Задача о произвольном нагружении берегов полубесконечной трещины в упругой плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 53-63 Механика

УДК 539.375

Задача о произвольном нагружении берегов полубесконечной трещины в упругой плоскости *

М. В. Гаврилкина, В. В. Глаголев, А. А. Маркин, Т. А. Мерцалова

Аннотация. Предлагается модель описания напряженно-деформированного состояния окрестности трещиноподобного дефекта при произвольном распределении внешней нагрузки по его берегам. Трещина моделируется физическим разрезом. Расстояние между берегами разреза является предельно малым, обеспечивающим отсутствие взаимодействия между ними. При произвольном нагружении берегов разреза рассматривается напряженно-деформированное состояние в материальном слое, ограниченном продолжениями берегов. Распределение компонент тензора напряжений по толщине слоя принимается линейным. Из анализа взаимодействия между слоем и внешними полуплоскостями получена замкнутая система интегральных и дифференциальных уравнений относительно граничных и средних компонент в слое. Построены численные решения данной системы для случаев симметричного и антисимметричного нагружения берегов сосредоточенными силами.

Ключевые слова: характерный размер, граничное интегральное уравнение, фундаментальное решение, линейная упругость.

Одной из основных моделей представления трещиноподобного дефекта в сплошной среде является математический разрез [1-3]. Исследование напряженно-деформированного состояния окрестности концевой точки приводит к сингулярности, подавить которую возможно явным введением фиктивных нагрузок по берегам трещины — сил сцепления [4, 5]. Основной проблемой в этом случае является выбор закона взаимодействия соответствующих сил, отвечающего внешнему воздействию. И, в связи с этим, наиболее изученным и экспериментально обоснованным является предельное состояние трещины нормального отрыва, где можно изначально задать направление взаимодействия сил сцепления (в силу симметрии процесса), а их значение выбрать постоянным. Однако нарушение симметрии во внешней нагрузке не дает

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-01-97500) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гос. контракт П1125).

право априорно задать распределение сил сцепления и приводит к ряду проблем в соответствующем модельном представлении.

Альтернативным описанием трещины является модель физического разреза [6-10]. В этом случае в модель трещины вводится материальная область, лежащая на мысленном продолжении физического разреза в сплошной среде. Основное свойство физического разреза состоит в том, что разрез меньшей толщины не приводит к прекращению взаимодействия между частицами, расположенными на противоположных берегах. Толщина материала, ограниченного физическим разрезом, должна быть такой, чтобы изменение свободной энергии взаимодействия его частиц совпало с изменением свободной энергии приповерхностных слоев (поверхностной энергией), образуемых в процессе разделения (свободная энергия слоя переходит в поверхностную энергию) [10]. Данное определение не зависит от свойств материала и приемлемо как для упругих, так и неупругих моделей. Решение задачи о нахождении критического состояния, предшествующего разрушению, сводится к постановкам соответствующих краевых задач в рамках тех или иных определяющих соотношений. Взаимодействие материальной области, являющейся мысленным продолжением физического разреза, со сплошной средой можно ассоциировать с силами сцепления, но их распределение в этом случае не задается априорно, а определяется в процессе решения. Таким образом, в рамках данной модели возможно нахождение напряженно-деформированного состояния окрестности концевой области. В отличие от модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [1-3] предлагаемая модель позволяет выделить интервал изменения внешней нагрузки, соответствующий упругому деформированию концевой области [9] и установить значение нагрузки, при котором начинается образование зон пластичности [11].

Рассматривается задача о нагружении берегов физического разреза системой сосредоточенных сил согласно схеме (рис. 1).

Воспользуемся следующими обозначениями для граничных напряжений слоя: 0+2 (Х2) = 012 (¿о/2,Ж2), а_2 (х2) = О12 (—¿о/2, Ж2),

а+1 (х2) = а11 (5о/2,х2), а— (х2) = а 11 (-5о/2,х2). При дальнейшем изложении положим х2 = х, все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине слоя ¿о, а напряжений — к параметру в = 2(1—Е2). На основании решения задачи Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, имеет вид

и1 (х,х1)1Ж1= 4й = и+(х) = -Р+ 1п^ х + ^ ^ °п(Шп ^ ^ (1)

и2 (х,х1)|Ж1= ¡20 = и+(х) = -Р+ 1п( х + аа\ ) + / а+1(^)1п ^х- ^ (2)

и1 (х,х1)1Х1=_¡а = щ(х) = р_^гО!)- !0 а-1(^)1п ^^ (3)

Рис. 1. Схема нагружения

и2 (х,хг)\хі=_ ід и2 (х) = -Р2 °Х + ^2

а.

21

(е) 1п

\х - с\ ь - Є

¿Є, (4)

здесь а1, а2 — расстояние от вершины разреза до точки приложения проекций безразмерной силы Р+ = Р+ /¿ов, Р_ = Р_/¿ов; Р+, Р_ — проекции силы на единицу толщины образца; Ь — удаленная точка с нулевым перемещением (данную точку будем ассоциировать с бесконечно удаленной точкой); Ь — расстояние от начала координат до Ь. Предполагается непрерывность поля перемещений полуплоскостей на границе со слоем.

Считаем, что в рамках слоя распределение перемещений щ(х) линейно по координате х1 . В этом случае

ди2(х)

дхі

= и+(х) - и_ (х).

(5)

С учетом (2) и (4) из (5) получаем ди2(х) ди+(х) ди_ (х)

дхі = -Р+ 1п

дхі

х + а1

Ь + аі

дх1 + Р_ 1п

х + а2 Ь + а2

+ / (а+і(е)+ а_і(е))1п

■)о

\х - І\ ь - е

Продифференцируем (1) и (3) по х:

ди+ (х) дх ди_(х) дх

Р+

х + а1

Р_

х + а2

+

а

її

(Є)

(х - е)

¿Є,

а_і(е)

(х - е)

¿е.

¿Є-

(6)

(7)

(8)

0

0

Из соотношений (6)-(8) находим сдвиговые деформации на границах

~ Эп2 (х)

полуплоскостей в предположении непрерывности производной дх\ по границе со слоем:

Ч-Р+ Ч та;)*р_ Ч ЬЙ)+Г <0+1 ®+а_м 1п Ц«).

[021 (и+021(и)1п ^-Ь-у /0 Ь-у

•*- - "(Р Ш)-СШ‘) * "

*"(-*'■( йОг) * р_“( Ьй)*1.1м««« 1-14

(10)

Считаем, что связь между напряжениями и деформациями определена законом Гука для случая плоского деформирования:

е11 = Лап — Ва 22, (11)

£22 = Ла 22 — Ва11, (12)

а 12 = Се12, (13)

где Л = П; В = 2(^_^); С = 2(1_^); V — коэффициент Пуассона.

С учетом (13) и выражений (9), (10) находим касательные напряжения на границах полуплоскостей:

а!" - (-Р+( Ь+О ) *!.ТЙ5«) *

тС(-Р-*'Ч Т*О,) * р_"'( Щ) * С №■<*•;•«

Т (14

(')_ = П 5С (р_( 1 * аЛ — { а—1(У) ^ ^

|х—у|

.хтт2)—л тх—-)* *

*П5С {-Р} 1п (ЙОТ) *Р_ ^ *I (а^«» - 1-1 «)

(15)

Продифференцируем (2) и (4) по х:

Чх^'.»=—Ш *Ш“- »*>

ди_х) = £.;)_ = — (— Л (,7)

дх 22 \х * а.) У0 (х — У)

Из (16), (17) с учетом (12) находим связь между нормальными напряжениями на границах полуплоскостей:

Аа«+ - Ва“+ = - ( -+-) + Ґ ОЩ<4, (18)

х + аі ) Уо (х - е)

АаР_ - Ва^_ = -( ) - Ґ (Щ-<(. (19)

\х + 02) Уо (х - е)

Имеем систему четырех уравнений (14), (15), (18), (19) относительно компонент напряжений на границах слоя и полуплоскостей. Полагаем, что

(р) _ _

компоненты тензора напряжений непрерывны на границах слоя ау = а^,

а(р)+ = а+.

г] игу

Рассмотрим условия равновесия элемента слоя в проекциях на ось х:

да22 даі2

—22 + —- =0, (20)

дх дхі

и ось хі:

^ ^ = 0. (21)

дх дхі

Проинтегрируем уравнения (20) и (21) по толщине слоя, в результате получим:

д22 (х) = а_і(х) - а+l(x), (22

дх

х)

= а _і(х) - а'+і(х), (23)

дх

где а.1 (х) = —а/. а21 (х, х1) йхъ а22 (х) = /_°/0/2 а22 (х, х1) йхъ

В предположении линейного закона распределения напряжений а.1 (х), а22 (х) по толщине слоя находим связи между а.1, а.. и напряжениями на границах полуплоскостей:

а21 (х) = (а_1(х) * а}1 (х)) , (24)

а22 (х) = П-5 (а22(х) * а2.(х)) ■ (25)

Уравнения (14), (15), (18), (19), (22), (23), (24), (25) образуют замкну-

тую систему интегральных и дифференциальных уравнений относительно граничных напряжений а+Кх), а+,(х), а+^Тх), а_1(х), а_.(х), а_1(х) и напряжений а.1 (х), а22 (х) с граничными условиями

°22|х=0 = Я1, (26)

°21|х=0 = Я2- (27)

В отсутствии нагрузки на торец слоя ql = д. = П.

При решении задачи воспользуемся численной процедурой дискретного подхода рассмотренного в [9, 10]. Преобразуем уравнения (14) и (15) следу-

ющим образом: вычтем из уравнения (15) уравнение (14) и с учетом (22) запишем:

да.. (х) дх

= П.5С

*( Р}

х * а2

х * а1 ] У, (х — У)

(28)

Проинтегрируем уравнение (28) по х при условии затухания напряжения

а.2 в точке Ь:

а22 (х) = П.5С (р} 1^ х * 0 ) * Р_ 1п^ х * а2

Ь * а1

Ь * а2

—!0 (а}1(у)+а—1(у)) 1п ^^) •

(29)

Сложим уравнения (14) и (15). Используя (23), (24) приходим к интегро-дифференциальному уравнению относительно среднего касательного напряжения а.1:

2о.1 (х) = П.5С

Р

х * а2

*С

— Р+ 1п

х * а1

Ь * а1

* Р- 1п

Р}

х * а1 х * а2 Ь * а2

да.1 (У)

ду (х — О

*

*2

* а.1 (У)1п %

(30)

Таким образом, система уравнений распадается на уравнение (30) с граничным условием (27) относительно среднего касательного напряжения а.1 и систему интегральных и дифференциальных уравнений (29), (18), (19), (22), (23), (24), (25) относительно граничных напряжений а+1(х), а}(х), а+1(х), о_1(х), о_.(х), а_1(х) и среднего значения напряжения а.. (х) с граничными условиями (26), (27).

Запишем полученную систему для двух наиболее важных для механики разрушения случаев: нормального отрыва и продольного сдвига. Случай нормального отрыва определяется следующими граничными условиями: Р+ = р_, Р.+ = Р— = П, а1 = а.. Из уравнения (30) для слоя приходим к тривиальному решению а.1 = П, а из (23), (24), (18) и (19) получаем о+2(х) = о_2(х), а+1(х) = а_1 (х), а+1(х) = —а_1(х). Таким образом, приходим к системе из трех интегральных и дифференциальных уравнений относительно основных неизвестных а22, а11, а+1:

х * а1

(х) = с(р} 1п( Ш)— I

ГЪ011(О1п %

< Ла22 — Ва11 = да..(х)

а,

21

(О

(х — о

дх

= —2а+1(х);

0

с граничным условием 022|Х=о = П.

Отметим, что в работах [9, 10] исследовался нормальный отрыв, исходя из гипотезы однородности напряжений оц и а.. по толщине слоя. В этом случае разрешающая система имеет вид

х * а1

Аа„ - Ва22 = 2(Р+1^Ь+О;) -1

Аа22 - Ваіі =

гЬ а+і(е)

5 (х - О

Ь + аі

¿е;

(32)

да22 (х) дх

= -2а+і(х)•

На рис. 2 рассмотрены результаты расчетов для средних напряжений а22, а11, полученных из решения систем (31) и (32). Штриховые линии отвечают решению (32), а непрерывные — (31). В обоих решениях имеет место а.. < < а 11. Расчет проводился при следующих характеристиках: N = 1ППП; а = 1П; V = П.25. Отметим, что при решении систем (31) и (32) при V = П имеет место а22 = П.

1 3 5 7 И

Рис. 2. Результаты расчетов при нормальном отрыве

В случае продольного сдвига Р} = —Р-, Р} = Р- = П, а1 = а.. Уравнение (30) преобразуется к виду

гТ да.1 (У) (У

Ю

а 21 (х) = 0.25с(- - ^ + с (-Р+ 1п

+

х + а; Ь + а;

+

де (х - е)

/0Ь а21 (е)1п Ь-е <е

Для остальных семи неизвестных задачи а+1(х), а+,(х), а+1(х), а_1(х), о_.(х), а_1(х) приходим к следующей системе интегральных и дифференциальных уравнений:

(Т

а22 (х) = — 0.5С^^ (а11(0* а11(0) 1п

Ла} — Ва}1 = —

Ла2. — Ва 1 1 =

Р+ р2

х * а1

Р+ р2

*

а

21

(У)

х * а1

0 (х — О

а

-х — У1 Ь — У

%

ГЬ °21(У) (х — О

(У;

да..(х) дх да21 (х) дх

= а—1(х) — а+1(х); = а _1(х) — а+1(х);

(34)

а.1 (х) = П.5 (а21 (х) * а+^х)) ; а22 (х) = П-5 (а_2(х) * а+2(х) ■

Уравнение (33) и система (34) решаются при удовлетворении граничных условий

02.|х=о = П, (35)

°21|х=0 =П- (36)

Для сравнения решения (33)-(36) рассмотрим постановку соответствующей задачи продольного сдвига исходя из гипотезы однородности касательных напряжений по толщине слоя. В этом случае поле перемещения должно быть линейным по координате х1 и определяться по следующему закону:

и (х1,х) = е12 (х) х1е2. (37)

В силу антисимметрии внешней нагрузки относительно плоскости х1 = П рассмотрим верхнюю полуплоскость (х1 ^ ¿о/2).

Соотношения Фламана (1), (2) преобразуются к виду

и+ (х)=[ а+1(01п Jo

-х — У1 Ь — У

(У,

и}(х) = —Р.+ 1^ Ь * I) * 0 а}1(Шп

(У.

(38)

(39)

Уравнение равновесия слоя вида = — 1x1 с гипотезой однородности касательных напряжений по толщине слоя и граничным условием 022|Х=о = П приводит к представлению

а22 (х) = П. (40)

Рассмотрим второе уравнение равновесия слоя: • Учитывая

условие затухания поля напряжений на бесконечности, приходим к линейному закону распределения напряжений стц по толщине слоя:

ап(х,хг) = - Хь (41)

Отметим, что «усредненное» по толщине слоя напряженное состояние в силу (40) и (41) описывается только одной компонентой тензора напряжений а 12 (х), которое в силу гипотезы однородности касательного напряжения является и средним СТ12(х) = а12(х).

Таким образом, основной неизвестной компонентой тензора напряжений слоя является напряжение а12(х). Из (37) при х1 = 0.5, (13) и (38) приходим к интегральному уравнению для определения данной неизвестной:

а12 (х) = 2С (^-Р+ 1п ( ^ а21(С) 1п ■ (42)

На рис. 3 представлено сравнение решений (42) и (33) с граничным условием (36).

Рис. 3. Сдвиговые напряжения при антисимметричном нагружении

График 1 на рис. 3 соответствует решению уравнения (42), график 2 — уравнению (34). Результаты отнесены к значению напряжения на первом элементе, полученного при решении (34). Как показывают расчеты ни расстояние от вершины разреза до приложения внешней нагрузки, ни коэффициент Пуассона принципиально не влияют на характер поведения напряжений (меняется абсолютное значение напряжения на первом элементе).

Таким образом, предложенная модель согласуется с результатами, полученными в рамках нормального отрыва и продольного сдвига при гипотезе однородности НДС по основным для каждого случая напряжений в слое взаимодействия. Достоинство модели заключается в возможности исследования НДС в тупиковой области трещины при произвольном распределении внешней нагрузки по ее берегам.

Список литературы

1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

2. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук. думка, 1991. 416 с.

3. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.

4. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 69-75.

5. Лавит И.М. Энергетический баланс окрестности кончика трещины в упругопластической среде // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 3. С. 123-131.

6. Ентов В.М., Салганик Р.Л. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.

7. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. М.: Мир, 1975. Т. 3. С. 67-262.

8. Googier J.N., Kanninen M. Crack Propagation in a Continuum Model with Nonlinear Atomic Separation Lawn // Tech. Rep. Div. Eng. Mechanics. Stanford Univ. 1966. No. 165.

9. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50, № 5. С. 206-217.

10. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модели процесса деформирования и разделения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 148-157.

11. Клевцов Г.В., Ботвина Л.Р. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. № 4. С. 24-28.

Гаврилкина Мария Владимировна (gavrilkina-mv@rambler.ru), к. ф.-м.н., банк «Тульский промышленник», Тула.

Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Мерцалова Татьяна Анатольевна, к. ф.-м.н., Тульский артиллерийский инженерный институт.

A problem of an arbitrary loading of semi-infinite flaw shores in an elastic half-plane

M. V. Gavrilkina, V. V. Glagolev, A. A. Markin, T. A. Mertsalova

Abstract. The model of exposition of the is intense-strained state of a neighbourhood of a flaw is offered at any allocation of an exterior loading on its shores. The flaw is modelled by a physical slit. The distance between slit shores is extremely small, ensuring lack of interacting between them. At any loading of shores of a slit the is intense-strained state in the material stratum restricted to prolongations of shores is observed. Allocation of components of a stress tensor on width of a stratum is accepted the linear. From the interacting analysis between a stratum and exterior half-planes the closed-loop system of the integral and differential equations concerning boundary and medial components in a stratum is gained. Numerical solutions of the given system for cases of the symmetrical and antisymmetric loading of shores are built by concentrated forces.

Keywords: the characteristic size, a boundary integral equation, the fundamental solution, the linear elasticity.

Gavrilkina Maria (gavrilkina-mv@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, Bank «Tulsky promyshlennik», Tula .

Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, head of the department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Mertsalova Tatiana, candidate of physical and mathematical sciences, Tula Artillery Engineering Institute.

Поступила 14.05.2010