ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА МЕЗОСКОПИЧЕСКОГО ИНДЕКСА В $\mu$-МОДЕЛИ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 120-128

Механика

УДК 539.3

Определение спектра мезоскопического индекса в ^-модели сыпучей среды

И. Н. Каталажнова, М. Н. Скачков

Аннотация. Развивается новый аксиоматический подход к статике сыпучей среды, в русле которого неклассические особенности материала описываются в элементарных функциях при хорошем согласии с опытами. Важнейшим аспектом подхода является сведение всех возможных вариантов мезомасштабного строения сыпучей среды только к трём типам порядка, характеризуемым количественным показателем ^. Раскрывается методика установления его значений.

Ключевые слова: сыпучая среда, ^-модель, задача типа Ламе.

Введение

Сыпучие среды составляют сегодня предмет одной из самых бурно развивающихся отраслей знания, что часто объясняют возрастанием их роли в промышленности, — но возможно и другое объяснение. Несмотря на то, что их использование по абсолютному выражению растёт, тем не менее их традиционно большая, уступающая лишь воде [1] доля в совокупности всех вовлеченных в хозяйство веществ увеличиться ещё больше уже не может. Причина же взлета внимания к этой давно знакомой человечеству по практике стихии видится чисто научной. Наука о сыпучих материалах берет начало в XVIII в. (с мемуаров Ш.-О. Кулона), — тогда же, когда и многие давно ставшие классическими учения. Однако, эти повсеместно встречающиеся и интуитивно понятные вещества на столетия отстали по научной освоенности не только от других, столь же осязаемых, твердых, жидких и газообразных веществ, но и от многих чуждых обыденному опыту материй: электромагнетизма, мира квантовых частиц и галактик. Таким образом, именно накопленная диспропорция между весомым статусом сыпучих сред в природе, быту и производстве — и их ничтожным присутствием в универсальной научной картине, наконец, и вызвала сегодняшнюю лавину исследований, объективно нацеленных на заполнение этой познавательной бреши.

Классическая, т.е. первая по времени общепризнанная теория сыпучей среды пока не создана, но уже сейчас ясно, что она не будет лишь

экстраполяцией на новый предмет прежних классических воззрений или их компиляцией (такие попытки делаются, но они оказываются непродуктивными). В ученом сообществе назрело ощущение необходимости и неизбежности новой парадигмы, о которой, например, заявляет тема сессии 2014 г. общества по гранулярным технологиям WCPT: New paradigm of particle science and technology [2]. И уже сейчас ясно, что искомая классическая теория этого неклассического материала, появившись, повлечет заметное обновление естествознания в целом.

Характерными чертами сыпучего вещества являются сжимаемость и самоорганизация, обсуждаемая обычно в терминах гранулярных цепочек [3, 4]. Настоящая статья представляет детали построения

определяющих соотношений новой теории сыпучих сред, названной нами ^-моделью и частично уже изложенной в ранее опубликованных статьях [5-13]. В рамках данной теории — не пренебрегающей способностью материала к сжатию и самоорганизации — простейшие статические задачи получают точное явное в элементарных функциях решение, хорошо согласующееся с показаниями разнообразных опытов. Кроме того, её определяющие уравнения в соответствующих предельных случаях переходят в классические законы сред твердых, жидких и газообразных. В ^-модели утверждается существование трёх типов мезомасштабного строения сыпучей среды, которым приписываются характеризующие их числа. Методика установления этих чисел ранее не раскрывалась, настоящая статья таковой пробел устраняет.

1. Некоторые принципы д-модели и принятые условности

Сжимающие напряжения считаются положительными [14]. Тензорное правило суммирования по «немым» индексам не используется. Плоское пространство для краткости именуется 2-пространством, объемное — 3-пространством. Допускается лишь статическая или квазистатическая неубывающая сжимающая нагрузка. Поля напряжений av и пористости в непрерывны и дифференцируемы (для 2-пространства i,j = 1,2, для 3-пространства i, j = 1, 2, 3). В отсутствие нагрузки начальная пористость в0 распределена равномерно. Плотность твердой сплошной фазы этого пористого вещества постоянна.

Вводятся следующие гипотезы.

Гипотеза I. Существует качественный макроскопический признак, позволяющий классифицировать сыпучие тела по их мезоскопическому строению, называемый типом мезоскопического состояния, или мезоскопическим типом. Существуют только три мезоскопических типа, называемые гидростатическим типом (при котором гранулярные цепочки отсутствуют), колончатым (где гранулярные цепочки работают как колонны) и сводчатым (где гранулярные цепочки работают как арки).

Поясняя Гипотезу I, отметим, что идея о трёх типах порядка заимствована из общеизвестного обыденного и строительного опыта. А именно: простейшее сооружение из камней случайной формы, не скрепленных связующим веществом, работает либо как колонна, что сопротивляется продольной нагрузке, либо как арка (или свод), что сопротивляется поперечной нагрузке, либо как неупорядоченный схожий с жидкостью массив.

Гипотеза II. Главные значения тензора напряжений есть непрерывные и дифференцируемые функции пористости. Пористость фиксированного элемента сыпучей среды есть непрерывная и дифференцируемая функция среднего напряжения а, не зависящая от типа её мезоскопического состояния.

Гипотеза III. Пусть одного материала, конфигурации и мезоскопического типа сыпучие тела Гп с начальными пористостями при нагрузке Ьп имеют напряжения а^ и пористость 0п, где п = 1, ..., N ^ 2. А того же материала и конфигурации тело Г с начальной пористостью в0 при нагрузке Ь имеет напряжения агз и пористость в. Тогда:

1) если Ь = Ь\ + ... + Ьм, то мезоскопическое состояние тела Г имеет тот же тип, что и у тел Гп, и

*г] = а? + ... + 4; (1)

2) если, кроме того, в0 = в0 ■ ... ■ в0, то в = в\ ■ ... ■ вМ (при этом тело Г называется композицией тел Гп, а тела Гп— разложением тела Г).

2. Межкомпонентное тензорное соотношение, задача типа Ламе, мезоскопический индекс и проблема установления его

спектра

Анализ показывает, что из гипотез модели вытекает линейная зависимость между главными напряжениями. Так при радиальной симметрии

а^ = ^аг + в, (2)

где а^ и аг — окружное и радиальное напряжения; ^ — константа данного типа мезоскопического состояния; в — константа данного нагруженного тела.

Используя (2), можно решить для произвольного мезоскопического состояния задачу типа Ламе, ставя её как систему двух уравнений относительно функций а^ и аг полярного радиуса г (а ^ г ^ Ь) — дифференциального уравнения равновесия и соотношения (2) — с краевыми условиями аг(а) = ра и аг(Ь) = рь. Эта задача получает следующее решение (при рь = ра):

Г = ( Рь - Ра) ГА + Ра ЬА - Рь аА ^ = ( Рь - Ра) ГА + Ра ЬА - рь аА

а ЬА - аА ЬА - аА ’ а ^ ЬА - аА ЬА - аА ’

где в 2-пространстве Л = ^ - 1, в 3-пространстве Л = 2 (^ - 1).

Гипотеза IV привязывает к типу мезоскопического состояния количественный показатель, которым должен служить мультипликативный параметр соотношения (2), именуемый мезоскопическим индексом. При этом:

1) у гидростатического мезоскопического типа ^ = 1 и, кроме того, определён аддитивный параметр соотношения (2): в = 0;

2) у колончатого мезоскопического типа

^ = 0; (4)

3) у сводчатого мезоскопического типа значение ^ обеспечивает существование регулярного неравнокомпонентного решения задача типа Ламе независимо от наличия или отсутствия в нагруженном теле полости.

Конкретное значение ^ для сводчатого типа выводится ниже. Заметим, что Гипотеза IV связывает через формулу (2) специфику напряжённого состояния и тип мезоскопического состояния, что позволяет говорить о гидростатическом, колончатом и сводчатом состоянии, не уточняя без необходимости, о каком именно состоянии — напряжённом или мезоскопическом — идёт речь.

Гипотеза IV развивает подход, инициированный Гипотезой I и пояснением к ней, однако логика его лежит вне механики континуума, поэтому его очередные результаты обязаны включаться в континуальную модель как очередная гипотеза. Поясним, что в гидростатическом напряжённом состоянии по определению а^ = аг, что и выражает 1-й тезис Гипотезы IV. Колончатое мезоскопическое состояние, которое при радиальной симметрии уместно назвать звездчатым, описывается по 2-му тезису формулой а^ = в, отражающей независимость усилий в моделирующих это состояние «колоннах» и «балках». Освещающий сводчатое состояние 3-й тезис требует отдельного комментария.

Во-первых, континуальная модель любого изотропного пористого материала (необязательно сыпучего) должна, чтобы быть непротиворечивой, подразумевать возможность регулярного неравнокомпонентного решения задачи типа Ламе в отсутствие у сжимаемого тела полости, если она допускает такое решение при наличии полости. Действительно, в центре круглого пористого тела, считающегося в модели лишенным полости, вероятно присутствие поры, т.е. микроскопической полости, которую мы вправе классифицировать и как полость макроскопическую. Во-вторых, при колончатом состоянии в задаче типа Ламе возникает сингулярность, что видно из формул (3) и (4). Стало быть, искомое регулярное решение должно обеспечиваться именно при сводчатом состоянии. Сразу заметим, что решения (3) для кольца и сферы переводятся подстановкой а = 0 в решение для диска и шара без полости

аГ = ( Рь - Ра)(г/Ь)А + Ра, а^ = ^ ( Рь - Ра)(г/Ь)А + Ра, (5)

где для 2-пространства Л = ^ - 1, для 3-пространства Л = 2 (^ - 1). Такое решение непрерывно лишь, если ^ > 1, дальнейшие рассуждения и выкладки нацелены на конкретизацию этой варианты.

3. Связь главных напряжений сыпучего тела и его

разложения

Теорема 1. У сыпучего тела с точностью до постоянных слагаемых каждое главные напряжения равно сумме соответствующих главных напряжений его разложения.

Доказательство. Рассмотрим сыпучие тела Гп (п = 1, ..., N ^ 2) одного мезоскопического типа и их композицию Г с главными напряжениями ап, а^ и аг, а^ и мезоскопическим индексом ^. Центры полярных координат, описывающих эти напряжения, могут быть различны, т.е. ап = ап(гп), а« = а„(гп) и аг = аг(г), а^ = а^(г), где гп и г — полярные радиусы пространственной точки в, вообще говоря, N + 1 различных полярных системах координат. В общей декартовой системе координат по формуле

(1) в данной точке агг = а? + ... + а^. Просуммировав это равенство по г, найдём связь I и Д, ..., /м — первых инвариантов тензоров напряжений соответствующих тел: I = I? + ... + /м. Представим эту связь через радиальные и окружные компоненты для 2-пространства:

аг + а^ = аГГ + а^ + ... + а^ + а^, (6)

для 3-пространства:

аг + 2а^ = аГГ + 2а^ + ... + а^ + 2а^. (7)

Подставим сюда формулу (2), переписав её для тел Гп как а« = ^ап + + вп (здесь вп — соответствующие не зависящие от координат параметры): для 2-пространства (1 + ^) аг + в = (1 + ^) а[ + в? + ... + (1 + 2^) а^ + вм, для 3-пространства (1 + 2^) аг + 2 в = (1 + 2^) а[ + 2 в? + ... + (1 + 2^) а^ + + 2 вм. Двум последним уравнениям придадим вид

аг = аГ + ... + аМ + , (8)

где для 2-пространства = (в 1 + ... + вм - в)/( 1 + ^), для 3-пространства

= 2 (в ? + ... + вм - в)/( 1 + 2^). Аналогично, из соотношений (6) и (7) с опорой на (2) выводится и связь окружных напряжений:

а^ = а^ + ... + аМ + 5 (9)

где для 2-пространства 5^ = (в - в? - ... - вм)/(1 + ^), для 3-пространства 5^ = (в - в? - ... - вм)/(1 + 2^). Результаты (8) и (9) свидетельствуют, что теорема доказана.

4. Мезоскопический индекс сводчатого состояния

Теорема 2. Для сводчатого состояния в 2-пространстве

^ = 3. (10)

Доказательство. Рассмотрим одинаковые сыпучие тела Г! (п = 1, ..., N ^ 2) в форме диска радиуса 2Е, воспринимающие распределенную по периметру нагрузку P/N и ненапряженные в центре. Тогда из результата (5), введя для краткости обозначение

Л = ^ - 1, (11)

для всякой точки каждого тела Гг имеем

ап = N ( Й Г <12>

Рис. 1. Круги Гп с характерными точками Bn, складываемыми в круг Г с центром в точке A (C — произвольная, взятая на полярной оси точка

этого круга)

Здесь rn суть полярный радиус в системе координат, связанной с телом ГП, т.е. расстояние от центра тела Г^ — обозначенного как — до рассматриваемой точки. Разместим диски ГП вокруг некоторой точки A так, чтобы точки равноотстояли друг от друга на окружности радиуса R, и разрежем каждый диск по этой окружности на две части. Часть круга ГП внутри линии разреза — также круглую — обозначим как Гп, а наружную часть отбросим, заменив её воздействие на Гп соответствующей нагрузкой. Круги Гп складываются в некоторую композицию — круг Г. В полярной системе координат, связанной с центром A круга Г, у каждой точки полярный радиус равен R, полярный угол обозначен рП. Возьмём внутри круга Г точку C с координатами r (0 ^ r ^ R) и р = 0, как показано на рисунке. Расстояние между точками C(r, 0) и Bn(R, рП) есть rn = д/R2 + r2 — 2Rr cos pn. Следовательно, согласно формуле (12), тело Гп создает в точке C напряжение

= (2R)\w (^ R2 +r2 — 2Rr cos р™) ■ (13)

Если N достаточно велико, то нагрузка на композицию Г оказывается равномерно распределенной — обозначим её Рв, — и тогда верно вытекающее из результата (5) утверждение

аг = (Ра - Рв) (г/Я)Л + Ра, (14)

где Ра — давление в центре (в точке А). Из формул (8), (13) и (14) получаем

м Л

(Рв - Ра) (г/Я)Л + Ра - = Р ^ ( ^Я2 + г2 - 2Яг сов рп) / (2Я)Л/^

п = ?

В пределе устремления N к бесконечности должно переписать эту зависимость в виде

2п

2Л Рв-Ра гЛ +2Л Ял = -^ [ (^ Я2 + г2 - 2Яг сов р) Л #.

Р Р 2п У V /

о

Данное равенство актуально как уравнение относительно Л. Такое уравнение обладает единственным корнем:

Л = 2. (15)

В самом деле, только при таком Л в правой части уравнения получается выражение, линейное — как и в левой части — относительно гЛ. Соотношения

(11) и (15) дают (10). Теорема доказана.

Следствие. Решение плоской задачи типа Ламе для сыпучих материалов в сводчатом состоянии обретает, благодаря подстановке значения (10) в (3), конкретное выражение:

г Рь - Ра 2 , Ра &2 - Рь а2 <л „ РЬ - Ра 2 , Ра Ь2 - Рь а2

а = _________г + ____________ а^ = 3___________г + _____________

Ь2 - а2 Ь2 - а2 ’ Ь2 - а2 Ь2 - а2 '

Теорема 3. Для сводчатого состояния в 3-пространстве

ц = 2. (16)

Теорема 3 доказывается аналогично теореме 2. Решение объемной задачи типа Ламе для сыпучих материалов в сводчатом состоянии обретает, благодаря подстановке значения (15) в (3), конкретное выражение:

г Рь - Ра 2 , Ра Ь2 - Рь а2 „ Рь - Ра 2 , Ра Ь2 - РЬ а2

а = _________г + ____________ а^ = 2___________г + _____________

Ь2 - а2 Ь2 - а2 ’ Ь2 - а2 Ь2 - а2 '

Заключение

В настоящей работе показано, как в ц-модель вводится мезоскопический индекс ц. Эта величина играет двоякую роль. Во-первых, она служит параметром межкомпонентного соотношения тензора напряжений. Во-вторых, она служит количественным макроскопическим признаком

характера мезоскопического состояния, оппонируя качественному макроскопическому признаку — типу мезоскопического состояния. Т.о. в ^-модели проводится однозначная связь между мезоскопическим состоянием сыпучей среды, характеризуемым его типом и индексом, и её макроскопическим состоянием, характеризуемым тензором напряжений (и пористостью).

Установлен спектр значений мезоскопического индекса для каждого из трёх типов мезоскопического и напряженного состояния для 2- и 3-пространства. У гидростатического типа ^ = 1 и, кроме того, определён аддитивный параметр соотношения (2): s = 0; у колончатого типа ^ = 0; у сводчатого типа в 2-пространстве ^ = 3, в 3-пространстве ^ = 2.

Возможно, в будущем удастся найти оператор, чьи собственные числа окажутся установленными здесь значениями мезоскопического индекса.

Список литературы

1. Slow relaxation and compaction of granular system / Richard P. [et al.] // Natural Materials. 2005. V. 4. № 8. P. 121-128.

2. http://www.wcpt7.org/dct/page/1j 12.11.2013.

3. Dantu P. Etude Experimentale d’un Milieu Pulverent // Annales des Ponts et Chaussees. 1967. V. 4. P. 193-202.

4. Force Fluctuations in Bead Packs / Liu C.-H. [et al.] // Science. 1995. V. 269 (5223). P. 513-515.

5. Скачков М.Н. Сводчатая модель сыпучих материалов // XXXIII Дальневосточная математической школы-семинара им. академика Е.В. Золотова: тез. докл. Владивосток: Дальнаука, 2008. С. 234.

6. Скачков М.Н. Конформационные состояния сыпучих материалов // Вестник ГОУВПО КнАГТУ. 2009. Вып. 13. Ч. 1. С. 238-240.

7. Скачков М.Н. Сжимаемая сыпучая среда в вертикальном вращающемся барабане // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 109-114.

8. Скачков М.Н. Нетривиальное решение задачи о равновесии сыпучего шара с малым трением // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 109-115.

9. Скачков М.Н. Плотность и давление сыпучих сред в поле тяготения // ФТПРПИ. 2011. № 1. С. 34-41.

10. Олейников А.И., Скачков М.Н. Модель уплотняемых сыпучих тел и некоторые её приложения // Информатика и системы управления. 2011. № 4. С. 48-57.

11. Skachkov M.N. Mysteries of Granular Planet // J. of Modern Physics. 2013. V. 4. № 1. P. 64-67.

12. Скачков М.Н. Некоторые вопросы гранулярной газовой динамики в свете мультипликативной модели сыпучих сред // Учёные записки КнАГТУ. Сер. Науки о природе и технике. 2013. № II-1(14). С. 37-40.

13. Skachkov M.N. Modeling of compressible self-organized granular media under static loud // 7th International Conference on Micromechanics of Granular Media (Powders and Grains): AIP Conf. Proc. / American Institute of Physics, 2013. P. 609-612.

14. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Наука, 1990. 272 с.

Каталажнова Ирина Николаевна (777irnik@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра высшей математики, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Скачков Михаил Николаевич (m_skachkov@list.ru), ассистент, кафедра высшей математики, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Determining the mesoscopic index’s spectrum in the granular

matter ^,-model

I.N. Katalazhnova, M.N. Skachkov

Abstract. A new axiomatical approach to the granular medium statics develops, in which course the material’s non-classical features can be described in elementary functions at good agreement with the experiments. One of the most important aspects of the approach is reducing all possible options of the mesoscopic structure of granular medium to only three orderliness types characterized by a quantitative measure ^. The technique establishing its possible values is revealed.

Keywords: granular media, ^-model, Lame-type problem.

Katalazhnova Irina (777irnik@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of higher mathematics, Komsomolsk-na-Amure State Technical University.

Skachkov Mikhail (m_skachkov@list.ru), assistant professor, department of higher mathematics, Komsomolsk-na-Amure State Technical University.

Поступила 23.09.2013