CC BY
38
Сер. 10. 2013. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.6 А. В. Васин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ РАЗДЕЛА ОБЛАСТЕЙ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ
1. Введение. В настоящей работе исследуется и моделируется течение жидкости в водопроводных галереях шлюзовых камер. Водопроводные галереи являются одним из важнейших конструктивных элементов судоходного шлюза. В плане галереи имеют вид, изображенный на рис. 1. Инженеры-проектировщики сталкиваются со следующими проблемами. Скорость жидкости на вогнутой стенке (в плане) обводной галереи больше, чем на выпуклой, вплоть до того, что на выходе из обводной галереи образуется кинжальная струя. Будем рассматривать плоское установившееся движение идеальной жидкости и попытаемся выяснить, можно ли, оставаясь в рамках идеальной жидкости, получить теоретические результаты, согласованные с практическими наблюдениями.
Рис. 1. Скорости в круговой камере при потенциальном течении (а) и при течении с постоянной завихренностью (б)
В случае потенциального течения для поля скоростей построим комплексный потенциал
Ф(х,у) = ф (х,у) +гф (х,у),
Васин Андрей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики факультета информационных технологий Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций. Количество опубликованных работ: 25. Научные направления: сингулярные интегралы, граничная интерполяция. E-mail: andrejvasin@gmail.com. © А. В. Васин, 2013
где ф (x, y) и ф (x, y) - гармонические в области D функции, называемые потенциалом скоростей и функцией тока соответственно. Если принять, что линии входа и выхода есть линии равного потенциала ф (x, y) = const, то комплексный потенциал для движения жидкости в данной области представляет собой аналитическую функцию Ф(^) = ln z, осуществляющую конформное отображение заданной области на прямоугольник [0,1] х [0,^] (логарифмический полюс находится вне области). Ясно, что абсолютная величина скорости жидкости
№)| = 1/|z|
уменьшается от внутренней дуги полукольца к внешней, что находится в противоречии с практическими измерениями.
Ситуация не изменится для других форм поворотов водопроводных галерей - на выпуклых поверхностях скорость на практике меньше, а схема идеального потока для потенциального течения дает обратный результат. Возникает гипотеза, что при движении в поворотных галереях и, вообще, в каналах непрямолинейной формы схема потенциального течения идеальной жидкости не работает. Для более точного описания движения будем использовать модели с завихренностью, например с постоянной завихренностью [1, 2]. В рассматриваемом случае важным является построение модели при движении по галерее из рис. 1 так, чтобы скорость на внешней границе была больше, чем на внутренней. Эта модель в случае реальных водопроводных галерей с решетками на входе в галерею как раз иллюстрирует вихревое течение с меньшими скоростями на выпуклых поверхностях. Вместо обычных уравнений, приводящих к условию аналитичности, для координат вектора скорости Vx и Vy получим
dVv dVx
— -= w,
dx dy dVx dVv _ dx dy
Условие обтекания на дугах окружностей заключается в ортогональности вектора V = (Vx,Vy) с нормальным вектором n = (cos ф, sin ф), что дает граничное условие
Vx cos ф + Vy sin ф = 0.
На входе и выходе из галереи (на отрезках вещественной оси) имеем естественное условие Vx = 0. Тогда, следуя [1], для градиента получим Vx + iVy = iuz/2. Таким образом, движение жидкости напоминает вращение твердого тела, а абсолютные величины скоростей увеличиваются от выпуклой границы к вогнутой. Этот вывод заслуживает самого тщательного исследования, поскольку без учета вязкости мы получаем результаты, согласованные с практическими измерениями. Теперь становится понятным назначение выступа для отклонения потока (рис. 2). Если бы мы оставались в рамках потенциального течения, то вариационные принципы для гармонических функций дали бы уменьшение скоростей на внешней стенке при наличии выступа. Однако для потенциального течения скорости и так меньше на внешней стенке, потому назначение выступа непонятно. Если же учитывать движение с завихренностью, то теперь скорости на внешней стенке будут больше, чем на внутренней, и, по крайней мере, требуется их уменьшение.
2. Моделирование по схеме Лаврентьева—Шабата. Цель работы состоит в уравнивании скоростей на оси галереи. Предполагаем, что течение жидкости в галерее без выступа завихренное с постоянной завихренностью, как в. п. 1. Определим
е
-е
-1
1
е
Рис. 2. Галерея шлюзовой камеры с выступом в плане
функцию тока ее дифференциалом ¿ф = -Уу¿х + Ух¿у. Для нее заданы граничные условия ф (х, у) = 0 на выпуклой стенке и ф (х, у) = 1 на вогнутой стенке, на входе галереи функция тока непрерывно изменяется от 0 до 1. Малый выступ приводит к искривлению границы камеры, и поэтому течение в галерее распадается на следующие независимые движения: 1) в области за выступом, ограниченной стенками камеры, линиями входа и выхода потока, и струей 7, срывающейся с нижнего края выступа; 2) в области Бо, дополняющей до всей камеры (см. рис. 2).
Течение в предполагается вихревым с постоянной завихренностью , > 0, а в Б0 - вихревым с постоянной завихренностью и0, и0 > 0. Кривая 7 не задается, ее надо подобрать так, чтобы она была линией тока, и поле скоростей должно остаться непрерывным всюду в камере. Таким образом, получаем вариант известной задачи Гольдштика для нелинейного уравнения Пуассона [2-4]:
с граничными условиями Дирихле ф|г = фо, 0 ^ фо ^ 1.
В исходной задаче Гольдштика на части области функция тока все-таки гармонична, что существенно упрощает вычисления. В рассматриваемом случае функция тока на части области субгармонична, а в остальной части супергармонична. Алгоритм решения уравнения Пуассона известен для стандартных областей [1, 2], где, в частности, имеются явные выражения для оператора Грина через функцию Грина в полуплоскости, моделирующие течения бесконечно глубокого бассейна с плоским дном. При использовании схемы склеивания течений с различными завихренностями в реальных водопроводных галереях мы вынуждены конструктивно строить оператор Грина, а по сути, численно решать граничные интегральные уравнения. В работах [5, 6] доказано, что задача Гольдштика имеет нетривиальное решение (с непустой областью завихренности) при достаточно больших величинах завихренности и > 4в/Я2, где Я - радиус наибольшего круга, который можно вписать в область камеры. Применим подобный метод аппроксимации задач с разрывной нелинейностью [7]. А именно, справедлива
Теорема. Пусть область течения имеет вид, представленный на рис. 2. Тогда для достаточно большой завихренности и0 в сравнении с и зависящей от геометрических размеров области существует течение жидкости, удовлетворяющее решению задачи Гольдштика (1) с непустой областью Б0 С Б, где ф > 1.
ф(г) > 1, ф(г) < 1
(1)
Доказательство. Выберем область Dq, примыкающую к вогнутой границе области D, расположенную непосредственно за выступом. Пусть Dq - дополнение Dq до области D. Определим функцию
ф1=<ро JG(, z)dA(z) + % f G{ , z)dA(z) =
= JG( , z)dA(z) + ^ J G( , z)dA(z) =
D D0
= У0 - У1 + У2,
в которой G - функция Грина задачи Дирихле для области D, а интегрирование совершается по площади. Всюду в области Dq функция 'Ф1 удовлетворяет уравнению Пуассона Дфо = — wo, а во внутренних точках Dq соответственно имеем Дфо = wq. Кроме того, функция Ф1 непрерывно дифференцируема и удовлетворяет граничным условиям, но на линии раздела областей Dq и Dq не обязана быть равной 1. Функция —у>1 субгармонична всюду в D, обращается в нуль на границе и отрицательна внутри области. Снизу функция —yi ограничена выражением — cowq, в котором константа со мажорируется гриновой емкостью множества D, и в конечном счете зависит от геометрических размеров области D. Заметим, что для любой подобной области Dq С D за счет выбора wo можно добиться того, чтобы всюду в области Dq функция Ф1 была больше 1. Найдем линию единичного уровня функции Ф1. Ввиду гладкости функции Ф1 линия уровня является гладкой кривой, но, возможно, с самопересечениями. Внешняя огибающая данной кривой ограничивает некоторую область D2 D Dq . Рассмотрим новую функцию
Ф2 = Уо ~ ^ f G{ , z)dA(z) + ^ f G{ , z)dA(z) =
D D0
= уо — yi + y2-
Ясно, что Ф2 = ф\ + / G( , z)dA(z). Второе слагаемое в последнем равен-
D10\D0
стве - супергармоническая функция, которая обращается в нуль на границе области. По принципу максимума получим, что Ф2 > Ф1 всюду в D. Это рассуждение дает нам возможность найти монотонно возрастающую последовательность непрерывно дифференцируемых функций фп и последовательность вложенных областей D0-1 С D0 С D по формуле
фп = ^0-%fG(, z)dA(z) + ^ f G( , z)dA(z) =
D D0n
= уо — yi + yrn■
Функции Фп равномерно ограничены сверху функцией
Ф = <Ро - ^ / ' z)dA(z) + ^r1 J G( > z)dA(z)>
DD
а соответствующие области ограничены линиями уровня функции фп = 1. Из свойств потенциала Грина следует, что для любого 0 < а < 1 последовательность {фп} пред-компактна в C1+а. Поэтому последовательность функций фп сходится к некоторой гладкой функции фо, а последовательность областей D0 - к некоторой области Do. Для любой внутренней точки области Do функция фо удовлетворяет уравнению Пуассона Дфо = — wo, а во внутренних точках области Dq (дополнение Do до всей области
Б) соответственно получим Дфо = и\. Заметим, что внутренность множества может содержать изолированные компоненты связности, потому граница области Бо может быть устроена достаточно сложно; некоторые свойства линии, отделяющей отрывное течение, можно найти в [8]. Изолированные компоненты иллюстрируют наличие турбулентного слоя на границе области Бо. В проведенных нами численных экспериментах этого не наблюдалось. Надо проследить только за тем, чтобы области Бо и не вырождались. То, что первая из них не пуста, обеспечивается нашим выбором величины ио. Вместе с тем функция фо всюду в Б о больше 1, а на внутренней границе равна нулю, следовательно, область Бо не может совпадать со всей областью Б. Итак, доказано существование вихревого течения для задачи Гольдштика. □
3. Численная реализация. Как уже отмечалось для областей общего вида, нет возможности определить функцию Грина явно. Решение уравнения Пуассона обычно ищется в виде суммы потенциала площади и решения конкретной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Моделирование отрывной области для потенциального течения в прямоугольной камере с выступом имеется в работе [9]. В изучаемом случае удобнее представить решение как сумму четырех функций:
ф = ио (ф1 + ф2) + и\ (фх + фз + (х2 + у2) /4) + р, где функция фх - потенциал площади
Во
и для нее выполняется
Дфх ч0\ *6 Б1'
Г1 ' -1, г 6 Бо,
а остальные функции удовлетворяют нижеследующим уравнениям с граничными условиями:
1) Дф2 =0 в области Б с граничными условиями ф2 |г = —ф1 |г (напоминаем, что это граничные условия общего вида, на части границы заданы значения функции, а на остальной части - ее нормальной производной);
2) Дфз =0 в области Б с граничными условиями фз|г = (—ф1 — (х2 + у2)/4)|г;
3) Др = 0 в области Б с граничными условиями р|г = р.
Такое представление предпочтительней, поскольку есть возможность корректировать величины завихренностей, которые изначально неизвестны и подбираются опытным путем. Наверное, имеет смысл исследовать зависимость завихренности за выступом от завихренности в основной части камеры.
Решение каждой из упомянутых задач Дирихле производится методом граничных интегральных уравнений. Ввиду смешанных граничных условий воспользуемся интегральным представлением для гармонических функций
р С\ п 1 /* 1
здесь щ - дифференцирование по направлению внешней нормали, г € Б, £ € Г, а интегрирование совершается по границе Г. Как известно, при предельном переходе точки г к границе области Г для значений гармонической функции на границе получим следующее представление:
ф0 (z) =
2п
9 / 1 1 — фо In J--г
дП 1С - z |
КI -
для гладких частей границы z,Z Е Г. Понятно, что у испытываемого скачка другой вид в угловых точках границы, которые рассматриваются в данной задаче. Будем применять формулу (2), но следить за тем, чтобы узловые точки при численной реализации не совпадали с угловыми точками области. При вычислении сингулярных интегралов для составления системы линейных алгебраических уравнений разобьем границу на участки [Q, Zj+1 ]. В таком случае точки, в которых заданы значения гармонической функции или ее нормальной производной, - это будут точки Zj - середины отрезков [Zj ,Zj+1 ]. Дискретизация интегрального уравнения (2) дает
0+1
* Zi
Zi+i
+ ЕЛЫ / £in^|dci),
Zi
что приводит к линейной системе уравнений относительно неизвестных значений гармонической функции и ее нормальной производной в точках Zj.
На линии y раздела вихревых течений с различными завихренностями построенная функция тока ф = (ф1 + ф2) + (ф1 + ф3 + (x2 + y2) /4) + р должна быть равна 1. Это дает еще одно интегральное уравнение относительно неизвестной линии y. Следуя доказанной выше теореме, ищем линию единичного уровня. После исправления кривой повторяем всю процедуру с построением оператора Грина.
4. Результаты вычислений. Приведем результаты вычислений, выполненные в пакете Maple. На рис. 3 изображены построенные области отрывных течений в камере с выступом при определенных величинах завихренностей численного эксперимента.
Рис. 3. Область отрывного течения при = 4.1, = 0.5
Количество узлов на 7 равно 20, общее количество узлов на границе камеры - 120. Поскольку кривая 7 должна быть линией единичного уровня функции тока, то критерием остановки служит равенство функции тока единице с точностью £ = 0.01. Начальная линия 7 - это дуга окружности, соединяющая нижнюю точку выступа с верхней точкой стенки камеры. Функция ф = 0 на нижней стенке камеры и ф = 1 (расходу жидкости) на верхней стенке. Функция тока на входе изменяется по формуле ф = (г — 1)2/ (е — 1)2.
Последнее обеспечивает то, что на входе в камеру скорости у внешней стенки больше, чем на внутренней, и изменяются линейно. Течение жидкости состоит из двух зон с различными завихренностями. Внутри отрывной области построена дополнительная линия тока. Это течение согласуется с опытными данными.
Наличие выступа позволяет погасить скорости по оси камеры вблизи выпуклой стенки. На рис. 4 видим распределение скоростей на входе и по оси камеры. Наличие выступа и, вследствие этого, отрывной вихревой области создало условия, что скорости на вогнутой стенке стали меньше, чем на выпуклой.
Рис. 4- Эпюра скоростей на входе (пунктирная линия) и по оси камеры (сплошная линия) при = 4.1, = 0.5 По горизонтальной оси отложены скорости в масштабе 1:10.
5. Заключение. Таким образом, задача Гольдштика иллюстрируется прикладной задачей. Показано, что при значениях завихренности, превышающих некоторое значение, задача имеет по крайней мере одно нетривиальное решение. Кроме того, изучена проблема сходимости аппроксимаций к предельной задаче. Численные расчеты работы оказались согласованными с опытными измерениями.
Литература
1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 408 с.
2. Гольдштик М. А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. 366 с.
3. Потапов Д. К. О решениях задачи Гольдштика // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 409-415.
4. Вайнштейн И. И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М. А. Гольдштика // Журн. Сиб. Федерал. ун-та. Сер. Математика и физика. 2011. Т. 4, вып. 3. С. 320-331.
5. Вайнштейн И. И., Юровский В. К. Об одной задаче сопряжения вихревых течений идеальной жидкости // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1976. № 5. С. 98-100.
6. Потапов Д. К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ. 2004. Т. 8, № 3-4. С. 163-170.
7. Потапов Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Матем. заметки. 2010. Т. 87, вып. 2. С. 262-266.
8. Потапов Д. К. Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Матем. заметки. 2011. Т. 90, вып. 2. С. 280-284.
9. Васин А. В., Тимофеева О. А. Определение линии раздела областей с потенциальным и вихревым течениями // Журн. Ун-та водных коммуникаций. 2012. № 2. С. 8-13.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья принята к печати 25 октября 2012 г.
