Определение линии раздела областей с потенциальным и вихревым течениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выпуск 2

ВОДНЫЕ ПУТИ, ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ И ПОРТЫ

УДК 519.6 А. В. Васин,

канд. физ.-мат. наук, доцент, СПГУВК;

О. А. Тимофеева,

стажер- аспирант, СПГУВК

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ РАЗДЕЛА ОБЛАСТЕЙ С ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ И ВИХРЕВЫМ ТЕЧЕНИЯМИ DETERMINATION OF LINE SEPARATING THE REGIONS WITH THE POTENTIAL AND VORTEX FLOW

В рамках модели Лаврентьева и Шабата об отрывных течениях численно моделируется зона завихренности при течении идеальной жидкости в прямоугольной камере с выступом. Работа необходима как эталонный образец для моделирования вихревых течений в обводных галереях шлюзовых камер.

In the Lavrentiev-Shabat framework of separated flows a vorticity zone in the flow of an ideal fluid in a rectangular chamber with a ledge is simulated numerically. Work is needed as a reference model for simulation of vortex flows in the bypass galleries of lock chambers.

Ключевые слова: идеальный поток жидкости, течения с постоянной завихренностью, гармонические функции, задача Дирихле.

Key words: ideal fluid flow, fluid with constant vorticity, harmonic functions, Dirichlet problem.

1. Моделирование

В данной работе рассматривается модель Лаврентьева и Шабата [1] плоского (плоскопараллельного) течения идеальной жидкости в прямоугольной камере с выступом.

В предлагаемой модели движение распадается на два независимых движения: 1) в области И ограниченной стенками камеры, линиями входа и выхода потока, и струей у, срывающейся с

верхнего края выступа; 2) в области

Ti

Рис. 1. Общий вид камеры с выступом и движение жидкости

О0, дополняющей Д до всей камеры. Течение в 01 предполагается потенциальным, а в О0 — вихревым с постоянной завихренностью -со, ю > 0. Кривая у не задается, ее надо подобрать так, чтобы она была линией тока и чтобы поле скоростей оставалось непрерывным всюду в камере. Таким образом, в этой схеме установившегося движения мы отказываемся от условия отсутствия вихрей, предполагая, что вихри располагаются во всех точках области О0 Тогда вместо обычных уравнений, приводящих к

условию аналитичности, для координат вектора скорости V и V получим следующие уравнения в области D0

дГу dV dV dVy

—£-------- = (Q, -^ + ^ = 0 (1)

дх ду дх ду

и

dVy QVX п дК дК

—--------= 0, —- + —— = 0 (2)

дх ду дх ду

в области D1 соответственно. В этом случае движение жидкости не потенциально, тем не менее для решения задач обтекания, как и в классическом случае, вводится функция тока, для дифференциала которой выполняется dу = —V dx + Vdy, в силу вторых уравнений это выражение является точным дифференциалом. Линии тока также определяются как линии, где у(х, y) = const. Задача сводится к решению уравнения Пуассона с разрывной правой частью

(3)

с заданными граничными условиями на стенках, а также на входе и выходе из камеры. Стандартными рассуждениями приходим к выводу, что на нижней стенке камеры, в том числе и на выступе, можно считать, что функция тока равна нулю, а на верхней стенке — расходу жидкости, на входе и выходе функция тока изменяется непрерывно, чаще гладким образом, то есть заданы граничные условия \|/0. Кроме того, имеем дополнительные условия: Х|/| = о, так как кривая у является линией тока. Таким образом, получаем постановку известной задачи Гольдштика [2]:

Д„ = {0- (4)

[ш, \|/(z)< 0

с граничными условиями < 1. Алгоритм решения уравнения Пуассона известен

для стандартных областей, где, в частности, имеются явные выражения для оператора Грина через функцию Грина — в полуплоскости, моделирующие течения бесконечно глубокого течения с плоским дном. При использовании схемы склеивания течений с различными завихренностями в реальных водопроводных галереях мы вынуждены конструктивно строить оператор Грина, а по сути численно решать граничные интегральные уравнения. В работе И. Вайнштейна [3, с. 320-331],

Д. Потапова [4, с. 262-266] доказано, что задача Гольдштика (4) имеет нетривиальное решение (с непустой областью завихренности) при достаточно больших величинах завихренности ю > 4e/R2, где R — радиус наибольшего круга, который можно вписать в область камеры. Метод доказательства заключается в исправлении границы раздела и состоит в следующем. Определим функцию

Ъ = Vo - -г- j >■z) dA(4 (5)

ZUD0

где G — функция Грина задачи Дирихле для области D, а интегрирование совершается по площади. В области D0 функция у удовлетворяет уравнению Пуассона, а в области D1 гармонична, кроме того функция у непрерывно дифференцируема, удовлетворяет граничным условиям, но на линии раздела областей D0 и D1 не обязана обращаться в нуль. Найдем ту линию уровня функции

у, где она обращается в нуль. Эта линия уровня ограничивает некоторую область D Далее ите-

ративно определим последовательность функций

(0

271 а

Последовательность функции уп сходится, как доказано в [3], к непрерывно дифференцируемой функции у а последовательность областей Dn сходится к области D, для которых выполняются условия задачи Гольдштика.

= Vo -Г- J G( ’z) dAz\ (6)

Выпуск 2

Выпуск 2

2. Алгоритм решения

1. Как уже говорилось для областей общего вида проблематично определение явного вида функции Грина. Поэтому рассмотрим объемный потенциал (в нашем случае потенциал площади)

^= т~ Я ы ((Л- т1)2+(у~ 5 (7)

ц>

тогда гладкая функция у является решением уравнения Пуассона всюду в камере (в объединении областей Б ^ Б0). Для нее выполняется

ГО, г е Д

(8)

Л

Естественно нет соблюдения граничных условий.

2. Для построения потенциала Грина надо удовлетворить нулевым граничным условиям, то есть решить задачу Дирихле: Ду2 = 0 в области Б = Б0 ^ Б с граничными условиями Д1|/2 = — \|/] | Г-Решение задачи Дирихле ищем в виде потенциала двойного слоя:

1 г 3 1

с (9)

с неизвестной плотностью V, для нахождения которой составляем сингулярное граничное интегральное уравнение:

-*1 г=- 2у+^1:1;1п ^ ^ (10)

относительно неизвестной плотности V, а затем восстанавливаем гармоническую функцию у2 не только на границе. Полагаем у3 = у + у2 и получаем решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями. Умножая последнюю функцию на величину завихренности, получим решение уравнения Пуассона с заданной величиной завихренности

ГО, ге Д

Л®¥з = 1 п . (11)

[га, г&О0

3. Теперь требуется найти гармоническую функцию Ду4 = 0 в области Б = Б0 и Б1 с заданными изначально граничными значениями у Это делается аналогично п. 2 с использованием граничных интегральных уравнений. Искомое решение представляется в виде суммы у = юу3 + у4. Такой двухэтапный поиск решения по граничным условиям необходим, чтобы была возможность корректировать величину завихренности, так как решение задачи Дирихле по заданным граничным условиям не зависит от завихренности, а решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями зависит от завихренности линейно.

Несколько замечаний по поводу численного решения задачи Дирихле, которые решаем мно-

П

гократно. Разобьем границу Г на п граничных элементов Г = Ш, 3={^ж}.

;=1

В каждом из узлов г. сингулярное уравнение (10) дискретизируется и записывается в виде

_!2 ™ -Л„ +_Lvv (х~хк)(уы-ук)-(у-ук)(хш~хк) (12)

~ о > о 2-1 к / \2 / \2 (12)

2 271Ш (х-хк) +(у-ук)

относительно неизвестных плотностей V Полученная линейная система уравнения решается в математическом пакете Мар1е. После этого решение задачи Дирихле вычисляем в виде потенциала двойного слоя, который в дискретном виде получаем как следующую сумму:

\|/(х, ^=-^-агссо5

((*; -х$ +{Уг -у) )+((^+2 +(Ут -7)2)-((^+2 -х$+(Нй -л)2)

2^ -х) +(у -у)2)^ -х$+(ум -у$)

+

(13)

1у (*-*)(>1м -лНу-лХ'м -^) -2Л (х-4)!+(у-^ '

2я

Коэффициент при V. в первом слагаемом представляет собой угол, под которым точка (х, у) видна из отрезка Эту формулу надо применять для точек (х, у), близких к участку границы

Относительно потенциала двойного слоя вычисление сводится к подобным формулам, но без составления и решения системы линейных уравнений.

у.і+у.і+і

•VI 2

9тг

1 Z7l X; УЬ+У'м 2

(14)

4. На линии у раздела вихревого и потенциального течений функция у должна обращаться в нуль, поэтому на этом шаге будем корректировать и границу, и величину завихренности. Вначале подберем новую завихренность ю таким образом, чтобы у = юу3 + у4 = ю (у + у2) + у4 как можно меньше отличалось от нуля на кривой у (возможны варианты: в среднем или использовать максимальное отклонение). То есть требуется найти линию нулевого уровня, что по теореме Вайнштейна даст нам нужную сходимость к области завихренности. После выбора завихренности приступаем к исправлению кривой у. Для этого разбиваем кривую у на участки. Если на участке ар функция

у положительна, то уменьшаем область О0 на участке оф при помощи малой дуги, если меньше 0, то увеличиваем область В0 при помощи малой дуги на участке ар.

Наилучший результат получается при следующем итеративном процессе для ординат линии раздела вихревых и потенциальных течений

¥

Уп+1 = Уп

1-у

-к.

(15)

Рис. 2. Исправление кривой где К — расстояние от кривой у до верхней стенки камеры.

3. Результаты вычислений

На следующих рисунках приведены итерации построения областей завихренности при различных значениях функции тока на входе и выходе. Количество узлов на у равно 100, общее количество узлов на границе камеры равно 500. Поскольку кривая у должна быть линией нулевого уровня функции тока, то критерием остановки служит равенство нулю с точностью 8 = 0,02 функции тока на этой кривой. На всех рисунках у = 0 на нижней стенке камеры и у = 1 (расходу жидкости) на верхней стенке.

На первых четырех рисунках функция тока на входе и выходе меняется линейно. Это соответствует тому, что горизонтальные скорости на входе и выходе постоянны.

Рис. 3. Итерация № 1, ю = 1

Рис. 4. Итерация № 2, ю = 0,130282

Выпуск 2

Выпуск2

Рис. 5. Итерация № 3, ю = 0,130282

Рис. 6. Итерация № 15, ю = 0,130282

На рис. 6-9 те же условия на стенках камеры, а на входе и выходе функция тока меняется по закону у = у /49. Это соответствует тому, что горизонтальные скорости на входе и выходе вблизи верхней стенки больше, чем вблизи нижней стенки. Область завихрения расширилась.

Рис. 7. Итерация № 1, ю = 1

Рис. 8. Итерация № 2, ю = 0,102616

Рис. 9. Итерация № 3, ю = 0,102616

Рис. 10. Итерация № 11, ю = 0,102616

На последней группе рисунков значение функции у = ^ у / 7 на входе и выходе, что соответствует большим горизонтальным скоростям на нижней стенке. В результате получаем меньшую область завихрения по сравнению с линейным случаем.

Рис. 11. Итерация № 1, ю = 1

Рис. 12. Итерация № 2, ю = 0,156773

Рис. 13. Итерация № 3, ш = 0,156773

Рис. 14. Итерация № 17, ш = 0,156773

Список литературы

1. Лаврентьев М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

2. Гольдштик М. А. Вихревые потоки / М. А. Гольдштик. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981.

3. Вайнштейн И. И. Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М. А. Гольдштика / И. И. Вайнштейн // Математика и физика: журн. Сиб. федер. ун-та. — 2011. — № 4 (3).

4. Потапов Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика / Д. К. Потапов // Математические заметки. — 2010. — Вып. 2, т. 87.

УДК 517.1 (075.8) А. В. Глущенко,

ЗАО «КТПИ Газпроект»,

К. П. Моргунов,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ ПРОЧНОСТИ УЗЛОВ ТРУБОПРОВОДА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

THE METHODICAL APPROACH TO CALCULATION OF DURABILITY OF THE PIPELINE UNITS ON THE BASIS OF MATHEMATICAL MODELLING

В статье изложена методика применения пакета ANSYS в комплексе со специально написанной на языке Visual basic программной оболочкой для проведения расчета прочности узлов трубопровода. Пре-имущество оболочки заключается в том, что она исключает необходимость работать с макрокомандами языка ANSYS, которые довольно неудобны. Кроме того, предложенная методика позволяет сократить машинное время, требуемое для проведения расчетов

The technique of application of package ANSYS in a complex with specially written on Visual basic language a program environment for carrying out calculation of durability of elements of the pipeline is stated. Advantage of an environment is that it excludes a necessity to work from macros of ANSYS language which are inconvenient enough. Besides the offered technique allows to reduce the time required for carrying out calculations.

Выпуск 2