )
д д *(и) д *(и) д
Ч — + Ки = ^1( + Я2 Т~>
дЧі дЧі дЧі дЧі
разложим в ряд Тейлора функцию V и внешнюю силу. После некоторых
преобразований получим две взаимосвязанные задачи:
Задача £
S
-v(s )
+ v(s) - Vv(s) + Y2 (v(u) - Vv(u))(s) = -Vp(s) + 52V2v V-v( s) = 0,
(s) 2 (u)
(uh(s) _
r=r
ЯТ/( ,) , 4
єSa -£r- - 7*s) = J {(1 + h, )в, (Пж ) + у2 [\ви (Пж )](S)} qH,dq2dq:
в
323
(v1) = Sa ^ + W(s) Мій! + у
-і
( a„*(u) Vs)
,2л_о -Л2 w(s)
-q2
w(u)
-Й4
es (v2) = S^ + -t
1+
-Л2
-q.
+у
2 У
w(u)
-q2 у
(u) vs)
-q.
2У
r ^ да : v(s) ^ Kiz, p(s) ^ p£s);
t' = t0 : v(s) = v0s), p(s) = p0s), V(s) = V0(s) (T(s) = T0(s)).
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Задача U
[д + а*) V(и) + V(и} ■ Vv(s) + v(*) • Vv(u) + у (v(u) • Vv(и) )(и) = Vp(u) + 52У2v(u), (11)
V-Vм = 0
г = г
6
6
Є (I + ^ ^ П“) “ ТГ = І ^ + К )6и (П^ ) +
+К6, (П к)+г [АА (П )])} ЧНз^МЧз .
,(Vі) = (- + 5. 4'1 ‘2<и) + п(и) д(Ч1 +щ) + №<*) ^ + г(Г
I» “ д! ) дч2 5ч2 (
(V2)=4+5. * ] ч2(и1+п <и > Г1+д^ 1+п < * > ^+/
(д! д! ) ( д‘2 ) д‘2
^ +^2)+1
( ^‘2 у
,(и) V п Ли)
д‘1
(и) Л(и)
д‘2 ) д‘2(и) ^(и)
(12)
(13)
(14)
д‘
2)
(15)
(16) (17)
г : v(u) ^ 0, руи) ^ Ри), v(u)(!) = Vі11)(! + 1),(и) р(!) = р(и) (! +1),
V(и)(!) = у(и) (! +1), Т(и)(!) = Т(и)(! +1).
Здесь П - тензор напряжений, штрих означает дифференцирование по ‘2, индекс п - проекцию на нормаль п, индекс 2 - на направление і2 оси (плоскости) симметрии г , Vі = vk|Hk , ¥к = Ук/Нк (к = 1,2),
Ч =
і/(ч/ )2 И2 + И22, п(/) = (Ч1' )_1к1(1) + V2(1) (/ = *, и)
К = ч*(и Ч'
Ч )
'И Т
Ч )
+ъ
_2 ( Ч )
+
Чі
Ч
( ^ )
И
1
Н1К* (Н1) + ^ К* (И 2) +—К* (Из),
Ч Нз
+ Ч2
(иу
И
Ч )
+
Ч1
Ч
( ^ )
И
1
НК (Н1) +-2К (Н2) +—к (Из).
Ч
Для дальнейшего анализа предположим, что функции у( ), р( 1 ) представимы в
И
(*) р(*)
виде
Ф = е1(у)Ф1 + е2(У)Ф 2 + гДе ек+1у) = о(е(у)), к = I,2,....
Отдельно рассмотрим случаи, когда (1) е1 (у) = 1. При малых у поток со скоростью к будет, очевидно, основным. В
первую очередь следует решить задачу £, полагая в соотношениях (4), (6)-(8) равными нулю V и величины с индексом (и). Далее, решив задачу и, из задачи £ находятся поправки к первоначальному решению. Таким образом, можно, вероятно, исследовать влияние периодических колебаний поверхности тела на его сопротивление.
(п) е1 (у) = у . Нестационарные возмущения являются существенными. При этом
необходимо вначале решить задачу и , полагая величины с индексом ( 1 ) в уравнении (11) и операторах ви, в,, равными нулю. Затем решается задача £,
отыскивается скорость V(^ либо сила Т(1) как величина порядка у.
2
2
(iii) ^(у) = у2. Первоначальными являются нестационарные возмущения,
индуцированные скорости и силы - величины порядка у2 . Как и в предыдущем случае, в первую очередь следует решать задачу U, полагая V и величины с индексом ( ^ ) равными нулю.
После предложенных упрощений задача, тем не менее, остается сложной. Дальнейшее упрощение возможно, если произвести разложение по функциям кк (5) ( кк+1 = о(кк ), к = 1,2,...), пользуясь методом сращиваемых асимптотических разложений (Van Dyke [33]), а также, если рассматривать режим установившегося вызванного движения (Sm = 0).
3. Самовыдвижение вытянутого эллипсоида вращения
3.1. Задача U
Рассматривая случай (iii), полагая Sa = 0, VZU1 = 0, О(у) < O(S), вводя эллиптическую систему координат о , т , p такую, что поверхности о = const представляют собой сфероиды, т = const - двуполостные гиперболоиды, p -азимутальный угол, используя функцию тока /, задачу U (11)-(17) в первом приближении запишем в виде:
-Dp = 8 2 D2p,
-t
о = о0 : Tz(u) = п(о2 -1)f (1 -т2)-p—dт + 2жд2о f Dpdт.
-pf1 - 1
дт
{а2 _т2)_1 ^ = _д^, (^2 _т2)-1 ^ = _д? , дт д! да д!
О- : (а2 _т2)_12(ст2 _ 1)_12(а2 _т2)_12(1 -г2)_1/2^^0,
дт да
р(0 = 9 +1), р('°(0 = Р(‘ >(! +1), Т<" >(!) = Т(‘\1 +1). (18)
Здесь В = (ст2 -т2)-1 (о2 -1)д1/да2 + (1 -т2)д2/дт2 - оператор Стокса, через
9 обозначена /(и) - часть функции тока / = /(^ + /(и), через / - нормальное
V *(и) *(и) г\
перемещение поверхности ь Чі , через g - касательное Ч2 ; Ч = Ч = 0,
др(и^ /дт =-(1 - т2)_1(д29д!да - 52 дБф/до) . В качестве характерной длины ё принята половина фокусного расстояния.
Предполагая, что 5 мало, выделим, согласно методу сращиваемых асимптотических разложений вблизи поверхности Ь0 пограничный слой Стокса, в котором введем новые переменные:
9 а-О0
X = ^т, Ч= 0
428’ 42.8
Согласно условию периодичности (18) представим функции f, g, р, %, p(u\
Tz(u) в виде
Ф = Е [Фк ехр(2^к/7) + Фк ещ>(-2лки) ^.
к=1
Здесь и далее тильда служит для обозначения комплексно-сопряженных величин, / = V—1 . Раскладывая (рк, 5%к, р^), в ряды
Фк = %0 + 8(Рк1 +..., «Хк = Жк0 + «Хк1 +...,
Р{к ) = Рк0 + «Рк1 +..., = Т™ + 5Т^ +....
опуская подробности вычислений, приведем конечные результаты для коэффициентов
Хк1, Фк1, Ри) (к = и^.^ 1 = 0,1,...).
Во внутренней области
Хк 0 = Ак 0(г),
Жк1 = (1 - Мк ) Ак1(г) + лВк 0 (г),
1 — г2 <г (1 — г2)
Л2 = (1 — №Мк2(г) + чВк,(г)—4Ак'0(г)— , 20( 2 ' 4(1 + 4Л)ДкАк,(г),
— 1 т/2(°о — г )(ст2 -1)
Здесь
рк0 = 2^к/Ск 0(г), рк! = 2жк/Ск1 (г) + 4жк/ц Ак0 (г) .
СТ0 — 1
Л I —2 2
О _ , .СТа — г
( У = ^ , ^к = 2Ы/ 02 , Мк = ^ :
Ог V ст02 — 1
Ак0 (г) = —^к/1 (ст02 — г2 )/к (г)ёг,
Ак1(г) = ^ [ 2^к/(ст02 — г2) Ек (г) — Вк 0 (г) Л-
Ак 2 (г) = 7-Лк
СТ°(1 г2) Ак1(г) — Вм(г)
уГ2(а0 — г2)(ст<2 —1) вк/(г) = >/(1 — г2) Е ^кы^^Х
П=1
Ск1(г)=Е С»ак/»р» (г)
П=1
с„ = п(п + Ш—Ш^, п К — 1 бИК) ак0п(г) = — ^ 2П(П++11) 1 (СТ02 — ^Х/к(г)Рп(гМг
1—/
ак1п = '
СТ2 — 1
0 (Ект — Стак0т )«п
^1/2 2^/1 \с>кт т к0т/ тп
2пк (СТ02 —г2) т=1
Ект (г) = пк/ 2 + ' I (ст02 — г2 )(1 — г2) 2 Ек (г)р1 (гМг,
да(да +1) —1
2 11 —1
«тп (г) = Т-П+ТТ | (СТ —г2)'2 Р (г) Рп‘(г)«'г .
2п(п +1) —1
1
Суммирование по п, т начинается с 1, поскольку на оси симметрии (г = ±1) касательные перемещения и завихренность должны равняться нулю; предполагается, что 8к0 = 0 , функция /к (г) удовлетворяет условию
I (СТ02 —г2)/к (г)ёг = °.
(19)
Рт(г), От(ст) - присоединение функции Лежандра соответственно первого, второго рода степени п порядка т .
Во внешней области
= (ст2 — 1)2(1 — г2)2
Фк1 = (°2 — 1)2 (1 — г2)2 Еак1пО1п(Р)р1п(г) ,
п=1
Р(ы = 2жк/Е п(п + 1)ак1пОп (ст)Рп(г),
п=1
где ак1п =
2 а,
к1п
СТ0 — 1 Оп (ст0 )
, (I = 0,1,2,...).
3.2. Задача £
Ради простоты обратим движение тела и жидкости, предположим, что к = 0.
щ(^ = у2¥, ^ = — у2и, Т() = пу2в . Из (4)-(9) следует
«2 Б2_ = Е.
(20)
ст = ст0: «21М (Б_)ёг — в = Г,
где
О_ О_
О_ = ^ (г), О_ = 0(г).
Ог Ост
, 2 2Х—1 Г О_ О_^
ст : (ст —г ) 1ст--------------------г 1^и,
V Ост Ог У
(ст2 — г2)—1
СТ Л ст — 1
V1 — г У
2 О_ Ост
+ ст
^1 — г2^ V ст2 — 1У
2 О_ Ог
Е =
(ст2 —1)(1 — г2) ^ Оф — 0£ ф„ =
V Ог Ост Ост Ог ) ,
Бф
22 ст —г
(ст2 —1)(1 — г2)
м ( )=оСТ [(ст2—1)()
1
Г = —Да 2 — 12) [(1 — 12)/' + (а 2 —1) 88']+ 2а/8 — т(1 — т 2)/2
—1
— (а2 —1)т ° . 2Т2 +182 +§2 [(2 / + (1 — т2)/" + 2а8О БФ +
Оа
Оа
2
ёт, ( ) = —,
Ог
1
г
(ст2 — г2)—^ Ог
(*)
, 0(г) = —(ст2 — г2)\ Ц
(ст2 — г2)—1 ОСТ Ост
(*)
Согласно решению задачи и во внешней области Е = 0, во внутренней
52 Е = >/2(Е0 + 5Е1 +...), 5Г = Г0 + 5Г1 +... ,
^ = л/ЗД + +...), 50 = 00 + 501 +...
(выражения для коэффициентов Ег, ¥г, 0, (/ = 0,1) приведены в приложении), следовательно, функции _, и, 5Х (X = _/\р25), 5в можно представить в виде _ = _0 + 5_1 +..., и = и0 + 5и1 +... - во внешней области;
5Х = Х0 + 5Х1 +..., 5в = в0 + 5в1 +... - во внутренней области.
Решение _/ (/ = 0,1,...) во внешней области запишем в форме
_ , = 0.5иг(ст2 —1)(1 — г2) + (ст2 —1)2(1 — г2)2 х x'Е{t•^'О'п (ст)Р1 (г) + С„, [N(ст)рп(г) + 01 (ст)М„(г)]},
п=1
где £п/, Сп/ - коэффициенты, подлежащие нахождению из условия сращивания;
—01 (ст ) | (ст2 — 1)P^(ст)0n(ст)dст-р1 (ст )| (ст2 — п■0п(ст)0пl(ст)dст
(21)
Nп (ст) = ■
п(п +1)
Мп (г) =
01(г)| (1 — г2 )р(г) Р„‘(г)ёг — Р„'(г) I (1 — г2 01 (г) Рп1 (г)ёг
п(п +1)
Во внутренней области X, (/ = 0,1,2,...) запишем следующим образом:
Х, =Ц 0(г) + Фц(г) + п2^12 (г) + П3Ц З(г) + Х/ (22)
где Х* - частное решение неоднородного уравнения (20) в соответствующем приближении по 5 . Нетрудно убедиться, что
^00 = — ^К-е Е /кВк0, к=1
^01 = ^02 = ^03 = 0,
Х0 =^72Яе Е Мк Лк/кА
к1
к=1 в0 = 0,
2ЯеЕк —(кк0 + к*Х к=1
Ц1 = 2 2 2 Ке Е 12СТ0 2СТ() 2 г , 1 ЛкЛЛ1 — г
СТ0 —г
СТ0 — г
0 ^2 т
к=1 I СТ0 — 1
(СТ02 —1)(1 — г2)1 к1
А +
+8к
0 СТ02 — 3г2 + 2 2г-0-
1 —г
2
ЛкАк1 + (СТ2 — г2)(ХкЛкх)
+ 3Л
(СТ02 — г2) 8к
Ак1—
4^к
+4^ 1т Е к
к=1
(1+/ЖАк1(ЛкАк1)'+г(ст1— г2) 11ЛкАк1
(1 — г2)(СТ02 —г2)
+
СТ0 — 1
Мк + (СТ0 — г )к8к — 2ст0/к8к
1
3
2
^^12 — Ов — 0.
X! —-0.5^ Яе£к Мк(Кк0 +Л*к1 +Л Кк2 + МkKk),
к—1
20
4
Кк0 — ек0 + ^~ек1 + ТУ ек2 , ^к \
8
Кк1 — ек1 + ек 2 :
Кк 2 — ек 2 ,
А *
— -0.25е^
(выражения для коэффициентов ек0, ек1, ек 2, ек приведены в приложении),
в1 — 0,
22 О — 00 -г 2^ — 2 л 00 - 1
1 1 1 -р(о„2 -1)2 (1 - г2)2 ££„001 (00)р(г)-
>/2 „—1
1 -г О"
2 2 00 00 -г
О23 — 0.
1 /-Г-2 „.2
О33 — -1 °ірг-
33 3 002 -1
(1 -г2)2 £с„0
„—1
-п(п +1)0„ (о0 ) +------200(1 г )---01 (о0 )
(002 -1)2(002 - г2)
Р1(г) +
+
1 - г О" /20 (1 - Г )(о0 - 2г +1) О" I
2 2 О11 V 200 , 2 ъг 2 2\2 О00 Г,
0
(Яе, 1т означает реальную и мнимую части соответствующей функции);
система уравнений для отыскания коэффициентов £п0, £п0 (п —1,2,...), и0 (в2) имеет
вид:
(23)
(24)
(25)
Уши0 +£ («пт£п0 + РптС„0) — ®т , п—1
£ («**т£п0 + ІЇтСп0) — ^ (т — 0,1,...) =
п—1
в2 + Р1С10 — О2 (о — 00, ^ — 0) .
2 4
Здесь у0 — 3(о -^ У — 0, Ї2 — -її — 0 (1 — 3,4,...),
1
«пт — п(п + 1)2 {[О0п (о)Рп+1(г)-Г0п+1(о)Рп (г)] Рт (г¥г ,
-1
0(1 -г )
1 2 )2
>(л/0ММ„ (о))
-------------- Р (г) + п(п + 1)0п (о )Мп (г)
0о
-г(о2 -1)2
п(п + 1)#п (о)Рп (г) + 0 (о)
0г
Рт (г)dг,
1
«пт — -п
/ [ое; (о)Р1+1 (г) -0+1 (о) Р (г)] Рт (г)іг,
Ркт = | <
1
г(о2 -1)2
>(о-їNп (о))
— Р (г) + п(п + 1)0п (о)Мп (г)
до
+
+ о(1 -г )2
п(п + 1)Nп (о)Рп (г) + е1(о) -
д(л/ї-7мл (г))
дг
Рт (г)dг,
Р1 — 2о 1п
3, , о +1 ^ 4 3о4 - 2о2 + 2
о-1) 3 о2-1
От —
| [оО11(г) - >/2гО00 (г)]Рт (г)dг,
-1
__ -1
| (°2 - 1) 2(1 -г2) 2 [г(о2 - 1)О11(г) + ^°(1 -г2)О00(г)]Р„ (г)іг -1
О2 — | (о2 -г2) 1 “[0 5(о2 - 1) д^33 + (1 _г2)(о2 - 1)_ 1 '
От —
1 -1 ■2 - 1) 2 і
-1
+ л/2о
о2 -2г2 +1
22 о -г
д2 X*
(о2 -1)-^+(1 -г2)х;" д^
> іг - Г2.
Функции О3Х3/О^3, О2Х*2/О^2 выражаются с помощью уравнения движения жидкости (20) через Х0 и Х*. При нахождении величины О*, а также при построении функций Ып (ст) и Мп (г) в виде, пригодном для машинного счета, возникают большие трудности. Для преодоления их в случае сильно вытянутого эллипсоида предположим, исходя из физических соображений, что вне пограничного слоя движение жидкости является безвихревым, т.е. Сп0 = 0 (п = 1,2,...) . При этом система (23 )-(25) упрощается, выражения для коэффициентов и0 , £п0 (п = 1,2,...), в2 принимают вид
4 3 2 -1
и : 02(о0)£10 — Т (3о0 -1) О
*0 2 ,^2'
3о0 - 1
2
0
(26)
£20 — -
----------О1
2403(о0) 1
{-4и0 + 8[5о001(о0) - 202(о0)]£10 - 1 5о2} ,
£п0 —
(2п - 1)(2п +1) I (п - 1)2(п - 2)
2
2п (п +1)20п+1(о0) [ (2п- 1)(2п-3)
-(п - 1)0п-1(о0)£(п-2)0 -Оп-1} (п — 4,5,...) ,
[(2п - 1)о0 0п-2(о0) -
(27)
в2 — О2.
Необходимо, таким образом, иметь в виду, что в этом случае предполагается действие на тело силы
1
5
Рис. 2. Графики скоростей , \г и завихренности С при 2 = 0 , г0 = 0,169, ^ = 0 (случай Ь)
т(*) = лу252П*2.
Наконец, если положить 0 = 0 (п = 1,2,...), то из (26), (27) следует
1 1
2 J(00 -Г)[°о1Г)^л/2т000(Г)]dr .
(28)
u
0
4. Результаты
Для эллипсоида с соотношением полуосей а = 5 см/30 см«0,167 (00 « 1,014, d « 29,580 см) при Р = 2,355, 8 = 0,003 (у = 0,01 см2/сек, о = 1 Гц) были произведены расчеты в двух случаях:
(a)
f (г) = 0, g(г) = (1 - г2 ) sin [2л (t - Рг)],
Рис. 3. Графики функций vs, Vs, Ws при z = 0 , r0 = 0,169 (случай a)
^ up=-849,6
40
lo
-50000 -25000 0 25000 50000
Рис. 4. Графики функций vs, Vs, Ws при z = 0 , r0 = 0,169 (случай b)
f(т) = (1 -т )2(о -т I sin[2n(t-Рт)], g(т) = 0.
При таком выборе вида функции f (т) и величины Р условие (19) удовлетворяется. На рисунках 1, 2 приведены эпюры горизонтальной
vz = (о2 -т2) 1
о-ф т-ф
о-----т —
-о -т у
вертикальной
Vr =-(о2 -т2)-1
1о_-1 -£ + о (1-т д<е
1 -т -о
о -1 -т
1 1
составляющих вектора скорости (z = от, r = (о2 -1)2(1 -т2)2 ) и завихренности ^ для
і
t = 0 в сечении z = 0 (т = 0, r0 = (о0 -1)2 « 0,169).
3
Поскольку точки жидкости (а, т) совершают колебания, представим уравнение их движения в виде
ст* = ст + у5*(г, г) +... , (29)
т = т + уs (т,t) +... ,
(30)
С* /2 2\-1 О^ •* /2 2\-1 О^
где 5 =-(ст -г ) —, е =(СТ -г ) —.
Ог Ост
В соответствии с (29), (30) для некоторой функции ф = ф(*) + уф(и).
характеризующей движение жидкости, будем иметь
Ф(о ,т ,t) Графики функций
(I = ф(х|(о,т) + у2 {і* Ф(и 1 (о, т, t)}
+...
, 2 2Л-11 -^ д^1 Г, ч
к=(о -т 1 1о-о~т~т I, v = l(vz1
(s)
* _* - * - I
і = 5 ---------+ s ------ I .
-о -т I
в сечении г — 0, рассчитанные с помощью формул (21), (22), приведены на рисунках 3,
4.
Основываясь на формуле (28), произведем некоторые оценки величины и0 .
В случае чисто продольных колебаний точек поверхности эллипсоида ( / (г) — 0 ), из (28) следует
uo =
о Z k f і3 [Im( gkgk1 - Re( gkg'k)]- ■
k=1 -i
т(о0 + 2т2 - 3) (Oo2 -т2)(1 -т2)
Полагая о « 1,0, gk (т) = В(т) exp [ibk (т)], получим
k fJB 2(т|
k=1 -1 L
2т
1 -т
+ 3bk (т)
(31)
в частности, при В(г) = -0,5(1 - г ), Ък (г) = 0,5^ - 2я/Т (случай (а))
и0 ^-1,6^2 3. (32)
Заметим, что если в (31) положить В(г) = -0,5, г = 0, что равнозначно удовлетворению условия сращивания горизонтальной скорости лишь в сечении
2 = 0 (г = 0) , получим
Uo ~ -3^ Р .
(33)
Таблица
u
0
Случай Формула (26) для ; = 0 Формулы (32), (36) Формулы (33), (3B) Формулы (39), (4G) К
a -G,G164 -G,G126 -G,G236 -G,G296 G,55
b G,GGBB G,GG9B G,G113 G,GG2G 4,4G
При чисто поперечных колебаниях ( g (г) = 0, f (±1) = 0 ), соотношение (28) дает
1
: 2 I {У 1m(fkfk) + y2k 'Re(Akl'kAk1) + У3к Ak11 +
(1 + i)AkAk1(AkA^kl) ]}^,
k=1 -1
+ i
+y4k Re
1 - г2
y1k = ^^0 2 ,
0 -1
4<г0 -ба^г2 + 2<т-г4 + 30^г2 -<j0 -a0 - г2
2k (^2 1V^2 2x3
(00 -1)(00 - г )
-0.25ст0г(ст02 - 4г2 + 3)
3k = nk(a02 -г2)3(1 -г2) :
у=
y4k =
-0.75<a0
nk (<a0 - г ) Выбирая функцию fk (г) в виде
fk (г) = A(T)exp[iak (г)],
полагая
А(г) = 0,5(1—г-т~, ak (г) = 0,5л - 2лРг (34)
а0 -г
(случай (в)), а0 * 1 + 0,5а2, учитывая, что
hAk1 * -4nkia 21(1 - г- )fk (г^г
р + Ар1г + Ар2 ‘
= -iP *а 2 exp(-2лiРг)(АР0 + Ар1г + Ар2г2 +...),
(35)
где
Яр0 = 1 -3jлр + 9лр +... , Ар1 = 3jлр -9лр +... , Ар- = -3/2 + 9j2лр +... , лр = —2лiр ; найдем
u0 * 3.33р_1а_4(1 + 0.75л_2р_2)- 1.07л2ра“2. (36)
В то время как из условия сращивания скоростей в сечении z = 0 имеем
u0 * 2A(0)a"2 2 {[5 cos ak (г) - 3 sin ak (г)] Re(Ak Ak1) +
k=1 (37)
+ [5sin ak (г) + 3 cos ak (г)] Im(Ak Ak1) + (г)}г=0 ,
в случае (34) с учетом (35) из (37) следует
u0 * 5р~а~Л - 2л2ра~2. (38)
В таблице при максимальной скорости колебания точек поверхности, равной 0,628 см/сек, приведены значения скорости жидкости на бесконечности V (см/сек) и коэффициента kv = Кэл /Кцил, рассчитанные с помощью формул (26), (32), (33), (36), (38) и
о 2 2
3л oa . „ . чч
Vцил =-------А--- (СДучай (а)), (39)
„ л2(2-3K2x)oa2 2лЬ / 2лЬ „
Кии =----------------------------------а--, ка = К0~А/ к1~А ^случаи (b)) (40)
3
где К0, К1 - функции Макдональда, а - амплитуда колебаний точек поверхности цилиндра (а = 0,1 см), Ь - радиус цилиндра (Ь = 5 см), X - длина волны ( X = 10 см). Соотношения (39) и (40) получены для бесконечного кругового цилиндра (Ильгамов, Сулейманова, Талдыкин, Федяев [26]).
Из приведенной таблицы видно, что по сравнению с бесконечным телом конечное имеет большую скорость в случае (Ь) и меньшую в случае (а), вследствие чего разница между значениями скорости движения бесконечного цилиндра в случаях (а) и
(Ь) (в рассматриваемом примере скорость цилиндра при продольных колебаниях больше скорости цилиндра при поперечных колебаниях приблизительно в 15 раз) в случае конечного тела уменьшается. Полагая т ~ Ь^ё, 3 ~ ё/X, а ~ Ь/ё, устремляя ё к бесконечности, из (33) получим формулу (39), совпадающую, при Я ^ да, с выражением для скорости потока, вызванной деформациями полуплоскости (Тиск [17]). В случае (Ь) значения скоростей, рассчитанные по (38), после предельного перехода и (40) близки.
В заключение авторы выражают благодарность сэру М.1. Ы§Ь1;Ы11 за проявленный интерес к работе, доктору Т.1. Реё1еу и доктору Т^. БесошЬ за обсуждение и помощь при изложении материала.
Приложение
Коэффициенты Е1, ек0, ек^ ек2, ek, ek0, екъ Р1, 01 (1 = 0,1,...)
Е0 = 4л/2^2 Яе2 к2^кХк!кАк1 , к=1
Е1 = 2Ке 2 »к (ек0 + Лек1 + Л2ек2 ) + \Мк Г ек
4жк
ек0 = _2
&0 -1
41
к=1
2жк0а0/к - 7т
ю0 - 1
(1 -т2)(ю0- т2)
- 2у/2ж2 к 2/кВк1 -
2пЫ
Ю0 - т
"( Ак1Вк 0 + ХкАк1 Ак1), 2пк
-X А,
ек1 2 2 хкАк1
&0 - т
т(ю0 - т ) Вк0 + 7Вк0 + пк°(
4&0 - т2 - 3 >/2(<т0 -1)
Л
ек 2 = (2пк )3 ю,
1 - т2
(Ю -1)2
Хк!кА
к1 ■
ек --4^к7(ю0 -т ) ХкАк1 Ак1 + т(1 - т ) А
к1
ек0 = 4жк(<Т0 - т2) 1 Ак1 -Т(1 - т2) 1 Вк0 + 2^кю0(<Т0 - т2)(ю(5 - 1) 1 1к
-2пЫ(0 0 - т ) (А'к1Вк 0 + ХкА'к1 Ак1) + (4^к) °0~2-------------------^ А к
(ю2 - 1)(Ю - т2)
Л4н - 2-Лж2к*/кВк„
ей =~2^кхк (оо - т2)-‘ А
к1
т(ю0 - т ) Вк0 + 7Вк0 + жкЮ
4ю02 - 9т2 + 5 ю0 - 1
Л
Fo = 2уі2л lm 2 k \(oo - т2 )f
Tkgk
k=1
Fi = 0,
Go = 442я(°1 - т2)(о02 - 1)lm 2 kfkAki,
Gi = Re 2 A
k=1
1 - T
' 0 / 2 „.2V 2 n k k1
(O0 - T )(O0 -1)
k=1
XkAk1 -JJ2XkBt
k kl
+
+■4n lm 2 k
k=i
(1 T )(00 T ) + (°o2 - т2 )gkgk - 2°ofkgk
°0 - 1
Список литературы
1. LighthillM.J. Note on the swimming of slender fish // J Fluid Mech. 1960. V. 9. P. 305-317.
2. Lighthill M.J. The force on a slender fish-like body // J Fluid Mech. 1973. V. 58. P. 689-702.
3. Lighthill M.J. Mathematical biofluiddynamics. Philadelphia. 1975.
4. Lighthill M.J. On the squirming motion of nearly spherical deformable bodies through liquids at very low Reynolds numbers // Comm Pure Appl Math. 1952. V. 5. P. 109-118.
5. Wu T.Y.-T. Hydromechanics of swimming propulsion. Part 1. Swimming of a two-dimensional flexible plate
at variable forward speeds in an inviscid fluid // J Fluid Mech. 1971. V. 46. P. 337-355.
6. Wu T.Y.-T. Hydromechanics of swimming propulsion. Part 2. Some optimum shape problems // J Fluid
Mech. 1971. V. 46. P. 521-544.
7. Wu T.Y.-T. Hydromechanics of swimming propulsion. Part 3. Swimming and optimum movements of
slender fish with side fins // J Fluid Mech. 1971. V. 46. P. 545-568.
8. Логвинович Г.В. Гидродинамика тонкого гибкого тела (оценка гидродинамики рыб) // Бионика. 1970. Т. 4. С. 5-11.
9. Лаврентьев М.А. Модель движения рыб, ужей // Прикладная механика и техническая физика. 1973. Т. 2. С. 164-165.
10. Saffman P.G. The self-propulsion of a deformable body in a perfect fluid // J Fluid Mech. 1967. V. 28. P. 385-391.
11. Taylor G.I. Analysis of the swimming of microscopic organisms // Proc Roy Soc. 1951. V. А209. P. 447461.
12. Hancock G.J. The self-propulsion of microscopic organisms through liquids // Proc Roy Soc. 1953. V. A217. P. 96-121.
13. Blake J.R. A spherical envelope approach to аИагу propulsion // J Fluid Mech. 1971. V. 46. P. 199-208.
14. Blake J.R. Infinite models for аНагу propulsion // J Fluid Mech. 1971. V. 49. P. 209-222.
15. Blake J.R. Self-propulsion due to oscillations on the surface of a cylinder at low Reynolds number // Bull Austral Math Soc. 1971. V. 5. P. 255-264.
16. Lavie A.M. Analysis of the swimming of elastic slender bodies excited by an external force // J Fluid Mech. 1972. V. 53. P. 701-714.
17. TuckE.0. A note on a swimming problem // J Fluid Mech. 1968. V. 31. P. 305-308.
18. Калугин В.Н., Коханенко Н.В., Панчук В.Н. О внешнем течении вязкой жидкости, вызываемом бегущей по границе волной // Гидромеханика. 1974. Т. 27. С. 36-42.
19. Brennen C. An oscillating-boundary-layer Шеогу for аИаху propulsion // J Fluid Mech. 1974. V. 65. P. 799824.
20. Ильгамов М.А., Федяев В.Л. О стационарном движении жидкости, вызванном колебаниями поверхности цилиндра // Труды семинара по теории оболочек / Казанский физ.-техн. ин-т. АН СССР. 1975. Т. 6. С. 259-273.
21. Федяев В.Л. Движение деформируемого тела в вязкой несжимаемой жидкости // Статика и динамика
оболочек / Казанский физ.-техн. ин-т. АН СССР. 1977. Т. 8. С. 123-129.
22. Татка К. Induced flow due to wavy motion of a wall. The case of small and moderately large Reynolds
numbers // J Phys Soc Japan. 1977. V. 42. P. 297-305.
23. Tanaka К. Induced flow due to wavy motion of a wall. II. The case of very large Reynolds numbers //
J Phys Soc Japan. 1977. V. 42. P. 1752-1758.
24. Kelly H.R., Rentz A.W., Siekman J. Experimental studies on the motion of a flexible hydrofoil // J Fluid Mech. 1964. V. 19. P. 30-48.
25. BotmanM. Propulsion by undulating plates // J Aircraft. 1965. V. 2. P. 456-462.
26. Ильгамов М.А., Сулейманова М.М., Талдыкин М.В., Федяев В.Л. Об одной модели волнового
движителя // ДАН СССР. 1978. Т. 241. №2. С. 309-311.
27. Paidoussis M.P. Hydroelastic ichtyid propulsion // J Hydronaut. 1976. V. 10. P. 30-32.
28. Ильгамов М.А., Талдыкин М.В. Управление деформацией цилиндрической оболочки, находящейся в жидкости // Труды семинара по теории оболочек / Казанский физ.-техн. ин-т. АН СССР. 1975. Т. 6. С. 251-258.
29. Руденко О.В., Солуян С.Н. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
30. Мукосеев Б.И. Обтекание колеблющейся поверхности вязкой несжимаемой жидкостью // Изв. АН
СССР. Мех. жид. и газа. 1971. № 4. С. 60-65.
31. Сулейманова М.М. О перемещении деформирующегося тела вращения в вязкой несжимаемой
жидкости // Изв. АН СССР. Мех. жид. и газа. 1977. № 3. С. 145-149.
32. Van Dyke M.D. Perturbation methods in fluid mechanics. New York-London: Academic Press, l964.
M.A. Ilgamov, V.L. Phedjaev (Ufa, Kazan, Russia)
ON THE PROPULSION OF DEFORMABLE BODIES THROUGH A VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID
The motion of a body caused by deformations of its surface is considered. Such problem arise in study of motion of fishes, snakes, other living beings in liquid. The functions, which must be determined, are represented by the sum of a stationary and an unsteady part. For large oscillatory Reynolds numbers the solution for the mean flow about a prolate spheroid whose surface is being deformed in the form of a travelling wave with variable amplitude, is given by the method of singular perturbations. The results are compared with the solution of the corresponding problem for an infinite circular cylinder.
Key words: solid deformations, travelling wave, viscous fluid, average advance as a nonlinear effect, Reynolds frequency numbers, method of joined asymptotical decomposition.
Получено 20 января 2002 года
