CC BY
66
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность
№ 138
УДК 656.7.073: 629.735.45
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА "ВЕРТОЛЕТ - ГРУЗ”. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ (ПЕРИОДА) КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ
С.С. ПАВЛОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
Предлагается алгоритм расчета собственной частоты (периода) колебаний системы "вертолет груз". Показано, что система совершает колебания относительно точки, находящейся выше несущего винта вертолета. Определена зависимость собственной частоты (периода) колебаний системы от соотношения масс вертолета и груза при разной длине подвеса.
Введение. Постановка задачи
Хорошо известны многочисленные примеры применения вертолетов при выполнении сложных уникальных работ при монтаже вышек ЛЭП, мостовых сооружений, транспортировке громоздких конструкций в труднодоступных местах. Пилоту, по существу, известна только масса груза, его конфигурация, габариты, а также длина тросовой подвески, которую он будет использовать при транспортировке данного груза. Каких-либо теоретических разработок о том, как поведет себя груз при транспортировке, не существует*. Колебания груза на внешней подвеске вертолета напоминают колебания математического маятника. Частота (период) собственных колебаний математического маятника зависит, в основном, от длины подвеса маятника. А в данном случае дело приходится иметь с многотонным вертолетом и грузом, соединенными тросом большой длины. Где находится центр качания (ЦК) такой сложной динамической системы, в которой оба тела совершают колебания? Можно ли априорно определить период колебаний груза? Как влияет масса перевозимого груза на период колебаний системы в целом? Как найти положение ЦК системы? Обсуждению и решению данных вопросов посвящена настоящая статья.
Сделаем замечание по поводу терминологии. В данной статье будет применяться понятие ЦК. Это точка, относительно которой происходят колебания всех точек системы. Положение этой точки зависит от масс материальных точек, совершающих колебания в системе "вертолет - груз". В отличие от физического маятника (ФМ), где центр колебаний (не ЦК!) совпадает с положением точки опоры и не зависит от масс грузов, совершающих колебания, к системе "вертолет - груз" не применимо понятие точки опоры, так как система, совершая перемещение в воздухе, находится в безопорном положении.
* Замечание редакционной коллегии. Данное утверждение автора не соответствует действительности. Так, например, именно теоретическим, а также и экспериментальным исследованиям поведения системы "вертолет -груз на внешней подвеске" посвящены: монография Козловский В.Б. и др. Вертолет с грузом на внешней подвеске / В.Б. Козловский, С. А. Паршенцев, В.В. Ефимов; Под ред. В.Б. Козловского. - М.: Машиностроение / Машиностроение-Полет, 2008; статьи в Научном Вестнике МГТУ ГА (в том выпуске, в котором, кстати, была опубликована и работа автора данной статьи) Ефимов В. В. Математическое описание движения груза на внешней подвеске вертолета // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 111, 2007. С. 121 -128; Паршенцев С. А. Расчет силы натяжения троса системы внешней подвески вертолета при буксировке подвесных устройств по водной поверхности с учетом воздействия внешних возмущений // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Аэромеханика и прочность, № 111, 2007. С. 121 - 128. В этих источниках, а также в статьях Ефимова В.В. и Асовского В.П., опубликованных в настоящем выпуске Вестника, можно найти обширные перечни публикаций по данной теме, начиная с 1973 года.
Для определения частоты собственных колебаний системы "вертолет - груз" будем использовать следующую математическую модель. Тяжелые материальные точки (вертолет Ш1 и груз ш2) соединены между собой тросом при помощи сферических шарниров. На одной линии, соединяющей точки ш1 и ш2, на расстоянии Ь1 от ш1 расположен несущий винт (НВ), который создает тягу, необходимую для полета вертолета с грузом. Масса троса и несущего винта малы по сравнению с массой М1 вертолета и массой М2 груза. Движение вертолета и груза рассматривается в системе координат ObXbYbZb. Плоскость ОьХьУь является продольной, плоскость О^ь2ь - поперечной, плоскость ОьХь2ь - горизонтальной.
Используя предлагаемую математическую модель динамической системы, будем определять, где находится ЦК системы, как соотношения масс тяжелых материальных точек и расстояние между ними влияют на собственную частоту (период) колебаний.
Будем рассматривать малые колебания системы "вертолет - груз", когда вертолет находится в режиме висения и не перемещается относительно земли. На рис. 1 показаны силы, которые необходимо учитывать при малых колебаниях системы: М^ - сила тяжести вертолета; М2§ - сила тяжести груза; Я - тяга НВ.
Рис. 1. Расчетная схема системы "вертолет - груз": а - основные геометрические размеры; б - схема действующих сил (Оь - положение втулки НВ; Сі, С2 - центры масс (ЦМ) вертолета и груза, соответственно; К - точка возможного нахождения ЦК; Ь1 - расстояние от втулки НВ до ЦМ вертолета; Ьр - длина подвеса; Ьк - расстояние от точки т1 до ЦК; у - угол
отклонения системы от вертикали)
Будем считать, что точка приложения тяги совпадает с втулкой НВ. Величина тяги (в статическом состоянии системы) равна сумме сил тяжести вертолета и груза. Сила аэродинамического сопротивления груза не оказывает влияния на частоту собственных колебаний, поэтому ее в дальнейшем учитывать не будем.
ЦК системы "вертолет - груз" находится в точке К, расположенной на прямой, проходящей через точки т1 и т2. Точка К отстоит на расстоянии Ь1 от точки Оь, соответствующей расположению втулки НВ. Если Ь1 = 0, то система совершает колебания относительно точки, совпадающей с втулкой НВ; в действительности Ь1 > 0, а сама величина Ь1 зависит от соотношения масс М2/М1.
Уравнение движения системы "вертолет - груз”
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для системы "вертолет - груз" в случае, когда она совершает малые колебания. Угол у однозначно определяет положение масс (М1 и М2) системы и наклон НВ. Поэтому считаем, что система обладает одной степенью свободы. За обобщенную координату системы примем с = у. Обобщенная скорость с[ = у .
ё ЭТС ЭТС ^
Как известно, уравнения Лагранжа имеют вид: ———--Э— = 0, где ТС - кинетическая
энергия тел системы (ТС = Т1 + Т2); 0 - обобщенная сила системы.
Кинетическая энергия вертолета:
М1 2 М, ч2 2
Т =“21у12 “(Ьк + Ц)2 у2.
Кинетическая энергия груза: Введем обозначения:
М2 2 М2 2 2 Т2 V22 “(Ьк + Ь + ьр )2 у2.
(1)
(2)
Кш = М2/М1; 1к = Ьк/Ьр; 11 = Ь1/Ьр. (3)
Величины, входящие в (3), определяют: Кш - грузоподъемность вертолета, 1к, 11 - относительное расстояние ЦК К и точки ш1 от НВ вертолета, соответственно.
С учетом соотношений (3) формулы (1) и (2) изменятся и выражение для кинетической энергии системы примет вид:
М2 2 2 Т =—-Ь2 у 2 с 2 р/
(1к +11)2
Кт
■+(1к +11 +1)2
Запишем слагаемые, входящие в уравнение Лагранжа:
ЭТс л
с -0;
Э^=
Эу
А ЭТ
Эу
=М2Ь2р у
Эу
(1к +11)2
Кт
■+(1к +11 +1)2
■=М2Ь2р у
(1к +11)2 2
кК 1 + (1к+11+1)2
(4)
(5а)
(5б)
(5в)
На систему действуют консервативные силы М^, М2§ и сила тяги Я, не являющаяся консервативной. В этом случае обобщенная сила 0 может быть выражена через виртуальные
(18 А,)
работы сил, действующих на систему 0:
8у
-, где (^ 8 А,) - сумма виртуальных работ
действующих сил М^, М2§ и Я на возможном перемещении Ьр8у:
0=—[М^(Ьк + Ь1 )8у соБ(90°+у)+М2§(Ьк + Ь1 + Ьр )8у соБ(90°+у)+ЯЬк 8у соб90°]. (6)
8у
После тригонометрических преобразований с учетом введенных обозначений (3) перепишем выражение (6) для обобщенной силы:
^(1к +11)
М2
О = -—^р (1к + 11)81Пу-М2БЬр (1к +11 +1)51Пу = -М2БЬр Кт
К
■+(1к +11 +1)
бій у. (7)
Используя соотношения (5а), (5в) и (7), запишем дифференциальное уравнение колебаний для системы "вертолет - груз":
M2L2p^
(lk + ll)2
■+(lk +11 +1)2
=-M2gLp
(lk + li) Km
+(lk +11 +1)
sin g.
(8)
После сокращения на M2Lp с учетом, что при малых колебаниях sing » g, выражение (8) примет вид:
(lk + liVKm + (lk + ll +1)
Y+
f \ g
VLp J
(lk + l1)VKm + (lk +11 +1)
g=0 .
Коэффициент, стоящий перед переменной у, обычно обозначают через ю0 :
( \ g
VLp J
(lk + l1VKm + (lk +11 +1)
(lk + l1)VKm + (lk +11 +1)2
(9)
(10)
Множитель
Величина ю0 характеризует частоту собственных колебаний системы.
( \ g
— в выражении (10) определяет частоту колебаний математического ма-
VЬр )
ятника (ММ), имеющего длину Ьр. Частота колебаний системы "вертолет - груз" зависит от многих величин ю0 = і^Ц,, 1к, 11, Кт).
Положение ЦК системы "вертолет - груз”
Моделирование выражения (10) проводилось при следующих условиях: длина подвеса Ьр = 20 м; масса материальной точки ш1 принималась равной М1 = 8000 кг; коэффициент грузоподъемности изменялся в диапазоне Кш = 0,2 0,4; расстояние от НВ до центра масс вер-
толета (точка ш1) принималось равным Ь1 = 2 м; положение ЦК варьировалось в пределах 1к = -0,1 +0,40. Расстояние Ьк до ЦК, согласно рис. 1а, отсчитывалось от втулки НВ.
Расчетные данные по частоте колебаний системы показаны на рис. 2.
Рис. 2. Расчетное значение частоты колебаний системы "вертолет - груз" в зависимости от возможного положения ЦК при разном соотношении масс М2 / М1
Для дальнейшего обсуждения назовем характерные точки кривых, показанных на рис. 2. Положению НВ соответствует точка Ьк/Ьр = 0, для тяжелой материальной точки ш1 значение Ьк/Ьр = -0,1.
2
Подчеркнем, что при разном соотношении масс М2/М1 материальных точек графики всех кривых ю0 = Г(§/Ьр, 1к, 11, Кш) имеют максимум. Максимальное значение частоты о0 приходится на диапазон значений Ьк/Ьр = 0,05 0,15. Поскольку расстояние до возможного поло-
жения ЦК системы отсчитывается от места нахождения НВ, то это свидетельствует о том, что ЦК системы находится выше НВ вертолета.
Характерно, что все графические зависимости пересекаются в одной точке (Ьк/Ьр = -0,1; о0 = 0,7 с-1). Положение ее совпадает с тяжелой материальной точкой ш1. Колебания ММ, закрепленного в точке ш1 и имеющего длину подвеса Ьр = 20 м, происходили бы именно с такой с частотой о0 = 0,7 с-1.
Для нахождения периода колебаний системы можно воспользоваться известным соотношением То = 2я/аь. Графики зависимостей То = А(Ьк/Ьр, Кт) показаны на рис. 3.
период колеОаний системы "вертолет-груз"
Рис. 3. Расчетное значение периода колебаний системы "вертолет - груз" в зависимости от возможного положения ЦК при разном соотношении масс М2 / М1
Наглядно видно: зависимости, представленные на рис. 2 и рис. 3, содержат экстремум. Для определения частоты колебаний системы "вертолет - груз" проведем анализ соотношения (10) на экстремум и найдем значение Ьк/Ьр, соответствующее максимальному значению частоты (минимальному значению периода).
Для краткости последующих записей введем обозначения:
АЧ§/Ьр; в = у1 (1к + М^ш + (1к +11 +1) ; О = >/(1к + 11)7Кш + (1к +11 +1)2 . (11)
в
Тогда частота о0 из выражения (10) примет вид о0 = А—, а производная от частоты по координате 1к будет равна:
АВБ - АВБ
где
13 = -
2В
-----+1
V Кш у
Б2 1 ((1к +!,)
V Кш
+ (1к + 11 +1)
(12)
(13)
Максимальное значение частоты достигается при условии 13Б = ВБ . Последнее соотношение, учитывая обозначения (11), будет выглядеть так:
1
(1/Кт +1)
"V (1к + Ь)2/Кт + (1к +11 +1)2 =
(14)
27(1к +11 )/Кш + (1к +11 +1)
=4(1к + 1,^/Кш+(1к +1, +1). (1к + 1-^Кш +(1к + '■ +1) .
\(1к+11)7Кш + (1к+11+1)2
Представление выражения (14) в виде двух графических зависимостей (Б1 = { (1к) - левая часть, Б2 = { (1к) - правая часть выражения (14)) позволяет найти точку пересечения кривых Б1 и Б2 и тем самым определить необходимое значение 1к, удовлетворяющее условию (14). Пример нахождения 1к, соответствующего максимуму кривой ю0 = А(§/Ьр, 1к, 11, Кш) при заданных значениях Ь = 0,1 и Кт = 0,4 представлен на рис. 4.
определение частоты колебаний
1к
положение экстремума
Рис. 4. Пояснение к определению положения ЦК (вверху - зависимость о0 = Г(1к), внизу -
значение 1к, отвечающее максимуму частоты)
Используя зависимости на рис. 3, можно определить, как соотношение масс М2/М1 при одной и той же длине подвеса (Ьр = 20 м) влияет на период колебаний системы (табл. 1).
Таблица 1
№№ Соотношение масс, Км = М2 / М1 Период колебаний Т, с Соотношение Ьк / Ьр
1 0,4 8,52 0,11
2 0,3 8,23 0,14
3 0,2 7,74 0,16
Важно отметить следующую тенденцию: период колебаний динамической системы "вертолет - груз" увеличивается с ростом коэффициента грузоподъемности и приближается к значению периода колебаний ММ при одной и той же длине подвеса. При этом величина отношения Ьк/Ьр уменьшается, это означает, что ЦК системы расположен на меньшем расстоянии от НВ.
Зависимость собственной частоты (периода) колебаний от соотношения масс груза и вертолета
Дальнейшее моделирование с использованием соотношения (10) позволило получить расчетные значения периода колебаний системы "вертолет - груз" при разной длине подвеса в широком диапазоне соотношения масс груза и вертолета. Эти данные показаны на рис. 5.
Рис. 5. Зависимость периода колебаний системы "вертолет - груз" от соотношения масс при
разной длине подвеса
Анализ расчетных данных, полученных путем моделирования, позволяет сформулировать следующие выводы:
- ЦК динамической системы "вертолет - груз" расположен выше НВ; ЦК отстоит от НВ на расстояние (0,05 - 0,15)Ьр;
- расчетным путем получена зависимость периода колебаний системы от соотношения масс груза и вертолета и длины подвеса; увеличение соотношения масс груза и вертолета в 2 раза приводит к росту периода колебаний в среднем на 10 % при разной длине подвеса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Володко А.М. Основы летной эксплуатации вертолетов (динамика полетов). - М.: Транспорт, 1986.
2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990.
3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1985. Т. 1, 2.
A DYNAMIC SYSTEM "HELICOPTER - CARGO". DETERMINATION OF OWN FREQUENCY
(PERIOD) OF THE SYSTEM OSCILLATION
Pavlov S.S.
The paper offers an algorithm of determine an own frequency (period) of a "helicopter - cargo" system oscillation. It shows that the system makes oscillations relative to the points which is above the heli main rotor. It determines the dependence if own frequency (period) of the system. Oscillation on the helicopter weight and cargo ratio on sling of different length.
Сведения об авторе
Павлов Сергей Семенович, 1937 г.р., окончил ЛВМИ (1961), кандидат технических наук, доцент кафедры физики С.-ПГУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - ракетная техника, механические колебания, математическое моделирование физических процессов.
