CC BY
20
Б/2011 ВЕСТНИК
ОПЕРАТОРНАЯ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
OPEARTIONAL AND VARIATIONAL FORMULATIONS OF BOUNDARY PROBLEM OF ANALYSIS OF PLATE WITH PIECEWISE-CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION WITHIN DISCRETE-CONTINUAL APPROACH
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva
ФГБОУ ВПО МГСУ
Рассматриваются операторная и вариационная постановки краевой задачи о статическом расчете тонкой пластины с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению в рамках дискретно-континуального подхода, излагаются правила задания некоторых стандартных типов граничных условий.
Operational and variational formulations of boundary problem of static analysis ofplate with piecewise constant physical and geometrical parameters in basic direction is under consideration in the distinctive paper, construction of typical boundary conditions is presented as well.
Введение.
Как известно, к категории пластин относятся конструктивные элементы, у которых один размер (толщина) значительно меньше двух других характерных размеров (размеров в плане), которые имеют один порядок. Пластины, используемые в строительных конструкциях, чаще всего можно отнести к категории тонких пластин. Это железобетонные плиты и панели жилых и промышленных зданий, металлические настилы, днища резервуаров и т.п. В настоящей статье рассматриваются операторная и вариационная постановки краевой задачи о статическом расчете тонкой плиты в рамках дискретно-континуального подхода. В отличие от работ [4-6] здесь допускается переменность физико-геометрических параметров конструкции по основному направлению, в частности, исследуется случай их кусочного постоянства [1, 2, 7]. В качестве расчетной модели тонкой плиты принята модель Кирхгоффа [3].
1. Предварительные обозначения.
Без ограничения общности будем рассматривать ниже тонкую пластину с размерами в плане l1 ( х1 е [0, l1] ) и l2 ( х2 е [0, l2] ).
ВЕСТНИК 8/2011
Пусть х2 - переменная, соответствующая основному направлению, т.е. вдоль нее фнзнко-геометрические параметры конструкции изменяются кусочно-постоянно. Заметим, что вдоль переменной х1 эти параметры пластины могут изменяться произвольным образом.
Обозначим: хь21, к = 1,...,пк - координаты сечений, в которых задаются граничные условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) изменение параметров пластины); 0.к, к = 1,...,пк -1 - соответствующие фрагменты, на которые разделяется конструкция,
П к = Ц^ х2): 0 < х1 < ^ х2,к < Х2 < ^^ к = 1,..., пк ; (1.1)
Гк, к = 1,..., пк -1 - соответствующие границы указанных фрагментов; вк = вк(х1,х2) - характеристическая функция области ^к; 8гк =8гк(х1,х2) - дельта-функция границы Гк =дП к [4-5],
1 (x1,х2) еО.
0, (х„ х2) к;
вкх2) = " * ^(хрх2) = двк /дПк; (1.2)
пк = [пк1 пк2 ] - вектор составляющих нормали к границе Гк; а>к, к = 1,...,пк -1 -расширенные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, например
®к = {(xl, х2): х1 ^^ х2,к < х2 < х2,к+1}; (1.3) 4 - оператор задачи в расширенной области а>к относительно перемещений на интервале (хЬ,к, х2,к ^
4 = -821[вк4к(32 + П32)] - 5.5г[врк (1 - ^)д1д2] - 52^4 (Ук52 +52)] + вкск, (1.4) 4, ук и ск - соответственно цилиндрическая жесткость пластины, коэффициент Пуассона материала пластины и коэффициент отпора упругого основания (при наличии)
на области О, ,
к
4 = Екк1 /[12(1 -Ук2)]; 3, =5/дх,, , = 1,2; (1.5)
кк - толщина в области ^к; ¥к - функция правых частей (нагрузки) в области ^к,
-8Г£ ~дх(бглМх) -д 2 (&р к ММ2) (1.6)
д - плотность нагрузки; Q, М1, М2 - поперечная сила и крутящие моменты на границе; п>к - прогибы в области ^к; к), х^) и Хп - соответственно изменения кривизны и кручения в области ^к,
х1к) =-32^; Х{2) =-32^; х(2к> =-25152^. (1.7)
2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления.
Учитывая кусочно-постоянный характер изменения параметров конструкции по основному направлению (вдоль х2), можем записать:
4 =-ькЛд2 + 4,232 + 4,о, (2.1)
где 4,4 =дквк; 4,2 =-[52^+ 23Д4 Ж + ^4^]; 4 = "3^432 + . (2.2)
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления.
Операторная постановка задачи имеет вид:
кщ = р ,
- к,0 щ = рк ■
Введем обозначения:
х е (х2,к , х2,м)> к = !>-> Пк - !• (3-1)
Рассмотрим произвольное к -е уравнение системы (3.1). Учитывая (2.1), можем переписать его следующим образом:
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
у<к> = у^х,,х2) = (XI,Х2); у® = у(к)(х1,х2) = д(Х1,х2), / = 2,3,4. На основании (3.3) переписываем (3.2) следующим образом:
_ I Я у <к) + ~ у <к> + I у <к) - Р
,4 2У4 + ,2у3 + ,0у1 _ рк .
Объединяя (3.4) с (3.3) и вводя обозначения
(У?))'(Х1,х2) = 52у^х,,х2), I = 2,3,4, получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка:
1 0 0 0 "(у1к >)'" " 0 1 0 0" " у!к)" 0
0 10 0 (у2к7 0 0 1 0 у2к) 0
0 01 0 (у3к7 0 0 0 1 уГ 0
0 00 Тк,4 _ _(у4к >)'. Л,0 0 ка 0_ у4к) [р
( у1 Ч 0 1 0 0" г (к) "1 у! ) 0
(у2к7 0 0 1 0 (к) у" 0
(у3кЧ 0 0 0 1 (к) 0
(у4кЧ т1 т ^ к ,4^ к ,0 0 т1 т к,4 к,2 0 (к) _ у4 ) _ т1 р _тк,4рк _
(3.6)
(3.7)
В итоге имеем систему дифференциальных уравнений первого порядка (относительно переменной х2) с операторными коэффициентами:
и'к = а>кик + р,
где
и =
4 =
(к) у2 к)
У3(к) У4(к)
0 0 0
г1 т
^к ,4^ к ,0
и: = д и =
з 2 у! к) 3 2 у2 к) 3 2 у3к) 3 2 ук)
(у!кУ (у2к 7
(у3к7 (у4к7
0 1 0
г1 т
к,4 к,2
0
0
; Р =- 0
' к
г1 р ^к,4Гк _
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Уравнения (3.8), разумеется, следует дополнить граничными условиями, задаваемыми в сечениях с координатами х^к, к = 1,..., пк и представимые в виде
в;йк_1 (хЬк -0) + ви (& + 0) = в; + Я, к = 2,..., пк -1;
БЫ (хь + 0) + в-и _1 (хь - 0) = в; + в
(3.11)
(3.12)
где Бк, Б+к, к = 2,..., пк -1, Б1+ и Бч - матрицы коэффициентов граничных условий, 4-го порядка; Вк, к = 2,..., пк -1, и - векторы правых частей граничных условий, четырехмерные.
Объединяя (3.8), (3.11) и (3.12) получаем операторную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:
u; = LkUk + Fk, X e (x.
-'k^ к
BÛ^xi - 0) + B\Uk(x2k + 0) = g-t+ g;, k = 2,..., nk -1 (3.13)
b X2,
1), k =1,..., nk -1
"2,k ' 2,k+1 ) b
k k 2,k
B\U 1 (xb,! + 0) + B-uni_t(x' -0) = g; + g-
4. Вариационная постановка задачи с выделением основного направления.
Функционал энергии конструкции определяется формулой
nk^ Г Г
ФИ=2 ¡¡0,
(Mi k^k > + M2k >z2k ' + 2M<k ^2k > + CkW ) + qw,
dx, dx -,
где М?> = Д и;к) + ^^); к) = Д(^к) + >); М12 = 0.5 • Д (1 - ^ - соответственно изгибающие и крутящий моменты.
С учетом (3.3) формулы (1.7) и (4.2) записываются следующим образом:
,<k )
¿k> = -[52y k' ] ; z?> = -y3k' ; xH' = -2[Ô1 y2k' ] ;
y3k >;
(4.1)
(4.2)
(4.3)
M1 =~Dk([5^] + ; M2k' =-Dk(vk[5^] + y^) ;
МЦ > =~Dk (1 -Vk )[Ô1 j2k >]. (4.4) Учитывая (4.3)-(4.4), перепишем выражение для функционала (4.1) в виде nk -1 -- 1 nk -1 -, ХЦ^у® dx.dx, + - ХЦ^ (y«)2 dx,dx2
0(w) =
-£ \\eD (2Vk [52 y(k >] yf > + 2(1 -Vk )([Ô1 y2k '])2)dXldx
(4.5)
2 g W6D [S?y
2,,< k)-i2
dx-, dx-.
1 "k ~1
2 L frc ( y;k ^
dx dx
5. Задание некоторых типовых граничных условий.
Рассмотрим ниже задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в форме (3.11)-(3.12) в произвольной граничной точке с координатой хг к. Возможны три основных варианта граничной
точки: 1) 1 < к < пк - промежуточная граничная точка; 2) к = 1 - крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = пк - крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарпирпое стирание. Шарнирное опирание препятствует прогибу пластины, но допускает свободный поворот опертого края в перпендикулярном к нему направлении. Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия: (х,, хЬк - 0) = 0; Мк (х„ х2,к + 0) = 0; М^ (х,, ^ - 0) = 0; М2к> (х,, х^ + 0) = 0. (5.1) С учетом формул (3.3) и (4.4) имеем следующие граничные условия: у(к-1' (х1, хЬ,к - 0) = 0; у(к> (х1, хЬ,к + 0) = 0;
-Бк_1(у1 у(к-•>](х„х2ь,к -0) + у3к-•>(х„х2,к -0)) = 0;
- Бк (ук [52 у(к) ](х^, х^к + 0) + у3к} (х^, х2,к + 0)) = 0. (5.2) В силу того, что опертые края пластины остаются прямыми вторые производные от прогиба по направлению, совпадающему с направлением опертого края, равны нулю, т.е. можем переписать (5.4) в виде:
у3">(х„ х2,к -0) = 0; у3к>(х„ хЬк + 0) = 0. (5.3)
Таким образом, имеем (см. формулы (5.2) и (5.3)):
Бк =
10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0
в; =
0000 0000 1000 0 0 1 0
ёк ёк
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
у1(1)( х<, х2Ь,< + 0) = 0; у™( х<, х2ьд + 0) = 0: "1 0 0 0"
т.е.
Б<+ =
0 0 1 0 0000 0000
(5.4)
(5.5)
(5.6)
а первые две компоненты в векторах ё< и ё нулевые.
Для случая к = пк имеем следующие граничные условия:
у!
<пк"1)(х1,х2,пк -0) = 0; у3пк-1)(х1,х2ь,пк -0) = 0,
т.е.
Б - =
0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10
(5.7)
(5.8)
а последние две компоненты в векторах ё< и ё нулевые.
Жесткая заделка. На защемленных краях пластины должны быть равны нулю прогиб и угол наклона касательной к изогнутой срединной поверхности, который в данном случае определяется по формуле
Я
(к)
ё №)) = 5 2 Щк = у2к)
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
y1<1>( х„ хЬ,! + 0) = 0; у«( х„ х2д + 0) = 0
т.е.
Б<+ =
(5.9)
(5.10)
(5.11)
а первые две компоненты в векторах ё< и ёч нулевые.
Для случая к = пк имеем следующие граничные условия:
уГ (х<, х> - 0) = 0;
т.е.
Бк =
00 00 10 01
у? х<, х2,пк - 0) = 0, 0 0" 0 0 0 0 0 0
(5.12)
(5.13)
а последние две компоненты в векторах ё< и ёч нулевые.
Свободный край. На свободных краях, как правило, ставятся статические граничные условия относительно интегральных величин - внутренних усилий в пластине. Таких усилий на каждом крае пластины может быть три - крутящий момент, соответ-
ствующий изгибающий момент и поперечная сила. Несоответствие между числом граничных условий (два) и числом статических величин на свободных краях (три) является следствием известных гипотез теории изгиба тонких пластин Кирхгоффа. Для устранения этого противоречия можно произвести на свободных краях объединение двух внутренних усилий - крутящего момента и соответствующей поперечной силы, введя так называемую приведенную поперечную силу, определяемую формулой:
У?) (х,, х2) = - Вк {^) + (2 - П )[0? У?) ]}.
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
М™ (х,, х2д + 0) = 0 ; Г2(1) (х,, хь1Л + 0) = 0 , откуда с учетом (4.4) и (5.14) получаем: -Ц{^[а?у^х,,хЬ,1 + 0) + У31)(х1,хЬ,1 + 0)} = 0 ;
- 4 { у4() (х,, х'( + 0) + (2 - у()[51 у? ]( х,, х\, + 0)} = 0,
(5.14)
(5.15)
т.е.
б;=- о
уЯ 0 0 0
0 1 0
(2-^()51 0 1
0 0 0
0 0 0
(5.16)
(5.17)
а первые две компоненты в векторах g( и g нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) матрица (5.17) становится числовой.
Для случая к = пк аналогично имеем: - О 1 Кк_([Э2у,(Пк-() ](хх(, х^ - 0) + Уз(Пк-() (х,, х>„ - 0)} = 0;
-Лх,,х^ - 0) + (2_,)[52у2%^(х,,х^ - 0)} = 0, (5.18) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (2 _,)52 0 1
т.е.
б - =- б
V ,52
Пк -1 1
(5.19)
а последние две компоненты в векторах g( и g нулевые.
После аппроксимации в рамках ДКМКЭ матрица (5.19) становится числовой.
Идеальный контакт. Условия идеального контакта, как правило, задаются в поперечных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные изменения физико-геометрических параметров конструкции.
Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия: и^ (х,, х2к - 0) = ^ (х,, хкк + 0); ^ (х,, х^ - 0) = <> (х,, х^ + 0);
М'Г> (х,, х2,к - 0) = М2к> (х,, х2,к + 0); Г'к-(х,, х2ь, к - 0) = Г'к> (х,, х^ + 0) (5.20) или с учетом (3.3), (5.9), (4.4) и (5.14) получаем
у,(к(х,, х2к - 0) = у,(к> (х,, х2к + 0); У2к(х,, х^ - 0) = у '2к> (х,, х^ + 0); -А^К^уГ)](х,,хЪ -0) + у3к-,)(х,,х2,к -0)} =
= - О К [5,2 у,(к' ](х,, хЬ,к + 0) + у3к' (х,, х2к + 0)}; - Бк_, {у^ (х,, х1к - 0) + (2 - Ук_, )[52уГ' ](х,, х2к - 0)} =
= - О {у4к>(х,, х2к + 0) + (2 - ^ )[5? у2к>](х,, х2,к + 0)}
(5.21)
т.е.
1 0 0 0
0 1 0 0
Dk-Л-15 2 0 - Dk 0 9
0 - Dk ,(2 - 0 - Dk _
" 1 0 0 0
b: = 0 1 0 0
- Dtvk 3? 0 - Dk 0
0 Dt (2 - ^k К 0 - Dk
gk gk
(5.22)
После аппроксимации в рамках ДКМКЭ матрицы (5.22) становятся числовыми.
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).
4. НИР «Разработка, исследование и развитие математических методов и программно-алгоритмических средств, реализующих безопасную технологию возведения уникальных зданий и сооружений сложной архитектурной формы», выполняемая в рамках Тематического плана ГОУ ВПО МГСУ (проект 5.1.11).
k
Литература
1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 2011, с. 11-16.
2. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.
3. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - М.: Издательство АСВ, 1995. - 572 с.
4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.
5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.
6. Akimov P.A., Sidorov V.N. Correct Method of Analytical Solution of Multi-point Boundary Problems of Structural Analysis for Systems of Ordinary Differential Equations with Piecewise Constant Coefficients. // Advanced Materials Research Vols. 250-253 (2011), pp. 3652-3655.
7. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N. Correct Discrete-Continual Finite Element Method for Three-Dimensional Problems of Structural Analysis. // Journal of Beijing University of Civil Engineering and Architecture. Vol. 25, No. 2, Jun. 2009.
вестник 8/2011
References
1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).
2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).
3. Vardanyan G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Strength of Materials with Foundations of Theory of Elasticity and Plasticity. Moscow, "ASV", 1995, 572 pages (in Russian).
4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).
5. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).
6. Akimov P.A., Sidorov V.N. Correct Method of Analytical Solution of Multi-point Boundary Problems of Structural Analysis for Systems of Ordinary Differential Equations with Piecewise Constant Coefficients. // Advanced Materials Research Vols. 250-253 (2011), pp. 3652-3655.
7. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N. Correct Discrete-Continual Finite Element Method for Three-Dimensional Problems of Structural Analysis. // Journal of Beijing University of Civil Engineering and Architecture. Vol. 25, No. 2, Jun. 2009.
Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, статический расчет, тонкая пластина, кусочно-постоянные физико-геометрические параметры, метод расширенной области
Keywords: discrete-continualfinite element method, static analysis,plate analysis, piecewise constant physical and geometrical parameters, method of extended domain.
Авторы:
1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс:
+ 7(499) 183-59-94; e-mail: pavel.akimov@gmail.com.
2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com.
Рецензент: Генеральный директор ЗАО "Научно-исследовательский цент СтаДИО», профессор, доктор технических наук Белостоцкий A.M.
