CC BY
86
Реологический мониторинг распространения волн в многофазных многокомпонентных средах: обзор
А.В. Мясников, К.С. Осипов, В.М. Ярушина1, Б.Я. Гуревич2, А.М. Сбойчаков3
Московский научно-исследовательский центр Шлюмберже, Москва, 109004, Россия
1 Университет Осло, Осло, N-0316, Норвегия
2 Технологический университет Кертин, Перт, WA 6000, Австралия 3 Институт физики Земли РАН, Москва, 123995, Россия
Сейсмические методы являются одним из основных способов изучения внутреннего строения Земли и, в частности, для поиска месторождений нефти и газа и контроля за их добычей. Современные полевые и лабораторные данные демонстрируют значительное отклонение распространения сейсмических волн в пористых насыщенных средах от поведения, описываемого линейной теорией упругости. Описание диссипации в таких средах представляет собой непростую задачу, ввиду того что множество факторов может влиять на механизмы затухания сейсмических волн в пористой насыщенной среде. В этой статье мы даем обзор различных подходов к построению моделей структурно-неоднородных сред и к исследованию распространения волн в таких средах.
Rheological monitoring of wave propagation in multiphase, multicomponent media: review
A.V. Myasnikov, K.S. Osipov, V.M. Yarushina1, B.Ya. Gurevich2, and A.M. Sboichakov3
Schlumberger Moscow Research Center, Moscow, 109004, Russia 1 University of Oslo, Oslo, N-0316, Norway
2 Curtin University of Technology, Perth, WA 6000, Australia
3 Institute of Physics of the Earth RAS, Moscow, 123995, Russia
Seismic methods are one of the main ways to study the internal structure of the Earth and, particularly, to find oil and gas fields and control their development. Modern survey and laboratory data show considerable deviation of seismic wave propagation in saturated porous media from the behavior described by the linear theory of elasticity. To describe dissipation in such media is rather difficult due to the fact that many factors can influence on the mechanisms of seismic wave attenuation in a saturated porous medium. The present paper reviews different approaches to constructing models of heterogeneous media and studying wave propagation in them.
1. Введение
Исходной предпосылкой к написанию этой статьи явилось стремление объединить в неформальной, до-
ступной форме достижения и проблемы интерпретации сейсмических динамических данных, лабораторных акустических экспериментов и современного состояния области знаний, относящейся к теориям структурнонеоднородных сред и распространения волн в них.
Нами приведено обоснование необходимости междисциплинарного теоретического подхода к моделированию поведения насыщенных горных пород для изучения их структурных и акустических свойств. Современные подходы к определению таких свойств в обзоре условно разделены на однофазные и многофазные. Однофазные теории методологически подразделяются на статистические и феноменологические. Представлен
© Мясников А.В., Осипов К.С., Ярушина В.М., Гуревич Б.Я., Сбойчаков А.М., 2007
обзор многофазных моделей пористых сред, дано краткое описание классической модели Био. Обобщающие ее модели также методологически подразделены на модели, построенные на основе техники статистического осреднения и применения методов механики сплошной среды для описания сложной реологии и акустики в многофазных многокомпонентных средах.
Ввиду ограниченного объема в обзоре не рассмотрены такие важные для распространения волн в пористых средах факторы, как трещиноватость, анизотропия и фрактальность среды, наличие газовых пузырьков и др.
2. Что можно извлечь из анализа полевых и лабораторных данных?
2.1. Сейсмический метод
Сейсмический метод основан на оценке внутреннего строения Земли путем анализа распространения в ней волн, возбуждаемых искусственными или естественными источниками и записанными приемниками сигналов.
Основным результатом обработки сейсмических данных является изображение отражений от геологических структур. Одно измерение в изображении 2D (разрезе) — поверхностная координата профиля, другое измерение — глубина (или соответствующее ей вертикальное время пробега волны от поверхности к отражающей структуре и обратно). 3D-метод основан на получении кубических параметров отражений в координатах xyz, используя результаты обработки исходных данных от сети источников и приемников, распределенных на некотором участке поверхности Земли. 3D-метод дает более точную, чем 2D, информацию о расположении геологических структур, что значительно повышает вероятность успешного поиска нефти и газа.
4D-метод привносит дополнительное к 3D-измере-ние — время и иногда называется повторяемой сейс-микой, т.е. одинаковые 3D-работы выполняются несколько раз (обычно с периодами от нескольких месяцев до нескольких лет) в процессе добычи.
2D- и 3D-методы предназначены как для поиска новых месторождений нефти и газа, так и для оценки запасов углеводородов в изучаемом районе. В первом случае, бурится всего несколько скважин или они вообще не бурятся. Во втором случае, набор скважин дополняет интерпретацию 2D- и 3D-данных. В скважинах можно выполнять различные измерения in situ, которые называют каротажем. Методика наблюдений сейсмических колебаний в скважине от действующего на поверхности Земли источника называется обращенным вертикальным сейсмическим профилированием.
2.2. Динамическая сейсмическая интерпретация
Сейсмическую интерпретацию можно грубо разделить на структурную и литографическую. Существуют
геологические предпосылки для такой классификации, основанные на типах ловушек нефти. В контексте данной статьи важно отметить, что структурная интерпретация главным образом основана на так называемой кинематической информации, извлекаемой из сейсмических данных, тогда как стратиграфическая основана в большей степени на сейсмических амплитудах (т.е. динамической информации). Другими словами, кинематика (знание скорости) помогает размещать структуры в нужном месте геометрически, в то время как динамика позволяет определять, какие породы и флюиды представляют структуру. Даже для чисто структурных ловушек использование одновременно кинематической и динамической информации является решающим для поиска и оценки запасов. Недоучет динамической информации часто приводит к растрате денег в результате бурения сухих скважин.
Колоссальный прогресс в технологиях полевых наблюдений и обработке сейсмических данных привнес новые возможности для интерпретации. В наши дни получаемая разрешающая способность составляет порядка 5...10 м по вертикали и 50...100 м по горизонтали и обусловлена, в основном, используемым сейсмическим диапазоном частот (порядка 10...100 Гц). Эти пределы все время расширяются благодаря современным технологиям, однако нельзя уйти за пределы естественного затухания, обеспечивающего высокочастотный срез. Более того, современные сейсмические технологии открывают возможности для количественной интерпретации амплитудной информации. Однако обратная задача сейсморазведки, строго говоря, некорректна. Следовательно, обработка и интерпретация сейсмических данных являются искусством аппроксимации. Может показаться удивительным, что аппроксимации, являющиеся очень грубыми с точки зрения строгой науки, позволяют находить нефть, и все более и более успешно. Можно сделать общий вывод, что анализ кинематической информации продвинулся гораздо дальше, чем динамической. И это не удивительно, поскольку сейсмические амплитуды обрабатывать, получать и интерпретировать гораздо сложнее.
Хороший обзор современных методов сейсмической динамической интерпретации можно найти в книге [1]. Как было отмечено выше, чаще всего записываются только давление для морских наблюдений и вертикальная компонента скорости или ускорений для наземной сейсмики. Соответственно обработка и интерпретация производятся только для Р-волн. Для отраженных волн, падающих нормально к поверхности, двумерные (2D) и трехмерные (3D) изображения можно обратить для импедансов Р-волн в 2D и 3D соответственно. Очень важно, что Р-отражения под большими углами зависят также от контраста S-импедансов. Эта особенность обеспечивает основу для упругой инверсии, извлекаю-
щей из сейсмических данных импедансы Р- и S-волн, плотности, параметры Ламэ или различные их комбинации. Эта процедура основана на анализе изменения амплитуды отражения в зависимости от угла падения — метода, называемого АУА или, в зависимости от расположения приемников, АУО. В работах [2-4] приведены хорошие обзоры методов АУО. В последнее время появилось много сообщений об успешно проведенных АУО (например, [5]).
Использование корреляции упругих модулей или просто сейсмических атрибутов (например, мгновенной частоты, фазы, амплитуды) с характерными типами флюидов и литологий позволяет разработать различные методы классификации и процедуры предсказания, основанные на алгоритмах искусственного интеллекта (см., например, [6]). Такой подход дает только качественную информацию о типах литологии и флюидов, и его эффективность сильно зависит от качества и количества скважинной информации и от степени кластеризации. В частности, определить наличие газа в породах относительно легко, а нефте- и водонасыщенные породы удается разделить только в особых случаях.
2.3. Акустический каротаж и его связь с сейсмикой
Современный акустический каротаж позволяет получать информацию о скорости Р-, S-волн, волн Стоунли и об их анизотропии в зависимости от глубины при разрешающей способности порядка 10...20 см для частот порядка 10 кГц. В частности, изучение дисперсии волн Стоунли дает важную информацию о свойствах формации, включая мобильность, анизотропию и напряжение [7].
Одним из наиболее распространенных способов совместного использования сейсмического метода и каротажа является их взаимная привязка, т.е. подтверждение сейсмических данных вблизи скважины с помощью синтетических сейсмограмм, построенных на основе каротажной диаграммы. Выполнение двух акустических измерений на различных частотах является нетривиальной задачей, в основном, из-за незнания частотной дисперсии скорости.
2.4. Анализ затухания сейсмических волн
В последнее время появились работы, посвященные анализу затухания упругих волн в месторождениях нефти и газа с целью поиска углеводородов. В частности, в работе [8] отмечается, что при специальном анализе 2D, 3D и вертикальном сейсмическом профилировании можно выделить участки с повышенным затуханием и соответствующей дисперсией скорости сейсмических волн, приуроченные к пластам нефти и газа. В статье [9] было продемонстрировано аномальное поведение в АУО в низкочастотной области сейсмических частот (~ 10 Гц). Однако в работе [10] было показано, что АУО
может иметь в различных случаях как нормальную, так и аномальную частотную дисперсию. Аналогично, в сообщении [11] наблюдались нетривиальные эффекты в вейвлет-преобразованиях AVO. В качестве нового нетрадиционного метода утверждается [12], что аномалии в спектре данных пассивной сейсмики в частотном диапазоне 0.1...10 Гц могут являться прямым признаком наличия углеводородов.
В работе [13] была выполнена серия экспериментов (вертикальное сейсмическое профилирование, меж-скважинное зондирование, акустический каротаж) на полигоне Imperial College, тем самым перекрыв широкий диапазон частот (100 Гц... 1МГц). В этом диапазоне была выявлена частотная дисперсия для скорости, и соответствующий ей основной пик в затухании пришелся приблизительно на 10 кГц. Обзор [14] посвящен изучению затухания сейсмических волн и связи затухания с проницаемостью коллектора. Авторами [13, 14] сделан вывод, что оценка частотно-зависимого затухания в сейсмическом диапазоне представляет собой непростую задачу и что получаемой информации недостаточно, чтобы обеспечить надежные данные о проницаемости.
2.5. 4D-сейсмика
Максимизация извлечения известных запасов углеводородов, возможно, является самой сложной задачей нефтяной индустрии на сегодняшний день. Одной из причин слабых темпов извлечения являются целики углеводородов. В зоне интенсификации добычи, там, где породы месторождения насыщены смесью нефти, газа и/или воды, повторяющиеся по времени сейсмические съемки не всегда могут определить даже то, каково насыщение нефтью: 10 или 90 %. Для того чтобы усовершенствовать определение насыщения и, в конечном итоге, контроль добычи, необходимо знать количественные соотношения между флюидонасыщением и сейсмическими характеристиками (упругими модулями, скоростью и затуханием).
Разделение эффектов изменения насыщения и изменения давления представляет большую проблему в 4D-методе (например, [15]). Упругая инверсия до суммирования (AVO) является ключом для ее решения. Как пример использования инверсии для разделения эффектов насыщения и давления, как правило, интерпретируется только акустический импеданс. Однако в [16] было показано, что такое разделение возможно только при совместной инверсии и интерпретации акустического импеданса и импеданса для поперечных волн. Этот подход намечает путь не только для качественного разделения эффектов, но и для количественной оценки изменений насыщения и давления.
Такие сложные сценарии добычи, как термические методы увеличения нефтеотдачи месторождений тяже-
лых нефтей [17] и уплотнение пласта [18], требуют анализа влияния температуры и напряженного состояния на скорости сейсмических волн. В частности, во время термального извлечения из конкретного резервуара свойства тяжелых нефтей обычно претерпевают радикальные изменения: из твердого в жидкое состояние. Более того, процессы термального извлечения могут вызывать значительные геомеханические изменения в резервуаре и перекрывающей толще. Описание реологии для композита «тяжелая нефть + песок или песчаник» и его компонентов и мониторинга изменения поведения системы в процессе термального извлечения является очень сложной, но очень важной проблемой для динамического моделирования и оптимизации добычи.
2.6. Лабораторные акустические эксперименты
С помощью специальных технологий можно извлекать образцы горных пород (керны) и флюиды непосредственно из скважины и затем изучать их свойства с помощью лабораторных экспериментов. Такие эксперименты очень важны для сопоставления сейсмических и скважинных данных. Наиболее значимые эксперименты на кернах — выполняемые при различных пластовых температурах и давлениях. Однако горные породы часто рассыпаются при их извлечении из скважины и флюиды могут обладать гистерезисом в зависимости от температуры и давления, что усложняет выполнение лабораторных экспериментов. Помимо анализа кернов, выполняемого для нужд нефтяной индустрии, научные лаборатории проводят исследования на кернах для лучшего понимания физики распространения волн в Земле. Обзор различных акустических и ультразвуковых экспериментов можно найти в работе [19].
Разнообразие экспериментальных установок для измерения акустических свойств насыщенных горных пород можно грубо разделить на 4 категории: 1) импульсное или волновое зондирование с длинами волн меньше размеров образца [20]; 2) резонансная ультразвуковая спектроскопия [21]; 3) циклические измерения напряжений и деформаций в частотном диапазоне 10...1000 Гц [22] и 4) «ящик с песком», моделирующий в более мелком масштабе поверхностную сейсмику [23]. Третий подход представляет особый интерес, потому что он позволяет фактически использовать квазистати-ческие реологические измерения в циклическом режиме для оценки динамических реологических свойств на сейсмических частотах.
Одной из наиболее интересных и трудных задач акустических экспериментов является изучение акустических свойств в широком диапазоне частот — от сейсмических (10...100 Гц) до ультразвуковых (0.5 МГц). Целью таких измерений является наблюдение частотной дисперсии скоростей и/или соответствующего затухания. В работе [24] приведен хороший обзор различных акустических измерений и, в частности, измерений фа-
зовой скорости и затухания сейсмических волн в горных породах для различных насыщающих флюидов. В этом исследовании было обнаружено, что фазовая скорость и затухание сейсмических волн зависят от флюидона-сыщения, частоты и вязкости насыщающего флюида, причем характерный пик этой зависимости затухания приходится на область между сейсмическим и акустическим диапазонами. Эти результаты дают возможность предсказывать тип насыщающего флюида в формации горных пород, основываясь на дисперсии скорости.
Различные лабораторные и теоретические результаты указывают на различную степень чувствительности свойств формации горных пород к температурным изменениям [25]. Было обнаружено, что Р- и S-волны и их затухание для горных пород, насыщенных тяжелыми нефтями/битумами, и образцов песчаника чрезвычайно чувствительны к изменению окружающей температуры. К тому же, в [22], основываясь на лабораторных экспериментах, была показана четкая зависимость акустических свойств и затухания от частоты (в диапазоне приблизительно от 5 Гц до 800 кГц) при различных температурах.
В [26] было показано, что скорости сейсмических волн прямо зависят от эффективных напряжений (являющихся разностью между литостатическим и поро-вым давлением). В [27] было проведено детальное изучение влияния напряженного состояния на скорости акустических волн на керне. В отдельных случаях было обнаружено, что нелинейность может на 2-3 порядка магнитуды быть больше в пористых породах, чем в непористых.
2.7. Значение физики горных пород
В попытках построить связи между сейсмикой, акустикой и данными по кернам с параметрами месторождения были разработаны полуэмпирические модели физики горных пород. Например, в обзоре [28], посвященном сейсмическим аспектам физики горных пород, отмечается, что на сейсмические свойства сложным образом влияет множество связанных факторов: 1) соответствующие свойства скелета породы (поровое пространство, литология, пористость, смачиваемость, трещиноватость, анизотропия, глинистость и др.); 2) свойства насыщающего флюида (насыщенность, состав флюида, соотношение газ-нефть/газ-вода и др.) и 3) физические условия (пластовое давление, геометрия пласта, температура и др.) Адекватный учет всех этих факторов в одной модели — это, скорее, мечта, не реализуемая при сегодняшнем уровне технологий. Вместо этого, современная индустрия вынуждена пока полагаться только на полуэмпирические модели и наводящие соображения.
В последующих главах приведен обзор альтернативных подходов к описанию всего разнообразия упомянутых выше наблюдений.
3. Однофазные модели многокомпонентных горных пород
3.1. Теории эффективных сред для однофазных многокомпонентных горных пород
В большинстве своем природные горные породы являются типичным примером гетерогенной среды, содержащей в себе поры, включения различного характера, трещины, межзеренные границы и прочие дефекты. Следовательно, методы, призванные предсказывать реологическое поведение природных материалов, должны учитывать их гетерогенный характер. Один из подходов, позволяющих учитывать неоднородность структуры, состоит в том, чтобы рассматривать горный массив в качестве композита и пытаться применить к нему методы теории эффективных сред [29]. Теории эффективных сред основаны на предположении о том, что для макроскопического гетерогенного объема (т.е. содержащего большое число неоднородностей) с характерным размером неоднородности, много меньшим размера всего тела или типичной длины волны возмущения, можно найти некий эквивалентный ему по своему макроскопическому поведению однородный материал. Реологические свойства такого эквивалентного материала выражаются в виде определяющих соотношений, вид и параметры которых зависят от микроструктуры и свойств микрокомпонентов реального материала. Для того чтобы континуальные свойства гетерогенной среды описать в терминах структуры и свойств составляющих ее компонентов, в теории эффективных сред вводится понятие представительного элемента объема [29] — материального объема, статистически представительного для бесконечно малой окрестности этой материальной точки. Он, в свою очередь, может иметь собственную сложную микроструктуру и содержать большое число различных включений и дефектов, в связи с чем, как правило, выделяют два различных масштабных уровня: макроуровень, соответствующий континууму в целом, и микроуровень, отвечающий размеру мельчайшей неоднородности. Среди гетерогенных сред отдельный интерес представляют пористые породы, для которых представительный элемент объема состоит из однородного материала со случайно распределенными по его объему порами.
В качестве осредненных показателей для напряжений (деформаций) и их скоростей обычно принимаются их невзвешенные средние, взятые по представительному элементу объема. Эти средние величины зависят как от заданных на границе напряжений (деформаций), так и от присутствующих в объеме неоднородностей. Осредненные (эффективные) величины можно приблизительно оценить, используя граничные теоремы, дающие верхний и нижний пределы значений даже в случаях, когда полная информация о микроструктуре материала, ее точной геометрии не доступна [30, 31]. Одна-
ко если свойства составляющих сильно различаются между собой, например, как в случае твердой матрицы и поровой жидкости, граничные теоремы дают широкую вилку возможных значений параметров.
Более точные оценки эффективных модулей базируются на знании свойств матрицы и поровой жидкости, геометрии и пространственном распределении пор. К материалам с малой пористостью, когда взаимодействие между порами пренебрежимо мало, может быть применена очень простая методика осреднения. Представительный элемент объема среды с малой объемной долей включений рассматривается в виде подверженного действию удаленных граничных возмущений бесконечного массива с одиночной полостью, представляющей собой типичную пору. Если удается найти аналитические выражения для напряжений и деформаций в таком объеме, то, используя свойства осредненных тензоров напряжений и деформаций, можно определить эффективный тензор упругостей или податливостей, который будет зависеть от упругих модулей матрицы и величины пористости.
Другим довольно распространенным методом осреднения является метод самосогласования [29]. Здесь также рассматривается одиночная типичная каверна в неограниченной однородной среде. Однако, в отличие от предыдущего случая, упругие модули этой однородной среды зависят от наличия в ней других воображаемых полостей и подлежат определению. Данный метод позволяет учесть взаимодействие между порами, и его область применимости несколько шире, чем предыдущего метода, но также ограничена сравнительно небольшими значениями пористости.
Для более широкого диапазона пористости может быть применена дифференциальная модель [32]. Согласно дифференциальной схеме процедура определения эффективных параметров распадается на последовательность шагов. На каждом отдельном шаге рассматривается единообразный представительный элемент объема с бесконечно малой пористостью. Его эффективные свойства оцениваются исходя из модели с малой объемной долей включений. На каждом следующем шаге новому элементу объема приписывается тензор упругости, полученный на предыдущем шаге, и процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое значение пористости.
Отметим, что для сред с малой пористостью методы малой объемной доли включений, самосогласования, дифференциальный метод дают одинаковые эффективные модули. Во всех описанных выше моделях поры изолированы по отношению к потоку жидкости, что в случае низкочастотного поведения требует дополнительных изменений всех описанных моделей [33], однако при высокочастотных возмущениях вполне допустимо. В общем эффективные свойства пористой среды сильно отличаются от свойств составляющих. Так, мо-
гут измениться порядок изотропии, вид нелинейности, появляется диссипация [34].
Иногда материал со сравнительно большой пористостью можно представить как регулярную структуру с периодически распределенными порами. Вообще, среды с периодической пористостью можно рассматривать как предельный случай материалов со случайным распределением дефектов, позволяющий получить предельные оценки эффективных параметров. Для периодических структур вместо представительного элемента объема вводится понятие представительной элементарной ячейки, учитывающее периодичность всех материальных функций в рассматриваемой области. Гомогенизация периодической пористой среды может быть выполнена на основе подхода, опирающегося на ряды Фурье, или с применением асимптотического разложения [35]. Обзор результатов асимптотического периодического осреднения в композитах с различными реологическими свойствами можно найти в [34], там же обсуждаются некоторые вопросы, связанные с распространением звука в таких средах, в частности, вопрос о появлении диссипации в композитном материале с недиссипативными компонентами. Показано, что для периодических структур диссипация не возникает, в то время как в случайных структурах диссипация в композите возникает даже при ее отсутствии во всех компонентах композита.
В процитированных выше работах реальным порам при осреднении чаще всего приписывается некоторая идеальная геометрия: сферическая, эллипсоидальная, включающая в себя крайние случаи иглообразной (вытянутые эллипсоиды) и дискообразной (сплющенные эллипсоиды) трещин, а также цилиндры с поперечным сечением в виде круга, эллипса или многоугольника со сглаженными углами. Как правило, все эти дефекты помещаются в упругую матрицу, а их деформирование происходит под влиянием очень простых граничных воздействий, таких как гидростатическое напряжение, заданное на удаленной границе, или, реже, под влиянием сдвигового напряжения. Тем не менее, те же самые методики осреднения могут быть применены и в случаях более общей геометрии пор, граничных воздействий или реологии матрицы.
Случай конечных деформаций, требующий введения специальных техник осреднения, обсуждается в [36]. Заметим, что упругие решения благодаря принципу Вольтерра напрямую могут быть использованы для оценки вязких свойств среды [29]. Тот же принцип позволяет получить вилки значений для вязкоупругих показателей гетерогенных материалов. Случаи нелинейной ползучести в неоднородных пористых материалах рассмотрены в [37]. Некоторые аналитические решения, описывающие поведение сферических и цилиндрических каверн в конечном и бесконечном упругопластическом или упруговязкопластическом массиве, подвержен-
ном действию гидростатической нагрузки, могут быть найдены, например, в [38].
Распространение волн в гетерогенных средах характеризуется затуханием амплитуды и дисперсией скорости, что происходит вследствие рассеивания волн на неоднородностях. Кроме того, скорости волн, распространяющихся по пористой среде, сильно зависят от отношения длины волны к характерному размеру поры. Когда длина волны значительно превышает характерный размер поры, среда ведет себя как эффективный однородный континуум, в противном случае эффекты рассеивания дают о себе знать и возникает потребность в иных подходах. Некоторые исследования затухания акустических волн в неоднородных средах можно найти в [29].
3.2. Феноменологические модели структурно-неоднородных сред
В отличие от подхода, описанного в предыдущем разделе, в классической феноменологии представительный элементарный объем физической среды рассматривается как материальная точка, а поведение среды описывается с помощью полевых функций — интегральных характеристик этого представительного объема. После пионерских работ [39], в которых каждой точке континуума были дополнительно приписаны вращательные степени свободы, и [40], где феноменологически учитывались микродеформации среды, появилась целая серия микрополярных теорий (обзор современного состояния проблемы распространения волн в средах с микроструктурой представлен в [41]), являющихся, впрочем, частным случаем более общей теории, развитой на основе лагранжева и калибровочного формализмов [42].
Методы классической дифференциальной геометрии давно и плодотворно используются при описании сплошной среды, что обусловлено удивительным соответствием структуры дифференцируемых многообразий физическим представлениям об упругих средах с непрерывным распределением внутренних напряжений [43]. Материальная среда рассматривается как аффино-метрическое многообразие, вложенное в трехмерное евклидово пространство, при этом внутреннее состояние материала фактически сопоставляется определенной внутренней геометрии. Первые работы по геометрическому описанию дефектов были выполнены в середине прошлого века. В работах [44, 45] была отмечена необходимость учета неевклидова характера внутренней геометрии материала, зависящей от типа дефектов. В частности, для описания линейных дислокаций необходимо рассматривать объекты несимметричной связности, запрещенные евклидовой геометрической структурой классической теории.
Последующее использование методов дифференциальной геометрии позволило существенно расширить
классическую теорию упругости [46], хотя использование статического подхода не позволяло вывести балансовые соотношения для импульса и энергии дефектов. В 1979 г. Эделен предложил строить динамическую теорию упругопластического континуума на основе калибровочной симметрии — группы локальных трансляций и поворотов [47], а лагранжиан с расширенной группой симметрии конструировать с помощью введения калибровочных полей (метод Янга-Миллса). Впоследствии применение калибровочного формализма в комбинации с геометрическими методами для конструирования новых моделей упругопластического деформирования привело к созданию целого направления [48]. Общим для всех подходов явилось использование геометрических объектов неевклидовости в качестве характеристик дефектной структуры материала. В частности, принято связывать тензор кручения, кривизны и сегментарной кривизны с дислокациями, дисклинация-ми и точечными дефектами соответственно. Последовательное использование калибровочного формализма позволяет получить лагранжиан среды с дефектами, а получающиеся в результате полевые уравнения самосогласованно описывают динамику дефектов и эволюцию напряжений в среде. Учет диссипативных процессов при таком подходе осуществляется введением в лагран-жевы уравнения силы трения с помощью диссипативной функции, которая, как и лагранжиан, не должна зависеть от калибровочных степеней свободы. В обзоре [49] такая диссипативная функция определена как квадратичный скалярный инвариант от производной тензора пластической дисторсии по времени, что вытекает из предположения о связи основной диссипации в среде с пластическими степенями свободы. В этом обзоре также обсуждаются принципы построения калибровочной теории упругопластического континуума, физический смысл калибровочной симметрии и констант калибровочной теории.
Альтернативный подход к геометрическому описанию упругопластических материалов, содержащих дефектные структуры, был разработан В.П. Мясниковым и М.А. Гузевым. Основные идеи этого подхода, а также подробная библиография представлены в обзоре [50]. Как и в предыдущем подходе, дефектная структура ассоциируется с геометрическими объектами неевклидовос-ти (тензорами кривизны, кручения и неметричности), равными нулю в классической теории упругости. Отличие любого из них от нуля приводит к неевклидовой модели, имеющей структуру афинно-метрического пространства, а ненулевая характеристика этой структуры рассматривается в качестве «скрытого» термодинамического параметра и, следовательно, аргумента внутренней энергии материала. В отличие от предыдущего подхода, кинематика ненулевой аффинно-метрической характеристики определяется из условия сохранения ее тензорного характера вдоль траектории. Если
полученное из этого условия уравнение переноса дополнить источниками, характеризующими взаимодействие дефектов, то для замыкания термодинамически согласованной модели остается задать диссипативный потенциал как функцию этих источников.
Определение функциональных зависимостей внутренней энергии и диссипативного потенциала от своих аргументов является в общем случае чрезвычайно сложной задачей. Однако существенно упрощенные модели могут также представлять определенный интерес. Например, зависимости внутренней энергии от энтропии, обобщенной дисторсии и тензора кручения достаточно для описания дислокаций, в то время как для описания дисклинации потребуется дополнить классический список аргументов внутренней энергии компонентами тензора Римана-Кристоффеля. Кроме того, зависимость от тензорных характеристик во многих практически важных случаях сводится к зависимости от их инвариантов. В работе [51] была предложена неевклидова модель, в которой число дополнительных функций, необходимых для описания всех дефектных структур, минимально и определено их соответствие с поведением материала на различных структурных уровнях.
Следует отметить, что ключом к определению функциональных зависимостей термодинамических потенциалов от их аргументов может служить результат пространственного осреднения периодических или случайных структур на меньших масштабах [52], что позволяет говорить о чрезвычайно важной и плодотворной связи между феноменологическими и статистическими реологическими теориями.
Для определения акустических свойств среды с дефектами структуры необходимо провести надлежащим образом линеаризацию определяющих уравнений (вообще говоря, нелинейных). Существенным здесь является определение нетривиального равновесного напряженного состояния, которое следует находить из решения стационарных аналогов определяющих уравнений.
Теорию распространения волн в неевклидовых средах вряд ли можно считать хорошо развитой, что, по-видимому, обусловлено сложностью экспериментальной интерпретации предсказаний теории. В частности, на сегодняшний день отсутствует четкое понимание, как различные типы неевклидовой характеристики материала влияют на поглощение и рассеяние волн. Несмотря на это, выполненные к настоящему моменту исследования позволили получить несколько важных с теоретической и прикладной точки зрения результатов. Например, было показано, что в низкочастотном пределе упругопластический континуум с дислокациями ведет себя как вязкая жидкость, характеризующаяся кинематически независимыми ротационными степенями свободы («жидкость» Коссера). Исследованная динамика локальных пластических поворотов, отличающих неевклидо-
вы модели от классических теорий пластической деформации, позволяет подойти к анализу ротационных механизмов разрушения материалов [49].
В целом, изучение неевклидовых моделей внутренней структуры твердых тел было инициировано необходимостью описать кристаллы с дефектами и остаточными напряжениями. Отличительной чертой кристаллов является то, что внутренняя геометрия (метрики + связи) может быть определена с помощью локальной кристаллической решетки. Для горных пород такой подход невозможен. Кроме того, дефекты и остаточные напряжения в горных породах зависят от типа горной породы и, едва ли, могут быть описаны с помощью классической теории твердого тела. Поэтому это может стать областью возможного применения дифференциальных неримановых геометрий.
Поворотные моды пластической деформации приводят в самосогласованное движение всю иерархию структурных уровней среды и обусловливают появление в них новых диссипативных структур [53]. Однако в ситуации, когда преобладающим является трансляционное движение дефектов под действием напряжений, можно ограничиться классическими теориями упругопластических деформаций при исследовании распространения малых возмущений в дефектной среде, находящейся в нетривиальном напряженном состоянии. Среди большого числа публикаций и монографий, посвященных этому вопросу, отметим работу [54], в которой пористая среда моделируется с помощью набора комбинаций простых реологических элементов. Помимо классических упругих, пластичных и вязких элементов был введен и пористый элемент, представляющий собой предварительно растянутый жесткий контакт с начальной деформацией, зависящей от пористости. Реологическая схема была математически формализована и проведены численные расчеты отклика материала на циклическое нагружение. Оказалось, что с увеличением частоты нагружения уровень деформации среды существенно падает, и если заданной амплитуды напряжений недостаточно для схлопывания пор, то пластическая деформация принимает отрицательное значение и остается постоянной в процессе всего нагружения; свойство ползучести полностью исчезает. Поведение пористой среды в этом случае хорошо описывается теорией упругости, учитывающей начальную (пластическую) деформацию.
4. Двухфазные модели многокомпонентных сред
4.1. Классическая модель упругости пористых сред Био
Насыщенная пористая среда представляет собой гетерогенную смесь твердой (которая сама может быть микрогетерогенной) и жидкой фаз. В статическом пределе реология фаз несущественна и пористая среда мо-
жет рассматриваться как предельный случай однофазной многокомпонентной среды, в которой один из компонентов (жидкость) имеет нулевой модуль сдвига. Поэтому в статическом пределе эффективные свойства среды могут быть получены с помощью моделей, описанных в разделе 3. Однако в случае связанной пористости жидкость обладает уникальным свойством, известным как закон Паскаля: ее давление постоянно во всем поро-вом пространстве, что приводит к замечательно простой связи между эффективными модулями насыщенной пористой среды и модулями той же среды, но с незаполненными порами. В случае, когда вещество скелета мик-рооднородно и микроизотропно, эти соотношения представляют собой соотношения Гассмана [33] и играют фундаментальную роль в сейсмической характеристике углеводородных резервуаров.
В отличие от статического случая динамическое поведение пористой среды не может быть описано моделями однофазной многокомпонентой среды из-за эффектов, связанных с вязкостью жидкости, проявляющейся при относительном движении твердой и жидкой фаз [55]. Поэтому минимальный набор полевых переменных включает смещение обоих фаз, осредненное по представительному элементарному объему, размер которого должен быть в этом случае много больше максимального размера пор и много меньше длины волны.
Уравнения для этих полевых переменных, известные как уравнения упругости пористой среды, были впервые получены Я.И. Френкелем в 1944 г. [56], показавшим, что в такой среде распространяются две волны сжатия (дополнительная мода известна сейчас как волна второго типа или медленная волна) и одна поперечная волна, не испытывающая ни дисперсии, ни поглощения. Уравнения пороупругости были позже усовершенствованы, обобщены и проанализированы М. Био [57, 58], который наряду с Ф. Гассманом и Я.И. Френкелем считается основоположником механики насыщенных пористых сред — механики насыщенных сред с деформируемым скелетом.
В соответствии с классической моделью упругости пористой среды [57] пористая среда состоит из изотропного скелета и содержащейся в его порах жидкости (все поры считаются связанными). Краеугольным камнем в феноменологическом подходе Био является концепция о напряжениях и деформациях в системе и о связи между ними. Важно отметить, что напряжения в твердой фазе в модели Био зависят и от жидких смещений и, наоборот, давление в жидкости зависит от деформаций скелета. Система полевых уравнений выводится с помощью лагранжева формализма, при этом кинетическая энергия выражается в виде квадратичной функции для скоростей частиц в твердой фазе, в жидкой фазе, а также в виде произведения их скоростей. Вязкие эффекты в жидкости не учитываются, за исключением эффектов
межфазного трения, так что диссипативная функция считается пропорциональной квадрату относительной фазовой скорости.
Классическая модель Био в настоящее время считается [59] моделью, важность которой для механики насыщенных пористых сред может быть сопоставлена лишь с работами Гука и Ламе по классической теории упругости. В то же время, классические работы содержат некоторые неточности [60] и, что более важно, некоторые интуитивно неочевидные предположения. Это относится, в первую очередь, к предположению о зависимости кинетической энергии элементарного объема пористой среды от произведения скоростей в жидкой и твердой фазах (см. раздел 4.2).
С другой стороны, классическая модель Био иногда сталкивается с проблемами при интерпретации полевых данных, если в сильно неоднородной на разных масштабах пористой среде возможны мезоскопические течения [14]. В случае тяжелых нефтей необходимо учитывать также температурно-зависимые превращения из твердого состояния в жидкое, а также геометрически и реологически нелинейные эффекты, проявляющиеся в процессе разработки пласта.
Теория, таким образом, развивается в двух направлениях. Первое основано на статистическом осреднении пространственных неоднородностей, проводимом с целью корректировки коэффициентов в классических уравнениях Био, или на получении новых уравнений, способных описывать отмеченные мезоскопические эффекты. Второе направление — феноменологическое расширение модели с целью учета больших деформаций и других нелинейных эффектов.
4.2. Статистическая гомогенизация моделей двухфазных многокомпонентных пород
Классические уравнения механики насыщенных пористых сред были позже получены двумя другими методами: статистическим объемным осреднением [60] и асимптотической гомогенизацией периодических структур [61]. Последний метод, основанный на строгой математической процедуре [35], позволяет сформулировать строгие условия применимости уравнений упругости пористой среды. Во-первых, все поры должны иметь один характерный размер, являющийся единственным параметром среды с размерностью длины. Последнее означает, в частности, что распределение размера пор представляет собой колоколообразную кривую и все поры имеют округлую форму, т.е. отношение их толщины к ширине (так называемое аспектное отношение) должно быть порядка единицы. Во-вторых, вязкость флюида должна быть мала по сравнению с некоторым критическим значением, зависящим от типичного размера пор, а также от упругих модулей и плотности скелета. Если вязкость выше, чем это критическое
значение, тогда переток флюида незначителен и поведение описывается однофазными вязкоупругими моделями [62].
Коэффициенты уравнений упругости пористой среды являются функциями физических свойств фаз (таких как упругие модули, плотности, пористость и проницаемость) и, вообще говоря, могут изменяться в пространстве. Однако в соответствии с так называемым условием разделения масштабов характерный масштаб этих изменений должен быть больше размера представительного элементарного объема. Если пористая среда на этих и б ольших масштабах однородна, то решение уравнения упругости пористой среды можно искать в виде гармонических плоских волн, подстановка которых в уравнения движения дает дисперсионное уравнение пористой среды. Для простейшего изотропного случая это дисперсионное уравнение определяет частотно-зависимое затухание и дисперсию обычной продольной и поперечной волн, максимум которых достигается в районе так называемой характерной частоты Био (которая для большинства пород порядка 10...100 кГц и выше). Физическая природа этого затухания и дисперсии — это переток порового флюида, вызванный градиентами давления между положительными и отрицательными фазами волны. Так как длина волны намного больше размера представительного объема, который, в свою очередь, много больше характерного размера пор, эти градиенты давления и связанный с ними переток флюида называют глобальными или макроскопическими.
Как показывают многочисленные ультразвуковые измерения, затухание обычной продольной и поперечной волн, предсказываемое теорией упругости пористой среды для однородной пористой среды, оказывается на 1-2 порядка меньшим наблюдаемого. Наиболее распространенное объяснение этого расхождения состоит в нарушении первого условия применимости уравнений упругости пористой среды.
Условие выполнимости уравнений упругости пористой среды может нарушаться, когда поровое пространство содержит поры, для которых отношение толщины к диаметру много меньше единицы. В таких порах может иметь место так называемый локальный переток — неравномерная деформация на масштабе меньшего размера, чем размер представительного элементарного объема. Это явление, вызывающее существенное затухание и дисперсию упругих волн и не описываемое уравнениями упругости пористой среды, было концептуально предсказано в [63]. Позднее к этому явлению неоднократно обращались многие исследователи.
Главный результат этих исследований — вывод формулы для характерной частоты затухания за счет локального перетока, которая прямо пропорциональна кубу аспектного отношения и обратно пропорциональна вязкости флюида. Однако несмотря на 30 лет исследова-
ний в этой области в достаточной степени полная математическая модель затухания/дисперсии за счет локального перетока пока не создана, что, по всей видимости, обусловлено большой сложностью и многообразием возможных геометрических конфигураций порового пространства, ответственного за это явление.
Пространственно неравномерная деформация поро-вого пространства, являющаяся одной из причин диссипации в пористых породах, может иметь место на любом масштабе, если средние параметры являются пространственно переменными. Это явление может быть смоделировано, если позволить коэффициентам уравнений упругости пористой среды быть переменными функциями положения (периодическими или случайными) на масштабе много большем, чем размер элементарного представительного объема. Если этот масштаб к тому же намного меньше характерной длины волны, то он называется мезомасштабом, а отнесенный к нему переток жидкости — мезоскопическим.
Анализ эффекта мезомасштабной неоднородности на распространение волн проводится с помощью моделей эффективных сред. Подобно рассмотренным ранее однофазным моделям эти модели могут быть разделены на периодические и статистические.
Первые теоретические исследования упругого затухания и дисперсии волн во влажных пористых средах из-за присутствия мезомасштабных неоднородностей относятся к семидесятым годам, когда Дж. Уайт и его соавторы обнаружили, что прохождение упругой волны в таких средах вызовет поток жидкости между областями повышенной и пониженной податливости среды. Были рассмотрены две теоретические модели этого явления: одномерная модель периодического ансамбля плоских слоев одной пористой среды в другой пористой среде и пространственная модель периодического ансамбля газонасыщенных сферических областей в однородной пористой насыщенной жидкостью среде [64]. Следует отметить, что в одномерном случае слои могли отличаться от вмещающей среды свойствами скелета или флюида, тогда как в пространственной теории сферические включения отличались только свойствами флюида.
Результаты этих исследований были позже воспроизведены с использованием уравнений упругости пористой среды с периодическими коэффициентами [65, 66]. Позднее были разработаны обобщающие теории для ансамбля жидких областей произвольной формы [67] и ансамбля включений с контрастом в любых материальных свойствах [14]. Общим ограничением этих моделей является ограничение периодической конфигурацией неоднородности.
Известно, что случайная природа неоднородности коллекторов может привести к отличному от случая периодической среды поведению затухания и дисперсии. Для одномерного случая, т.е. для беспорядочно слоистых пористых сред, это было подтверждено исследова-
ниями [68-70], показавшими, что пик ослабления для случайного распределения неоднородностей намного шире, чем для периодического случая, а асимптоты низкой частоты ослабления отличаются (обратная добротность пропорциональна частоте для периодических моделей, но пропорциональна квадратному корню из частоты для случайных моделей). Эти результаты были получены при помощи описания неоднородной пористой среды уравнениями упругости пористой среды со случайными коэффициентами и применением метода статистического сглаживания [71], обычно используемого для анализа распространения волн в случайных средах и представляющего собой обобщенную версию корреляционного метода для упругих сред [29]. Теоретические результаты для периодических и случайных слоистых упругих пористых сред были подтверждены численными экспериментами [69, 72].
Оказывается возможным расширить границы применения периодических моделей с помощью стохастических периодических моделей. В этом случае свойства распределены случайным образом, в то время как все функции распределения компонентов (средние величины, корреляционные функции и др.) являются периодическими. Математическое описание таких сред основано на обобщенной теории Флоке. Для трехмерной среды метод статистического сглаживания был недавно применен для получения дисперсионного уравнения для волн в беспорядочно гетерогенной пористой среде с изотропной функцией корреляции материальных свойств [73-75]. Как и для одномерных моделей, этот подход ограничен малым пространственным отклонением материальных параметров от среднего значения.
Альтернативный подход состоит в рассмотрении взаимодействия (упругое рассеяние в пористой среде) упругой волны в пористой среде со случайным ансамблем включений другой пористой среды с отличными свойствами. Компактное аналитическое решение задачи в случае сферических включений было получено на основе известного решения для одной сферы [76]. Хотя простая модель однократного рассеяния ограничена малой концентрацией дискретных неоднородностей, она не имеет ограничения на контраст материальных свойств.
Периодические и статистические модели, описанные выше, обеспечивают надежную основу для моделирования и анализа влияния пространственной неоднородности на распространение упругих волн в пористых средах. На первый взгляд, эти модели ограничены мезоскопическим масштабом и не могут использоваться для моделирования эффектов на масштабном уровне отдельных пор (таких как локальный переток), поскольку это нарушило бы условие разделения масштабов, играющего принципиальную роль при выводе уравнений упругости пористой среды. Более того, материальные свойства пористой среды теряют смысл на этом масш-
табе: такие свойства, как пористость, проницаемость или упругие модули скелета, могут быть определены только на масштабе представительного элементарного объема и не имеют смысла для отдельной поры или зерна.
4.3. Феноменологические модели двухфазных многокомпонентных сред
Как отмечалось выше, альтернативным направлением развития классической модели Био является применение методов механики сплошной среды для описания реологии более сложных, чем среда Био, насыщенных пористых сред и акустики в них. В построенных термодинамически согласованных феноменологических моделях исследование распространения возмущений производится путем дальнейшей ее линеаризации относительно какого-либо стационарного состояния или прямого численного моделирования распространения малых возмущений в исходных нелинейных моделях.
Механика деформируемых насыщенных пористых сред является, вообще говоря, разделом механики гетерогенных систем, имеющей, впрочем, некоторые существенные особенности. Одна из них связана с концепцией представительного элемента объема: в общем случае нельзя выделить микрообъем сплошного материала только одного из составляющих смесь веществ. С точки зрения термодинамики, в многофазных средах возникает необходимость рассмотрения дополнительной фазы «граничной поверхности» для корректной формулировки условий термического и механического равновесия [77]. Другая особенность заключается в том, что многофазные пористые среды являются термодинамически открытыми системами. Это приводит, во-первых, к известной неоднозначности основных термодинамических концепций (теплоты и работы) и, во-вторых, к необходимости выписывать законы сохранения для конечных деформаций во избежание серьезных ошибок в массовом балансе.
Говоря о развитии классической модели Био, следует упомянуть, в первую очередь, о теории, развитой самим Био [78], в основе которой лежит фундаментальное переосмысление основ термодинамики открытых систем. Например, вместо потенциала Гиббса предложено использовать «термобарический потенциал», введена и разработана концепция переноса энтропии, предложен принцип виртуальной диссипации, обобщающий принцип Даламбера на нелинейные диссипативные термодинамические системы. Разработанные концепции были применены, в частности, к механике конечных деформаций насыщенной пористой среды с учетом теплопе-реноса, к «полулинейной» теории деформации пористой среды в частном случае линейной связи между давлением и деформацией в жидкой фазе; проанализированы вязкоупругие эффекты в такой среде и сформулированы условия пластического течения в терминах эффектив-
ных напряжений. Была также рассмотрена проблема тепломассобмена между фазами с учетом конденсации и поверхностной адсорбции.
Некоторые идеи Био были впоследствии формализованы и обобщены в общем контексте неравновесной термодинамики на случаи термоупругости частично насыщенной пористой среды, пластичности и вязко-пластичности пористой среды, двойной пористости и неидеальных смесей. В настоящее время механике и термодинамике многофазных пористых сред посвящено несколько монографий [20, 79] и огромное количество публикаций. Современное состояние предмета изложено в обзорах [80, 81].
В то же время, некоторые важные идеи Био до сих пор не развиты. Это относится, в частности, к его явно опередившему свое время предложению применять конечно-элементные методы непосредственно к уравнениям Лагранжа, не выводя полевых уравнений [78].
Хотя, в построении нелинейных моделей механики насыщенных пористых сред достигнут в последнее время заметный прогресс, исследование распространения волн проводится в основном в рамках вязкоупругой модели пористой среды, впервые предложенной Био [58, 63], заменившем скалярные коэффициенты в классических уравнениях упругости пористой среды на зависящие от времени операторы, и впоследствии интенсивно развивающейся. Среди многочисленных работ отметим работу [82], где проведено сопоставление вязкоупругого и упругого затухания в пористой среде и показано, что для распространения акустических волн в бесконечной пористой среде механизм вязкоупругого затухания всегда преобладает над упругим. Сравнение распространения волн в вязкоупругой и упругих моделях проведено также в [83], где при приближенном описании упругой пористой среды была использована вязкоупругая модель, имеющая идентичные упругой модели пористой среды волновые числа, и установлена принципиальная возможность использования вязкоупругого приближения для изучения распространения медленной волны Био и поверхностных волн.
Отклонение модели от вязкоупругой модели пористой среды может существенно проявиться в особенностях распространения волн. Например, при исследовании модели пористой среды, насыщенной неньютоновской (максвеловской) жидкостью [84], было обнаружено общее увеличение фазовых скоростей волн сжатия и сдвиговых волн по сравнению с классическим случаем, уменьшение коэффициентов затухания этих волн и наличие осцилляций всех физических параметров (что характеризуется малыми значениями числа Деборы). В работе [85] были рассмотрены характеристики волн, падающих на такую пористую среду, и рассчитаны скорость и затухание поверхностной волны Рэлея. Оказалось, что при малых числах Деборы скорость волны Рэлея обладает сильной частотной дисперсией и что по
измеряемой частотной дисперсии волны Рэлея можно оценивать число Деборы.
В последнее время накоплено множество фактов, указывающих на важность учета нелинейных эффектов при исследовании распространения волн в насыщенных пористых средах [86], что, в первую очередь, обусловлено микронеоднородностью структуры порового пространства и вязкостью поровой жидкости (напомним, что в модели Био жидкость считается идеальной, а вязкость проявляется только при межфазном взаимодействии). При этом ставится вопрос и о необходимости создания нелинейной 4D-технологии.
5. Заключительные замечания
Глядя на представленное выше разнообразие лабораторных и полевых измерений, на многочисленные статистические и феноменологические модели структурнонеоднородных сред, возникает вопрос о возможных рекомендациях, ответ на который, в сущности, связан с определением термина «реологический мониторинг», которое до сих пор не было дано.
Из анализа представленного фактического материала можно сделать общий вывод, что современная сейсмическая интерпретация все более и более успешно использует динамическую (амплитудную) сейсмическую информацию для оценки таких параметров пласта, как литология, поровое давление и тип флюида. Однако для более точных оценок (в частности, для флюидонасыще-ния) настала пора анализа диссипативных свойств среды. Совместное использование сейсмических методов со скважинными наблюдениями стало неотъемлемой частью современной технологической цепочки. В то же время, привязка разночастотных наблюдений требует более тщательного изучения дисперсионных свойств среды. Современные керновые лабораторные исследования позволяют изучать зависимость акустических свойств образцов от частоты, температуры и напряжений. При этом даже удается зайти в сейсмический диапазон частот с помощью динамических реологических методов. Однако на сегодняшний день отсутствует комплексный подход к математическому моделированию этих зависимостей. Вместо этого предлагается огромное количество полуэвристических, полуэмпири-ческих моделей, выбор которых определяется вкусом, опытом и интуицией конкретного исследователя. Примером тому может служить, что одни и те же многомасштабные данные с полигона Imperial College были одинаково удовлетворительно аппроксимированы существенно различающимися моделями [13, 14].
Из сопоставления статистических и феноменологических подходов в описании реологических свойств какой-либо среды, в частности пористой, можно заключить, что статистическая реология решает те задачи, ко-
торые может; так, как нужно, а феноменологическая — те задачи, которые нужно; так, как может [87]. Другими словами, используя математически корректную технику осреднения, можно решить лишь класс задач, сравнительно узкий по сравнению с менее строгим, с механистической точки зрения, феноменологическим подходом. В этой связи представляется разумным по мере возможности эти подходы совмещать. В качестве представительного примера такого совмещения можно привести рассмотренный в разделе 3.2 вывод термодинамических потенциалов в результате пространственного осреднения периодических структур, которые затем использовались в феноменологических моделях сред, произвольно организованных на микроуровне. Обратно, феноменологическое моделирование необходимо для адекватного проведения статистического осреднения. Примером здесь является построение локальной пластической зоны вокруг одиночной каверны (раздел 3.1).
Проблема выбора конкретной модели для интерпретации полевых (и в меньшей степени, лабораторных) данных связана еще и с тем, что неопределенность информации об источнике этих данных, как правило, очень велика. Поры в средах могут быть связаны или изолированы; среда может быть сухой, насыщенной или частично насыщенной; нефть может находиться в различных фазах, количество которых зависит, в том числе, от недостаточно известного химического состава; среда может находиться в нетривиальном напряженном состоянии, меняющемся в процессе разработки месторождения — вот далеко не полный перечень существенных для моделирования и неизвестных заранее факторов. В этих условиях суть предлагаемого реологического мониторинга сводится к предварительному исследованию зависимости диссипативных свойств среды от реологических параметров моделей определенного класса. Последовательное расширение классов рассматриваемых моделей в соответствии с практическими потребностями и создание базы данных диссипативных свойств пористых сред могут оказаться чрезвычайно полезными при идентификации конкретных особенностей интерпретируемых экспериментальных данных. При интерпретации же полевых данных могут возникнуть вполне ожидаемые сложности, связанные с геометрической и литологической неоднородностью среды. Возможным способом решения этой проблемы может стать прямое численное осреднение однородных решений.
Благодарности
В процессе работы над обзором мы общались со многими коллегами, чьи комментарии существенно помогли в его написании, а в некоторых случаях и существенно улучшили качество написанного. Мы благодарны С.В. Гольдину, М.А. Гузеву, Д. Джонсону, О.Ю. Динарие-ву, Н. Дутте, А.В. Каракину, Ю.А. Кухаренко, П.В. Ма-
карову, Г.А. Максимову, X. Оздемиру, Ю.Ю. Подлад-чикову, B.E. Року, О^. Садовской, B^. Садовскому, Л. Сонелланду и всем участникам семинара «Геофизика и геомеханика» (Байкал, август 200б г.).
Литература
1. Avseth P., Mukerji T., Mavko G. Quantitative Seismic Interpretation —
Applying Rock Physics Tool to Reduce Interpretation Risk. - Cambridge: Cambridge University Press, 2005. - 359 p.
2. Castagna J.P., Backus M.M. Offset-Dependent Reflectivity — Theory and Practice of AVO Analysis. - Tulsa, OK: Society of Exploration Geophysicists, 1993. - 348 p.
3. Russell B., Hedlin K., Hilterman F., Lines L.R. Fluid-property discrimi-
nation with AVO: A Biot-Gassmann perspective // Geophysics. -
2003.- V. б8. - P. 29-39.
4. Hilterman F. Seismic Amplitude Interpretation. SEG/EAGE Distingui-
shed Instructor Short Course (DISC). - 2001.
5. Bachrach R. Joint estimation of porosity and saturation using stochastic
rock-physics modeling // Geophysics. - 200б. - V. 71. - No. 5. -P. О53-Об3.
6. Marfurt K.J., Chopra S. Seismic attribute mapping of structure and stratigraphy. Distinguished instructor short course // Distinguished Instructor Series. - 200б. - No. 9.
7. Winkler K.W., Liu H.L., Johnson D.L. Permeability and borehole Sto-neley waves: Comparison between experiment and theory // Geophysics. - 19S9. - V. 54. - No. 1. - P. бб-75.
S. Rapoport M.B., Rapoport L.I., Ryjkov VI. Direct detection of oil and gas fields based on seismic inelasticity effect // The Leading Edge. -
2004. - P. 27б-278.
9. Goloshubin G., Vanschuyer C., Korneev V, Silin D., Vingalov V Reservoir imaging using low frequencies of seismic reflections // The Leading Edge. - 200б. - V. 25. - P. 527-531.
10. Баранский Н.Л., ^злов E.A., Давыдова E.A., Aфaнaсьeв М.Л. Нефтенасыщенность, амплитуда отражения и частота — прямая или обратная зависимость? // Proceedings of Int. Conf. EAGE, Saint-Petersburg, 1б-19 October, 200б.
11. Devi S.K.R., Kohen A.J. Wavelet Transforms and Hybrid Neural Nets for Improved Pore Fluid Prediction and Reservoir Properties Estimation // SEG Int. Exposition and 74th Annual Meeting, Denver, Colorado, 10-15 October 2004.
12. Dangel S., Schaepman M.E., Stoll E.P., Carniel R., Barzandji O., Rode E.-D., Singer J.M. Phenomenology of tremor-like signals observed over hydrocarbon reservoirs // J. Volcanology and Geotermal Research. - 2003. - V. 128. - No. 1-3. - P. 135-158.
13. Sams M.S., Neep J.P., Worthington M.H., King M.S. The measurement of velocity dispersion and frequency-dependent intrinsic attenuation in sedimentary rocks // Geophysics. - 1997. - V. б2. - No. 5. - P. 145б-14б4.
14. Pride S.R., Berryman J.G., Harris J.M. Seismic attenuation due to wave-induced flow // J. Geophys. Res. - 2004. - V. 109. - No. B1. -CiteID B01201.
15. Meadows M., Adams D., Wright R., Tura A., Cole S., Lumley D. Rock physics analysis for time-lapse seismic at Schiehallion Field, North Sea // Geophysical Prospecting. - 2005. - V. 53. - No. 2. -P. 205-213.
16. Ozdemir H., Hansen J.W., Tyler E. Rock and reservoir parameters from pre-stack inversion of surface seismic data // First Break. -200б. - V. 24. - P. S3-S7.
17. Шандрыгин A.H., Нухаев M.T., Тертычный B.B. Разработка залежей тяжелой нефти и природного битума методом парогравитационного дренажа // Нефтяное хозяйство. - 200б. - № 7.
18. HatchellP., Bourne S. Rocks under strain: Strain-induced time-lapse time shifts are observed for depleting reservoirs // The Leading Edge. -
2005. - V. 24. - P. 1222-1225.
19. Nagy P.B. Acoustics and Ultrasonics // Methods in the Physics of Porous Media / Ed. by Po-zen Wong. - San-Diego: Academic Press,
1999. - 485 p.
20. Bourbie T., Coussy O., Zinszner B. Acoustics of Porous Media. -Paris: Editions Technip, 1987. - 334 p.
21. Ulrich T.J., McCall K.R., Guyer R.A. Determination of elastic moduli of rock samples using resonant ultrasound spectroscopy // J. Acoust. Soc. Am. - 2002. - V. 111. - No. 4. - P. 1667-1674.
22. Batzle M.L., Han D.-H., Hofmann R. Fluid mobility and frequency-dependent seismic velocity. Direct measurements // Geophysics. -2006. - V. 71. - No. 1. - P. N1-N9.
23. Sherlock D.H., Evans B.J. Time-lapse 3-D seismic with analogue sandbox models // SEG Expanded Abstracts. - 1999. - V. 18. - P. 1683.
24. Jones T.D. Pore fluids and frequency-dependent wave propagation in rocks // Geophysics. - 1986. - V. 51. - P. 1939-1953.
25. WangZ., Nur A.M. Effect of temperature on wave velocities in sands and sandstones with heave hydrocarbons // SPE Reservoir Engineering. - 1998. - V. 3(1). - P. 158-164.
26. Domenico S.N. Elastic properties of unconsolidated porous sand reservoirs // Geophysics. - 1977. - V. 42. - P. 1339-1368.
27. Fjaer E., Holt M.R. Rock acoustics and rock mechanics; their link in petroleum engineering // The Leading Edge. - 1994. - V. 13. - P. 255258.
28. Wang Z. Fundamentals of seismic rock physics // Geophysics. -2001. - V. 66. - No. 2. - P. 398-412.
29. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.
30. Voigt W. Uber die Beziehung zwischen den beiden Elastizitatskons-tanten isotroper Korper // Wied. Ann. Physik. - 1889. - V. 38. - P. 573587.
31. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. -1963. - V. 11. - P. 127-140.
32. Norris A.N. A differential scheme for the effective moduli of composites // Mechanics of Materials. - 1985. - V. 4. - P. 1-16.
33. Gassmann F. Uber die Elastizitatporoser Medien // Vier. der Natur. Gesellschaft in Zurich. - 1951. - V. 96. - P. 1-23.
34. ЭглитМ.Э. Новые модели, возникающие при осредненном описании микронеоднородных сред // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. - 1998. - Т. 223. - С. 102-111.
35. БахваловН.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. - М.: Наука, 1984. - 352 c.
36. Hill R. On constitutive macro-variables for heterogeneous solids at finite strain // Proc. Roy. Soc. Lond. - 1972. - V. A326. - P. 131-147.
37. Budiansky B., Hutchinson J.W., Slutsky S. Void Growth and Collapse in Viscous Solids // Mechanics of Solids / Ed. by H.G. Hopkins, M.J. Sewell. - Oxford: Pergamon Press, 1982. - P. 13-45.
38. Yu H.-S. Cavity Expansion Methods in Geomechanics. - Dodrecht-Boston: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 385 p.
39. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. - Paris: A Hermann et Fils, 1909. - 226 p.
40. Le Roux J. Etude gеometrique de la torsion et de la flexion dans la deformation infinitesimale d’un milien continu // Ann. Scient. de l’Ecole Normale Superieure Ser. 3. - 1911. - V. 28. - P. 523-579.
41. ЕрофеевВ.Н. Волновые процессы в твердых телах. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.
42. Гриняев Ю.В. Калибровочно-инвариантное описание деформации структурно-неоднородных сред // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 102-112.
43. Курбатов А.М. Предисловие редактора перевода // Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций / Под ред. А. Кадича, Д. Эделена. - М.: Мир, 1987. - 168 с.
44. Kondo K. On the Geometrical and Physical Foundation of the Theory of Yielding // Proc. 2. Japan. Nat. Congr. Appl. Mech., 1952. - Tokyo, 1953. - P. 41-47.
45. Bilby B.A., Bullough R., Smith E. Continuos distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Riemann geometry // Proc. Roy. Soc. A. - 1955. - V. 231. - P. 263-273.
46. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. - М.: Мир, 1965. - 102 с.
47. Edelen D.G.B. On a closure of the governing equations of defect mechanics and the resulting theory of plastic state // Int. J. Engng. Sci. - 1979. - V. 17. - P. 441^64.
48. Панин В.Е., ГриняевЮ.В., ДаниловВ.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
49. Попов В.Л., Слядников Е.Е., Чертова Н.В. Динамическая калибровочная теория волн в упругопластических средах // Физическая ме-зомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред.
B.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 113-130.
50. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах // Докл. РАН. -2001. - Т. 38. - № 5. - С. 627-629.
51. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях // Физ. мезомех. -
2000. - Т. 3. - № 1. - С. 5-16.
52. ЛяховскийВ.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1984. - № 10.
53. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики пластической деформации и разрушения твердых тел // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 7-50.
54. Садовская О.В., Садовский В.М. К исследованию упругопластических волн в сыпучей среде // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - № 5. -
C. 168-176.
55. Biot M.A. General theory of three dimensional consolidation // J. Appl. Phys. - 1941. - V. 12. - P. 155-164.
56. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР. Сер. географ. и гео-физ. - 1944. - Т. 8. - № 4. - С. 133-150.
57. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated porous solid. I. Low frequency range. II. Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Am. - 1956. - V. 28. - P. 168-191.
58. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl. Phys. - 1962. - V. 33. - P. 1482-1498.
59. Wilmanski K. A few remarks on Biot’s model and linear acoustics of poroelastic saturated materials // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 2006. - V. 26. - P. 509-536.
60. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. - М.: Недра, 1970. - 339 с.
61. Levy T. Propagation of waves in a fluid-saturated porous elastic solid // Int. J. Eng. Sci. - 1979. - V. 17. - P. 1005-1014.
62. Boutin C., Auriault J.-L. Dynamic behaviour of porous media saturated by a viscoelastic fluid. Application to bituminous concretes // Int. J. Eng. Sci. - 1990. - V. 28. - P. 1157-1181.
63. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. - 1962. - V. 34. - No. 5. -P. 1254-1264.
64. White J.E. Computed seismic speeds and attenuation in rocks with partial gas saturation // Geophysics. - 1975. - V. 40. - P. 224-232.
65. Norris A.N. Low-frequency dispersion and attenuation in partially saturated rocks // J. Acoust. Soc. Amer. - 1993. - V. 94. - P. 359-370.
66. Dutta N.C., Ode H. Attenuation and dispersion of compressional waves in fluid-filled porous rocks with partial gas saturation (White model) // Geophysics. - 1979. - V. 44. - P. 1777-1805.
67. Johnson D.L. Theory of frequency dependent acoustics in patchy-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Am. - 2001. - V. 110. -P. 682-694.
68. Gurevich B., Lopatnikov S.L. Velocity and attenuation of elastic waves in finely layered porous rocks // Geophys. J. Int. - 1995. - V. 121. -P. 933-947.
69. Gelinsky S., Shapiro S.A., Muller T.M., Gurevich B. Dynamic poroelas-ticity of thinly layered structures // Int. J. Solids and Structures. -1998. - V. 35. - P. 4739-4752.
70. Muller T.M., Gurevich B. One-dimensional random patchy saturation model for velocity and attenuation in porous rocks // Geophysics. -
2004. - V. б9. - P. 11бб-1172.
71. Karal F.C., Keller J.B. Elastic, electromagnetic and other waves in random media // J. Math. Phys. - 19б4. - V. 5. - P. 537-547.
72. Gurevich B., Zyrianov V.B., Lopatnikov S.L. Seismic wave attenuation in finely layered porous rocks: Effects of fluid flow and scattering // Geophysics. - 1997. - V. б2. - No. 1. - P. 319-324.
73. Muller T.M., Gurevich B. A first order statistical smoothing approximation for the coherent wave field in random porous media // J. Acoust. Soc. Am. - 2005. - V. 117. - P. 179б-1805.
74. Muller T.M., Gurevich B. Wave induced fluid flow in random porous media: Attenuation and dispersion of elastic waves // J. Acoust. Soc. Am. - 2005. - V. 117. - P. 2732-2741.
75. Toms J., Muller T., Ciz R., Gurevich B. Comparative review of theoretical models for elastic wave attenuation and dispersion in partially saturated rocks // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. -
200б. - V. 2б. - No. б-7. - P. 548-5б5.
76. Berryman J.G. Scattering by a spherical inhomogeneity in a fluid-saturated porous medium // J. Math. Phys. - 1985. - V. 2б. - No. б. -P. 1408-1419.
77. Хаазе P. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Мир, 19б7. - 544 с.
78. Biot M.A. New Variational Lagrangian Irreversible Thermodynamics with Application to Higher Viscous Flow, Reaction-Diffusion and Solid Mechanics // Advances in Applied Mechanics. - New York: Academic Press, 1984. - V. 24. - P. 1-91.
79. Charles Ph. Rock Mechanics. Vol. 1. Theoretical Fundamentals. -Paris: Editions Technip, 1997.
80. Echlers W. Continuum and Numerical Simulation of Porous Materials in Science and Technology // Modeling and Mechanics of Granular and Porous Materials / Ed. by G. Capriz, V. Ghionna, P. Giovine. -Boston: Birkhauster, 2002. - P. 245-292.
81. Nikolaevskiy V.N. Biot-Frenkel poromechanics in Russia (review) // J. Eng. Mech. - 2005. - V. 131. - No. 9. - P. 888-897.
82. Rasolofosaon P.N.J. Plane acoustic waves in linear viscoelastic porous media: Energy, particle displacement, and physical interpretation // J. Acoust. Soc. Am. - 1991. - V. 89. - No. 4. - P. 1532-1550.
83. Morochnik V, Bardet J.P. Viscoelastic approximation of poroelastic media for wave scattering problems // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 199б. - V. 15. - P. 337-34б.
84. Tsiklauri D., Beresnev I. Properties of elastic waves in a non-Newtonian (Maxwell) fluid-saturated porous medium // Transport in Porous Media. - 2003. - V. 53. - P. 39-50.
85. Марков М.Г. Распространение волн Рэлея вдоль границы с неньютоновской пористой насыщенной средой // Акустический журнал. - 2002. - Т. 52. - № 4. - С. 502-508.
86. Khan T., McGuire S.K. Elastic Nonlinearity of Reservoir Rocks - A Paradigm Shift // CSEG Recorder. - 2005. - P. 44-52.
87. Хасанов M.M., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. - 288 с.
Поступила в редакцию 3.12.200б г.
