CC BY
32
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-
КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА БАЛОК-СТЕНОК С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ
ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ЧАСТЬ 1: ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ, АППРОКСИМАЦИЯ
ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ, ИХ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF DISCRETE-CONTINUAL FINITE ELEMENT METHOD FOR STATIC ANALYSIS OF DEEP BEAMS WITH PIECEWISE CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION PART 1: DOMAIN DISCRETIZATION, APPROXIMATION OF UNKNOWNS, THEIR PARTIAL DERIVATIVES, STRAINS AND STRESSES
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, B.H. Сидоров Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva, Vladimir N. Sidorov
ГОУ ВПО МГСУ
Рассматривается численная реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению. В первой части работы излагаются вопросы построения дискретно-континуальной аппроксимирующей модели конструкции, вводится понятие дискретно-континуального конечного элемента, приводятся формулы аппроксимации неизвестных функций, частных производных от них, деформаций и напряжений.
Numerical implementation of discrete-continual finite element method (DCFEM) for static analysis of deep beams with piecewise constant physical and geometrical parameters in basic direction is under consideration in the distinctive paper. The first part of the research is devoted to discretization of domain (so-called discrete-continual design model of the structure), approximation of unknowns, their partial derivatives, strains and stresses.
Введение.
Решение задачи статического расчета балки-стенки [5,6] с кусочно-постоянными физико-геометрическими характеристиками [1,2] по одному из направлений может быть получено в аналитической форме вдоль данного направления. Именно эта идея и реализована в разработанном дискретно-континуальном методе конечных элементов (ДКМКЭ) [3,4]. Метод является дискретно-континуальным в том смысле, что по выделяемому направлению кусочного постоянства характеристик (основное направление)
2/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
сохраняется континуальный характер задачи и соответственно аналитическая форма получаемого решения, в то время как по другому производится дискретизация с использованием стандартной техники метода конечных элементов (МКЭ). Таким образом, построение алгоритмов решения осуществляется за счет разумного сочетания численных и аналитических подходов. Аналитичность получаемых при этом решений существенно способствует улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Найденная с помощью ДКМКЭ картина напряженно-деформированного состояния (НДС) развивает интуицию расчетчика и понимание работы конструкций, характера влияния на них разного рода локальных и глобальных факторов. ДКМКЭ особенно эффективен в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Преимуществами ДКМКЭ также являются понижение размерности при численном решении и отсутствие практических ограничений на длину объектов по основному направлению.
1. Дискретно-континуальная аппроксимирующая модель конструкции. Дискретно-континуальный конечный элемент (ДККЭ).
Для постановки и решения рассматриваемой задачи каждая исходная подобласть ^к, к = 1,...,пк -1 окаймляется соответствующей расширенной а>к, к = 1,...,пк -1 [3,4]. Принимается дискретно-континуальная модель: по основному направлению (вдоль оси Ох2) решается континуальная задача, а по другому (вдоль оси Ох1) производится конечноэлементная аппроксимация, причем схема разбиения на элементы одинакова для всех подобластей сок, к = 1,...,пк -1) (рис. 1.1, 1.2).
Каждая подобласть а>к разбивается на дискретно-континуальные конечные элементы (ДККЭ) сок., к = 1,..., пк -1, г = 1,2,..., N -1 (рис. 1.1, 1.2).
где 11, 12 - соответственно размеры конструкции по неосновному и основному направлениям; N - количество узлов конечноэлементной сетки по неосновному направлению; (х1г,х2), г = 1,2,..., N - координаты узлов сетки; К - шаги сетки (размеры элементов по неосновному направлению).
Определяем характеристическую функцию ДККЭ <як1 и поэлементные функции,
характеризующие свойства материала конструкции:
Рассмотрим произвольный (к, г) -й элемент модели (рис. 1.2). Переходим от исходной системы координат к элементной: (х1,х2) ^ (г, г, х2), т.е. выполняем локальную замену переменных внутри элемента. Здесь г - локальная координата, введенная по направлению оси Ох1 и связанная с ДККЭ:
N
, г = 1,2,...,N, (1.3)
(1.1)
(1.2)
(1.4)
г = (х - хм)/К; г е [0,1], х, е[х,,., ху+1].
(1.5)
А А»
'Ч
'1 к
Рис 1.1. Схема дискретизации конструкции.
X,
{/-!>-Й.1'АП
N \
> 0 ч
а . -1
4«
о
Рис. 1.2. Типовой дискретно-континуальный конечный элемент.
2. Аппроксимация неизвестных функций.
В качестве основных неизвестных в узлах принимаются составляющие перемещений м^\ и(2к' и их производные Vк) и V® по х2, т.е. для (к, г)-го узла это
М(к''\ м2к', у[к''), у2к' и соответственно вектор неизвестных
и ) = и{к''\х) =
п п V 2
Г„( к'° п(к,')
где и(к'') = мп(к'°( х2) =
а вектор неизвестных во всех узлах элемента
и(к'г) = и(к' "(х2) =
(к'') ?(к''')
V
М(к'г) - -(кл
}
где ~(к' ° = ~(к'°(х2) =
)
,(к'г)
Г/к'" (к ')
; V' к'г) = V» к'г)( Х2) =
' п п V 2 >
; V(к'г) = V (к'"(Х2) =
к")
-(к") (к ')
= ^Чх Х2) =
и(к'')
]
,(к'''+1)
Т(к''')
= V к"Ч Х2) =
V™
„(к'''+Ц
] = 1 ' 2 .
' (2.1)
; (2.2) (2.3)
2
2
2
2
2/2011
ВЕСТНИК _МГСУ
Будем полагать, что поля м1(к), и2' и у{к) и ) по «поперечному» (по отношению к основному направлению) сечению ДККЭ аппроксимируются линейно. Здесь можно провести прямую аналогию с функциями формы, которые используются в стандартном МКЭ при решении задач, связанных с продольными деформациями прямолинейных стержней. Выполним схожую процедуру построения формул. Имеем: и.к) = м;к)(х„ х2) = и<к)(г, х2) = </') + «£4 у = 1,2, (х„ х2) е©к,;
у = V. >( х„ х2) = у..к)(г, х2) = Д™ + 0™г, у = 1,2, (х„ х2) или иначе в матрично-векторной форме
и.к = Га™, V.к = Г Д(к,,), у = 1,2, (х„ х2) е©к,<, где «(к ,г > = [</> </>]т; Д(кг = [ Д™ Д. ]т; г" = [1 г ]т.
(2.4)
(2.5)
(2.6) (2.7)
Очевидно, имеют место соотношения:
= су), V™ = СД(кЛ, у = 1,2,
где
С =
причем С 1 =
1 0 -1 1
1 0 1 1
Следовательно, определяем:
и(к) = гтС-ЪкЛ, V(к) = гтС-*7!кЛ, ] = 1,2, (х,х2) е«к
у 1 ' 1 1 ' ■> ' ' VI' к.
(2.8) (2.9)
(2.10)
или и <к > (х1, х2) = N (г)и{к ,г) (х2), V (к) (х1, х2) = N (г ^^ > (х2), у = 1,2, (х1, х2) е со,., , (2.11)
где N = N (г) = гт С-х = [ N1 N2 ] (2.12)
- матрица функций формы («поперечных» по отношению к основному направлению) по сечению ДККЭ с элементами
N,(1) = 1 - г; N1(t) = г. (2.13)
Итак, получили ожидаемый очевидный результат. Матрица (2.12) после переобозначений также представима в виде
N = N (г) = Г^, где N = С-1. (2.14)
Несложно показать, что также справедливы следующие важные для последующего изложения соотношения:
Щ(х„х1) = Nn(г)~<к,0(х2), V,(х„х1) = Nn(г^"(хД (х„х2) е а ,
где
Nn (г) =
10 01
® N (г) =
N (г) 0 0 N (г)
- символ, обозначающий операцию прямого произведения матриц;
ик (х1, х2 ) _
; vk(х1. х2) =
и (х, х2) и2)( х1. х2)
Руководствуясь (2.14) и (2.16) можем записать:
Nn = Nn (г) = Т (г) N(
^к)( х1. х2 } V1к)( х1. Х)
где
Т (г) =
10 01
гт 0 0 гт
N. =
0,П 5
10 01
N =
N
0
0 N
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18) (2.19)
3. Аппроксимация частных производных от искомых функций.
Выражения для частных производных первого порядка от неизвестных функций попеременным х1 и х2 записываются следующим образом (ниже (х1, х2) ):
г' =
д1и^\х1,х2) =1 Ы'(1)~к'\х2), д«>(х„х2) = Ы(1)~^'\х2), ] = 1,2; (3.1) п.
а^(х1,Х2) =1 N'(1 )~;кЛ(х2), 52^.к\Х1,Х2) = ^)52~/к,0(х2), ] = 1,2, (3.2) п
где
N '(г) =—N (г) = [ N. К ]т. аг
(3.3)
Производные от матрицы функций формы (3.3) находятся дифференцированием ее элементов (2.13), т.е.
Щг) = -1; N2(г) = 1. (3.4)
Как видно, элементы (3.4) не зависят от г. Вместе с тем, очевидно, что при характере аппроксимации, отличном от (2.13), зависимость соответствующих элементов от г может иметь место.
Очевидно, что соответствующие узловые функции определяются с учетом соответствующих операций осреднения по формулам, являющимся частными случаями (3.1)-(3.3):
1
[д,и «Г =
^ N '(Xj~jk,'-'>( Х2) + ^ N '(0)2^' >( Х2)
к.х п.
' = 2,3,..., N -1; (3.5)
[а^Т = 4- N'(0)~/k,1)(x2); [д^Г = ^а)«^^); (3.6)
к
[д2и<*>]<'> = V(к,'>(х2) ;
[д^ кТ =
+вк.
п
N '(1)~;*,'-1)( х2)N '(0)~;(х2) п
(3.7)
' = 2,3,..., N -1; (3.8)
[^«Г = N'(0)~<Ад)(х2); >]<N) = N'(1)v(i,N-1)(х2). (3.9) П1 ' ' К-х Рассмотрим важные частные случаи формул (3.5) и (3.7). Очевидно, что если вк1_1 =вк1 = 1, ' = 2,3,..., N -1 будем иметь:
[5,2 <к >]« =
N '(1)~( к,'-1) (х2) +1N '(0)~<к,' > (х2)
к., к.
=
1 N '(1)~<к ,м) (х2) +1N '(0)~ к,'>( х2)
' = 2,3,..., N -1; (3.10) ' = 2,3,..., N -1. (3.11)
' к
В случае вк1_1 = 0, вк1 = 1, ' = 2,3,..., N -1 (дискретно-континуальный элемент а>к м аппроксимирует «пустоту») имеем:
[51и(к)]<° =1N '(0)~<к '(х2), ' = 2,3,..., N -1; п'
[а^>]<о = 1N '(0)~< к,')(х2), ' = 2,3,..., N -1. п
(3.12)
(3.13)
В случае вк1_1 = 1, дк1 = 0, ' = 2,3,..., N -1 (дискретно-континуальный элемент а>к аппроксимирует «пустоту») имеем:
N-1
1
2/2011 ВЕСТНИК _2/2011_мгсу
[ди;т ЩЩ^Чх,), г = 2,3,..., N -1; (3.14)
[З^Г N'(1)~<к,м)(хД г = 2,3,..., N -1. (3.15)
Если 6>к 1 = 1 (дискретно-континуальный элемент а>к 1 аппроксимирует «пустоту»), то вместо (3.6) и (3.9), очевидно, будем иметь:
[51и<к )]<1) = 0; )]<1) = 0. (3.16)
Если вк К_1 = 1 (дискретно-континуальный элемент а>к К_х аппроксимирует «пустоту»), то вместо (3.6) и (3.9), очевидно, будем иметь:
[51и(к)](ю = 0; [51v'.k>]<ю = 0. (3.17)
4. Аппроксимация деформаций и напряжений.
Выражения для деформаций и напряжений [5,6] на элементе на основании известных соотношений записываются следующим образом:
- деформации
4к)(х1.х2) = ^Х^Кх.х2); ^ИЧх.х2) = v1k)(xl,х2);
>(х„х^ = >(х„х2) = 0.5• ([5^>](х„х2) + V!к)(х„х2)); (4.1)
- напряжения
<Чх1,х2) = (Лк,, + 2Мк„)[ди?>](х„х2) + х2);
^12ЧX,х) = Як„[д1^к'>](х1,х2) + (А,, + 2Мк,г)v1k)(Xl,х);
а-Ц>(х„ х2) = ^Чх„ х1) = ^(Vl<k>(х„ х1) + [51и1к)](х1, х1)) . (4.1)
Приведенные к узлам деформации [^* ]<г), [гЦ) ]<г), [г^* ]<0, [¿"Щк* ]<г) и напряжения [o"1<1k) ]<г) , [стЦ) ]<г), ) ]<'), [сЦ) ]<') определяются аналогично частным производных от искомых функций (см. формулы пункта 3) с учетом соответствующих операций осреднения.
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 1010-1011 гг.
1. Грант 1.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 1011-1013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (1009-1011 годы)» (проект 1.1.1/11148).
4. НИР «Разработка, исследование и развитие математических методов и программно-алгоритмических средств, реализующих безопасную технологию возведения уникальных зданий и сооружений сложной архитектурной формы», выполняемая в рамках Тематического плана ГОУ ВПО МГСУ (проект 5.1.11).
Литература
1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 2011, с. 11-16.
2. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.
3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.
4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Издательство Мир, 1975. - 872 с.
6. Иартон В.З., Иерлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Издательство Наука, 1981. - 688 с.
References
1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).
2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).
3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).
4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).
5. Nowacki W. Theory of Elasticity. Moscow, "Mir", 1975, 872 pages (in Russian).
6. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, "Nauka", 1981, 688 pages (in Russian).
Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, статический расчет, балка-стенка, кусочно-постоянные физико-геометрические параметры, метод расширенной области
Keywords: discrete-continual finite element method, static analysis, deep beam, piecewise constant physical and geometrical parameters, method of extended domain.
Авторы:
1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: + 7(499) 183-59-94; e-mail:pavel.akimov@gmail.com.
2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com.
3. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: sidorov.vladimir@gmail.com.
Статья представлена Редакционным советом "Вестника МГСУ"
