CC BY
30
Выпуск 3
УДК 519.6 А. В. Васин,
канд. физ.-мат. наук, доцент, СПГУВК
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЫТА Н. Б. ГОРОДЕНСКОГО О ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЯХ В ШЛЮЗОВЫХ КАМЕРАХ
MATHEMATICAL MODELING OF N. B. GORODENSKIY EXPERIMENTS ABOUT
VORTEX FLOWS IN LOCK CHAMBERS
При исследовании выступа для отклонения потока в водопроводных галереях шлюзовых камер Горо-денский опытным путем построил кинематическую картину распределения скоростей. В рамках модели Лаврентьева и Шабата об отрывных течениях приводим математическую модель данного опыта.
In the study of the ledge to deflect the fluid flow in the galleries of lock chambers Gorodensky empirically constructed a kinematic picture of the distribution of velocities. In the framework of the Lavrent’ev and Shabat of separated flows give a mathematical model of this experience.
Ключевые слова: вихревое течение жидкости, течения с постоянной завихренностью, гармонические функции, задача Дирихле.
Key words: vortex flow offluid, fluid with constant vorticity, harmonic functions, Dirichlet problem.
1. Введение
В настоящей работе исследуется и моделируется течение жидкости в водопроводных галереях шлюзовых камер. Водопроводные галереи являются одним из важнейших конструктивных элементов судоходного шлюза. В плане галереи имеют вид на рис. 1.
Расход жидкости через водопроводные галереи достигает во время наполнения значительных величин. При столь значительных массах жидкости, перемещающихся с большими скоростями, против выходных отверстий галерей в нижней голове неизбежно возникают волнения и вихри. Кроме того, неравномерно распределяющиеся скорости воды производят вредную работу по размыву бетонных конструкций головной части канала. Для достижения желательного распределения скоростей в выходных отверстиях Городенским [1; 2] (о чем автор узнал от профессора А. М. Гапеева) достаточно давно было предложено применить гасители скоростей в виде выступов, расположенных на вогнутой стороне вертикальной стенки галереи. Если отверстие галереи разветвляется на несколько каналов, то вышеуказанные отверстия предлагалось сделать на вогнутых сторонах каждого из каналов. При изучении предлагаемых гасителей были произведены
лабораторные исследования скоростей потока галерей как с гасителями, так и без них. Опыты показали, что применение гасителей дает достаточно равномерное распределение скоростей, причем абсолютные величины наибольших скоростей падают примерно в 2 раза. К сожалению, математического обоснования опыта Городенского не было предложено (хотя опыт реализован в конструкции шлюза Нижнесвирского гидроузла). Цель настоящей работы — устранить этот пробел: смоделировать и рассчитать распределение скоростей предложенного опыта. Второй и не менее важной задачей является возможность применения для расчетов методов теории движения идеальной жидкости.
В опыте Городенского была получена следующая картина течения в области ЛБСО — горизонтальном разрезе галереи (рис. 2, 3). Наблюдаемые линии тока (обозначенные пунктирными линиями) показывают, что течение в данной области далеко от потенциального. В случае потенциального течения скорости на вогнутой стенке больше скоростей на выпуклой стенке канала. Здесь же мы видим обратную картину, такого типа течения носят вихревой характер. Кроме того, применение гасителя скоростей добавляет к общевихревому течению в канале еще одну область завихренности за выступом. Мы вынуждены для точного описания движения использовать модели с завихренностью, например в самой простой форме — модели с постоянной завихренностью. В [3] применение подобных моделей дает приличные результаты для выделения вихревых областей и для склеивания вихревых и потенциальных течений. В нашем случае важным является построение модели при движении по галерее на рис. 2, 3, так чтобы скорость на вогнутой границе была больше, чем на выпуклой при отсутствии выступа.
А А
в
Рис. 2. Полученная в опыте картина течения в галерее без выступа
Рис. 3. Полученная в опыте картина течения в галерее с выступом
2. Моделирование по схеме Лаврентьева-Шабата
Рассмотрим модель водопроводной галереи, имеющую вид полукольца, представленный на рис. 4 (с выступом) или на рис. 5 (без выступа). Предполагаем, что течение жидкости в галерее без выступа, завихренное с постоянной завихренностью - ю1, ю1 > 0. Малый выступ приводит к искривлению границы камеры и поэтому течение в галерее на рис. 5 распадается на два независимых потока: 1) в области О0 за выступом, ограниченной стенками камеры и струей у срывающейся с нижнего края выступа; 2) в области ^ дополняющей 01 до всей камеры. Течение в 01 предполагается вихревым с постоянной завихренностью -ю1, ю1 > 0, а в О0 — вихревым с постоянной завихренностью ш0, ю0 > 0. Кривая у не задается, ее надо подобрать так, чтобы она была линией тока и О чтобы поле скоростей оставалось непрерывным всюду в камере. Тогда вместо обычных уравнений движения, приводящих к условию аналитичности, для координат вектора скорости V и V получим следующие уравнения в области О0.
дК дК 8К
---------------------— = СО ------------------------^ +^
дх ду 0 ’ дх ду
= 0 (1)
Выпуск 3
Выпуск 3
и
dVy дух
(2)
дх ду
дх ду
в области О1 соответственно. В этом случае движение жидкости не потенциально, тем не менее для решения задач обтекания, как и в классическом случае, вводится функция тока, для дифференциала которой выполняется с/\|/ = — V с1х + Ухс1у, в силу вторых уравнений это выражение явля-
Задача сводится к решению нелинейного уравнения Пуассона с разрывной правой частью
с заданными граничными условиями на стенках, а также на входе и выходе из камеры у(х, у) = 0 на внутренней стенке и у(х, у) = 1 (равна расходу жидкости) на внешней стенке, на входе галереи функция тока непрерывно изменяется от 0 до 1 по квадратичному закону. Тем самым скорости жидкости на внешней стенке больше, чем на внутренней. На выходе из галереи мы знаем лишь, что линии тока ортогональны линии выхода. Кроме того, имеем дополнительные условия: = 1,
так как кривая у является линией тока. Таким образом, получаем обобщение известной задачи Гольдштика [5, с. 320-321; 6, с. 262-266].
Алгоритм решения уравнения Пуассона известен для стандартных областей, где, в частности, имеются явные выражения для оператора Грина через функцию Грина в полуплоскости, моделирующие течения бесконечно глубокого бассейна с плоским дном. При использовании схемы склеивания течений с различными завихренностями в реальных водопроводных галереях мы вынуждены конструктивно строить оператор Грина, а по сути, численно решать граничные интегральные уравнения. В работах И. Вайнштейна [4], Д. Потапова [5] доказано, что задача Гольдштика (3) имеет нетривиальное решение (с непустой областью завихренности) при достаточно больших величинах завихренности ю > 4е / Я2, где Я — радиус наибольшего круга, который можно вписать в область камеры. Метод представляет собой модификацию аппроксимации задач с разрывной нелинейностью задачами с непрерывной нелинейностью. Для прямоугольных камер с выступом в [7] численно найдена область отрывных течений.
3. Алгоритм решения
1. Как уже отмечалось, для областей общего вида нет возможности определить функцию Грина в явном виде. Более того, на границе области имеем граничные условия общего вида. Поэтому рассмотрим объемный потенциал (в нашем случае потенциал площади):
тогда гладкая функция ^ является решением уравнения Пуассона всюду в камере (в объединении областей ^ и ^0). Для нее выполняется
Естественно, нет соблюдения граничных условий. Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, надо решить три задачи Дирихле:
1) Ду2 = 0 в области О = О0 ^ О1 с граничными условиями \|/2 |г =_VI |г (напоминаем, что это граничные условия общего вида, на части границы заданы значения функции, а на остальной части — значения ее нормальной производной);
2) Ду3 = 0 в области О = О0 ^ О1 с граничными условиями у3 |г = - (х2 + у2 )/ 4^| ;
3) Дф = 0 в области О = О0 ^ О1 с граничными условиями ф| = ф .
ется точным дифференциалом. Линии тока также определяются как линии, где )= const.
(3)
(4)
В таком случае функция \|/ = ю0 (у, + у2 )+ т, (у|/! + у3 + (х2 + у2 )/4)+ ф является решением исходного уравнения Пуассона с заданными граничными условиями. Можно было решить всего одну задачу Дирихле, поставив соответствующие граничные условия, но решение в виде суммы трех функций предпочтительнее, так как теперь есть возможность корректировать величины завихренностей, которые изначально не известны и подбираются опытным путем. Наверное, имеет смысл исследовать зависимость величины завихренности за выступом от завихренности в основной части камеры.
2. Решение каждой из упомянутых задач Дирихле производится методом граничных интегральных уравнений. Ввиду смешанных граничных условий воспользуемся интегральным представлением для гармонических функций:
Уо (г)=V« ЫйТ—\ I ^ I --^~ыйг—\ I ^ I ’
2п* дг\ \ъ~2\ Щ Ь>~2\
где-дифференцирование по направлению внешней нормали, г е О, £ е Г, а интегрирование
дг\
совершается по границе Г. Как известно, при предельном переходе при г ^ Г для значений гармо-
нической функции на границе имеем следующее представление:
Vo (z)=у-{¿Vo ЫйГ~\ I ^ I - {z)+ J'Vo ^~ЫйГ—\ I dC>
2nJ дц 2л J Яп Ir -7l
an c-
(5)
для гладких частей границы Г. Понятно, что испытываемый скачок имеет другой вид в
угловых точках границы, а у нас такие точки есть. Тем не менее будем применять эту формулу, но следить за тем, чтобы узловые точки при численной интерполяции не совпадали с угловыми точками области. В правой части последней формулы стоит сингулярный интеграл, а в левой части — слабо сингулярный интеграл с логарифмической особенностью. Интерполирование интегрального уравнения (5):
приводит к линейной системе уравнений, которая решается в математическом пакете Maple.
3. На линии у раздела вихревых течений с различными завихренностями построенная функция тока \|/ = ш0 (xi/j + \|/2)+ cOj ^ + \|/3 + (х2 + у2)/ 4^+ ф должна быть равна 1. Это дает нам еще одно интегральное уравнение относительно неизвестной линии у Решение данной задачи находим методом итераций. Для этого вначале подберем новую завихренность ю таким образом, чтобы у как можно меньше отличалось от 1 на кривой у (возможны варианты: в среднем или использовать максимальное отклонение). После выбора завихренности приступаем к исправлению кривой у Поскольку требуется найти линию единичного уровня, то для этого разбиваем кривую у на участки. Если на данном участке функция у - 1 положительна, то уменьшаем область D0 при помощи малой дуги, если меньше 0, то соответственно увеличиваем область D0 при помощи малой дуги на этом участке.
После исправления кривой повторяем всю процедуру с построением оператора Грина.
4. Результаты вычислений
На рис. 4, 5 изображены построенные области отрывных течений в камере с выступом и без выступа. Поскольку кривая у должна быть линией единичного уровня функции тока, то критерием остановки служит равенство функции тока единице с точностью до є = 0,01. Начальная линия у — это дуга окружности, соединяющая нижнюю точку выступа с верхней точкой стенки камеры. На всех рисунках у = 0 на нижней стенке камеры и у = 1 (расходу жидкости) на верхней стенке. Функция тока на входе изменяется по формуле \|/ = (г — 1 )2 / (е — I)2. Последнее обеспечивает то, что на входе в камеру скорости у внешней стенки больше, чем на внутренней. Дополнительно
Выпуск 3
Выпуск 3
указаны некоторые линии тока. На рис. 5 течение жидкости состоит из двух зон с различными завихренностями. Внутри отрывной области дополнительно построена линия тока. Кинематическая картина, полученная в результате расчетов, полностью соответствует опытным измерениям на рис. 2, 3. Кроме того, наличие гасителя скоростей, представленного на рис. 5 в виде выступа, сдвигает области противотока по направлению основного течения камеры. Поэтому на выходе, который соответствует оси камеры, нет области противотока.
Рис. 4. т0 = 5.95, ю1 = 1.1
Рис. 5. т = 1.1
На рис. 6, 7 приведены эпюры скоростей при разрезе камеры по прямой у = 2х (данный разрез находится после области отрывного течения и соответствует реальному выходу из камеры). Видим, что скорости в камере без выступа увеличиваются от выпуклой стенки к вогнутой. Наличие выступа позволяет погасить вредные скорости на этом разрезе. На обеих стенках скорости мень-
ше, чем по оси потока. Наибольшие абсолютные скорости также существенно меньше, примерно в 1,5 раза. Кроме того, область противотока сдвигается, так что если реальный выход из камеры находится в районе прямой у = 2 х, то в камере отсутствуют области противотока, вызванные исходным вихревым течением. Расчеты опять соответствуют опытным данным Городенского.
Рис. 6
Рис. 7
Список литературы
1. Городенский Н. Б. Проектирование головных систем питания судоходных шлюзов на основе опыта гидравлических исследований: дис. ... канд. техн. наук / Н. Б. Городенский. — Л., 1954.
2. А. с. 36916. Гаситель вредных скоростей воды в выходных галереях судоходных шлюзов / Н. Б. Городенский, Г. В. Эндер; Опубл. 31.05.1934.
3. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 416 с.
4. Гольдштик М. А. Вихревые потоки / М. А. Гольдштик. — Новосибирск: Наука: Сиб. отд-ние, 1981.
5. Вайнштейн И. И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М. А. Гольдштика / И. И. Вайнштейн // Журнал Сибирского федерал. ун-та. Сер. «Математика и физика». — 2011. — № 4 (3).
6. Потапов Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика / Д. К. Потапов // Математические заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 2.
7. Васин А. В. Определение линии раздела областей с потенциальным и вихревым течениями / А. В. Васин, О. А. Тимофеева // Журнал университета водных коммуникаций. — 2012. — Вып. 2 (14).
¿л
Выпуск 3
