CC BY
26
УДК 621.855 й01: 10.12737/3507
Определение радиусов расположения центров шарниров зубчатой цепи на дугах обхвата эвольвентных звёздочек*
С. Б. Бережной, А. А. Война, Г. В. Курапов
Для расчёта радиусов расположения центров шарниров зубчатой цепи на дугах обхвата эвольвентных звёздочек предложена методика с применением последовательной «укладки» звеньев цепи на звёздочку Для определения расположения шарниров цепи используются эквидистант поверхностей рабочих и затылочных профилей зубьев, которы>/е представляют собой геометрическое место центров шарниров цепи при их контакте с профилями зубьев звёздочки. Радиусы/ расположения центров шарниров на дуге обхвата эвольвентной звёздочки можно определить по заданному предварительному положению первого шарнира, известны^/м величинам длин контактны>1х шагов звеньев зубчатой цепи и предварительному натяжению ведомой ветви. Результаты исследования позволяют представить методику определения расположения шарниров зубчатой цепи на дуге обхвата звёздочки и алгоритм математической модели цепного зацепления зубчатой цепи с эвольвентны>/ми звёздочками. По данной методике определяются параметры>/ настройки цепной передачи с зубчатой цепью, обеспечивающие наименьший износ элементов передачи. Ключевые слова: зубчатая цепь, эвольвентная звёздочка, радиус расположения шарнира, эквидистанта, рабочий профиль, заылочны>/й профиль, математическая модель.
Введение. В настоящее время стандарт регламентирует звёздочки только с прямолинейным профилем зубьев (ГОСТ 13552-81) [1]. При формообразовании зубьев таких звёздочек используют методы копирования или деления, которые отличаются низкой производительностью и точностью.
При высоких частотах вращения неточность изготовления может существенно увеличить неравномерность работы цепной передачи, ударные нагрузки и шум [2, 3]. Поэтому за рубежом всё чаще отдают предпочтение звёздочкам с криволинейным профилем зубьев [4].
В работе [5] предложен способ изготовления эвольвентных звёздочек для зубчатых цепей, основанный на методе обкатки. Он позволяет значительно увеличить точность нарезания зубьев и избежать вышеперечисленных недостатков.
Наиболее важный критерий работоспособности цепной передачи — износостойкость. Она обеспечивается при наименьшем перемещении пластин цепи по зубьям звёздочек. Этому способствует нормальная форма расположения пластин на дугах обхвата ведущей и ведомой звёздочек. На достижение такой формы расположения направлена методика определения радиусов расположения центров шарниров зубчатой цепи на дугах обхвата эвольвентных звёздочек. Она позволит рассчитать параметры начального и последующих уровней настройки цепной передачи. Основная часть. Для решения этой задачи используются эквидистанты EGH поверхностей рабочих и затылочных профилей зубьев звёздочки (рис. 1), которые представляют собой геометрическое место центров 1-х шарниров цепи при их контакте с профилями зубьев (участки EG и GH).
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере (№ договора 0003200ГУ1'2014).
Рабочий участок Е& эквидистанты Е&Н, поверхности звёздочки можно представить уравнением эвольвенты в координатной форме:
XEi Gi - rb
Y Gi - гь
sin
cos
( u
Ф - n- —
rb J
f u
Ф - n- —
rb J
- фCOS
+ фsm
ф - n- —
v rb J
f u
ф - n- —
rb J
(1)
где ф е[ф0;ф^ ] — параметр эквидистанты рабочего профиля зуба звёздочки; ф0 =(а0 + ^а0); Ф^ =( ае + ) — граничные значения параметра ф эквидистанты рабочего профиля зуба
5* - 5
звездочки; n -
mz
+ inva; s* — толщина зуба звездочки по делительной окружности
после радиальной коррекции [5], мм; s — утонение зуба звездочки после тангенциальной коррекции [5], мм; u — расстояние от центра шарнира до рабочей грани звена (выбирается
m •z • cos a
по шагу цепи Ц (ГОСТ 13552-81), мм); rb -(окружности начала эвольвенты), мм.
2
радиус основной окружности
Рис. 1. Схема для определения радиусов расположения центров /-х шарниров на дуге обхвата эвольвентной звёздочки
Интервал изменения параметра эквидистанты [ф0;ф^] является граничным условием,
определяющим радиус расположения центра шарнира при его контакте с зубьями звёздочки по делительной окружности в точке в-, и по окружности выступов в точках Е и Н.
Аналогично рабочему участку затылочный участок G¡И¡ эквидистанты поверхности звёздочки описывается уравнением эвольвенты в координатной форме:
X
у = г
1 в,Н, 'ь
2п и
sm | ф--+ п + —
2п и фCOS | ф--+ п + —
2п и 1 . I 2п и
cos | ф--+ п + — 1 + фsm | ф--+ п + —
(2)
ь) V ь,
где ф ; - Ф0 ] — параметр эквидистанты затылочного профиля зуба звёздочки; z —
количество зубьев звёздочки.
При определении радиусов расположения центров шарниров используем метод последовательной «укладки» звеньев цепи на звёздочку. Известное положение одного из шарниров, находящегося на дуге обхвата звёздочки, будет однозначно определять положение всех остальных шарниров на дуге обхвата.
Радиус расположения /-го шарнира, принятого за начало отсчёта, определяется по формуле:
Я, = /х2 +У2 , мм.
/ м О/ О/ '
(3)
Координаты Хо и УО находятся по зависимости (1) или (2) с учётом того, где расположен /-й
шарнир (на рабочем или затылочном профиле). Если /-й шарнир расположен на рабочем профиле зуба звёздочки (рис. 1), то координаты его центра будут определяться уравнением (1).
Определим расположение центра (/+1)-го шарнира относительно /-го шарнира. Условие контакта (/ +1)-го шарнира цепи с поверхностью звёздочки будет выполнено, если при развороте звена траектория движения центра шарнира О+1 и эквидистанта поверхности звёздочки Е1+&+1И1+1 будут иметь общую точку (точку пересечения), то есть радиальный зазор Sr (рис. 1) между ними будет равен нулю.
Траектория движения центра (/+1)-го шарнира представляет собой дугу окружности радиуса Ц, поэтому её выражение в координатной форме будет следующим:
[Хо,+1 = X + Цц С^+н
К+1 =уо + tц Э'П Ф/+1,
где Ц — шаг зубчатой цепи.
Угол разворота звена цепи ф/+1 вокруг центра О-, можно определить по зависимости
(4)
Ф/+1 = агсБт
У -У
ТО/+1 го1
(5)
Для каждого текущего значения ф/+1 радиальный зазор Sr между центром шарнира О/+1 и эквидистантой рабочего профиля зуба звёздочки можно определить как разность между абсциссами точки О/+1 и соответствующей точки эквидистанты Е1+&+И+! на участке Е+^+и
Sr = ХО - ХЕ в , мм. (6)
г О/+1 Е/+^/+1' 4 '
После преобразований зависимости (5) и (6) можно представить в виде системы уравнений:
(
СОБ
Л
ф + П +
(
+ ф б1п
Ф/+1 = агсБ1п-
5г = Цц СО6Ф/+! - Я/ Б1па/ - гь
' ь
ф + П +
' ь
- Я: СОБа;
бш
( и
ф + п + —
гь )
(
- ф СОБ
и
ф + п + —
гь )
и
и
где ф е [-Ф*; - ф0 ] — параметр эквидистанты рабочего профиля зуба звёздочки; ае = агС:д-
Радиус расположения центра шарнира 0(+1 при контакте с рабочим профилем зуба звёздочки находим следующим образом.
Подставляем первое значение параметра эвольвенты ф из интервала [-Ф*; - ф0] в
первое уравнение системы (7) и определяем текущий угол разворота звена ф(+1. Решением второго уравнения системы (7) получаем величину радиального зазора Sr, соответствующую данному углу разворота ф(+1, и проверяем его по условию Sr = 0. Если Sr ф 0, берём следующее значение ф из указанного интервала до тех пор, пока условие S|■ = 0 не будет выполнено. Значение угла разворота звена ф(+1, при котором радиальный зазор Sr равен нулю, подставляем в уравнения (4), по которым находим координаты центра шарнира 0(+1. Полученные координаты центра шарнира О(+1 используются для определения его радиуса расположения по зависимости (3).
Если оказывается, что при всех значениях ф величина радиального зазора S|■ отлична от нуля, значит, ((+1)-й шарнир не контактирует с рабочим профилем. Тогда необходимо проверить его по условию контакта с затылочным профилем зуба эвольвентной звёздочки (эквидистанта Е+^+Н+1 на участке G■+lH/+l):
Г 2п и л Г 2п и л - ^ cos ае
Г Ф +--п - + фsin Ф +--п -
1 z гь у 1 z гь у
Ф(+1 = arcsin-
5г = tц С08ФС+! - Я( апае - гь
(8)
Sin
2п и
Ф +--п —
z
\ ( -Ф cos
' ь у
2п и
Ф +--п —
z гь у
где ф е [ф0; ф* ] — параметр эквидистанты затылочного профиля зуба звёздочки.
Возможен вариант, когда при всех значениях ф величина радиального зазора оказывается отличной от нуля. Это говорит о том, что траектория движения центра шарнира Ое+1 и эквидистанта поверхности звёздочки Е1+^1+1Н1+1 не имеют общей точки, то есть шарнир не контактирует со звёздочкой.
Положение (е+1)-го шарнира определяется положением предыдущего е-го шарнира, принятого за начало отсчёта, и шагом цепи Ц. Поэтому при определении радиусов расположения центров шарниров необходимо учитывать действительные значения контактных шагов цепи.
Учитывая, что задача решается в Декартовой системе координат, при определении радиусов расположения центров последующих шарниров (О(+2 и т. д.) необходимо перейти к системе координат Х'ОУ', которая повёрнута относительно исходной системы координат ХОУна один угловой шаг звёздочки, то есть на угол 2п^. Этот поворот осуществляется посредством изменения величины угла а(> входящего в системы уравнений (7)-(9).
|Хо.|
Так, если при определении радиуса Л,+1 угол ае принимался равным ае = агСд——, то при
определении радиуса Л,+2 необходимо перейти к системе координат Х'ОУ', и угол ае+1 для (е +2)-го шарнира узнаём из формулы:
ае+1 = V - агс1д И. (9)
z 'л
(10)
При этом угол ф,+2 находится по приведённым выше зависимостям, а координаты центра шарнира О,+2 определяются относительно координат центра предыдущего шарнира О+2 с учётом шага цепи Ц решением системы уравнений:
|Х + 2 = + К Ф/+2 ,
К+2 =У0/+1 + К Sinф/+2.
Зависимости (1)-(10) представляют собой математическую модель цепного зацепления зубчатой цепи с эвольвентной звёздочкой. Алгоритм такой модели выглядит следующим образом (рис. 2).
Алгоритм методики определения формы расположения шарниров зубчатой цепи на дуге обхвата звёздочки представлен на рис. 3.
1. Определение геометрических параметров эвольвентной звёздочки
Результаты расчёта
Я
Я/+1
Я/+2
2. Задать значение
Затылочный профиль Рабочий профиль
1
Затылочный профиль ф.--------
Да
Нет
Я/+1 - ^Х0/+1 + о
Sr Рабочий профиль
Да
Нет
Я/+1 - ^Хо/+1 + О
Шарнир зубчатой цепи вышел из зацепления со звёздочкой
Рис. 2. Алгоритм математической модели цепного зацепления зубчатой цепи с эвольвентной звёздочкой
Координаты центров остальных шарниров и радиусы их расположения относительно центра звёздочки определяются аналогично с учётом шага цепи и перехода к очередной системе координат, смещённой относительно предыдущей на величину углового шага звёздочки.
При использовании этой модели по заданному предварительному положению /-го шарнира, принимаемого за начало отсчёта, с учётом известных длин контактных шагов звеньев зубчатой цепи можно определить радиусы расположения центров всех остальных шарниров на дуге обхвата эвольвентной звёздочки.
Так как /-й шарнир может контактировать с поверхностью зуба звёздочки в любой точке рабочего или затылочного профиля зуба, то каждому положению этого шарнира будет соответствовать определённое положение остальных шарниров цепи на дуге обхвата. То есть, располагая центр /-го шарнира в разных точках эквидистанты Е@Нь можно получить множество возможных комбинаций радиусов расположения центров шарниров на дуге обхвата звёздочки.
Полученные значения радиусов расположения центров шарниров были использованы для расчёта геометрических параметров цепного зацепления зубчатой цепи с эвольвентными звёздочками.
Рис. 3. Алгоритм методики определения формы расположения шарниров зубчатой цепи на дуге обхвата звёздочки
Заключение. Проведённое исследование позволило предложить методику расчёта радиусов расположения центров шарниров зубчатой цепи на дугах обхвата эвольвентных звёздочек и составить математическую модель цепного зацепления зубчатой цепи с эвольвентными звёздочками с учётом натяжений ведущей и ведомой ветви. Используя данную методику и модель, можно определять параметры настройки цепной передачи с зубчатой цепью, обеспечивающие наименьший износ элементов передачи. Библиографический список
1. Бережной, С. Б. Роликовые цепные передачи / С. Б. Бережной. — Москва : МГТУ им. Баумана, 2004. — 242 с.
2. Бережной, С. Б. Скорость удара при зацеплении зубчатых цепей с эвольвентными звёздочками / С. Б. Бережной, О. И. Остапенко, А. А. Война. — Краснодар, 2008. — Деп. в ВИНИТИ, № 822-В2008.
3. Фот, А. П. О шуме передач с зубчатыми цепями / А. П. Фот, П. Н. Учаев, Б. В. Яковлев // Известия вузов. Машиностроение. — 1980. — Т. 12. — С. 46-48.
4. Яковлев, Б. В. Нарезание зубьев звёздочек / Б. В. Яковлев // Машиностроитель. — 1970. — Т. 12. — С. 26-27.
5. Способ изготовления эвольвентных звёздочек для зубчатых цепей : пат. 2314900 Рос. Федерация : B23F 5/22 / А. А. Петрик [и др.]. — № 2006113457/02 ; заявл. 20.04.2006 ; опубл. 20.01.2008, Бюл. № 2. — 3 с.
Материал поступил в редакцию 19.06.2013.
References
1. Berezhnoy, S. B. Rolikovyye tsepnyye peredachi. [Rolling chain gear.] Moscow : MGTU im. Baumana, 2004, 242 p. (in Russian).
2. Berezhnoy, S. B., Ostapenko, S. B., Voyna, A. A. Skorost udara pri zatseplenii zubchatykh tsepey s evolventnymi zvezdochkami. [Impact velocity under involute sprocket-to-toothed chain gearing.] Krasnodar, 2008. Dep. v VINITI, no. 822-V2008 (in Russian).
3. Fot, A. P., Uchayev, P. N., Yakovlev, B. V. O shume peredach s zubchatymi tsepyami. [On toothed-chain gear noise.] Izvestiya vuzov. Mashinostroyeniye, 1980, vol. 12, pp. 46-48 (in Russian).
4. Yakovlev, B. V. Narezaniye zubyev zvezdochek. [Sprocket toothing.] Mashinostroitel, 1970, vol. 12, pp. 26-27 (in Russian).
5. Petrik, A. A., et al. Sposob izgotovleniya evolventnykh zvezdochek dlya zubchatyh tsepey : pat. 2314900 Ros. Federatsiya : B23F 5/22. [Method of producing involute sprockets for toothed-chains.] Patent RF no. 2006113457/02, 2008 (in Russian).
DETERMINING LOCATION RADII OF GEAR CHAIN PIVOT LOCUS ON INVOLUTE SPROCKET WRAPS*
S. B. Berezhnoy, A. A. Voyna, G. V. Kurapov
The methods of calculating the location radii of the gear chain pivot locus on the wraps of involute sprockets are suggested. The methods involve a step-by-step "placing" of the chain loops on the sprocket. To determine the chain joints location, surface equidistance of the operating and back tooth profiles which represent the chain pivot locus upon their contact with the sprocket tooth profiles is used. The location radii of the pivot locus on the involute sprocket wrap can be defined through the predetermined position of the first joint, the known length values of the gear chain contact link pitches, and the slack side pretension. The study results allow presenting the methods of calculating the gear chain pivot locus on the wraps of involute sprockets and the mathematical model algorithm of the chain gearing with involute sprockets. The methods can be used to determine setting of the chain belt with toothed chain providing the minimal wear-out of the gearing elements.
Keywords: toothed chain, involute sprocket, location radius, equidistant, working profile, back profile, mathematical model.
The research is done with the financial support from the Foundation for Assistance to Small Enterprises in Science and Technology (contract no. 0003200ryi'2014).
