CC BY
23
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
УДК [625.14-047.58]:629.4.016.5
д. м. курган1*
1 Каф. «Колш та колшне господарство», Дшпропетровський нацюнальний ушверситет зал1зничного транспорту 1мет академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дншро, Укра!на, 49010, тел. +38 (056) 373 15 42, ел. пошта kurhan.d@gmail.com, ОЯСГО 0000-0002-9448-5269
ОСНОВИ МАТЕМАТИЧНОГО ОПИСУ ХВИЛЬОВО? МОДЕЛ1 ПОШИРЕННЯ НАПРУЖЕНЬ У ЗАЛ1ЗНИЧН1Й КОЛ11
Мета. В сучасних наукових дослщженнях неодноразово наводились практичт приклади виникнення динам1чних ефекпв роботи зал1знично! коли, як1 виходять за меж1 статичних розрахункових схем. Особливо! актуальносл так1 питання набувають на дшянках, де швидшсть руху по!зд1в наближаеться до швидко-стей розповсюдження хвиль у шарах тдрейково! основи. Адекватним шструментом для вивчення таких пи-тань може бути застосування хвильово! теори поширення напружень. Метою ще! роботи е створення мате-матичного опису основних принцитв хвильово! модел1 поширення напружень у зал1зничнш коли, як1 мо-жуть бути використат як основа для практичних розробок ввдповщних розрахункових систем. Методика. Модель напружено-деформованого стану зал1знично! коли на основ1 хвильово! теорп поширення напружень полягае в поеднанш р1внянь геометри обрису частини простору системи, що залучена до взаемо-ди на дану мить часу, 1 р1внянь динашчно! р1вноваги !! деформаци. Розв'язання задач1 базуеться на викорис-тант закошв теорп пружносп. Фронт хвил описуеться р1вняннями елшсо!да. При визначент змши в час положення поверхт елшсо!да застосовуеться векторний пвдх1д. Результата. Р1вняння геометрп руху хвил1 визначають обсяги речовини шар1в тдрейково! основи, як1 беруть участь у взаемодп на дану мить. Визна-чення динашчно! р1вноваги деформованого стану простору, обмеженого фронтом хвил1, дае змогу розраху-вати як сам напруження й деформаци, так 1 !х змшу за час сприйняття навантаження. Таким чином, у робот1 отримат математичт описи процеав, що мають мюце при сприйнятп навантаження елементами зал1знично! коли при високих швидкостях руху. Наукова новизна. Набули подальший розвиток задач1 мо-делювання взаемоди коли та рухомого складу, зокрема, з урахуванням динам1чного прогину тдрейково! основи. Вперше подан основи математичного опису хвильово! модел1 поширення напружень в зал1зничнш коли, як1 можуть бути використат для виконання практичних розрахунк1в. Практична значимкть. Отримат автором дат можуть бути використаш для обгрунтування конструкци коли або встановлення вщповвдних значень допустимих швидкостей для впровадження руху по!зд1в 1з висо-кими швидкостями.
Ключовi слова: зал1знична кол1я; взаемод1я коли та рухомого складу; хвильова модель; високошвидшс-ний рух; теор1я пружносп
Вступ
Збшьшення значень швидкосп руху по1зд1в е одним i3 напрямюв розвитку затзничного транспорту Укра'ни [7, 9, 10]. Вирiшення таких завдань вимагае не тшьки вщповщних техшч-них засобiв, а й методично-розрахункових. Ба-гато моделей та методик, що використовуються для аналiзу напружено-деформованого стану залiзничноi колii, базуються на допущеннях i гiпотезах, адекватних тiльки для певних рiвнiв швидкосп руху. Так меж застосовування мае припущення щодо тотожностi статичного i ди-намiчного прогину колii (гшотеза Н. П. Петрова), припущення щодо миттевого залучення до
взаемодп' всiх шарiв пiдрейковоi основи тощо. При достатньо високих значеннях швидкостi руху виникають ефекти, для опису яких потр> бно враховувати динамшу прогину рейково' коли.
В сучасних наукових дослщженнях неодноразово наводились практичш приклади виникнення динамiчних ефекпв роботи затзнично' коли, якi виходять за меж статичних розрахункових схем. Особливо актуальними такi питання е на дшянках, де швидкiсть руху по'явдв наближаеться до значення швидкосп поширення хвиль в шарах шдрейково' основи.
Так, на д^нщ залiзницi, що проходить по набережнш Стiлтон у Великобритании фшсува-лась рiзка змiна прогинiв коли на швидкосп
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
180 км/год. Пояснення знайшли у наявностi пiд баластом м'яких rpyHTÎB, а саме торфу та мули-ctoï глини [21].
У Голланди на дiлянцi мiж Амстердамом i Утрехтом виконувались тести з вимiрювання значень швидкостi поширення хвиль в грунт для можливостi проходження французького поïзда TGV 3i швидкостями бiльше нiж 160 км/год на дшянках з насипами, що склада-лися iз слабких грyнтiв [21].
На твденному заходi Швецiï на дшянщ Ге-теборг-Мальме швидкiсть швидюсного поïзда X2000 була обмежена до 160 км/год через хви-льовi явища в грyнтi [18].
Питання щодо появи запiзнювання прогину рейки при високих значеннях швидкостi руху порушувалися в роботi австрiйських авторiв [1], де, крiм теоретичних мiркyвань, наведенi результати експериментальних пiдтверджень вщповщних ефектiв на дослiдних дiлянках б^ Вiдня при значеннях швидкостi руху бшьше нiж 230 км/год.
Ti чи iншi засоби врахування динамши прогину залiзничноï колiï зус^чаються пiд час вирiшення рiзноманiтних задач. Як правило, вони носять характер корегування вже юную-чих методiв розрахунку. Наприклад, в роботi [15] наводиться розгорнутий аналiз поширення напружень в баластi з урахуванням динамiчних явищ через коефiцieнти, також роботу баласту дослiджено в роботi [13]. В роботах [12, 16] розглянуто використання геореш^ок для зб> льшення модуля прyжностi пiдрейковоï основи i зменшення вiбрацiй. В роботi [20] запропоно-вано моделювання поширення хвиль в грунт залiзничноï колiï в комп'ютернш системi PLAXIS (finite element method). В роботах [17, 19] розглянуто вiбрацiï в грунт та стшюсть насипу залежно вiд профшю земляного полотна. В робот [11] обгрунтовано розрахункову методику визначення критичних значень хвиль Релея для залiзничноï колiï.
Аналiз вказаних вище та iнших дослiджень показав, що важливим фактором при вирiшеннi поставлених питань е динамiчна рiвновага сис-теми саме для вiдокремленого простору тд-рейково1' основи, який вступив у взаемодда на дану мить часу. Адекватним шструментом для цього може бути застосування хвильово1' теори поширення напружень.
Мета
Метою цiei роботи е створення математич-ного опису основних принцишв хвильовоi мо-делi поширення напружень в залiзничнiй колii, який може бути використаний як основа для практичних розробок вщповщних розрахунко-вих систем.
Методика
Модель напружено-деформованого стану залiзничноi колii на основi хвильовоi теорii поширення напружень полягае в поеднанш рiв-нянь геометрii обрису частини простору систе-ми, що залучена до взаемодп на дану мить часу, i рiвнянь динамiчноi рiвноваги ii деформаци.
Для отримання первинних загальних поло-жень рiвнянь поширення напружень в товщi матерiалу приймемо низку положень: розгляда-еться тривимiрний простiр у декартовш системi координат; сила до об'екта прикладаеться в то-чщ, яка спiвпадае з початком координат; на-прямок дii сили сшвпадае з вiссю «у», а повер-хня об'екта, на якiй розташована точка прикла-дання сили, лежить в площинi «хг»; простору, який вступив у взаемодда з силою на мить ^, вiдповiдае множина точок, обмежена поверх-нею - фронт хвил^ яку можна описати рiвнян-нями елiпсоiда, рис. 1.
I У
Рис. 1. Поверхня фронту xBrai у прийнятiй системi координат
Fig. 1. The surface of the wave front in the adopted coordinate system
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету зарничного транспорту, 2016, № 5 (65)
Тод1 положения точок, яю належать поверх-ш елшсоща, будуть шдпорядковаш р1внянню
У
2.2
Oft
2
Ct 2t t
Ct 2t2
= 1,
= 1;
(1)
C =
E (1-Ц)
Vp(1 + ^)(1 -
Ct =
E
\ 2p(1 + Ц)
(2)
де Е - модуль пружностi Юнга; ц - коефщент Пуассона; р - щiльнiсть речовини.
Геометричне положення точок елшсоща бу-демо знаходити у векторному вигляд^ рис. 2. Довжина вектора за напрямком а з формули (1) буде визначатися як
U = tCa
(3)
де Ca - швидюсть поширення хвит за напрямком а
C« =
CC
yjCf - C2 sin2 а + C2 sin2 а
(4)
Рис. 2. Вектор для визначення геометричного мюця точки на поверхнi елiпса
Fig. 2. The vector for determining the point locus on the surface of the ellipse
Векторний шдхщ можна застосовувати при визначенш положення поверхш елiпсоiда для моменту часу ¿2 вiдносно попереднього кроку розрахунку для часу ^ , рис. 3.
де Ct, Cl - поперечна та поздовжня швидюсть поширення хвил1 вщповщно.
Значення швидкосп поширення хвиль в ре-човиш е параметрами, яю залежать вщ И ф1зич-них характеристик i можуть бути визначеш за формулами
Рис. 3. Вектор розширення елшсо!да на кроцi At
Fig. 3. Vector of ellipsoid expansion on step At
Тод1 вектор буде визначати розширення ел1-псо!да у заданому напрямку (а; у):
и = (х2;y2;z2)-(x^у;zx) , а координати кшця вектора будуть шдпорядковаш виразу
X2 = Xj + Ax; У2 = y + Ay; Z2 = z + Az; Ax = r cos y; Az = r sin y;
Ay = и cos a; r = *Jv2 - Ay2; u = AC;
At = t2 - tj; n n "2;2
а
уе[0;2я].
(5)
Для загального випадку, коли точка прикла-дання i напрямок дii сили може бути вшьним, для кожно1' точки виконуеться перетворення координат з урахуванням змщення та повороту системи вимiру.
Приклад елiпсоiдноi поверхнi, побудовано1' за викладеною методикою, для одного кроку розрахунку наведено на рис. 4 (для вiзуального сприйняття задано велик значення часового та кутових кроюв розрахунку).
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету з^зничного транспорту, 2016, № 5 (65)
Рис. 5. Розрахунковий елемент по довжиш стержня
Fig. 5. Calculable element at grip length
Розв'язання задач1 базуеться на використан-ш закошв теорп пружносп [8]. На стшку еле-мента ддать р1вном1рно розподшеш напружен-
ня axx. Стшка мае площу A . Тод1 напруження, яю виникнуть на протилежнш стшщ елемента при проходженш по ньому пружно! хвил1
CG x
5 x
dx
-5x,
(6)
де
dGxx dx
змша напружень по довжин! елемен-
та.
Вщповщно до другого закону Ньютона, ви-разивши масу через об'ем i щшьшсть, можна записати рiвняння
Рис. 4. Приклад побудови поверхш елшсо!да Fig. 4. Example of the ellipsoid surface construction
Визначимо рiвняння динамiчно!' рiвноваги напруженого стану об'екта. Для спрощення ви-кладок розглянемо розрахунок напружень в одномiрнiй системi координат - в стержш, як в об'ектi найпростшо! форми. Крiм того, така форма дае змогу розглядати тшьки поздовжне поширення пружно! хвил^ вважаючи, що у тонкому стержш поперечною складовою можна нехтувати. За основу взята методика, описана Г. Кольським [5].
По довжиш стержня визначимо елемент еле-ментарно! довжини 5x, рис. 5.
д 2u
pA5x—- = A
da x
dt2 dx
-5x,
(7)
де u - абсолютна деформащя елемента.
Пiсля вилучення iз сторiн рiвняння однако-вих величин формула (7) набуде вигляду
d 2u да x
dt2
dx
(8)
Напруження можна виразити через модуль пружносп E
^du = E—, dx '
(9)
du
де--вiдносна деформацiя елемента.
dx
Поставивши формулу (9) до формули (8), отримаемо рiвняння поширення хвиль по-вздовж стержня
d 2u d 2u P—T = E—т .
dt2 dx2
(10)
Таким чином, формули (1-5) дають геомет-рда поширення хвилi напружень, яка вщокрем-люе простiр, що бере участь у взаемоди з при-кладеною силою, а формули (6-10) встанов-люють динамiчну рiвновагу цього процесу.
Результати
Для розрахункiв напружень в тш вiльного обрису розглянемо рух хвилi з кроком At. На кожному крощ будемо мати елшсо!'дну поверх-ню - фронт хвилi вiдповiдно до значень поздо-вжньо! i поперечно! швидкостi руху з ураху-ванням геометрично! форми об'екта
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету затзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
(x; y; z )eü:
(11)
де ü - множина точок, яю належать даному об'екту.
Порушення умови (11) при розв'язанш piB-нянь (5) буде показувати перехщ хвилi до на-ступного об'екта (або вихщ у повпря), що по-требуватиме змiни характеристик розповсю-дження вiдповiдно до фiзичних властивостей нового об' екта.
Будемо подiляти об'ект на сегменти, обме-женi елiпсоïдними поверхнями сумiжних кро-кiв руху хвил^ Пеpехiд вiд однiеï елiпсоïдноï поверхш до наступноï вiдбуваеться через мно-жину вектоpiв.
Розглянемо i -й сегмент, обмежений двома сферичними поверхнями, рис. 6. Введемо низку позначень: сг-1, с, - напруження, що дiють на попередню i наступну стiнку сегмента; Si-1 i Si -площа попередньо1' i наступно1' стiнки сегмента вiдповiдно; ui - амплiтуда коливань часток речовини об'екта в межах сегмента; mi - маса сегмента, визначаеться виходячи з об' ему, об-меженого сферами, i щшьносп речовини; Ay -вщстань мiж стiнками сегмента по ос дiï сили.
Рис. 6. Подшення об'екта на сегменти, як простори м1ж сумiжними обрисами фронтiв хвилi
Fig. 6. Object segmenting as the spaces between adjacent outlines of the wave fronts
Таю показники, як маса, площ^ вщсташ ви-значаються виходячи з геометрн поширення хвиль, тому будемо вважати 1'х вiдомими. Тодi аналогiчно до формули (7)
d 2u,.
m
= °i-1Si-1 -°iSi .
(12)
Ця формула показуе, що piзниця потенцiалiв напружень на сумiжних стiнках сегмента уpiв-новажуеться коливаннями маси часток речовини з прискоренням.
Напруження, що входять у формулу (12), не е постшними по всш площi стiнки (на вщм> ну вiд стержня на рис. 5), а тому потpiбно ви-значити закон розподшу напружень по поверх-нi елiпсоïда. В piзних секторах елшсоща будуть виникати piзнi напруження. Щц напруженнями са будемо мати на увазi такi, що ддать за на-прямком а по горизонтальнш площаццi, рис. 7. Поодиноким випадком е напруження с0, напрямок яких сшвпадае з напрямком дн прикладеного навантаження.
Рис. 7. Напруження, як1 дають за напрямком а по горизонтальнш площадщ
Fig. 7. Stresses acting in the direction а on the horizontal platform
Для подальших дш потpiбно мати функщю приведення напружень для будь-якого мюця сегмента до напружень, яю ствпадають з напрямком дiï сили ( с0 ), рис. 8.
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^HinponeTpoBCbKoro Ha^oHanbHoro yHiBepcHTeTy 3ani3HHHHoro TpaHcnopTy, 2016, № 5 (65)
Phc. 8. Bu3HaneHHa ^yHKqii po3noginy Hanpy^eHb no o6pncy enincoiga
Fig. 8. Determination of the stress distribution function on the ellipsoid outlines
Buxoganu 3 nono^eHb po3B'a3aHHa 3agani EyccHHecKy [8] BignoBigHo go pHC. 8 Mo^Ha 3a-nncaTH
k
Co = 12' A = C,t cos a; k
C2t
2/2
(13)
ge k - gonoMi^HHH Koe^i^eHT nponop^HHocri. noegHaBmn BHpa3H (13), Mo^Ha oTpHMaTH 3a-
ne^HicTb
=a0
r^2 2
C, cos a
C
(14)
aKa (npn nocTiHHHx 3HaneHHax mBHgKocTi po3no-Bcrog^eHHa) He 3ane^HTb Big napaMeTpa nacy.
Bnpa3HMo mBHgKicTb 3a ogHHM HanpaMKoM nepe3 iHmy
Ct = VCi. Togi, BHxogaHH 3 (2)
9 = .
1 - 2v
p I1 -v)'
(15)
(16)
ge
CTa =^C°s2 a
- sin2 a + sin2 a
(17)
(18)
TaKHM hhhom, ^yH^iro po3noginy Hanpy-^eHb no noBepxHi eninca oTpHMaHo y Burnagi piBHaHHa (17), a 11 nucnoBi 3HaneHHa 3ane^arb t№kh Big BHgy penoBHHH (nepe3 Koe^i^eHT ny-accoHa).
Bu3HanaroHH Hanpy^eHHa, KpiM ix 3HaneHb, Heo6xigHo niTKo BKa3yBaTH HanpaMoK gii i nono-^eHHa nno^agKH (gna Hanpy^eHb b toh^ -yMoBHoi), no aKiM bohh giroTb. flna 6inbmocTi 3agan Hanpy^eHo-ge^opMoBaHoro CTaHy 3ani3HH-
hhoi Konii, Konn Mge MoBa npo Hanpy^eHHa Ha aKiMcb rnu6HHi, MaroTbca Ha yBa3i HopManbHi Ha-npy^eHHa, ^o giroTb no ropH3oHTanbHiM nno^a-gцi. ToMy gna noganbmux o6nucneHb Heo6xigHo HaBecTH cniBBigHomeHHa Mm pi3HHMH BHgaMH Hanpy^eHb.
npn BHKoHaHHi npaKTHHHHx po3paxyHKiB npo-CTip Ko^Horo cerMeHTa 6yge nogineHo Ha oKpeMi eneMeHTH BignoBigHo go KyTOBHx KpoKiB (gHB. BHpa3 (5)). Ko^eH eneMeHT 6yge BH3HanaTuca aK npocTip, o6Me^eHHH norapMa cyMi^HHMH BeKTo-paMH. 3a reoMeTpiero BeKTopiB BH3HanaroTbca TaKi napaMeTpu eneMeHTa, aK KyT Haxuny, nno^a CTi-hkh, Ha aKy giroTb Hanpy^eHHa, o6'eM to^o.
Po3rnaHeMo Hanpy^eHHa, ^o giroTb b eneMeH-Ti cerMeHTa Ha yMoBHiM nno^ag^, nepneHgHKy-napHiM go HanpaMKy a , puc. 9.
B ocraroHHoMy Burnagi ^opMyny (14) Mo^Ha 3anucaTH y Burnagi
Phc. 9. Hanpy^eHHa, aKi giroTb 3a HanpaMKoM a no pi3HHx nno^agKax
Fig. 9. Stresses acting in the direction a on different platforms
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
Виходячи iз збереження потенщалу дп на-пружень
(19)
о» __о»
^аа^аа = ^а^а ,
де саа, £а, £"аа - напруження i площини, наведет на рис. 9.
Тодi, враховуючи, що £а =
S„
маемо
cos а
(20)
Розташування елеменпв в сегментi вщбува-еться по обрису двовюного елiпса, тому, на вщ-мiну вiд розташування по колу (див. рис. 8), площадка 5"аа, розташована пiд кутом а до площадки £а, не е перпендикулярною до на-прямку а . Потрiбнa для розрахунюв площадка, яка б була перпендикулярна до напрямку а, буде повернута вщносно горизонтального по-ложення на кут в, рис. 10.
Рис. 10. Сшвввдношення потенцiалiв в елементi на площадках рiзного розташування
Fig. 10. Potential correlation in the element on the platforms of different locations
Сшввщношення м1ж площами площадок (з рис. 10)
^аа = Sß COs (а-Р); cos (а-ß)
= Si
ß
cos а
(21)
Використовуючи нaведенi сшввщношення i формулу (17), можна записати
Gß = g0£, cos (а-ß) cos а ,
(22)
де Ср - повн1 напруження за напрямком а , як1 д1ють на стшку, повернуту на кут р вщносно горизонтального положення. Саме потенщал цих напружень у вигляд1 проекцн на вертика-льну вюь можна розглядати як реакщю, що ур1-вноважуе дда прикладено! сили.
Тод1 загальний потенщал по елшсощнш по-верхш, що входить до формули (12), можна записати у вигляд1
сД. = ^с0Др£,cos(а-р)cos2а . (23)
а
Динам1чну р1вновагу простору, який дефор-муеться м1ж сум1жними обрисами фронпв хви-т, описуе р1вняння (12). Потенщал по поверхш сегмента буде визначатися як сума потенщал1в по кожному елементу, направлених на компен-сащю дн прикладено! сили, рис. 11.
Рис. 11. Ддя напружень на окремий сегмент сферичного елемента
Fig. 11. Effects of stress on separate segment of the spherical element
Тодi поеднання формул (12) i (23) дае осно-вне рiвняння динaмiчноi рiвновaги сегмента
J2
dt
G0_ £ та^аАУа cos4 а
а
E,
а
= G0(i-1)Z cos2 (*-ß)-
-G 0i Z ^ cos2 (а -ß) + D
d g0
(24)
а
а
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
де D - врахування дисипацп речовини, в цьо-му випадку цей параметр унеможливлюе вини-кнення швидких деформацiй (течi речовини).
Для об'екта в цшому складаеться система з рiвнянь (24), кшьюсть рiвнянь буде вщповща-ти кшькосп сегментiв, на якi подiляеться об'ект. З кожним кроком додаеться ще одна поверхня i одне рiвняння.
Результатом розв'язання тако! системи рiв-нянь будуть значення напружень а0г- для кожного сегмента об'екта (системи об'екпв) на розрахункову мить часу. Це дае можливють, використовуючи встановленi вище залежностi, визначити необхщш характеристики напруже-но-деформованого стану.
Вертикальш (нормальнi) напруження, що дiють по горизонтально площадцi (див. рис. 7)
5а± =50^ cos3 а .
Вертикальна абсолютна деформащя
u = 50^АУа cos4 а Еа
(25)
(26)
де Ауа - висота сегмента за напрямком а (див. рис. 11).
Наведена методика описуе коливання стис-кання-розтягування i призначена для опису ро-боти об'ектiв тдрейково! основи (шпали, ба-ласт, земляне полотно тощо). Рейка мае незна-чнi розмiри поперечного перерiзу порiвняно з довжиною i опираеться на основу, що мае сут-тево меншу жорстюсть порiвняно з !! власною. Такий випадок бшьш адекватно будуть опису-вати повздовжнi коливання вигину балки.
За основу вiзьмемо методику опису коливань балки при проходженш повздовжньо! хвилi [5].
Розрахункова сема наведена на рис. 12 для елемента балки довжиною 5x ^ 0 . Балка виги-наеться пiд дiею згинаючого моменту M, який змшюеться по !! довжинi. Згинаючий момент повинен урiвноважуватися поперечною силою F, яка теж змшюеться по довжиш балки.
Рiвняння руху балки по ос «у» буде мати вигляд
,5 d2у dF 5
pA5x—— =-5x,
dt2 dx
(27)
де A - площа поперечного перерiзу; у - пере-мiщення.
Рис. 12. Розрахункова схема вигину елемента балки Fig. 12. Calculation scheme of beam element bending Приймемо умову, що
F dM 5
F =--5x -
dx 1
0.
(28)
Тодi рiвняння рiвноваги момеш!в вiдносно середини елемента балки 5x буде мати вигляд
, . , dM Л 5x
M - \ M +-5x 1 + F— +
dx I 2
шсля скорочень
dM
dx
5x-
+\F + dF 5x ^ = 0, dx I 2
2 F + dF 5x = 0.
dx I 2
(29)
(30)
Приймемо таю умови
м EI M = — R
1=41 ey-
R dx21
0
(31)
де R - радiус кривизни нейтрально! осi (класи-чно балка подана як сукупшсть паралельних волокон, вище за нейтральну вюь вони розтя-гуються, а нижче - стискаються); EI - жорст-юсть балки.
Перетворимо (28), використовуючи (31)
dM
dx
ei
dx I R
F = -— = -—\ — \= тгEI. (32)
d3 у
dx5
Виходячи з (27) i (32),
pa =- EI d4 у
dt1
dx 4
(33)
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету зaлiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
Якщо врахувати, що балка знаходиться у простор^ який мае модуль пружност U (рейка спираеться на пружну основу) [3], рiв-няння (32)набуде вигляду
. d2 z ш d4 z U pA—- = - EI—- - Uz .
dt2 dx4
(34)
У = f ( X) ¡2 (t) .
(35)
=C1f (x);
д 2f2
dt2
f (t)
(36)
f ( x ) = Be (cos kx + sin kx), де k - коефщент вщносно" жорсткостц
Pk
B =-
2U
Тодi, виходячи з (36),
C = -4k4;
f2 (t) = C2 sin pt + C3 cos pt;
f2U~
'pA"
(37)
(38)
p=,
(39)
Ур (x, t ) = Уоп (x, t);
Уоп = f (0оп, t);
dx4
(40)
Розв'язання цього диференцiйного рiвняння будемо шукати у виглядi
Тодi функцii f (x) i f2 (t) повиннi задово-льняти умовам
Функщя f (x) вщображае статичний про-
гин балки по довжиш i ii розв'язання для рейки вщомо [2, 4]
Коефщенти С2 i С3 можуть бути визначеш виходячи з граничних умов, яю, у тому числi, повинш враховувати дисперсiю коливань по довжиш балки [5]. Для практичних розрахунюв розв'язки рiвняння (35) будемо шукати iз умови взаемного прогину рейки (ур), яка опираеться
на опори, i прогину тдрейково1' основи в мiс-цях опор (уоп) вiд сил, що передаються на цi опори вщ рейки (Q0I¡)
Прогин тдрейково1' основи визначаеться як сума деформацш сегментiв всiх шaрiв за вiдпо-вiдними координатами, знайденими за розв'яз-ками системи рiвнянь (24).
Отримaнi рiвняння i залежносп було покла-дено в основу при створенш комп'ютерно1' про-грами для розрахунюв за хвильовою моделлю поширення напружень в зaлiзничнiй коли, яка була використана для розв'язання низки задач [6, 14].
Наукова новизна та практична значимкть
Набули подальший розвиток зaдaчi моделю-вання взaемодii колii i рухомого складу, зокре-ма з урахуванням динaмiчного прогину пiдрей-ково1' основи.
Вперше подано основи математичного опи-су хвильово1' моделi поширення напружень в зaлiзничнiй колii, якi можуть бути використа-нi для виконання практичних розрахунюв.
Запропоновано теоретичнi обгрунтування процешв, що мають мiсце при сприйнятп нава-нтаження елементами зaлiзничноi коли при ви-соких значеннях швидкосп руху.
Отримaннi дaнi можуть бути використаш для обгрунтування конструкцii коли або вста-новлення вiдповiдних допустимих значень швидкостi для впровадження високошвидюс-ного руху.
Висновки
При високих значеннях швидкостi руху, якi наближаються до значень швидкостi поширення хвиль в шарах пiдрейковоi основи, виникають динaмiчнi ефекти, як1 не можуть бути описаш iснуючими розрахунковими методами, що базу-ються на ототожненш динaмiчного i статичного прогину.
Для моделювання динaмiки роботи рейково1' колii важливим фактором е врахування обсягiв речовини шaрiв пiдрейковоi основи, якi беруть
Наука та прогрес транспорту. Вкник Днiпропетровського нацiонального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
участь у взаемоди на дану мить. Адекватним шструментом для розв'язання ще! задач1 е по-дання процесу поширення напружень як рух хвиль.
Тод1 поеднання р1внянь геометри обрису ча-стини простору системи, що залучена до взаемоди на дану мить часу, 1 р1внянь динам1чно! р1вноваги !! деформаци дае змогу створення модел1 напружено-деформованого стану зал1з-нично! коли на основ! хвильово! теори поширення напружень.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Брандль, Х. Взаимодействие оснований и сооружений высокоскоростных железных дорог / Х. Брандль, А. Паульмичл // Развитие городов и геотехн. стр-во. - 2007. - № 11. - С. 157-164.
2. Даншенко, Е. I. Зал1знична колш / Е. I. Даншенко : пвдруч. для ВНЗ. - Ки!в : 1нпрес, 2010. - Т. 2. - 456 с.
3. Даншенко, Е. I. Новггш дослвдження б1чно! пружносп рейкових ниток при спшьнш ди вертикальних 1 горизонтальних сил / Е. I. Даншенко // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 6 (60). - С. 65-77. doi : 10.15802^2015/57021.
4. Даншенко, Е. I. Правила розрахуншв зал1з-нично! коли на мщшсть 1 стшшсть : ЦП-0117 / Е. I. Даншенко, В. В. Рибкш. - Ктв : Транспорт Укра!ни, 2004. - 64 с.
5. Кольский, Г. Волны напряжения в твердых телах / Г. Кольский. - Москва : Иностр. лит., 1955. - 192 с.
6. Курган, Д. Моделирование взаимодействия пути и подвижного состава с учетом времени прогиба подрельсового основания / Д. Курган // Проектирование развития региональной сети железных дорог : сб. науч. тр. / Дальневост. гос. ун-т путей сообщ. - Хабаровск, 2015. -Вып. 3. - С. 167-175.
7. Курган, Н. Б. Предпосылки создания высокоскоростных магистралей в Украине / Н. Б. Курган // Укр. зал1знищ. - 2015. - № 5-6. - С. 16-21.
8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука, 1987. - 248 с.
9. Транспортна стратепя Укра!ни на перюд до 2020 року [Електронний ресурс] : схвалено розпорядж. Кабшету М1тстрш Укра!ни ввд 20 жовт. 2010 р. № 2174-р. - Режим доступу: http://zakon1.rada.gov.-ua/laws/show/2174-2010-%Б1%80. - Назва з екрана. - Перев1рено : 15.09.2016.
10. Угода про асощацш мiж Украшою, з одше! сторони, та Свропейським Союзом, европейським ствтовариством з атомно! енергп i !хшми державами-членами, з 1ншо! сторони [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.kmu.gov.ua/kmu/docs/EA/00_Uk-raine-EU_Association_Agreement_%28body%29-.pdf. - Назва з екрана. - Перев1рено : 15.09.2016.
11. Connolly, D. P. Use of Conventional Site Investigation Parameters to Calculate Critical Velocity of Trains from Rayleigh Waves / D. P. Connolly, M. C. Forde // Transportation Research Record: J. of the Transportation Research Board. - 2015. - Vol. 2476. -P. 32-36. doi: http://dx.doi.org/10.3141/2476-05.
12. Fischer, S. Investigation of inner shear resistance of geogrids built under granular protection layers and railway ballast / S. Fischer // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 5 (59). -С. 97-106. doi:10.15802/stp20-15/53169.
13. Fisher, Sz. A vasüti zuzottkövek aprozo-dasvizsgalata egyedi laboratoriumi modszerrel / Sz. Fisher // Sinek Vilaga. - 2015. - № 57 (3). -P. 12-19.
14. Kurhan, D. M. Features of perception of loading elements of the railway track at high speeds of the movement / D. M. Kurhan // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 2 (56). - С. 136-145. doi: 10.15802/stp20-15/42172.
15. Mosayebi, S. Some Aspects of Support Stiffness Effects on Dynamic Ballasted Railway Tracks / S. Mosayebi, J. Zakeri, M. Esmaeili // Periodica Polytechnica Civil Engineering. - 2016. - Vol. 3 (60). - P. 427-436. doi: 10.3311/PPci.7933.
16. Oliver, T. Mechanical Stabilization of Unbound Layers to Increase Pavement Performance and Incorporation of Benefits into M-E analysis / T. Oliver, M. Wayne, J. Kwon // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 143. - P. 896-910. doi : 10.1016/j.proeng.2016.-06.153.
17. Petrenko, V. Simulation of subgrade embankment on weak base / V. Petrenko, I. Sviatko // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 4 (58). -С. 198-204. doi:10.15802/stp2015/49286.
18. Rail movement and ground waves caused by highspeed trains approaching track-soil critical velocities / V. V. Krylov, A. R. Dawson, M. E. Heelis, A. C. Collop // Proc. of The Institution of Mechanical Eng. Part F: J. of Rail and Rapid Transit. - 2000. - Vol. 214. - Iss. 2. -P. 107-116. doi: 10.1243/095440-9001531379.
19. Railway cuttings and embankments: Experimental and numerical studies of ground vibration / G. Kouroussis, D. P. Connolly, B. Olivier [et al.] // Science of the Total Environment. - 2016. - Vol.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дшпропетровського нацюнального ушверситету зaлiзиичиого транспорту, 2016, № 5 (65)
557-558. - P. 110-122. http://dx. doi: 10.1016/j.-scitotenv.2016.03.016.
20. Study of ground vibrations induced by railway traffic in a 3D FEM model formulated in the time domain: experimental validation / J. F. Ruiz, P. A. Costa, R. Calçada [et al.] // Structure and Infrastructure Engineering. - 2016. - P. 1-13. doi: 10.1080/15732479.2016.11-72649.
a. h. kyprah1*
21. Woldringh, R. F. Embankment design for high speed trains on soft soils / R. F. Woldringh, B. M. New // Proc. of the 12th Europ. Conf. on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering (7.06-10.06.1999). - Amsterdam, The Netherlands, 1999. - Vol. 3. - P. 1703-1712.
1*Каф. «Путь и путевое хозяйство», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днипро, Украина, 49010, тел. +38 (056) 373 15 42, эл. почта kurhan.d@gmail.com, ORCID 0000-0002-9448-5269
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ВОЛНОВОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ПУТИ
Цель. В современных научных исследованиях неоднократно приводились практические примеры проявления динамических эффектов работы железнодорожного пути, которые выходят за границы статических расчетных схем. Особенно актуальны такие вопросы для участков, где скорость движения поездов приближается к скоростям распространения волн в слоях подрельсового основания. Адекватным инструментом для изучения таких вопросов может быть использование волновой теории распространения напряжений. Цель данной работы - создание математического описания основных принципов волновой модели распространения напряжений в железнодорожном пути, которые могут быть использованы как основа для практических разработок соответствующих расчетных систем. Методика. Модель напряженно-деформированного состояний железнодорожного пути на основе волновой теории распространения напряжений заключается в объединении уравнений геометрии очертания части пространства системы, задействованной во взаимодействии на данный момент времени, и уравнений динамического равновесия ее деформации. Решение задачи основывается на использовании законов теории упругости. Фронт волны описывается уравнениями эллипсоида. При определении изменения во времени положения поверхности эллипсоида используется векторный подход. Результаты. Уравнения геометрии движения волны определяют объемы материала слоев подрельсового основания, участвующих во взаимодействии на данный момент времени. Определение динамического равновесия деформированного состояния пространства, ограниченного фронтом волны, дает возможность рассчитать как сами напряжения и деформации, так и их изменения за время восприятия нагрузки. Таким образом, в работе получены математические описания процессов, которые возникают при восприятии нагрузки элементами железнодорожного пути при высоких скоростях движения. Научная новизна. Получили дальнейшее развитие задачи моделирования взаимодействия пути и подвижного состава, в частности, с учетом динамического прогиба подрельсового основания. Впервые представлены основы математического описания волновой модели распространения напряжений в железнодорожном пути, которые могут быть использованы для выполнения практических расчетов. Практическая значимость. Полученные автором данные могут быть использованы для обоснования конструкции пути или установления соответствующих значений допустимых скоростей для внедрения движения поездов с высокими скоростями.
Ключевые слова: железнодорожный путь; взаимодействие пути и подвижного состава; волновая модель; высокоскоростное движение; теория упругости
d. m. kurhan1*
1 *Dep. «Track and Track Facilities», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipro, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 42, e-mail kurhan.d@gmail.com, ORCID 0000-0002-9448-5269
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^mnponeTpoBctKoro Ha^oH&ntHoro ymBepcureTy 3&m3HHHHoro TpaHcnopTy, 2016, № 5 (65)
THE BASIS OF MATHEMATICAL DESCRIPTION FOR WAVE MODEL OF STRESSES PROPAGATION IN RAILWAY TRACK
Purpose. Modern scientific research has repeatedly cited practical examples of the dynamic effects of railway track operation that go beyond the static calculation schemes. For the track sections where the train speed is approaching to the velocity of wave propagation in the slab track layers such issues are of particular relevance. An adequate tool for the study of such issues can be the use of the wave theory of stress propagation. The purpose of the article is the creation of a mathematical description of the basic principles of the stress propagation wave model in the railway track, which can be used as a basis for the practical development of the relevant calculation system. Methodology. The model of stress-strain states of the railway track on the basis of the stress wave propagation theory is to bring together the equations of the geometry of the outline of the space systems that is involved in the interaction at a given time, and the dynamic equilibrium equations of deformation. The solution is based on the use of the laws of the theory of elasticity. The wave front is described by an ellipsoid equation. When determining the variation in time of the surface position of the ellipsoid a vector approach is used. Findings. The geometry equations of the wave motion determine the volumes of material layers of the slab track involved in the interaction at a given time. The dynamic equilibrium determination of the deformed condition of the space bounded by the wave front makes it possible to calculate both the stresses and strains, and their changes during the time of the load perception. Thus, mathematical descriptions of the processes that occur in the perception of the load by the elements of railway track at high speeds were obtained. Originality. The simulation tasks of the track and rolling stock interaction, in particular taking into account the dynamic deflection of slab track were further developed. For the first time the article presents the basics of the mathematical description of the wave stress propagation model in the railroad track, which can be used to perform practical calculations. Practical value. The obtained data can be used to justify the track construction or establishing appropriate values of permissible speeds for the introduction of train motion with high speeds.
Keywords: railway track; track and rolling stock interaction; wave model; high-speed movement; theory of elasticity
REFERENCES
1. Brandl Kh., Paulmichl A. Vzaimodeystviye osnovaniy i sooruzheniy vysokoskorostnykh zheleznykh dorog. [The interaction of the grounds and structures of high-speed railways]. Razvitiye gorodov i geotekhnicheskoye stroitelsttvo - Urban Development and Geotechnical Construction, 2007, no. 11, pp. 157164.
2. Danilenko E.I. Zaliznychna koliia. Tom 2 [Railway track. Vol. 2.]. Kyiv, Inpres Publ., 2010. 456 p.
3. Danilenko E.I. Novitni doslidzhennia bichnoi pruzhnosti reikovykh nytok pry spilnii dii vertykalnykh i hory-zontalnykh syl [Recent research of the lateral flexibility of rail threads under combined action of vertical and horizontal forces]. Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2015, no. 6 (60), pp. 65-77. doi: 10.15802/stp2015/57021.
4. Danilenko E.I., Rybkin V.V. Pravyla rozrakhunkiv zaliznychnoi kolii na mitsnist i stiikist: TsP-0117 [The computation rules of the railway track for strength and stability: TsP-0117]. Kyiv, Transport Ukrainy Publ., 2004. 64 p.
5. Kolskiy G. Volny napryazheniya v tverdykh telakh [Stress waves in solids]. Moscow, Inostrannaya literatura Publ., 1955. 192 p.
6. Kurhan D. Modelirovaniye vzaimodeystviya puti i podvizhnogo sostava s uchetom vremeni progiba podrelso-vogo osnovaniya [Modeling the interaction of railway track and rolling stock including the time for deflection of the slab track]. Proyektirovaniye razvitiya regionalnoy seti zheleznykh dorog [Design of development of the regional railway network], 2015, issue 3, pp. 167-175.
7. Kurhan N.B. Predposylki sozdaniya vysokoskorostnykh magistraley v Ukraine [Background of the high-speed railways in Ukraine]. Ukrainski zaliznytsi - Ukrainian Railways, 2015, no 5-6, pp. 16-21.
8. Landau L.D., Lifshits L.D. Teoreticheskaya fizika. T. VII. Teoriya uprugosti [Theoretical physics. Vol. VII. Elastic theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 248 p.
9. Transportna stratehiia Ukrainy na period do 2020 roku (The transport strategy of Ukraine for the period till 2020 year). Available at: http://zakon1.rada.gov.ua/laws/show/2174-2010-%D1%80 (Accessed 15 September 2016).
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 5 (65)
10. Uhoda pro asotsiatsiiu mizh Ukrainoiu, z odniiei storony, ta Yevropeiskym Soiuzom, yevropeiskym spiv-tovarystvom z atomnoi enerhii i yikhnimy derzhavamy-chlenamy, z inshoi storony (The Association agreement between Ukraine, on the one hand, and the European Union, the European atomic energy community and their member States, on the other hand). Available at: http://www.kmu.gov.ua/kmu/docs/EA/00_Ukraine-EU_Association_Agreement_%28body%29.pdf (Accessed 15 September 2016).
11. Connolly D.P., Forde M.C. Use of Conventional Site Investigation Parameters to Calculate Critical Velocity of Trains from Rayleigh Waves. Transportation Research Record: Journal of the Transportation Research Board, 2015, no. 2476, pp. 32-36. doi: 10.3141/2476-05.
12. Fisher Sz. Investigation of inner shear resistance of geogrids built under granular protection layers and railway ballast. Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2015, no. 5 (59), pp. 97-106. doi: 10.15802/stp2015/53169.
13. Fisher Sz. A vasùti zùzottkôvek aprôzôdasvizsgalata egyedi laboratôriumi môdszerrel. Sinek Vilàga, 2015, no. 57 (3), pp. 12-19.
14. Kurhan D.M. Features of perception of loading elements of the railway track at high speeds of the movement.
Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2015, no. 2 (56), pp. 136-145. doi: 10.15802/stp2015/42172.
15. Mosayebi S., Zakeri J., Esmaeili M. Some Aspects of Support Stiffness Effects on Dynamic Ballasted Railway Tracks. Periodica Polytechnica Civil Engineering, 2016, vol. (60) 3, pp. 427-436. doi: 10.3311/PPci.7933.
16. Oliver T., Wayne M., Kwon J. Mechanical Stabilization of Unbound Layers to Increase Pavement Performance and Incorporation of Benefits into ME analysis. Procedia Engineering, 2016, vol. 143, pp. 896-910. doi : 10.1016/j.proeng.2016.-06.153.
17. Petrenko V., Sviatko I. Simulation of subgrade embankment on weak base. Nauka ta prohres transportu -Science and Transport Progress, 2015, no. 4 (58), pp. 198-204. doi: 10.15802/stp2015/49286.
18. Krylov V.V., Dawson A.R., Heelis M.E., Collop A.C. Rail movement and ground waves caused by high-speed trains approaching track-soil critical velocities. Proc. of The Institution of Mechanical Engineers. Part F: Journal of Rail and Rapid Transit, 2000, vol. 214, no. 2, pp. 107-116. doi: 10.1243/0954409001531379.
19. Kouroussis G., Connolly D.P., Olivier B., Laghrouche O., Costa P.A. Railway cuttings and embankments: Experimental and numerical studies of ground vibration. Science of the Total Environment, 2016, vol. 557, pp. 110-122. doi: 10.1016/j.scitotenv.2016.03.016.
20. Ruiz J.F., Costa P.A., Calçada R., Rodriguez Luis E.M., Colaço A. Study of ground vibrations induced by railway traffic in a 3D FEM model formulated in the time domain: experimental validation. Structure and Infrastructure Engineering, 2016, pp. 1-13. doi: 10.1080/15732479.2016.1172649.
21. Woldringh R.F., New B.M. Embankment design for high speed trains on soft soils. Proc. of the 12th European Conf. on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering (7.06-10.06.1999), 1999, vol. 3, pp. 1703-1712.
Стаття рекомендована до друку д.т.н., проф. В. Д. Петренком (Украта), д.т.н., проф.
Е. I. Дантенком (Украгна)
Надшшла до редколегп: 17.05.2016
Прийнята до друку: 14.09.2016
