Вывод приближенных аналитических зависимостей характеристик колебательного процесса груза на внешней тросовой подвеске вертолета. . Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.735.07

ВЫВОД ПРИБЛИЖЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ХАРАКТЕРИСТИК КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ГРУЗА НА ВНЕШНЕЙ ТРОСОВОЙ ПОДВЕСКЕ ВЕРТОЛЕТА

В.В. ЕФИМОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Представлен вывод приближенных аналитических зависимостей характеристик колебательного процесса груза на внешней подвеске вертолета при неподвижной точке подвеса.

Ключевые слова: вертолет, груз, внешняя подвеска, колебания.

В работах [1, 2] были представлены уравнения движения системы "трос - груз на внешней подвеске (ВП) вертолета" как сферического физического маятника с подвижной точкой подвеса, совершающей ускоренные перемещения в трехмерном пространстве вдоль осей инерциаль-ной стартовой системы координат. Однако такое развернутое математическое описание движения рассматриваемой системы затрудняет анализ ее динамики, например, при определении влияния параметров полета и груза на характеристики колебательного процесса системы.

При выводе уравнений движения было отмечено, что само движение системы "трос - груз на ВП вертолета" относительно нормальной системы координат 01Хё1Уё12ё1 можно рассматривать как движение тела, имеющего одну неподвижную точку - точку подвеса, и что такое движение по своему характеру будет вращательным. При этом для системы «трос - груз на ВП вертолета» в процессе движения обычно характерно неоднократное прохождение положения равновесия, что говорит о колебательном характере ее движения. В связи с этим рассматриваемую систему можно представить в виде маятника. Если длина троса значительно превышает линейные размеры груза, то такой маятник в первом приближении можно считать математическим. Тогда для анализа влияния параметров груза на характеристики рассматриваемой колебательной системы уравнения движения можно упростить.

Для анализа влияния параметров груза и ВП в целом на колебательное движение системы "трос - груз на ВП вертолета" рассмотрим эту систему в виде плоского математического маятника (рис. 1). Пусть при этом точка подвеса груза может перемещаться равномерно и прямолинейно в плоскости качания маятника, что выражается в появлении соответствующих аэродинамических сил, действующих на груз.

Ввиду отсутствия момента от силы, возникающей из-за ускоренного перемещения точки подвеса, векторное уравнение моментов груза преобразуется к виду

где МС - момент силы тяжести груза; МА - аэродинамический момент груза.

В векторной форме момент силы тяжести груза относительно точки подвеса Оі равен

где гт - радиус вектор центра масс груза относительно точки подвеса; О гр - сила тяжести груза. Запишем выражение для этого момента в скалярной форме

(1)

(2)

МО.гр = Гттгр^

где Шгр - масса груза; ^1 - угол тангажа троса (груза).

Рис. 1. К рассмотрению колебаний маятника

Пусть для простоты собственный аэродинамический момент груза относительно его центра масс (точка O2) отсутствует, тогда аэродинамический момент груза относительно точки O1 в векторной форме будет равен

где RAгр - аэродинамическая сила груза.

Момент относительно точки O1 будет создавать только проекция аэродинамической силы груза RAгр на ось O2X2 связанной системы координат груза O2X2Y2Z2, т.е. продольная аэродинамическая сила груза Xгр. Величина данного момента с учетом выбранного правила знаков будет равна

где схгр - коэффициент продольной аэродинамической силы груза; р - плотность воздуха; Vaгp -воздушная скорость груза; Уагр.х2 - проекция воздушной скорости груза на продольную ось связанной системы координат груза; 8^ - характерная площадь груза.

Коэффициент продольной аэродинамической силы груза схгр зависит от угла атаки груза а2. Определить его можно, зная проекции воздушной скорости груза Va гр на оси связанной системы координат груза. Воздушная скорость груза складывается из скорости движения точки подвеса и тангенциальной скорости, возникающей при раскачивании груза. Пусть скорость движения точки подвеса Va изначально задана своими проекциями на оси нормальной системы координат троса 01Хё^ё^ё1, т.е. в рассматриваемом упрощенном случае двумя проекциями Уа = [уа хё1, Уа уё1 ]. Тогда проекции скорости Va на оси связанной системы координат груза будут равны

(4)

(5)

При условии, что в соответствии с выбранным правилом знаков всегда гт < 0, а сх гр > 0

(6)

Уа.х2 = Уа^1СоЬ1 + Уа.у^пЬЪ ^

Уа.у2 =-Уа^пЬ1 + Уа^1с0^¿1.)

Тангенциальная скорость, возникающая из-за раскачивания груза, в данном случае равна

У»х1 = -Ь 1ГТ, (8)

где Ь 1 - угловая скорость тангажа троса (груза).

Проекции воздушной скорости груза с учетом его раскачивания определятся по формулам

Уагр.х2 = Уа^1СоЬ1 + Уа.у^пЬ1 - ЬЛ;! (9)

Уа гр.у2 = Уа^1^пЬ1 + Уа^1СоЬГ )

Угол атаки груза найдем по следующей формуле

Уа гр.у2

а 2 =-arcsin-----------------------------------------------, (10)

Уа гр

где Уагр = д/(Уагр.х2 )2 + (Уагр.у2 )2 .

Левая часть уравнения (1) в скалярной форме представляет собой следующее

М гр = I гр ¿1, (11)

где 1гр - момент инерции груза относительно точки 01; 1&1 - угловое ускорение тангажа троса (груза).

Поскольку рассматривается математический маятник, то

1 гр = т гр Гт2. (12)

Запишем уравнение колебаний маятника

2

т гр гт2 &&1 - гт сх гр^ 8гр sign (Уа гр.х2 )-Гтт гр gsin ¿1 = 0. (13)

Поделим полученное уравнение на т гт2 и учтем выражение для баллистического коэффи-

Сх гр^гр ...

циента груза с =---------------- [3]

т гр

&&1 - сГ—^ 8Щп(уа 2 )- — віп * = 0. (14)

Если для задания аэродинамических характеристик груза используется скоростная система координат груза, то с учетом того, что аэродинамическая продольная сила груза Xгр = Хагр сов а2 + Уагр віп а2 (где Хагр - сила лобового сопротивления груза; Уагр - аэродинамическая подъемная сила груза), аэродинамическое качество груза К = уа гр (где схагр - коэф-

гр с

ха гр

фициент силы лобового сопротивления груза; суагр - коэффициент аэродинамической подъемной силы груза), баллистический коэффициент груза в скоростной системе координат груза

сха гр^гр — „

са =---------, то уравнение колебаний маятника можно записать в виде

а

т гр

*1 - са Гуа-гр сов а 2^п (уа гр.х2 )+ К гр са Г—вШ а 2 8Щп (-а гр.х2 )-~^п *1 = 0. (15)

2гт 2гт гт

т

т

Если исследуется влияние параметров груза и ВП на характеристики колебательного процесса при неподвижной точке подвеса, то при этом Уагр = Уа2 = -^1гт и а2 = 0 . Тогда уравнение колебаний маятника запишется в виде

$1 -сагт г(^'1 ) бійи($)- — бій$ = 0 (16)

Гт

или

1 • • Й

^------рсагт ^1 ^1 - — Бт ^1 = 0. (17)

2 Гт

Таким образом, получено нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее динамику так называемого нелинейного осциллятора с диссипацией. Это автономная диссипативная колебательная система. В общем виде полученное уравнение записывается так [4]

4 + п|4|4 + ю28тд = 0, (18)

где д - обобщенная координата; п - параметр диссипации; ю0 - круговая частота колебаний консервативной системы (без диссипации).

В рассматриваемом случае параметр диссипации п = - — рсагт, а квадрат круговой частоты

Шо

2

ё

Гт

Метод получения точного аналитического решения уравнений типа (18) в настоящее время неизвестен. Однако при решении поставленной задачи о выяснении влияния параметров груза на характеристики переходного процесса можно воспользоваться приближенным методом аналитического описания колебаний нелинейной диссипативной системы с квадратичным сопротивлением [5]. При относительно малых диссипативных силах, когда изменение размаха за один цикл колебаний невелико, колебательный процесс можно приближенно описывать выражением

д = )соб(ю01 + ф0), (19)

где А(1;) - убывающая функция, ограничивающая сверху график функции д = д(1) (иногда эту

функцию называют огибающей); ф0 - начальная фаза колебаний.

Отметим, что длительность одного цикла колебаний Тк в данном случае принята постоянной, хотя в действительности она изменяется по времени. Уравнение огибающей применительно к рассматриваемой колебательной системе имеет вид

А

А = 0Л 0 2 3 , (20)

1 + 2А0рСаГт Ю0 ^

Зрй

где А0 - начальный размах колебаний.

Сравним кривую колебаний, построенную с использованием аналитических выражений

(19) и (20), с кривой колебаний, построенной по результатам вычислительного эксперимента

(ВЭ), при котором происходит численное интегрирование уравнения (17). При ВЭ используем специальный итерационный метод интегрирования, изложенный в работе [6]. Учтем, что в рассматриваемом случае ф0 = 0

«, = А°С°$(Ю021 )3 . (21)

1 + 2А0рСаГтЮ0 ^

Зрй

Расчеты проведем при следующих параметрах маятника и среды: са = 0,04 м2/кг; гт = - 40 м; р = 1,225 кг/м3.

При большом начальном размахе колебаний (А0 = 90°) заметно расхождение графиков $1 = $1 (і), полученных путем ВЭ и по формуле (21) (рис. 2). Это объясняется в основном большой величиной приращения длительности одного цикла Тк на начальном этапе колебаний, т.е. их нелинейностью. Известно [5], что одной из особенностей нелинейных колебательных систем является неизохронность свободных колебаний, т.е. длительность одного цикла колебаний Тк зависит от начальных условий (от размаха колебаний) и изменяется со временем. Однако даже в этом случае график огибающей, построенный по формуле (20), достаточно точно ограничивает сверху область кривой $1 = $1 (і), построенной, в свою очередь, по результатам ВЭ (рис. 3).

& 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Врвмя, с

Рис. 2. Г рафики зависимости угла отклонения троса от вертикали по времени, построенные по результатам вычислительного эксперимента и аналитически при А0 = 90°

0' 10' 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Время, с

Рис. 3. График зависимости угла отклонения троса от вертикали по времени, построенный по результатам вычислительного эксперимента и его огибающая

При меньшем начальном размахе колебаний (А0 = 15°) расхождение графиков ^1 = ^1 (1), полученных путем ВЭ и по формуле (21), незначительно (рис. 4).

Формулу (20) можно несколько упростить

А

А =----------V______ . (22)

1 +

2А0 РСад/

ё

3р

Л

г

т

Из полученного выражения видно, что размах колебаний А зависит от таких параметров груза, как баллистический коэффициент са и длина троса гт. Причем эти два параметра можно объединить в один комплексный параметр и назвать его коэффициентом затухания колебаний, который будет полностью определять демпфирующие свойства груза

¿а = СалН . (23)

Рис. 4. Г рафики зависимости угла отклонения троса от вертикали по времени, построенные по результатам вычислительного эксперимента и аналитически при А0 = 15°

Полученные выражения можно использовать для вывода приближенных аналитических формул, отражающих зависимости характеристик колебательного процесса от параметров груза. Наибольший интерес вызывают такие характеристики колебательного процесса, как время переходного процесса 1пер, абсолютный заброс Атах и относительный заброс о.

Из формулы (22) с учетом (23) получим выражение для времени переходного процесса при условии, что колебания считаются затухшими при уменьшении размаха до некоторой наперед заданной величины А

1 = 1-5д(А» - А) (24)

Часто величина А задается в процентах от величины А0. Например, колебания можно считать затухшими, если их размах достиг величины, не превышающей 5 % от начального размаха. Тогда время переходного процесса можно рассчитать по формуле

. = 28,5р (25)

1 пер.5% = I— . (25)

^¿ал/§

Из полученных формул видно, что при увеличении коэффициента затухания ёа время переходного процесса уменьшается, т.е. увеличение баллистического коэффициента груза са и длины троса гт способствует сокращению времени переходного процесса, но в разной степени: баллистический коэффициент влияет сильнее, чем длина троса, поскольку длина троса входит в выражение (23) для коэффициента затухания под корнем.

Рассмотрим влияние баллистического коэффициента груза са и длины троса гт на относительный заброс, который в рассматриваемом случае можно вычислить следующим образом

А

о = , (26)

А0

где Атах - первое после прохождения положения равновесия максимальное по модулю значение размаха колебаний - абсолютный заброс (рис. 5).

Для аналитического определения о воспользуемся выражением для периода колебаний лии формулой (22) при условии, что А0 мало.

2р

нейной консервативной системы Тк0 = — = 2р

Тогда

Откуда

Л„

ё

Л

о

1 +

2ЛоРСад/

ё Т

о

3р

1

1 + 3Л0рСа|Гт|

кО

(27)

(28)

Время с

Рис. 5. К определению максимального размаха колебаний

г

т

2

Проверим, какое расхождение будет у результатов ВЭ и аналитических расчетов по формуле (28) при различных параметрах груза и начальных размахах колебаний. На рис. 6 показаны результаты такого сравнения. Из представленных графиков видно, что при больших значениях баллистического коэффициента и начального размаха колебаний наблюдается заметная систематическая ошибка, которая нарастает при увеличении длины троса (рис. 6 а). Однако эта ошибка не превышает в рассматриваемом случае 12%. При малых значениях баллистического коэффициента ошибка не превышает 3% даже при большом начальном размахе колебаний (А = 90°). Если задать небольшой начальный размах колебаний, то ошибка в рассматриваемом диапазоне значений параметров груза практически незаметна (рис. 6 б).

Из формул (27) и (28) следует, что соответственно абсолютный и относительный забросы уменьшаются при увеличении баллистического коэффициента и длины троса.

а) Ao = 90° б) Ao = 15°

Рис. 6. Зависимость относительного заброса от длины троса и баллистического коэффициента груза при начальном размахе колебаний

В настоящей работе было получено дифференциальное уравнение колебаний. Выведенные аналитические выражения и численное интегрирование этого уравнения при проведении ВЭ позволило исследовать влияние параметров груза и ВП на характеристики колебательного процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимов В.В. Математическое описание движения груза на внешней подвеске вертолета // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2007. - № 111. - С. 121 - 128.

2. Козловский В.Б. и др. Вертолет с грузом на внешней подвеске / В.Б. Козловский, С.А. Паршенцев, В.В. Ефимов / под ред. В.Б. Козловского. - М.: Машиностроение / Машиностроение-Полет, 2008.

3. Ефимов В.В. Исследование влияния параметров груза на условия его равновесия на внешней подвеске вертолета // Научный Вестник МГТУ ГА, 2010. - № 151 (1). - С. 130 - 137.

4. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. - М.: Иностранная литература, 1953.

5. Вибрации в технике: справочник в 6 т. // Колебания нелинейных механических систем / под ред. И.И. Блехмана. - М.: Машиностроение, 1979. - Т. 2.

6. Ефимов В.В. Особенности интегрирования дифференциальных уравнений движения груза на внешней подвеске вертолета // Научный Вестник мГтУ ГА. - 2009. - № 138 (1). -С. 134 - 141.

DERIVATION OF THE APPROXIMATE ANALYTIC DEPENDENCES OF THE CHARACTERISTICS OF THE VIBRATIONAL PROCESS OF THE CARGO ON THE HELICOPTER EXTERNAL SLING

Efimov V.V.

The approximate analytical dependences of the vibrational characteristics of the cargo on the helicopter external sling in case of a fixed point of the suspension are presented.

Key words: helicopter, cargo, external sling, vibration.

Сведения об авторе

Ефимов Вадим Викторович, 1965 г.р., окончил МАИ (1988), кандидат технических наук, доцент кафедры аэродинамики, конструкции и прочности летательных аппаратов МГТУ ГА, автор 40 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование динамики летательных аппаратов, системотехника, эффективность летательных аппаратов.