Исследование процесса упругопластического деформирования концевой области трещины нормального отрыва в состоянии плоской деформации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 44-57

Механика =

УДК 539.375

Исследование процесса упругопластического деформирования концевой области трещины нормального отрыва в состоянии плоской деформации

В. А. Айрих

Аннотация. Модель трещины рассматривается как совокупность физического разреза с характерной толщиной и материала, лежащего на продолжении этого разреза (слой взаимодействия). Напряженно-деформированное состояние (НДС) слоя описывается средними значениями тензора напряжений по толщине, тем самым формируя граничные условия для смежной с ним среды. Получена замкнутая система интегральных и дифференциальных уравнений. Решение соответствующей системы описывает процесс развития пластической области. Переход из упругого состояния в пластическое рассматривается в рамках критерия Треска-Сен-Венана. Для пластической области предлагается выполнение соотношений полной пластичности.

Ключевые слова: трещина, физический разрез, граничное интегральное уравнение, упругопластическое деформирование, полная пластичность.

1. Введение

При моделировании образования новых материальных поверхностей в механике разрушения можно выделить два основных подхода: разрушение рассматривается как движение математического разреза в твердом теле либо как движение физического разреза на определенном масштабном уровне.

Основная модель с математическим разрезом для плосконапряженного состояния — это модель Леонова-Панасюка-Дагдейла. Для случая плоской деформации вводится поправка (предел текучести увеличивается в \/3 раз) [1], так как экспериментальные данные свидетельствуют о существенном различии длин пластических зон при различных плоских состояниях.

В модели с физическим разрезом используются гипотезы сплошности при исследовании окрестности особой точки с помощью различных критериев. Введением определенного масштабного уровня разрушение моделируется

как дискретный процесс. В этом случае тело аппроксимируется набором структурных элементов, взаимодействующих по законам в соответствии с выбранным масштабным уровнем. Одним из существенных недостатков этого подхода являются большие вычислительные затраты. Следовательно, представляется актуальной разработка подходов, в которых используется представления механики сплошной среды (фундаментальных решений) для областей, не подвергающихся разрушению, и дискретное описание разрушающейся области [2].

Рассмотрим плоскую задачу о нагружении плоскости, ослабленной трещиноподобным дефектом, симметричной нагрузкой согласно схеме, показанной на рис. 1. Трещина в рассматриваемой модели представляет собой совокупность физического разреза с характерной толщиной §о и материала, лежащего на продолжении этого разреза (слой взаимодействия). Полагаем, что среда вне слоя описывается соотношениями линейной упругости, в пределах слоя взаимодействия — идеально упругопластической моделью.

Введем бесконечное материальное пространство, отнесенное к декартовой системе координат ОХ1Х2Х3. Предполагаем, что точки приложения сил находятся на берегах разреза с координатой Х1 = —а0 точки А. 1р — длина пластической области, Р — расклинивающая нагрузка [3].

В рамках концепции слоя взаимодействия под трещиной понимаем начальный вырез и полубесконечную полосу материала на его продолжении, толщина выреза определяется характеристиками материала. Данная модель позволяет отказаться от конфигурации трещины на основании средних характеристик слоя.

Будем рассматривать только нижнюю полуплоскость в силу симметрии, заменяя слой взаимодействия распределенными нормальной и касательной

2. Постановка задачи

Рис. 1. Рассматриваемая модель трещины нормального отрыва

нагрузками ац (х) и 722 (х) (рис. 2). В силу линейности бигармонического оператора, можно рассматривать сумму решений задач Фламана, которые определяют перемещения нижней границы полуплоскости. НДС слоя будет находиться из выражения изменения объема ограничивающей области (9 = = Єц + є22), полагаем изменение объема упругим. Деформации єц, є22 будут выражены из соотношений Фламана с помощью связи деформаций и перемещений. При этом предполагается сопряжение перемещений границы слоя и ограничивающего его упругого материала.

Рис. 2. Распределение нагрузок на плоскость

3. Основные уравнения и гипотезы

Будем считать, что НДС слоя взаимодействия описывается средними значениями тензора напряжений по толщине. Следствием этого распределение перемещений в слое линейно по оси х\ (из-за дифференциальной связи деформаций и перемещений). Таким образом, запишем соответствующее выражение для распределения перемещений в слое взаимодействия:

и (Х1 ,х) = [и01 (х) + /1 (х) ■ .х 1 ] ё\ + [и02 (х) + ¡2 (х) ■ Х\] ё2, (1)

где и01 (х), и02 (х) — соответствующие перемещения срединной поверхности ^ /1 (х) = , /2 (х) = Ц2 .

Выразим функции и01 (х), и02 (х), /1 (х), /2 (х) через функции

перемещения границ слоя и+1 (,х), и-1 (— ,х), и+2 (,х), и-2 (— , х).

Учитывая соотношения для вертикальных и горизонтальных перемещений верхней и нижней границ слоя взаимодействия

и-1 = -и+1, и-2 = и+2,

получим, что (1) примет вид

и (хг,х) = В безразмерном виде

2и+1 (х)

То

Х\

вг + [и+2 (х)] в2. (2)

и (хг,х) = [2и+1 (х) хг] вг + [и+2 (х)] в2, (3)

где х = х/50, и = и/50.

Деформации £гг, 622 и 612 связаны с перемещениями следующим образом:

дй1 дй2 1 (дй1 дй2\

611 = т’ 622 = ~й’ 612 = ^ Ж + т] ■ (4)

—1 —2

Подставляя компоненты и и и из выражения (3) в (4) и учитывая, что для границы слоя и верхней полуплоскости хг = 1/2, получим выражения для деформаций:

2и г (х) ( ^ +2 (х)] 1 ( ^ +1 (х)] (5)

611 = 2и+ (х) ’ 622 = ----------’ ^ =Т2^^. (5)

До достижения предела текучести напряжения связаны с деформациями законом Гука

бгг = Аоц — В022, 622 = А022 — Воц. (6)

Здесь оц = ¡Зо^, (г = 1, 2; ] = 1, 2) — безразмерные напряжения; в =

= 2(1 — V2) /пЕ — параметр материала в случае плоской деформации; Е —

модуль упругости; у — коэффициент Пуассона; А = п/2, В = уп/ [2 (1 — у)}

— безразмерные постоянные.

Условие равновесия в безразмерном виде:

= — 2012. (7)

дх

Запишем уравнения, связывающие внешние нагрузки Огг, 012 с

перемещениями границы полуплоскости [4, 5] в безразмерном виде:

ь

Тт1 / \ х + а [_ \х — Ц

и (х) = —Р 1п—— + огг (£) 1^---------- (Щ;

ь + а ,] ь — ^

о

ь

и2 (х) =! °12 (Шп \х— ^ Л(’ (8)

о

где P = ¡3P/5q; « = L — расстояние от начала координат до удаленной точки (совпадает с числом единичных элементов разбиения); величины а, £ отнесены к 5о.

Напомним, что здесь «12 — напряжение, действующее на протяжении края нижней полуплоскости, граничащей со слоем взаимодействия. Оно выражается через уравнения равновесия (7).

Найдем изменение объема вдоль слоя за счет движения ограничивающего его упругого пространства (для плоской деформации £33 (x) = 0):

L

/1 x + a

аi2 (£) -—7 d£ - 2P ln ——+ x — £ L + a

о

(9)

L

+2 J an (£) ln L—j d£. о

Это уравнение остается в силе как при упругом, так и при упругопластическом поведении слоя в силу того, что изменение объема пластической области полагается упругим, сохраняя линейную связь шаровых составляющих тензоров деформаций и напряжений.

Используя закон Гука (6), равенство (9) представим в виде

L L

¡«и ю X—d(—2р in L+t +2/«п(£)in lL—jd£ =

оо

= (A — B) («11 (X) + «22 (x)) .

(10)

Система для упругой области будет состоять из уравнений (10), (7), также добавится условие равенства деформаций £22, вычисляемых по (6) и (8):

L L

I «12 j x——2P ln L+a+2 /«11(£) ln 'т—j=

оо

= (A - B)(«n (x) + «22 (x)), (11)

L

A«22 - B«11 = J «12 (£) x—jd£, = -2« 12-

о

Здесь «11, «22 — неизвестные компоненты усредненного тензора напряжений слоя взаимодействия; «12 — неизвестная нагрузка на

полуплоскость со стороны слоя; Р — неизвестная безразмерная нагрузка, обеспечивающая заданную длину пластической области.

Система для элемента, переходящего в пластичность, запишется как система (11) с добавлением критерия Треска:

^11 — ^22 = 2тв (,11 — ^33 = 2г5) ,

ь ь

/«12 (« х—? л(—2Р ш т+а+2/1,11 «> 1п т—1 "*■ =

0 0

= (А — В) (,11 (х) + а22 (ж)) ,

А,22 — Ва 11 = J , 12 (О х—^&,, -а=Г = —2,120

Запишем связь шаровых составляющих тензоров деформации и напряжений:

К • в = сто, (12)

где К = Е/ [3 (1 — 2v)] — коэффициент объемного сжатия, в = е11 + е22, ,0 =

= (,11 + ,22 + ,33) /3.

Как показано экспериментально, данная гипотеза справедлива, и объем области при упругопластическом деформировании изменяется упруго. Представим соотношение (12) в безразмерном виде:

^ ( , ) а в,11 + в,22 + в,33

К • (еп + £22) • в = ---------------3-,

ь

(£11 + £22) • 3К = ,11 + ,22 + ,33,

где К = 2(1 — V2) / [3(1 — 2v) п] — безразмерный коэффициент объемного сжатия.

Выразим из последнего равенства напряжение

,33 = (£11 + £22) • 3К — ,11 — ,22-

Система для пластической области запишется как совокупность критерия Треска, условия полной пластичности ,22 = ,33 и условия равновесия (7):

,11 — ,22 = 2тs,

Ь

Ь

3К

/

_0

о

¡=- — —2о12-

4. Критерий пластичности

Предполагаем, что для случая плоской деформации пластическая область развивается в слое и не выходит за его границы, что позволяет описывать окружающий пластическую область материал в рамках линейной теории упругости.

Переход из упругого состояния в пластическое рассматривается в рамках критерия Треска-Сен-Венана:

где аг, О3 — главные напряжения.

Наблюдается изменение критерия на первом элементе (переход от к = = 0 элементов в пластичности к к = 1, модель с пластической областью по Треска-Сен-Венана), это говорит о том, что при каком-то значении расклинивающей нагрузки Р напряжения а22 и азз сравниваются. Так же для случая к = 2 невозможно подобрать критерии Треска-Сен-Венана для первых трех элементов.

Это дает основание для использования соотношений полной пластичности:

Условие вида (13) предложили Хаар и Карман. Оно описывается в рамках достижения максимального касательного напряжения предела текучести.

Условие пластичности Треска представляется в пространстве главных напряжений шестигранной призмой, наклоненной к оси ~0ц = 022 = азз. В девиаторной плоскости «ц + а22 + а33 = 0 сечение представляет собой правильный шестиугольник [6].

Выбор критерия перехода в пластичность для к = 0 обусловлен упругим решением задачи [7]

Отсюда следует, что максимальная разница будет достигнута как ац —

— а22, и критерий для перехода следует брать следующий:

шах(.і — 03) — 2г3,

О11 — О 22 — 2т8, О 22 — О33.

(13)

О11 > О33 > О22 -

О11 — О22 — 2т8.

Для случаев к = 1, 2, 3 он может измениться из-за перераспределения напряжений в ходе квазистатического процесса роста трещины. Для того чтобы понять, какой критерий следует взять, для каждого к = 1,2,3 выбирается сначала а11 — а22 = 2т3. Если разность а11 — а33 < 2т3, то предположение было верным. Если «ц — «зз > 2т3, то критерий меняется на а 11 — а33 = 2т3 для элемента, переходящего в пластичность.

Слой взаимодействия по оси х разбивается на п единичных элементов (рис. 3). На каждом элементе НДС слоя характеризуется средними характеристиками (постоянная аппроксимация), где ^, £¿+1 — границы г-го элемента; XI — точка вычисления, середина элемента.

Перепишем разрешающую систему уравнений с учетом постоянной аппроксимации.

1. Упругая область:

5. Численное решение

Рис. 3. Дискретизация слоя

^2 (х3) - ^22 1 (Х-і) = “2^12 (х3) •

2. Элемент, переходящий в пластичность:

^11 (хз) - ^22 (хз) = 2ъ аіі (Ху) - а333 (Ху) = 2т3

= (А — В) (ст-11 (х3) + а22 (х3))

€¿+1

1

Аа22 (х3) — ВаИ (х3) = ^ а12 (£г) [ х _£

.•_1 ■> х3 £

е

'£,

/ х* — £

¿=1

а22 (х3) — а22 (х3-1) = —2а12 (х3) • 3. Пластическая область:

а11 (х3) — а22 (х3) = ^,

п €+1 п е¿+1

3К £^«.)/ х—(<‘£—2р1пхПтаа+2Е»1.м/1”'-ПЕт'*

=1 е¿ ¿-1 е¿

-»11 (х3) — 2а22 (х3) = 0,

а22 (х3) — а22 1 (х3-1) = — 2а12 (х3) •

е¿+l

Интеграл вида / '£ будем рассматривать в смысле главного

е¿ 3

значения:

€+1

------£ ¿£ = 1П (х3 — £г) — 1П (х3 — £г+1) •

^ х3 £

е¿

6. Анализ полученных данных

Результаты расчетов с пластической областью по критерию Треска (без соотношений полной пластичности) показали, что при к = 1 первый элемент находится в состоянии пластичности по критерию ац — азз = 2т3, то есть при переходе из состояния к = 0 (первый элемент в состоянии, переходящем в пластичность по критерию ~ац — «22 = 2т3) произошла смена критерия. Отметим, что подобрать критерии первых трех элементов для случая к = 2 не представляется возможным, при различных комбинациях хотя бы один критерий выходит за рамки 2т3. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что в какой-то момент главные напряжения ~ац и а22 стали равными, это дает основание для использования соотношений полной пластичности.

На графике (рис. 4) представлена сходимость решения предложенной задачи для п = 50, 100, 200, 400, 600, 800, 1000 элементов. Аналогичные результаты получены для других длин пластических зон, в том числе и для главного напряжения «22 (рис. 5-12).

'50100

Рис. 4. Сходимость решения, к = 1

Рис. 5. Схема квазистатического развития области пластичности, к = 0

Рис. 7. Схема квазистатического развития области пластичности, к = 1

\ -?УШ: ■ ■ ■

\ \

%

% ' ^

№------------------1---------------±,-------------*---------------в------------------------------*---------------*--------------йг---------------а

Щ г т 4. 1 щ 7 в я ®

П

Рис. 8. НДС слоя, к = 1

Рис. 9. Схема квазистатического развития области пластичности, к = 2

ап/&^) я22н?\)

— азз

\ \

\ ’> ч

— \ \

о1-----------------------J--------------------------------------------------------------------------------

1 а з т 5 в 7 8 э ао

Рис. 11. Схема квазистатического развития области пластичности, к = 3

V \ \ 1 1 аи/рд о22,(Ьг) . азз/(2%)

\ \ \ \

\ / 1 ■ X _

01-----------

123456789 10

п

Рис. 12. НДС слоя, к = 3

На рис. 13 представлена нелинейная зависимость длины зоны пластичности от величины нагрузки Р. к — число элементов в пластичности, где к = 0 — состояние перехода первого элемента в пластичность.

X: 2 X: 3 У: 0.1327

У: 0.111ЬУ

1 1Г^

У: 0.06253 X

X: 0 У: 0.042 -— I- Г

к

Рис. 13. Зависимость длины зоны пластичности от расклинивающей

нагрузки

Рис. 14. Процесс нагружения для первого элемента слоя

На рис. 14 построена траектория нагружения первого элемента слоя. Из полученных данных видно, что процесс деформирования отличается от лучевого.

Список литературы

1. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трезины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 206-217.

2. Глаголев В.В., Маркин А.А., Мерцалова Т.А. Дискретно-континуальная модель процесса деформирования симметричного разделения материала // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 1. С. 134-140.

3. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2003. № 6. С. 61-68.

4. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. С. 21-31.

5. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

6. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001, 2003. С. 8-15.

7. Айрих В.А., Кунашов Н.Д. Сравнение численного и асимптотического решений варианта постановки задачи нормального отрыва // Вестник ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 16. Вып. 1. Механика. С. 7-19.

Айрих Владимир Александрович (p0xekbox@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Research of the elastoplastic deformation process of crack tip in

a state of plain strain

V. A. Airich

Abstract. The crack model is considered as a physical slit and material lying on the slit continuation (layer interaction). The layer stress-deformed state is described by the mean values of stress tensor through the thickness, thereby forming the boundary conditions for the adjacent environment. The integral and differential equations system is obtained. Solution is described the plastic region development. The transition from elasticity to plasticity is considered according to Tresca-Saint-Venant criterion. For the plastic region full plasticity relations are accepted.

Keywords : crack, physical slit, boundary integral equation, elastoplastic deformation, full plasticity .

Airich Vladimir (p0xekbox@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 02.02.2012