CC BY
97
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика, прочность, поддержание летной годности ВС
№141
УДК 629.735.015:681.3
ОЦЕНКА ЗАТУХАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПОЛЕТЕ ВЕРТОЛЕТА С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ
Ю.И. МАТВЕЕВ, С.С. ПАВЛОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
Поведение системы вертолет - груз анализируется с помощью модели двухточечного математического маятника, колебания которого происходят в потоке воздуха. Определяется логарифмический декремент колебаний
груза в зависимости от скорости перемещения точки подвеса, массы груза и длины подвеса.
Ключевые слова: вертолет, подвеска, колебания, груз, математический маятник ММ.
Введение. Постановка задачи
Транспортировка груза на внешней подвеске вертолета сопровождается колебаниями, носящими сложный характер. Систему двух тел - вертолет и груз на внешней подвеске (ВП) -можно представить, как математический маятник (ММ), где вертолет является несущим телом, а груз несомым телом. Данную систему будет отличать большое многообразие физических явлений, характерных для ММ, у которого точка подвеса может перемещаться в различных направлениях с разным ускорением.
Колебания груза можно представить, как результат сложения продольных, поперечных и крутильных колебаний. На разных этапах полета преобладают те или иные типы колебаний. Так при взлете и полете вертолета с грузом до достижения определенной скорости горизонтального полета преобладают продольные колебания, при полете на маршруте и при различных маневрах в горизонтальной плоскости в большей степени наблюдаются поперечные колебания. В действительности трудно выделить и определенно назвать какой-то один тип колебаний. Колебания груза прежде всего зависят от длины подвеса, которая определяет близость груза к несущему винту (НВ) вертолета, создающему неоднородный воздушный поток. Тип колебаний и их амплитуда зависят от аэродинамической конфигурации груза и его стабилизации. На характер колебаний оказывают влияние: скорость, направление и длительность порывов ветра. От действий пилота при пилотировании вертолета зависит траектория движения точки подвеса маятника. В данной статье рассматривается частный вопрос - определяется логарифмический декремент колебаний груза в зависимости от скорости горизонтального полета вертолета, соотношения масс вертолета и груза и длины подвеса груза.
Составление уравнений движений для модели двухточечного математического маятника
Наглядные пояснения к решаемой задаче можно получить, используя рис. 1. Изучение колебаний будем проводить на модели двухточечного математического маятника в системе координат ОХУ2. Точка М1 (вертолет) и точка М2 (груз) соединены тросом большой длины. Относительно вертолета и груза трос закреплен шарнирно. Масса троса мала по сравнению с массой груза. Точка М1 может перемещаться в пространстве по произвольной траектории, а точка М2, удерживаемая связью в виде троса, следует за точкой М1, совершая колебания. Пусть точка подвеса маятника О совершает равномерное и прямолинейное движение вдоль оси Х со скоростью У1. Будем считать, учитывая сказанное, что система обладает двумя степенями свободы.
X
Рис. 1. Математический маятник в потоке набегающего воздуха: а - кинематические характеристики маятника ( 0, а - углы отклонения маятника в продольной и поперечной плоскости; VI - скорость переносного движения); б - силы, действующие на груз - М2§, К, БАЭ; скорость относительного движения груза и ее проекции - У2г, У2Х, У2г; у - угол между (У2г, У2г); У1 - угол между (У2а, У2г).
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для системы вертолет - груз. Введем обозначения: М1, У1, М2, У2 - масса и скорость вертолета (индекс - 1) и груза (индекс - 2) соответственно; Ьр - длина подвеса.
За обобщенные координаты системы примем:
q1 = 0 (угол отклонения троса от вертикали в плоскости 0ХУ);
q 2 = а (угол отклонения троса от вертикали в плоскости 0У2).
Обобщенные скорости системы: ^ = 6; д2 = а.
Кинетическая энергия системы Тс = Т1 + Т2.
Кинетическая энергия вертолета Т1 = ¥г2
Абсолютная скорость груза У2,а зависит от скорости переносного движения (Уе) и скорости относительного движения (Уг). Абсолютная скорость груза может быть найдена с помощью
соотношения ¥^а = (V -1рв)2 + 12ра2. Введем обозначение: V = [(V - 1рв)2 + 12ра2 ] ’ .
Кинетическая энергия груза Т2 = М2 V--a.
Общее выражение кинетической энергии системы имеет вид
Т = ( М' + М2 *-V;- + М (-2 1ув+г-рв2 + ег а). (1)
— дТ, дТ' _
Найдем слагаемые, входящие в уравнения Лагранжа:-----------'---- = Ц
— дс[і 5ді
Для переменной в:
~\гр -ч7"т т лт-
^ = 0; Э-с- _—м 2 ьу + м2 ь2в; — Э-^ _—м 2+ м2Ьв. (2)
Эв Эв 2 р 1 2 р сИ дв 2 р 1 2 р
(т.к. по условию точка подвеса маятника движется равномерно, то в дальнейшем считаем
У = 0).
Для переменной а:
^ = 0; ^ = М21ра; —дТ = М2 Ь2ра. (3)
да да 2 р —і да 2 р ^
Определение обобщенных сил
На систему вертолет - груз действуют силы: М^, М2§, Янв, Баэ, Бин. Если движение точки подвеса груза прямолинейное и равномерное (без ускорения), то сила инерции Бин = 0. При горизонтальном полете вертикальная составляющая тяги несущего винта Янв,у равна сумме сил тяжести вертолета и груза. Горизонтальная составляющая тяги НВ равна сумме сил аэродинамического сопротивления вертолета и груза.
Сила аэродинамического сопротивления Баэ, действующая на груз, пропорциональна квадрату скорости набегающего потока. Она равна
р _ СчРУ 8Ш _ву2/2
аэ 2
где В = Сх р Smid зависит от условий обтекания и формы тела, плотности среды и размеров поперечного сечения тела;
У — среднее значение скорости потока, набегающего на груз с учетом его колебательного движения.
При нахождении силы аэродинамического сопротивления будем считать, что тело имеет форму шара. Сила аэродинамического сопротивления действует на груз в плоскости 0X2, но не вдоль оси Х, а под некоторым углом в, который определяет скос потока. Угол в изменяется от максимального значения, когда груз при колебаниях пересекает срединную плоскость (2 = 0), до нулевого значения при наибольшем отклонении груза вдоль оси 2. Угол в можно найти, используя соотношение
Ь а
^Ь_ Р тах
(^- 1в)
Произведем оценку угла р. При длине подвеса Ьр = 20 м и максимальном угле отклонения маятника атах = 30° получим:
е
1) частота колебаний маятника о = — = 0,7;
' Щ\Т
\ЬР
2) максимальная скорость маятника в момент прохождения положения равновесия ^тах = атахо0 Ь = 7,3 м/с. Отсюда при скорости вертолета 50 м/с находим в = 8,4°.
Используя данные вспомогательной табл. 1, следует сделать вывод, что при определении силы аэродинамического сопротивления можно вместо абсолютной скорости груза использовать значение скорости переносного движения (У2а » VI). Погрешность, допускаемая при этом
в диапазоне X = 30... 50м / с, будет составлять (1.. .2,6)%.
Таблица 1
№ V (V2 ) V 2r/ max V2a V2a / (V2r )max
м/с м/с м/с
1 10 7,3 12,4 1,24
2 20 7,3 21,3 1,065
3 30 7,3 30,8 1,026
4 40 7,3 40,6 1,015
5 50 7,3 50,5 1,01
Примечание к табл. 1.
У1 - скорость движения вертолета;
(¥2г )тах - максимальная скорость движения груза при колебаниях;
У2а - скорость потока воздуха, обтекающего груз.
Обобщенные силы Qв, Qa могут быть выражены через виртуальные работы сил, действующих на систему, с помощью следующих соотношений:
Q ) ) _ „
^ -----, где (> оАк) - сумма виртуальных работ, действующих сил на возможных
н
перемещениях Ьр8в, Ьр8а.
Виртуальная работа 8Ав
0Ав = Ы2еЬр 8в ео8(90° +в) - ^Ьр 8в оо8(180°-Д). (4)
Виртуальная работа 8 Аа
8Аа = М2еЬр 8а 008(90° +а) + ¥аэЬр 8а оо8(90° + Ь). (5)
В выражения (4), (5) входят тригонометрические функции, зависящие от угла р. Они будут рав-
ны:
(V -L„ef + L
2pa2
; sin b =
Lpa
(V - Lp9)2 + L
2pa 2
(6)
причем среднее значение величины, стоящей в знаменателе, и будет равно V.
С учетом соотношений (6) выражения (4) и (5) после преобразований примут вид:
8Лв = -M2 g L 86 sin в + 0,5 B VL 86(V - LB).
(4,а)
0,5
0,5
8Aa = -M2gLp 8asin a- 0,5 BVLp 8aa. (5,а)
После нахождения виртуальных работ 8A6 и 8Aa определяем значения обобщенных сил:
Qe=-M2gLp sin в + 0,5 B V(V -Lp6); (7)
Qa=-M2gLp sin a- 0,5 BVLpa. (8)
Уравнения Лагранжа с учетом соотношений (2...4) и выражений (6), (7) для обобщенных сил примут вид:
для переменной 0: М2 ]Зрв = -M2 gLp sin 6 + 0,5 B VLp(V1 -Lp6) . (9)
для переменной a: M2 L2 a = -M2 gLp sin a - 0,5B V L2pa. (10)
Разделив все слагаемые в уравнениях (9), (10) на M2Lp и введя ряд дополнительных обо-BV g
значений B1 =----; D = —, перепишем уравнения Лагранжа в таком виде:
M2 Lp
B
для обобщенной координаты 0: в + 0,5 B1 в + D sin в = 0, 5-^; (11)
Lp
для обобщенной координаты a: a + 0,5 B1a+D sina = 0. (12)
Записанные уравнения имеют следующий физический смысл. Уравнения (11) для 0 и (12) для a описывают колебания маятника в продольной и поперечной плоскости, они не содержат перекрестных производных, поэтому они не оказывают влияния друг на друга. Такое влияние могло быть, если бы система содержала уравнение крутильных колебаний для груза не шарооб-
g
разной формы. Колебания происходят с одинаковой частотой, зависящей от отношения —, и
Lp
судя по виду слагаемых D sin в, D sin a, являются нелинейными. Затухание колебаний определяется величиной слагаемого B1a , зависящего от силы аэродинамического сопротивления.
Решение системы уравнений движения для модели двухточечного математического маятника
Перепишем вновь систему уравнений движения для модели двухточечного математического маятника.
в + 0,5В1в + Б8тв = 0,5В1V /Lp а+0,5 В1а+Б 81иа = 0
Для решения системы уравнений (13) был использован метод Рунге - Кутта. Все вычисления и программирование дифференциальных уравнений проводились в среде МайаЬ. Цель проведения расчетов состояла в оценке затухания колебаний при изменении отдельных параметров системы, например, таких как скорость движения точки подвеса, масса и длина подвеса груза, совершающего колебания. Характерные зависимости показаны на рис. 2.
Скорость равномерного движения принималась равной V! = 10, 20, 30, 40, 50 м/с. В каждом случае после проведения расчетов строились графические зависимости в = /(7), а = /(7), а по ним на длительном временном интервале определялся логарифмический декремент колебаний.. Шаг счета брался равным И =0,01 о. Общее число точек счета составляло п = 11000, что позволяло анализировать процесс колебаний маятника в пределах 10 - 12 периодов при длине подвеса Ьр = 20 м. Задача решалась при следующих начальных условиях:
(13)
V-1 = 10...50м/с; 6(0) = 10°; 6(0) = 0; a(0) = 30°; a(0) = 0.
Рис. 2. Зависимости изменения угла отклонения маятника в продольной и поперечной плоскости (условия проведения расчетов: Ьр = 20 м, М2 = 2000 кг, V1 = 40 м/с, Бт;а =3,14 м2)
Следует отметить, что колебания по углу 0 и по углу а являются затухающими. Колебания груза маятника в поперечной плоскости - зависимость - а = ОД - являются симметричными относительно срединной плоскости (2 = 0), тогда как колебания груза по углу 0 в продольной плоскости являются асимметричными, и это объясняется влиянием постоянно действующей аэродинамической силы.
Фазовые траектории, отражающие движение груза при колебаниях, показаны на рис. 3.
1 - t/2
-30 -20 -10 О 10 20 30
alpha theta
Рис. 3. Фазовые траектории: 6 = f (6), a = f (a)
Фазовые траектории имеют вид сворачивающихся спиралей, одна из них - по углу 0 -асимметрична. Характер фазовых траекторий свидетельствует о затухании колебаний. Это вполне объяснимо и соответствует тому, что дифференциальные уравнения, описывающие колебания по переменным 0 и а, содержат члены Б16 и B1a, определяющие аэродинамическое сопротивление груза. В действительности, например, при порывах ветра, внешние условия могут изменяться, и поэтому фазовые траектории будут иными.
Оценка степени затухания колебаний груза
Об изменении амплитуды колебаний обычно судят по величине логарифмического декремента колебаний. Логарифмический декремент - это величина, равная l = ln (A(t)/A(t + Г))).
По определению, X равна натуральному логарифму отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период. На практике два соседних колебания по амплитуде мало различимы, поэтому берут большое число колебаний. Тогда значение X можно вычислить так:
1 = — 1п п
1. ( 4(0
Ап( + пТ)
где А1(1), Лп(1 + пТ) - амплитуда первого и п-го колебаний.
При таком определении значение X можно найти с меньшей погрешностью, кроме того можно считать X интегральной характеристикой, т.к. за большой промежуток времени в системе могут произойти разные процессы.
Если, например, X =0,02 , то это значит, что за 100 колебаний амплитуда уменьшится в е2 раз, т.е в 7,3 раза. При величине периода Т = 9 с (что характерно для нашего случая) такое гашение амплитуды в 7,3 раза произойдет за 900 с, т.е. за 15 мин.
С учетом сказанного, в последующих расчетах определялся логарифмический декремент колебаний при вариации отдельных параметров системы.
Факторы, влияющие на затухание колебаний системы
1. Скорость перемещения точки подвеса V1.
2. Масса перевозимого груза. М2.
3. Длина подвеса Ьр.
К другим факторам, от которых зависит амплитуда колебаний груза, можно отнести форму и размеры груза, манеру пилотирования вертолета (плавность и своевременность выполнения маневров вертолета с грузом), изменение внешних условий при проведении полета. Но эти факторы не имеют такой простой количественной характеристики (как у вышеназванных факторов), и поэтому моделирование по ним с использованием записанной системы уравнений затруднено.
Результаты расчетов по определению значений Х0 и Ха при изменении указанных факторов представлены в табл. 2, 3, 4 соответственно. Условия проведения расчетных опытов указаны под каждой из таблиц.
Таблица 2
Скорость У1, м/с 10 20 30 40 50
Шар, Я=1 м Сх 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20
Угол 0 Х0 0,0014 0,0080 0,0155 0,0233 0,0310
Угол а Ха 0,0012 0,0081 0,0167 0,0269 0,0387
Исходные данные при проведении расчетов:
М2 = 2000 кг, Ьр = 20 м, Бшш = 3,14 м2, Кт = 0,25. Vl = 10... 50 м/с.
Таблица 3
Масса груза М2, кг 1000 1500 2000 2500 3000
М2 / М1 Кт 0,125 0,187 0,25 0,312 0,375
Угол 0 Х0 0,0438 0,0308 0,0233 0,0185 0,0152
Угол а Ха 0,0573 0,0370 0,0269 0,0207 0,0167
Исходные данные при проведении расчетов
У1 = 40 м/с, Ьр = 20 м, 8т;а = 3,14 м2, Сх = 0,18.
Таблица 4
Подвес Lp, м 16 20 24 28 32
Угол 0 А0 0,0231 0,0233 0,0329 0,0734 0,0271
Угол а Аа 0,0233 0,0269 0,0303 0,0337 0,0366
Исходные данные при проведении расчетов
М2 = 2000 кг, Vi = 40 м/с, Smid = 3,14 м2, Km = 0,25, Cx =0,18.
Выводы по результатам моделирования
1. При увеличении скорости перемещения вертолета наблюдается рост значений Х0 и Ха.
2. Колебания груза, имеющего меньшую массу, затухают быстрее по сравнению с грузом, масса которого больше.
3. Увеличение длины подвеса груза приводит к увеличению Х0 и Ха Ха, а значит и к более быстрому затуханию продольных и поперечных колебаний.
Данные выводы не вступают в противоречие с практическими наблюдениями за поведением грузов при их транспортировке.
Моделирование по выяснению влияния различных факторов проводилось в предположении, что точка подвеса маятника перемещается равномерно и прямолинейно. В действительности сам вертолет (а значит и точка подвеса груза) на разных этапах полета движется с ускорением, кроме того фюзеляж вертолета испытывает колебания, которые передаются грузу. Источником таких колебаний является несущий винт, укрепленный на фюзеляже вертолета.
Учет влияния перечисленных и в настоящее время не учтенных факторов позволит в дальнейшем при более широкой постановке задачи расширить и уточнить базовые данные по демпфированию колебаний груза на ВП вертолета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1971.
2. Мартынов А.К. Прикладная аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1972.
3. Козловский В.Б., Паршенцев С.А. Исследование поведения груза на внешней подвеске вертолета и способы его стабилизации в полете // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, №72, 2004.
4. Ануфриев И.Е. Ма1ЬаЬ 5.3 / 6.x. СПб.:БХВ-Петербург. 2002.
EVALUATION OF CARGO OSCILLATION DECAY HORIZONTAL CONSTANT-SPEED
HELICOPTER FLIGHT
Matveyev Y.I., Pavlov S.S.
Helicopter-cargo system behaviour is analyses by means of a 2-point mathematical pendulum whose oscillations take place in an air current. Cargo oscillations logarithm decrement depending on cargo suspension point displacement speed, mass of cargo and strut length is defined.
Сведения об авторах
Матвеев Юрий Иванович, 1935 г.р., окончил ЛГУ (1958), кандидат технических наук, профессор кафедры аэродинамики и динамики полетов МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - летная эксплуатация воздушного транспорта.
Павлов Сергей Семенович, 1937 г.р., окончил ЛВМИ (1961), кандидат технических наук, доцент кафедры физики МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - ракетная техника, механические колебания, математическое моделирование физических процессов.
