CC BY
239
УДК 621.396.13
А. П. АВЕРЧЕНКО Б. Д. ЖЕНАТОВ
Омский государственный технический университет
ОЦЕНКА ВЫИГРЫША ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАТРАТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ХАРТЛИ ПЕРЕД ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ
Статья посвящена расчету выигрыша в быстродействии по методу Хартли относительно метода Фурье, который составляет приблизительно 36 %. Что обусловлено отсутствием комплексных чисел при расчетах и позволяет использовать менее быстродействующие микроконтроллеры, тем самым снижая затраты при разработке систем связи. Ключевые слова: БПФ, БПХ, базис Хартли, базис Фурье.
В настоящее время в функциональных узлах цифровой передачи данных широко используется быстрое преобразование Фурье (БПФ). Реализация классического способа передачи данных с частотным уплотнением посредством прямого и обратного преобразования Фурье (ПФ) сталкивается с рядом трудностей, среди которых особенно стоит отметить вычислительную сложность, учитывающую комплексное представление чисел, а также несимметричность ПФ относительно мнимой единицы.
Альтернативным способом передачи информации по каналу связи является способ основанный на использовании вещественного преобразования Хартли (ПХ). Методика анализа временных затрат на вычисление ПХ и ПФ приведена в монографии [1].
Преобразование Хартли — вещественное преобразование, благодаря чему не требуется выполнять операции с мнимой частью. Еще одна особенность, существенно упрощающая аппаратную и программную реализацию системы связи, по сравнению с преобразованием Фурье, заключается в том, что прямое и обратное преобразования Хартли идентичны.
Быстрое вычислениедискретного ПФ (ДПФ) — вектор делится на части, результаты обработки которых затем сливаются вместе. Разделим общую сумму на две части: первая содержит слагаемые с чётными индексами, вторая — с нечётными.
Yk = X axwN = X
x=0 x=0
N
1)k = X
N /2-1
+ X a
x=0
N / 2 -1
w <2x-1)k -2 x+1 N
x=0
x=0
+w
X a 2
Получившееся равенство даёт способ вычислять к-й коэффициент ДПФ вектора длины N через два преобразования длины N/2, одно из которых применяется к вектору ачёт из координат вида а2х, а другое — к вектору анечет из координат вида а2х+1. Общая схема алгоритма состоит в повторяющемся сведении ДПФ вектора длины N к векторам длины N/2 и объединении результатов. Базисом рекурсии слу-
жат векторы длины 1, для которых ДПФ — сам вектор.
Преобразование Хартли в виде прямого и обратного соотношения записываются в виде пары преобразований
Н(Г)= ^(г)сав2жЯМ , V(г)= |н^)сав2жййГ ,
где функция cas представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента cas(t)=cos(t) + +sin(t).
Как видно из формул, алгоритм обработки сигналов идентичен как на передающей стороне ( модуляция — обратное преобразование Хартли), так и на приёмной стороне (демодуляция — прямое преобразование Хартли), что существенно упрощает аппаратную и программную реализацию многоканальной системы связи. На практике используется дискретное преобразование Хартли, теория и практика применения которого достаточно подробно описаны в работах [1—2].
ДПФ вектора имеет физический смысл, а именно, если вектор представляет собой дискретизированный сигнал, то ДПФ раскладывает его по частотам. Преобразование Хартли не имеет такой явной интерпретации. Однако преобразование Хартли можно превратить в преобразование Фурье за N сложений и умножений, что быстрее, чем послеобработка в действительные числа. Поэтому если исходные данные действительны, то БПХ может быть более эффективным, нежели БПФ. При этом из ряда формул при подстановке представлений коэффициентов Фурье, выраженных через элементы ДПХ, получается весьма удобное для вычислений выражение. Поэтому пересчёта ДПХ в ДПФ иногда можно избежать, например, при умножении длинных чисел [2]. Параллелизм на уровне инструкций процессора также приблизительно одинаковый, поэтому реальная эффективность практически одна и та же. Однако есть несколько моментов, которые отличаются.
Код для БПХ проще. Формула обратного преобразования совпадает с формулой для прямого, за исключением множителя 1/N, в то время как при вычислении обратного БПФ приходится вводить
2x N
a„_w 2л +
2x N
2 xk
x=0
Рис. 1. Модель модема на основе преобразования Фурье
BER Results (with resets)
8Б1ЕС(эг
Рис. 2. Блок расчёта коэффициента ошибочных битов
дополнительный параметр или делать новую функцию.
Точность БПХ, как правило, немного выше, чем у БПФ.
При вычислении БПФ действительного вектора сначала вычисляется «комплексное» БПФ половинной длины, а потому производится послеобработка, которая отсутствует в БПХ.
Это даёт БПХ дополнительное упрощение кода, по сравнению с БПФ и влияет на эффективность при малых длинах векторов. Однако чем длиннее вектор, тем это влияние слабее.
БПФ активно используется уже много лет, программисты соревновались, кто его лучше напишет, и, как следствие, существует много очень хорошо оптимизированных исходных кодов различных вариаций алгоритма. Обратная ситуация с БПХ. Этот алгоритм был запатентован Брэйсуэллом, и каждый, кто хотел его использовать, должен был платить большие деньги. Лишь сравнительно недавно патент
истек, и алгоритм стал доступен широкой публике. Поэтому найти аналогичную по качеству реализацию в общем доступе довольно сложно.
Разработка модели модема будет произведена в виде функций для численных экспериментов и компонентов для среды моделирования Simulink из комплекта программного пакета MathWorksMatlab [3]. Быстрое преобразование Хартли реализовано в виде класса /М, который содержит ряд свойств и методов для реализации данного алгоритма. Компонент Simu-link Быстрое преобразование Хартли основан на этом классе. Основой данного класса является метод РНТ_Р, который имеет три входных параметра. Первым параметром являются данные для преобразования. Второй параметр — размер входных данных. Третьим параметром является таблица синусов, которая формируется с помощью метода данного класса ¡ш1_х1д. Метод РНТ_Р вызывает себя рекурсивно, поделив входные данные пополам и преобразовав их с помощью метода РИТ_Р2БииегДу, пока длина
блока данных не достигнет 4. В каждой итерации вызывается метод next_trig_pow для получения значений используемых синусов и косинусов.
Для численного эксперимента зададим следующие данные: исходный блок данных
(1 ö 2
3
4
5
6 7
D =
V 8 0
Длина блока данных равняется 8. Для данной длины данных таблица синусов будет равна 8тТаЫ= = (1,22е-161 0,707 0,382 0,195 0,098). Результат работы алгоритма:
( 5,6569 ö 0
2,3431
4
5,6569 8
13,6569 36
W =
Для реализации помех в канале связи добавим аддитивный белый гауссовский шум с помощью функции Matlabawgn, при соотношении сигнал/ шум, равном 40 дБ.
( 5,6536 ö -0,0075 2,3568 3,9829 5,6558 7,9976 13,6600 36,0031
W
Для обратного преобразования необходимо передать методу РИТ_РШ' как входные данные, оставив длину и таблицу синусов неизменными. Результатом работы алгоритма будет:
(1,0026 ö 1,9977 3,0050 3,9946 5,0011 6,0013 7,0013 7,9994
D =
Преобразование Фурье. Модель модема на основе преобразования Фурье, разработанная в среде Simu-link (рис. 1). Область с блоками подписная как Modulator — модулятор, область с блоками подписная как Demodulator — демодулятор. Блок Randomlnteger —
генератор псевдослучайных чисел выступает в роли источника сообщений. От источника сообщений данные поступают в модулятор, который состоит из двух блоков. Первый Rectangular 16-QAM — квадратурный модулятор, в данном случае используется 16-QAM. Модулированный сигнал поступает на блок IFFT — обратного быстрого преобразования Фурье. После преобразования сигнала в модуляторе данные поступают в канал связи на блок AWGN — аддитивный белый гауссовский шум. После канала связи сигнал передаётся в модулятор, который состоит из двух блоков. Первый блок FFT — быстрого преобразования Фурье. Далее на Rectangular 16-QAM — квадратурный демодулятор. С входа модулятора и выхода демодулятора через ярлыки RF_link_Tx и RF_link_Rx, соответственно, данные передаются в BER — блок расчёта коэффициента ошибочных битов (рис. 2). Результаты анализа модели по коэффициенту ошибочных битов при различных отношениях сигнал/шум приведены в (табл. 1). График зависимости коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум (рис. 3).
Преобразование Хартли. Модель модема на основе преобразования Хартли, разработанная в среде Simulink (рис. 4).
В данной схеме блок msfunfht — быстрое преобразования Хартли, он единый для модулятора и демодулятора. Результаты анализа модели по коэффициенту ошибочных битов при различных отношениях сигнал/шум приведены в табл. 1. График зависимости коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум (рис. 5).
Обобщённые графики зависимостей коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум для модемов на основе преобразования Фурье и преобразования Хартли (рис. 6). Выигрыш преобразования Хартли перед преобразованием Фурье по коэффициенту ошибочных битов порядка 25 дБ.
Оценка выигрыша быстрого преобразования Хартли перед Фурье. Пусть T(N) — время вычисления длины вектора N. Вектор рекурсивно разбивается на две части, объединение которых происходит за И(N) операций. Всего шагов разбиения log2N, так что общее время И(Nlog2N). На каждом уровне дерева рекурсии делается N/2 бабочек, каждая состоит из одного комплексного умножения и двух комплексных сложений.
Вычисление бабочки в быстром преобразовании Фурье [4]. Учитывая, что комплексное умножение выполняется за 4 обычных умножения и 2 сложения, получаем общее количество операций: 2N умножений и 3N сложений/вычитаний на каждом уровне дерева рекурсии. Всего на бабочки уходит 2Nlog2N умножений и 3Nlog2N сложений.
Вычисление бабочки в быстром преобразовании Хартли. Из метода FHT_F2Butterfly видно, что вычисление спаренной бабочки БПХ состоит из шести сложений и четырех умножений, так что на одном уровне происходит порядка 3N/2 сложений и N умножений. Всего на бабочки уходит Nlog2N умножений и 3N/2log2N сложений [5 — 6].
Затраты на тригонометрию. NEXT_TRIG_POW вызывается при каждой итерации бабочки, другими словами всего (Nlog2N)/2 раз. Кроме того, INIT_TRIG вызывается по разу на каждом узле дерева рекурсии, всего узлов 2N—1. Таким образом, стоимость вычислений составляет И(Nlog2N).
Таким образом, стоимость расчёта быстрого преобразования Хартли составляет И(9N/2log2N). Стоимость расчёта быстрого преобразования Фурье
SNR, дБ 80 70 60 50 40 30 20 10
BERФурье 0,025 0,528 0,821 0,906 0,924 0,928 0,94 0,951
BERХартли 0 0 0,005 0,124 0,402 0,812 0,874 0,909
Рис. 3. Зависимость коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум
Modulator
Рис. 4. Модель модема на основе преобразования Хартли
Рис. 5. Зависимость коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум
Рис. 6. Зависимости коэффициента ошибочных битов от отношения сигнал/шум
составляет И(7№од^). Вычислим процентное соотношение:
9 N
7 N-log, N ——log2 N 7 N-log2 N
-100 %=35,7 % .
Таким образом, затраты на вычисление быстрого преобразования Хартли составляют приблизительно на 36 % меньше, чем затраты на вычисление быстрого преобразования Фурье. Это обусловлено отсутствием комплексных чисел при вычислении. Что позволяет использовать менее быстродействующие микроконтроллеры, тем самым снизить затраты при разработке модемов и их функциональных узлов.
Точность быстрого преобразования Хартли, как правило, немного выше, чем у быстрого преобразования Фурье [5]. Что благоприятно сказывается на использовании быстрого преобразования Хартли в системах связи.
Заключение. Код для быстрого преобразования Хартли проще, нежели код для быстрого преобразования Фурье. Формула обратного преобразования совпадает с формулой для прямого, за исключением множителя 1/N. Что позволяет использовать один и тот же функциональный узел модема связи для прямого и обратного преобразования. В то время как при вычислении обратного быстрого преобразования Фурье приходится вводить дополнительный параметр или делать новую функцию.
При вычислении быстрого преобразования Фурье действительного вектора сначала вычисляется «комплексное» быстрого преобразования Фурье половинной длины, а потому производится послеобра-ботка, которая отсутствует в быстром преобразовании Хартли.
Библиографический список
1. Брейсуэлл, Р. Преобразование Хартли. Теория и приложения / Р. Брейсуэлл ; пер. с англ. ; под ред. И. С. Рыжак. — М. : Мир, 1990. - 175 с.
2. Солонина, А. И. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. - СПб. : БХВ-Петербург, 2001. - 464 с.
3. Потемкин, В. Г. Вычисления в среде МЛТЬЛВ / В. Г. Потемкин. - М. : Диалог-МИФИ, 2004. - 720 с.
4. Прокис, Дж. Цифровая связь / Дж. Прокис ; пер. с англ. ; под ред. Д. Д. Кловского. - М. : Радио и связь. 2000. - 800 с.
5. Слюсар, В. И. Метод неортогональной частотной дискретной модуляции на основе преобразования Хартли с квадратурной амплитудной модуляцией частотных несущих /
B. И. Слюсар, В. Г. Смоляр // Системы обработки информации. - 2008. - Вып. 2. - С. 102-104.
6. Слюсар, В. И. Исследование возможностей частотного уплотнения сигналов К-ОББМ на основе базисных функций Хартли / В. И. Слюсар, В. Г. Смоляр, Ю. В. Уткин // Радиоэлектронные и компьютерные системы. - 2006. - Вып. 6. -
C. 215-218.
АВЕРЧЕНКО Артем Павлович, ассистент кафедры средств связи и информационной безопасности. Адрес для переписки: avarte@mail.ru ЖЕНАТОВ Бекин Десимбаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры средств связи и информационной безопасности; начальник НИЧ. Адрес для переписки: bekin54@mail.ru
Статья поступила в редакцию 14.04.2015 г. © А. П. Аверченко, Б. Д. Женатов
Книжная полка
Перов, А. И. Радиоавтоматика : учеб. / А. И. Перов, В. Н. Замолодчиков, В. М. Чиликин. - М. : Радиотехника, 2014. - 320 с. - ISBN 978-5-88070-366-1.
Изложены принципы действия, способы математического описания, методы анализа качества работы и синтеза систем радиоавтоматики; рассмотрены структурные схемы; дан анализ устойчивости, точности непрерывных и дискретных систем радиоавтоматики; большое внимание уделено математическому описанию и структурным схемам непрерывных и дискретных систем методами пространства состояний. Весь теоретический материал подкреплен примерами и контрольными вопросами. Для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 210400 «Радиотехника», а также для инженерно-технических работников, занимающихся проектированием систем радиоавтоматики.
