Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины при произвольном нагружении ее берегов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 128-141 Механика

УДК 539.375

Модель развития тонкой пластической зоны в окрестности трещины при произвольном нагружении ее берегов *

В. В. Глаголев, Л. В. Глаголев, М. В. Девятова, А. А. Маркин

Аннотация. Рассмотрена модель нахождения напряженно-деформированного состояния окрестности трещиноподобного дефекта при произвольном распределении внешней нагрузки по его берегам. Трещина в данном случае моделируется физическим разрезом и материальным слоем на его продолжении. Расстояние между берегами разреза является предельно малым, обеспечивающим отсутствие взаимодействия между ними. Распределение компонент тензора напряжений по толщине слоя принимается линейным. В процессе нагружения тела предполагается возможным существование пластической области в рамках данного слоя. Для описания поведения материала при переходе в пластическую область используется вариант деформационной теории, при этом изменение объема остается линейно упругим. Процесс упругопластического деформирования полагается лучевым, направляющий тензор девиатора напряжений в каждой точке слоя фиксируется его значением, достигнутом в момент перехода из упругой стадии в упругопластическую. Данное допущение позволило свести задачу к статически определимой. Из анализа взаимодействия между слоем и внешними полуплоскостями получена замкнутая система интегральных и дифференциальных уравнений относительно граничных и средних компонент в слое. Построены численные решения данной системы для случаев симметричного и антисимметричного нагружения берегов сосредоточенными силами. Проведены сравнения результатов с альтернативными моделями.

Ключевые слова: характерный размер, линейная упругость, упругопластическое деформирование, лучевой процесс.

Рассмотрим нагружение берегов физического разреза системой сосредоточенных сил согласно схеме (рис. 1).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-97500) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/10918).

Считаем, что связь между напряжениями и деформациями вне слоя взаимодействия описывается в рамках линейной теории упругости. Поведение материала слоя при активном нагружении определим следующими физическими соотношениями, являющимися следствием варианта теории пластичности Ильюшина-Ленского [1]:

Аа = 2С(э)Ае; Ар = К Ав,

(1)

где а — девиатор тензора истинных напряжений; е — девиаторная составляющая тензора деформаций; 9 = е ■ ■Е, К — модуль объемного сжатия; р = |а ■ ■Е — гидростатическая составляющая тензора напряжений; э — параметр упрочнения; С(э) — сдвиговой модуль; С(э)=Су при а ■ ■а ^ тт; С(э)=Ср при а ■ ■а > т2; тт — предел текучести.

Полагаем, что нагружение верхнего и нижнего берегов физического разреза пропорционально

Р+

Р-

= X = сопві.

(2)

Кроме того, полагаем заданными углы а\ и а приложения сил Р +, Р_ к берегам физического разреза.

Из (2) получаем связь

(Р+)2 + (Р+)2 = Х2( (Р-)2 + (Р2-)2)

(3)

где Р+, Р+, Р-, Р— — проекции внешней нагрузки на соответствующие оси (см. рис. 1).

Воспользуемся следующими обозначениями для граничных напряжений слоя: а+2 (х2) = а 12 (Ьо/2,х2), а— (х2) = а 12 (—&о/2,х2), а+ (х2) =

= а 11 (ё0/2,х2), а— (х2) = ац (—ё0/2,х2). При дальнейшем изложении положим х2 = х, все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине слоя 5о, а напряжений — к параметру в = 2(ПЕ2) для состояния

плоской деформации, и в = ПЕ в случае плоского напряженного состояния. для функций, соответствующих полуплоскостям на границе со слоем используем верхний индекс «р1».

Принимаем, что векторы напряжений на границах слоя равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ полуплоскостей, отсюда компоненты тензора напряжений удовлетворяют условию

(р1)± ± (р1)± ± /л\

а12 = а 12 , аИ = а11 • (4)

Имеет место жесткое сцепление между границами

й{Р1)± = (5)

и непрерывность функции перемещения по границе слоя.

Рассмотрим связь между напряжениями и деформациями в виде закона Гука

е11 = Аа 11 — Ва22, (6)

е22 = А а22 — Ва ц, (7)

а12 = Се12, (8)

где А = п , В = 2(1—^), С = 2(1П ^ — для случая плоского деформирования; А = П, В = Пт — для случая плоского напряженного состояния; V

— коэффициент Пуассона. Связи (6)-(8) считаем справедливыми при обратимом деформировании как в рамках слоя, так и за его пределами.

Средние напряжения и деформации в слое определяем через их граничные значения следующим образом:

а 12 (х) = 0Я ( а—2(х) + а+2(х)) > (9)

ап (х) = 0-5 (а—1(х) + а+1(х)) , (10)

е11 (х) = 0-5 («+ (х) — щ(х)) , (11)

* (^ (12) (*>= 0 5 ґ вці + ащ \. (13)

\ дХ дх )

дх

Считаем, что в рамках слоя распределение перемещений щ(х) линейно по координате х1. В этом случае

ди2(х) = и+(х) — и—(х)• (14)

дх1

Из (13) и (14) приходим к выражению

е‘2 (х) = 0-5{Ц + ж) = 0 5 (и+(х) — и— (х) + 0-5( 1х + 1х)) •

(15)

Запишем условия равновесия элемента слоя в проекциях на ось х

д 22 д 12

V2 + ^ =0, (16)

дх дх1

и ось х1:

д1 + 1т1 =0- (17)

дх дх1

Проинтегрируем уравнения (16) и (17) по толщине слоя, в результате получим

дТгъъ (х) .

= а—1(х) — а21(х), (18)

дх

^= а- (х) — а+1(х) ’ (19)

_ 5°/2 _ 5°/2 где 021 (х) = / а21 (х,х{) х 022 (х) = / а22 (х,х{) йх1.

~^0/2 ~^0/2

На основании решения задачи Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, имеет вид:

Ь

и1 (х,х1)\х1=2 = и+(х) = —Р+^ ^ + ! аи(Шп ^х— ^ (20)

о

Ь

и2 (х,х1)\Х1= 2 = и+(х) = —Р2+ 1п( ^+01) ± / (

(21)

Ь

и1 (х,х1)\х1=-2=и—(х)=р-ь±:)—/а-1(^)1п \—^^ (22

о

Ь

и2 (х,х1)\х1 = - 2 = и-(х) = —Р- 1^ х + 01) — / а-1(^)1п \]I — ^ ^ (23

здесь а1, а2 — расстояние от вершины разреза до точки приложения проекций безразмерной силы Р+ = Р+/50в, Р— = Р-/60в, г = г = 1, 2; Р+, Р- — компоненты силы, отнесенные к толщине образца; Ь — удаленная точка с нулевым перемещением (данную точку будем ассоциировать с бесконечно удаленной точкой); Ь — расстояние от начала координат до Ь.

Вычитая из (21) (23), с учетом (14) получаем

ди2(х) = — Р+ 1п (х±а±I ± Р- 1п (х+а I +

дх1

Ь ± а1

Ь ± а2

Ь

(24)

Продифференцируем (20) и (22) по х:

ди+ (х)

дх

Р+

х ± а1

Ь

±

аЩ

(х — С)

(25)

ди-(х) дх

Р-

Ь

х ± а2

ап(0 (х — 0

(26)

Из (15) с учетом соотношений (8), (24)—(26) находим выражение для среднего сдвигового напряжения в слое

/

021 (х) = 0-25 С

Р+

х ± а1

Ь

±

Р-

х ± а2

да 21 (£)

\

дС (х — О

%

± (27)

1

(

+0.5С

V

ь

ч ш)+^2- ч т)+ч - «>*

Iх - сі ь - С

/

Подставляя (17), (19) в выражение (8), с учетом (7) и (3) получаем связь между средними напряжениями слоя

Лаи - В(722 = ( -Р+ 1^ * + аі \ 1 \Ь + ах

ь

-Р- Ь( *±^1

1 1 Ь + аі

+ 2 1711 (С> 1п

іх - С1 ь - С

%

(28)

Продифференцируем (21) и (23) по х

ди+ (х>

дх

Рі

Р2

х + а1

ь

+

7+2(0 (х - С>

(29)

ди- (х> дх

Р-

ь

х + а2

а12(0 (х - С>

(30)

Из (29), (30) с учетом (12) и (7) находим

Ла 22 — Ва и = 0.5

V

Р+ Р2

х + а1

Р

ь

2 ^ + [ 7і1(С) - 721(С> ^

х + а2

о

(х - О

. (31)

/

Принимая во внимание (18), из (31) приходим к следующему интегро-дифференциальному уравнению:

/

Ла 22 — Ва її = 0.5

V

Р+ Р2

х + а1

ь

Р-

х + а2

да22 (С> 1

дС (х - с>

%

)

(32)

Таким образом, из уравнений (27), (28), (32) приходим к замкнутой системе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений относительно

средних по слою напряжений

а21 (х) = 0-25С ( — х+а1 ± (х+а2

—

д&21(£) 1

д£ (х-£)

±05С (-Р+ 1п( ^) ± Р- 1п () ±2 }02, (С)1п 1£-|1 ■ АаЦ - в022 = (-Р+ ы ( ЙЛ ) — Р- 1п ( а+52 ) ±

±2 Ьа11 (01п т-1 йА;

Аа22 - Ва 11 = 0-5 —

Р+ Р2

х+а1

Р-

х+«2

-I

0

д&22(0 ________

д£ (х-£)

■ы %

(33)

с граничными условиями

а22\х=0 = 91’ а12\х=0 = Я2-

(34)

(35)

В отсутствии нагрузки на торец слоя 91 = 92 = 0.

После нахождения решения (33)-(35) из уравнений (9), (10), (18), (19) определяем граничные напряжения а++1(х), а^1(х), а-2(х), а-(х):

а 12 (х) = 0-5 ( а-2(х) ± а+2(х)) ; а 11 (х) = 0-5 ( а-1 (х) ± а+_(х)) ; да22 (х)

—дх, , да 21 (х)

дх

= а-1(х) - а+1(х)

(36)

= ап(х) - а+1(х)-

Таким образом, из (33)-(36) приходим к системе уравнений, описывающей линейно упругое поведение слоя взаимодействия в плоском деформированном состоянии

(

а 21 (х) = 0-25С

±0.5 С

х ± а1

±

Р-

Ь

х ± а2

да 21 (а) 1

\

да (х - а)

Ь

±

-Р+ Ч Ь±|) ± Р- Ч Ь±|) ±4 а» №

\х - а\ ь - а

А а 11 - В а22 = ( -Р+ 1^ Ь±°-' 1 \Ь ± а1

ь

-Р-Ь( х+а!

1 1 ь + а2

+ 2 J ап (С> 1п

СС

(37)

Ла22 — Валл = 0.5

V

Р+ Р2

х + а1

ь

Р-

х + а2

дац (С>

дС (х - с>

СС

а 12 (х> = 0.5 (а12(х> + а+2(х» ; ац (х> = 0.5 (а11(х> + а+^х»

да22 (х > = а-1(х> - а+1(х>; да21(х> = а-1(х> - а+1(х>.

дх 21 21 дх

Для нахождения критических нагрузок, обеспечивающих переход материала слоя из упругого состояния в пластическое, дополним систему (37) соотношением (3) и условием текучести Мизеса:

\/(аи - а22>2 + (а22 - азз)2 + (аи - азз)2 + 6а^1 = ^2ат,

(38)

где ат — безразмерный (отнесенный к параметру в) предел текучести при одноосном растяжении, а33 = V (а11 + а22).

Таким образом, система уравнений, описывающая напряженное состояние слоя на момент достижения пластического деформирования примет вид:

/

а21 (х > = 0.25С

Р+

х + а1

+

Р-

ь

х + а2

да 21 (С >

1

\

дС (х - О

с1С

+

+0.5С

-Р+ 1п( + Р_ 1п( х + а2

ь + а1

ь + а2

ь

+ 2 J а21 (С> 1п

іх - С1 ь - С

сС

Лап - В^ = (-Р+ >п( ь±0.) - Р- Ь( ь±|) ь

+2І а 11 (С>1п х-С ^ ;

/

Ла22 — Валл = 0.5

V

Р+ Р2 х + а1

Р-

х + а2

ь

да22 (С>

дС (х - С>

сС

а 12 (х> = 0.5 (а-2(х> + а+2(х» ; ап (х> = 0.5 (ап(х> + а+^х» ;

да22 (х) = а_1(х> - а+1(х>; = а-1(х> - а+1(х>;

дх

1

1

\/(а 11 - а—)2 ± (а22 - а33)2 ± (ац - а33)2 ± 6а^1 = ^Дат; азз = V (ап ± ^2); (Р++)2 ± (Р2+)2 = х2 ((Р-)2 ± (Р-)2) ;

Р+ = Ч (а1) Р+ ; Р- = ^ (а2) Р- -

При а = п/2 соответствующее (11 или 12) уравнение системы (39) заменяется на уравнение Р+ = 0 или Р- = 0. Система (39) содержит 12 уравнений, в качестве неизвестных которых используются 4 средних напряжения слоя: ац, а22, а 33, а 12; 4 граничных напряжений слоя а+1, а-1, а2+1, а- и 4 проекции внешних сосредоточенных сил Р+, Р-, Р+, Р- , обеспечивающих соответствующее напряженное состояние. Решение системы (39) ищется при удовлетворении граничных условий (34), (35). При дальнейшем изложении считаем X = 1.

Отметим, что система (39) содержит 2 нелинейных уравнения: (3) и (38), что предполагает итерационную процедуру ее решения. При дискретном

[2, 3] решении системы (39) использовался метод Ньютона-Рафсона, где

в качестве начального приближения выбиралось дискретное решение системы (37) при единичном значении модуля внешней нагрузки:

Р+

= 1. Отметим, что вычислительная сходимость решения с

относительной погрешностью 0.01% наблюдается при четырех итерациях. Используя решение системы (39) можно определять критическую нагрузку, соответствующую переходу концевой области трещины в пластическое состояние, для произвольного распределения внешней нагрузки.

При рассмотрении упругопластической задачи полагаем, что процесс деформирования лучевой. В этом случае поведение материала слоя на стадии пластического деформирования согласно (1) определяется следующими выражениями:

£11 = С ± Ар аи - Вра—, (40)

£22 = С1 ± Ара22 - Вра11, (41)

а33 = а3з ± Рр {аи - а11 ± а22 - а22) , (42)

£21 = С2 ± Ора21, (43)

где Ар = (1 - Рр) /Ер; Вр = Рр (1 ± Рр) /Ер; Рр = &К-2Ср ; ер = 3К+СР ;

С = (А - Ар) а11 - (В - Вр) а22; С1 = (А - Ар) а22 - (В - Вр) а11; Вр =

= ~(Т; С2 = (°У-С!(р'>(721; а^, а212, а3з3, а^1 — напряжения, удовлетворяющие условию достижения критического состояния (38). При решении задачи используется кусочно-постоянная аппроксимация зависимости О(э). Символ «<р>» приписывается соответствующим модулям в пластическом состоянии.

Выпишем систему уравнений, описывающую поведение слоя в пластическом состоянии,

/

С2 + Ора21 = 0.25 /

V

Р+

х + а1

Ь

+

Р-

х + а2

до2\ (&

\

+

+0.5

Ь

Ь + а\

-Р+ + р- х + а2

Ь + а2

+ 2 ! а2і (0 1п

%

С + Арап - Вра22 = (^-Р+ 1^ Ь + аг )

—Рл 1п

х + а2 Ь + а2

С1 + Аро22 — Вро 11 = °.5 ( —

Ь

р-

х + а2

д022 (О

Ь - £

Р+

р2

х + а1

(44)

аі2 (х) = 0.5 (а12(х) + о+2(х)) ; оп (х) = 0.5 (оп(х) + а+(х)) ;

до22 (х) дх

= о-1(х) - °21(.х)

до2і (х) дх

= о-1(х) - °п(х)

о33 = V (о11 + о22)

Таким образом, математическая модель задачи об упругопластическом поведении тонкого слоя, лежащего на продолжении трещины в виде физического разреза в линейно упругой плоскости, включает в себя системы (37), (39), (44) при выполнении граничных условий (34), (35). При дискретной реализации предложенной постановки система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом Ньютона-Рафсона, где в качестве начального приближения использовалось напряженное состояние предыдущего шага нагружения. Вычислительная сходимость решения с относительной погрешностью 0.01% наблюдается, как и в упругой задаче, при четырех итерациях.

Приведем зависимость длины пластической зоны от прикладываемого усилия для случая нормального отрыва Р+ = Р-, Р+ = Р2~ = 0, а\ = а2 в рамках различных представлений и вида плоской задачи. На рис. 2 отображены зависимости безразмерного расклинивающего усилия и соответствующая ему длина тонкой пластической зоны от выбранной

1

1

расчетной модели для первых 5 элементов при следующих расчетных характеристиках: а = 10; Е = 2.1 • 105 МПа; ат = 600 МПа; V = 0.25. Для модели трещины в виде физического разреза рассмотрено как плоское напряженное, так и плоское деформированное состояние. Непрерывная линия 1 соответствует решению Леонова-Панасюка-Дагдейла, штриховые

— Ср = 0.01СУ, штрихпунктирные — Ср = 0.1СУ. Графики 2, 4 построены для случая плоского напряженного состояния, 3, 5 — для плоского деформированного состояния. Р — нагрузка, обеспечивающая пластическое течение на I элементах. Рн — нагрузка, необходимая для выхода первого элемента в пластическое состояние для случая плоского напряженного состояния. Отметим, что результаты решения полностью идентичны значениям, полученным в работе [4] при рассмотрении нормального отрыва исходя из гипотезы однородности нормальных компонент тензора напряжений в слое.

2 ч ч ч ч У /'

1 \ / / / - ✓ ✓ *

V / / / / '/У Г / <

/у \ \

"4 ч 3,5

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 р ур

Рис. 2. Зависимость длины пластической зоны от расклинивающего усилия для случая нормального отрыва

На рис. 3 показана зависимость длины пластической зоны от

прикладываемого усилия для случая продольного сдвига: Р+ = Р- = 0, Р+ = —Р- , а1 = а2 при следующих расчетных характеристиках: а = 10;

Е = 2.1 • 105 МПа; ат = 600 МПа; V = 0.25.

Графики 1, 2 характеризуют плоское деформированное состояние, графики 3, 4 характеризуют плоское напряженное состояние. Штриховые линии соответствуют Ср = 0.01СУ, а непрерывные Ср = 0.1СУ.

На рис. 4 построены эпюры распределения напряжений в слое

взаимодействия на первых 10 элементах при пластическом течении на пяти элементах. Непрерывные линии соответствуют Ср = 0.1СУ, штриховые — Ср = 0.01СУ. Кривые 1, 3 определяют напряжение а+1 = а— = а21 , 2 и 4 —

а

р

+

11.

У У

Я? У 1_0

уп \

0.5 1 1.5 2 1±

Р«

Рис. 3. Зависимость длины пластической зоны от прикладываемого усилия для случая продольного сдвига

0 4 ------------1------------------1------------------1------------------1-------------------

2 4 6 8 N

Рис. 4. Распределение напряжений в слое при продольном сдвиге

При продольном сдвиге зона пластичности не выходит за пределы слоя для любого вида плоской задачи. Для нормального отрыва локализация пластического течения справедлива только для плоского напряженного состояния, тогда как в плоском деформированном состоянии при выходе второго элемента слоя в пластичность зона необратимого деформирования выходит за границы слоя. Упрочнение материала существенно для продольного сдвига и плоского напряженного состояния при нормальном отрыве.

Список литературы

1. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

2. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50, № 5. С. 206-217.

3. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 2. С. 148-157.

4. Глаголев В.В., Маркин А.А. О влиянии упрочнения материала на формирование напряженного состояния тупиковой области трещины нормального отрыва // Вестник ЧувашГПУ. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). С. 106-117.

Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Глаголев Леонид Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), студент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Девятова Мария Владимировна (gavrilkina-mv@rambler.ru), к. ф.-м.н., банк «Тульский промышленник».

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Model of development of a thin plastic zone in a crack vicinity at any loadings on its coast

V. V. Glagolev, L. V. Glagolev, M. V. Devyatova A. A. Markin

Abstract. The model of a finding of the is intense-deformed state of a neighbourhood of a flaw is viewed at any allocation of an exterior loading on its coast. The flaw in this case is modelled by a physical slit and the material stratum on its continuation. The distance between slit coast is extremely small, providing lack of interaction between them. Allocation a stress tensor builder on a thickness of a stratum is accepted by the linear. In the course of a body loading existence of plastic field within the limits of the given stratum is supposed possible. For the description of behaviour of a material at transition in plastic field the variant of the deformation theory, thus volume change is used remains linearly elastic. Process of an elasto-plastic deforming is necessary beam, the guiding tensor of a deviator of voltages in each point of a stratum is fixed by its value, reached at the moment of transition from an elastic stage in the elasto-plastic. The given assumption has allowed to reduce a problem to statically determinate. From the interaction analysis between a stratum and exterior semiplanes the closed system

of the integrated and differential equations concerning boundary and medial a builder in a stratum is gained. Numerical solutions of the given system for cases of the symmetrical and antisymmetric loading of coast are constructed by concentrated forces. Comparisons of effects with the alternative models are spent.

Keywords: the characteristic size, linear elasticity, elastic-plastic deformation, beam process.

Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Glagolev Leonid (vadim@tsu.tula.ru), student, department of applied mathematics and informatics, Tula State University.

Devyatova Maria (gavrilkina-mv@rambler.ru), candidate of of physical and mathematical sciences, Bank «Tulsky promyshlennik».

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 31.05.2011