CC BY
36
УДК 539.375
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПОД ПЛОЩАДКОЙ КОНТАКТА В СИСТЕМЕ «РЕЛЬС - КОЛЕСО»
Г. П. ТАРИКОВ
Учреждение образования «Белорусский государственный университет транспорта», г. Гомель
Е. М. АКУЛОВА
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь
Введение
Задача о контактном взаимодействии рельса и колеса представляет известный интерес. В работе [1] эта задача сведена к решению двумерного интегрального уравнения первого рода. Для случая эллиптической площадки контакта максимальное давление ртах будет иметь место в центре этой площадки.
Однако величину ртах нельзя использовать для оценки прочности материала на площадке контакта, так как материал здесь находится в сложном напряженном состоянии, причем главные напряжения о1, а2 и о3 - величины одного порядка. Поэтому для проверки прочности материала необходимо использовать теории прочности. Наибольшее расчетное напряжение будет возникать не на площадке контакта, а в точке, расположенной на некоторой глубине под ней.
Для определения расчетных напряжений на некоторой глубине под площадкой контакта рельса и колеса используются третья и четвертая теории прочности. Целью работы является определение наибольших расчетных напряжений по этим теориям, а также глубины, где эти напряжения достигают наибольших значений.
Пространственные контактные задачи рассматриваются в книгах [2]-[6]. Там же приводятся многочисленные ссылки на работы в этом направлении.
Постановка задачи
Рассматривается пространственная задача о контакте колеса и рельса для случая эллиптической площадки контакта.
В этой задаче характерные размеры площадки контакта весьма малы по сравнению с размерами рельса и колеса. Кроме того, размеры области контакта малы по сравнению с радиусами кривизны контактирующих тел.
Эти особенности задачи позволяют рассматривать рельс и колесо при вычислении локальных перемещений (в пределах площадки контакта) как упругие полупространства, нагруженные по малой эллиптической области. При этом контактные напряжения по площадке контакта вычисляются независимо от распределения напряжений в рельсе и колесе в целом. Напряженное состояние рельса и колеса определяется при решении краевой задачи теории упругости для этих тел.
Формулы для определения главных напряжений
В работе [1] получены формулы для определения напряжений в точках, расположенных под площадкой контакта. Эти формулы имеют вид:
022 = ^
д2 N дх32 _(1 - N ; дх2 д3 N Х3 - дх1 дх3
д2 N дх32 _(Ь -IV)д2 N д3 N Х3 2 дх2дх3
_ д2 N _ д^
033 _ &32 х дх33;
012 _021 =_
Л О А д2N д3N
I1 _ +X
дх1дх2 3 дх1дх2дх3
023 032 Х3
д3 N дх2дх32
д3 N
дх1дх3
2
(1)
При этом использованы прямоугольные координаты х1, х2, х3. Ось х3 проходит через центр эллиптической площадки контакта и направлена перпендикулярно к ней.
Здесь ой (/ = 1, 2, 3) - нормальные напряжения; Оу (/ Ф у) (/, у = 1, 2, 3) - касательные напряжения; V - коэффициент Пуассона материала рельса (колеса). Функция N(, х2, х3) определяется так:
N(( х2 , х3 )_ ХТ ЦР( У2 )1п(3 + Г ^У^ (2)
О
где О - площадка контакта рельса и колеса.
Радиус кривизны определяется по формуле
г2 _(х1 _У)2 +(х2 _У2)2 + х32. Учитывая, что площадкой контакта О является эллипс с полуосями а, Ь, получаем:
1 ь ^ 1_ у|/ь2
N(1, х2 , х3 ) _ '^¡дУ2 |Р(1, У2 )1п(3 + Г)дУ.
_Ь _а41_у22/Ь2
Нормальное давление на площадке контакта:
( х2 х2
Р( х2)_ Ро 1--2_77 пРи (xl, х2)е°. (3)
I а Ь)
Формулы и график для определения полуосей а, Ь приведены в [1]. В точках оси х3 напряжения о11, о22 и о33 являются главными [2]. Этот вывод
следует также из анализа формулы (1). В точках оси х3 расчетные напряжения по
теориям прочности достигают наибольших значений.
31 13 х3
С учетом выражения (2) формулы (1) для напряжений ои, а22 и а33 принимают такой вид:
=
¿Яр( Л )■!-2У ь-(1 - 2У)
г 2 - У1 )2 (х1 - У1)2
г3 (г + х3) г2 (г + х3 )2
-1+3 (- У1)2
г
г
°22 =
¿11 p(Уl, У24-(1-
Г2 -(2 - У2 )2 (2 - У2 )2
г3 (г + х3) г2 (г + х3 )2
-_! + 3 ( У2) г3 г5
°33 = 2-11 Р^У1, У2 ^
С Х3 ^
5
V г У
dyldy2.
(4)
По формулам (4) можно определить нормальные напряжения оп, а22 и а33 в любой точке с координатами (х1, х2, х3) под площадкой контакта. Однако наибольший интерес представляют эти напряжения в точках, расположенных на оси х3. Полагая в формулах (4) х1 = х2 = 0, получаем:
°11 (0,0, х3)=2-11 р((1, у 2 ){- ^ - (1 -
2 2 2 У 2 + х3 У1
г03 (г0 + х3 ) го2 (го + х3 )2
-х
С-г02 + 3у2 ^
V '0 у
°22 (0, 0, х3) = 2_11 р(у1, у 2 )| - 2у ± - (1 - 2у)
2 2 2 У1 + х3 _У2
г03 (г0 + х3 ) г2 (г0 + х3 )2
-х
С 1 , У22 ^ - -3 + 3 4
гг
V 0 '0 у
1 3 х 3 °33 (0, 0, х3 )= - 2-11 У2 ^1^2
(5)
Имеем:
Р( х2 ) = 2 Рс
С V 2 V 2 У/2
1 - __2
2 ;2 V а Ъ у
при (х1, х2 )е О.
Введем новые переменные:
У1. , = У 2 .
11 ; ^2 '
1 а 2 а
р =р=ъ; я2 = ¿2 + +р2.
5
Тогда формулы (5) примут такой вид:
О11 (0,0, р)_ % / ^ / ^ _ Р2^22) IV £
4л
■р"1
к3
_(1 _ IV)
22 ¿2 +Р
р
( 1 3г2 ^
—Г +
V к3 к5 у
к3 (к + р) к2 (к + р):
3 р-1 . О22(0,0, р)_ 34РС К ¿12 _РЧ2)1'2]_ 2v
_ (1 _ IV)
к3
22 ¿1 +Р
Г2
к3 (к + р) к2 (к + р)2
р-1 л/1:Р2
р
( ±, 32л V к3 к5 у
/-Ч У V " 2
О33 (0,0, р)__:4л- /^¿2 / ( ¿12 _Р2^22)
/ 2 3р3
к
ж,.
5 1*4
(6)
Числовые расчеты по формуле (6)
Вычислим напряжения о11, о22 и о33 в точках, расположенных на оси х3. Для
этого используем формулы (6). Для расчета примем:
- коэффициент Пуассона V _ 0,28;
- модуль сдвига д _ 8,1 • 104 МПа;
- радиус головки рельса Р65 равен 300 мм;
- диаметр бандажа 950 мм.
По формулам, приведенным в [1], находим:
р_ а _ 540 _ 1,36.
н Ь 3,97 '
Для вычисления величин оп/рс, о22/рс и о33/рс по формулам (6) применяем квадратурную формулу Гаусса. Вычисления производились при различных значениях р _ х3/а. Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты вычислений величин ап/рс, о22/рс и о33/рс
2^2
2
г
р=а СТ 22 СТ33
Рс Рс Рс
0 - - 1,500
0,1 0,8375 0,8621 1,479
0,2 0,6132 0,5904 1,419
0,3 0,4408 0,3933 1,330
0,4 0,3121 0,2555 1,223
0,5 0,2181 0,1619 1,109
0,6 0,1508 0,0952 0,997
0,7 0,1026 0,0585 0,890
0,8 0,0687 0,0317 0,793
Как показывают предварительные вычисления, наибольшего значения расчетные напряжения достигают в интервале 0,2 <р< 0,5. Поэтому дальнейшие расчеты выполнены именно в этом интервале значений безразмерного параметра р. По данным табл. 1 строим интерполяционный полином для -оп/ рс:
а
= 1,1251 - 3,2065р + 3,5350р2 - 1,5000р3. Рс
3
График величины -оп/рс приведен на рис. 1. Интерполяционный полином для -о22/рс имеет вид:
а
= 1,2229 - 4,1078р + 5,2300р2 - 2,5167р3.
Рс
График величины -а22/рс приведен на рис. 2.
СТ1
0,5-
0,4-
0,3-
1 1 1 Ч 1 1 1 Ч 1 1 1 Ч 1 1 1 1 I 1 1 1 Ч 1 1 1 Ч
0,2 0 25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Р
Рис. 1. График величины -стп/рс
(7)
(8)
0,5-
0,4—
0,3-
0,2-
1 1 Ч 1 1 1 Ч 1 1 1 Ч 11 1 Ч 1 1 1 Ч 1 1 1 ч
0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Рис. 2. График величины -ст22/рс
с
О
22
Интерполяционный полином для величины -о33/ рс, построенный на основании данных табл. 1, имеет такой вид:
а3
--33 = 1,4990 + 0,0367р - 2,5500р2 + 1,8333р3.
рс
График величины -а33/рс приведен на рис. 3.
(9)
Рс 1,4 -
1,351,3 -1,251,2 -1,15
■ ■ ■ ■ I I I ■ ■ I I ■ I I I ■ I I ■ I I ■ ■ I I I I ■ ■
0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Р
Рис. 3. График величины -а33 /рс
Формулы (7)-(9), табл. 1 и рис. 1-3 дают полное представление о распределении
нормальных напряжений ап, а22 и а33 в интервале 0,2 < х3/а < 0,5 в точках на оси
Определение расчетных напряжений по третьей теории прочности
Определим наибольшее расчетное напряжение по третьей теории прочности в опасной точке, расположенной на некоторой глубине под площадкой контакта. Расчетное напряжение по третьей теории прочности определяется формулой
а г 3 =а1
(10)
где а1 - наибольшее главное напряжение; а3 - наименьшее главное напряжение.
Недостатком третьей теории является то, что она не учитывает влияние промежуточного главного напряжения а 2.
Преимуществом третьей теории прочности является ее сравнительная простота. Поэтому предыдущие исследователи напряжений на глубине под площадкой контакта использовали эту теорию (в частности, Н. М. Беляев [2]).
Определяем, какие из напряжений а11, а22, а33 являются главными напряжениями а1 и а3. Из табл. 1 видно, что а3 = а33. Далее, из той же таблицы следует, что а11 >а 22 при р< 0,15, а при р> 0,15 имеем а11 <а 22. Поэтому, при р> 0,15 принимаем а1 =а 22, а3 =а33.
Подставляя формулы (8) и (9) в выражение (10), получим:
а
33
-аг3 = 0,2761 + 4,1445р - 7,7800р2 + 4,3500р3. Рс
Дифференцируя формулу (11), находим:
13,0500р2 - 15,5600р + 4,1445 .
Приравнивая нулю это выражение и решая полученное уравнение, будем иметь:
р = 0,4017, (12)
т. е. наибольшее расчетное напряжение по третьей теории прочности имеет место на оси х3 на расстоянии х3 = 0,4017а от площадки контакта. Подставляя значение р из (12) в формулу (11), получаем:
тах а г3 = 0,9675рс. (13)
Формула (13) определяет максимальное значение расчетного напряжения по третьей теории прочности на глубине под площадкой контакта рельса и колеса.
На рис. 4 представлен график изменения величины аг3/рс в зависимости от безразмерного параметра р = х3/ а.
Определение расчетных напряжений по четвертой теории прочности
Расчетное напряжение по четвертой теории прочности определяется формулой
а Г 4 = (а2 +а 2 +°2 -а1а 2 -а2а3 -а1а3 Г. (14)
В рассматриваемом случае
а1 = а22; а2 =а11; а3 =а33 при р> 0,15.
Недостатком четвертой теории прочности является некоторая громоздкость формулы (14) для расчетного напряжения.
Р
Рис. 4. График изменения величины аг3/рс в зависимости от безразмерного параметра р = х3/ а
Преимущество четвертой теории прочности заключается в том, что она учитывает все три главных напряжения.
Подставляя формулы (7)-(9) в соотношение (14), получим выражение для определения расчетного напряжения а г 4 (это выражение не приводим из-за его громоздкости). При помощи этого выражения находим значения величины аг4/рс при разных р. Результаты этих вычислений приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения величины аг4/рс при разных р
р = xj a 0,2 0,3 0,4 0,5
ar J Pc 0,8174 0,9139 0,9405 0,9203
По данным табл. 2 конструируем алгебраический полином для величины аг4/рс : а
' r 4
= 0,3223 + 3,7135р-6,9600р2 + 3,8500р3.
На рис. 5 построен график величины ar 4/pc.
(15)
I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 11 1 1 1 1 I
0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
P
Рис. 5. График величины ar Jpc
Дифференцируя формулу (15), получаем:
11,5500р2 - 13,9200р + 3,7135. Приравнивая нулю это выражение и решая полученное уравнение, находим:
р = 0,3986. (16)
Подставляя значение р из (16) в формулу (15), получаем:
max ar4 = 0,9405pc. (17)
Формула (17) определяет наибольшее расчетное напряжение по четвертой теории прочности. Этот max ar 4 имеет место на оси х3 в точке, расположенной на расстоянии х3 = 0,3986а от площадки контакта рельса и колеса.
c
Заключение
1. Разработан метод, позволяющий определять наибольшие расчетные напряжения на глубине под площадкой контакта в системе «рельс - колесо». При этом использованы третья и четвертая теории прочности.
2. Выполнены численные расчеты по определению главных напряжений на глубине по предлагаемому методу.
3. Определены наибольшие расчетные напряжения по третьей и четвертой теориям прочности. Результаты расчета по этим теориям прочности получились достаточно близкими, разница составляет не более 3 %. Известно, что применительно к металлам четвертая теория лучше согласуется с экспериментальными данными.
Литература
1. Контактное взаимодействие рельса и колеса / Н. М. Бородачев [и др.] // Вестн. нац. техн. ун-та (Харьк. политехн. ин-т). - 2014. - № 29. - С. 18-27.
2. Беляев, Н. М. Труды по теории упругости и пластичности / Н. М. Беляев. - М. : Гостехиздат, 1957. - 632 с.
3. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М. : Наука, 1970. - 939 с.
4. Лурье, А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. - М. : Гос-техтеоретиздат, 1955. - 491 с.
5. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - М. : Мир, 1989. - 509 с.
6. Gladwell, G. M. L. Contact problems in the classical theory of elasticity / G. M. L. Glad-well. - Sijthoff and Nordhoff, 1980. - 232 с.
Получено 20.07.2015 г.
