CC BY
27
4./2011 ВЕСТНИК _7/202J_МГСУ
ОПЕРАТОРНАЯ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА БАЛКИ-СТЕНКИ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
OPEARTIONAL AND VARIATIONAL FORMULATIONS
OF BOUNDARY PROBLEM OF ANALYSIS OF DEEP BEAM WITH PIECEWISE-CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION WITHIN DISCRETE-CONTINUAL APPROACH
П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, B.H. Сидоров, А.Ю. Герман Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva, Vladimir N. Sidorov, Anna Yu. German
ГОУ ВПО МГСУ
Рассматриваются операторные и вариационные постановки краевой задачи о статическом расчете балки-стенки с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по некоторому координатному направлению (так называемому основному направлению) в рамках дискретно-континуального подхода.
Operational and variational formulations of boundary problem of analysis of deep beam with piecewise-constant physical and geometrical parameters in so-called basic direction within discrete-continual approach are under consideration in the distinctive paper.
Введение.
В настоящей статье рассматриваются операторная и вариационная постановки краевой задачи о расчете балки-стенки в рамках дискретно-континуального подхода. Следует подчеркнуть, что в данном случае, в отличие от работ [3, 4], здесь допускается переменность физико-геометрических параметров конструкции по основному направлению, а именно, исследуется случай их кусочного постоянства. В качестве расчетной модели балки-стенки принята двумерная задача теории упругости [5, 6].
1. Некоторые предварительные обозначения.
Без ограничения общности будем рассматривать балку-стенку высоты ( xj е [0, lj ) и длины l2 ( x2 е [0, l2] ).
Пусть x2 - переменная, соответствующая основному направлению, т.е. вдоль нее физико-геометрические характеристики конструкции изменяются кусочно-постоянно. Заметим, что вдоль переменной xj физико-геометрические характеристики балки-стенки могут изменяться произвольно.
Введем обозначения: хъ1к, к = 1,..., пк - координаты сечений, в которых задаются
граничные условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) изменение характеристик балки-стенки); ^к, к = 1,..., пк -1 - соответствующие фрагменты, на которые разделяется объект,
Пк = Ц^ х2): 0 < х1 < 4,к < х2 < Х^,к+1 } к пк ; (1.1)
Гк, к = 1,...,пк -1 - соответствующие границы перечисленных фрагментов; вк =вк (х1, х2) - характеристическая функция области ^к; 8гк =5гк (х1, х2) - дельта-функция границы Гк = д&.к [3, 4],
^к(х.,х2)н 0, ((х;;,х:))е,й; (х1,х2)/^;
(1.2)
пк = [пк1 пк2]т - вектор составляющих нормали к границе Гк; а>к, к = 1,...,пк -1 -
расширенные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, в частности, например, можно выбрать
®к = х2): х1 ^^ х2Ь,к<х2<х2,к+1}; (1.3) Ьк - оператор задачи в расширенной области а>к относительно перемещений на интервале (х2к , х2,к+1),
з'ДА ^дд _д '*Мк 3 2 3 >к 3 2.
8] = 8 / дхз, д] = -8 / дхз, ] = 1,2 ; \ и Дк - параметры Ламе, определенные на расширенной области ^эйк и равны нулю вне , т.е.
_ 4 = *Л; ; (1.5)
¥к - соответствующий вектор правых частей на интервале (хь1к, хЬк+1); и - составляющие вектора правых частей по направлению оси Ох. внутри и на границе области 0.к; ик - вектор перемещений на интервале (хЬк,хЬк+1) с компонентами
Ьк =Х 5 .
"1 0"
0 1 +
д'^д1 р 2АР1
Р 'Лд 2 р 2АР 2
(1.4)
и[к', и2к'; е.) - компоненты е. тензора деформаций на интервале (хЬк, хь1к+1); а.' -
компоненты ст.. тензора напряжений на интервале (хЬк, х1к+1),
Д = [ ^ ^Г ; 7?, +Зг,к/1; ик = [ и(к) и2к>]т ; (1.6)
= 0.5 • (диТ + .«); = 89 Лк£<к) + ^Г. (1.7)
2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления.
Учитывая кусочно-постоянный характер изменения характеристик конструкции по основному направлению (вдоль х2), можем записать:
Ь, =— Ь, 82 + Ь, 3, + Ь, ,
к к ,уу 2 к и 2 к ,ии '
где Ь, = Ь, - Ь, ; Ь, = Ь* ;
^ к ,uv к и к ,уи ' к ,vu к и "
Ь,..„ =
я _ о
0 Л +
; Ьк и
0 5'Я
.3 'Дк
1 "к 0
; Ьк иии ~ Р1
Лк + ^ 0
0
А
(2.1) 5,. (2.2)
Здесь Ь"кш - сопряженный с Ькиу дифференциальный оператор, а Ьки_ - кососиммет-
ричныи оператор.
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления.
Операторная постановка задачи имеет вид:
Lkuk = Fk , x2 е (<k , x2b,k+1k = пк - !• (3Л)
Рассмотрим произвольное k -е уравнение системы (3.1). Учитывая (2.1), можем переписать его следующим образом:
-Lk д2Uk + Lk дЖ + Lk Uk = F. . (3.2)
k ,vv 2 k k ,uv 2 k k ,uu k k V '
Вводя обозначение
V = [ v1k> v2k>f = [ 52«1(k> 52«2kT =32^k = U'k, переходим от (3.2) к уравнению
Lk,vvV'k ^ Lk,uvVk ^ Lk,uuU k F , ^Д^ ^2Vk '
Объединяя (3.3)-(3.4), получим следующую систему:
(3.3)
(3.4)
"E 0 " ГЙ:1 " 0 E ' Uk " 0 " u l ' 0 E ' uk 0
к = _ или к = _
0 Lk,„ Lk Lk k ,uu k ,uv _vk _ Fk _ L;1 Lk k ,vv k,uu l;1 Lk k ,vv k ,uv _vk _ L¡!„Fk
где E - тождественный оператор. Окончательно имеем:
U'k = LkUk + Sk , x2 е (x2b,k , X2,k+1 ), k = 1,•••, nk -1,
где Lk =
0
Lk,vvLk,uu Lk,vvLk ,uv
; Sk =-
0
lLf
; U =
; u'l=d1ul =
52Uk ~_
Uk
P2Vk _
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Уравнения (3.6), разумеется, следует дополнить граничными условиями, задаваемыми в сечениях с координатами хъ1к, к = 1,..., пк. Эти граничные условия представи-мы в виде
ВДЖк-0) + в;ик(хЪ,к + 0) = + , к = 1,...,пк-1; (3.8)
ви(хЪ,1 + 0)+в-пйЯ1 _1 (хЪпк -0) = ^+Т*, (3.9)
где В~, Вк, к = 1,..., пк -1, В1+ и В~ - матрицы коэффициентов граничных условий, 4-го порядка; к = 1,..., пк -1, и - векторы правых частей граничных ус-
ловий, четырехмерные.
Объединяя (3.6), (3.8) и (3.9) получаем операторную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:
U[= LkUk + Sk, x e (x', x'), k = 1,..., nk -1
-b xb
'k^ k ' "k> J" ~~ Vv2,k> 2,k+1 v1
BU(x2,k - 0) + B¡Uk(x2,k + 0) = g- + gk+, k = 2,..., nk -1 B+U, (x^ + 0) + БщUnt(xb, - 0) = g¡ + g-nt.
(3.10)
4. Вариационная постановка задачи с выделением основного направления.
Непосредственно из операторной постановки задачи следует вариационная, определяемая функционалом
пк-1 — Ц(й) =^Цк(«к), где Цк) = 0.5• (Ькйк,йк)-(р,йк). (4.1)
к=1
Учитывая (1.1) и (1.1), после преобразований получим
^к («к, ^) = 0.5 • [(Ьк^к, ^) + 1(Ьк^к,йк) + (4,„Л, «к)] - (Рк, «к) . (4.1)
k
V
k
Функционал Лагранжа на каждом из фрагментов ^к (к = 1,..., пк -1), как известно, имеет вид:
1
2,
Цк и) = - £ ) <3х - {о~к, ик )<Ъ.
(4.3)
Принимая во внимание соотношения (1.7) и (3.3), можем записать следующие определяющие формулы для деформаций:
е'к> = V.
(к) .
к) = е^> = 0.5 • {д^к) + V-к').
(4.4)
Подставляя (4.4) в (1.7), а полученные соотношения в (4.3), переписываем функционал соответствующий операторной формулировке в виде
Цк (и) = 0.5 • йк Д) - ,йк), (4.5)
где
и =
ьки L~k,uV Кк,ии ; ~к =
ьк,и 0
(4.6)
Решением поставленной задачи является точка (функция) условного экстремума этого функционала с условием (3.3). Кроме того, разумеется, должны быть приняты во внимание граничные условия (3.8)-(3.9).
5. Об учете упругоподатливых опор.
При решении практических задач нередко имеют место случаи, когда на области ^к, ее границе Гк или их частях заданы упругоподатливые опоры, непрерывные по основному направлению.
Вектор Як1 реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид:
0
К = [ Як„1 = Ск,А,, где С,, =
к ,¡,1 0
(5.1)
Ск1 - матрица упругих характеристик опоры; йк1 - вектор перемещений опоры; ек1.
- коэффициент отпора ¡ -й опоры по направлению оси Ох..
Наличие упругоподатливых опор вносит корректировку в постановку (3.10), а именно в формулу (3.7). В данном случае имеем:
К =
0 Е
К:1 (4 + ск) г1 "
к,vv V к,ии к ' I
к К
к ,vv к,и,
где Ск = (дк + §Гк)
к,1 0
0
(5.2)
с.к. = ск. (х1, х2) - коэффициент отпора по направлению оси Ох1. 6. Задание некоторых типовых граничных условий.
Рассмотрим ниже задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в форме (3.8)-(3.9) в произвольной граничной точке с координатой х\к. Возможны три основных варианта граничной
точки: 1) 1 < к < пк - промежуточная граничная точка; 2) к = 1 - крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = пк - крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарнирное закрепление.
Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:
«k-l(xl,х2,к -0) = 0; «кС^х2,к + 0) = 0, (6Л)
4к(х1, х,,к -0) =0; «2к(х1, х',к -0) =0;
<> (х1, хь2Л + 0) = 0 ; и'2к> (х, хь2Л + 0) = 0 , (6.2)
т.е.
и, . = к ,1
С
г
к ,¡,2
к ,¡,2
С
к ,2
откуда
Bk =
Bi =
gk gk
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
й1(х1, хгъ,к + 0) = 0, т.е. <>(х1, х1ъ,1 + 0) = 0; х1, х^ + 0) = 0,
1 0 0 0"
откуда
в; =
а первые две компоненты в векторах я1 и я нулевые.
Для случая к = пк имеем следующие граничные условия:
u ,(x,,x2 -0) = 0, т.е.
,(«k -i)
откуда
в: =
( x, Xb,4 - 0) =
0 0 0 0"
0 0 0 0
, 0 0 0
0 0 0
(x,, x' - 0) = 0,
а последние две компоненты в векторах я1 и я нулевые. Свободный край.
Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:
(х,, х1 + 0) = 0; о%( х,, х1 + 0) = 0. Учитывая формулы (1.7) и (3.3), можем записать:
г«> - '
= = 2^ • 0.5 • (Ö1u21) + 82u(1)) = цк • (Ö1u21) + v«) ;
r«) -
т.е.
= АС + (Як + 2^к К' = А 3 Х4 + (Як + 2^ )5 2U f = Л ^u™ + (К + 2^ )v Следовательно, вместо (6.8) получаем:
А • ([31u21) ](x,, х22д + 0) + v« (x,, xb,, + 0)) = 0 ;
Л, [51u1<1) ](x,, x2,, + 0) + (Л, + 2ßi )vf (x,, xb,, + 0) = 0 ,
0 ßldl 0
^d, 0 0 Ä,+ 2ßx
0 0 0 0
0 0 0 0
b; =
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6) (6.7)
(6.8)
(6.9) (6.,0)
(6.,,) (6.,2)
(6.,3)
а первые две компоненты в векторах я1 и я нулевые.
Отметим, что после соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (6.13) становится числовой [1, 1]. Для случая к = пк аналогично имеем:
J. Ч -,) 1
( х,, х> - 0) = 0;
или
x2,»k ,(»k "Ol
(x,, xbk + 0) = 0
Як• ([ö^"ЧХ-0) + v*^(x,,xb,„k -0)) = 0; Я _<[5<u<("к-»](x,,<% -0) + U + 2u >2*-^(x,,<% -0) = 0
(6.,4) (6.,5) (6.,6)
2
т.е.
в; =
0 0 0
Я ,5,
«к -1 1
0 0
^-А 0
0 0
^ -1 0
я
«к -1
0 0 0
-2^
«к -1,
(6.17)
а последние две компоненты в векторах g1 и gч нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (6.17) становится числовой [1, 2]. Идеальный контакт.
Прежде всего, поясним, что условия идеального контакта, как правило, задаются в поперечных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные изменения физико-геометрических характеристик конструкции. Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:
и-1(х, 4к -0)=ик(^ х2,к+0);
_(к-1) /
(х2,к - 0) = х^ х2,к + 0);
_(к-1) /
(Х1, х2к - 0) ^ЛХ, х;,к + 0). (6.18)
После соответствующих преобразований можем записать:
м!'(х, х2,к+0) - и(х1, х2,к - 0) = 0; и2)(х, х2,к+0) - и2"'(х, Х2,к - 0) = 0;
Я • ([5и2к)](х1, х2ь,к + 0) + V« (х1, х2ь,к + 0)) -
- Я-1 • ([3 и Г' ](х, хЬ,к - 0) + V?^ (х, х 1к - 0)) = 0; Л[3Хк) ](х1, х 1к + 0) + (Л + 2я)v2k) (х1, х 1к + 0) -
- Л-1 [ЗХк](х1, х! к - 0) - (Л_1 + 2^.1 К^ (х, х> - 0) = 0,
откуда
в; = -
1 0 0 0 ~ 1 0 0 0 "
0 1 0 0 0 1 0 0
; в: =
0 0 ' к 0 М мк 0
4-А 0 0 4-1 + _ 0 0 А + 2я_
(6.19)
(6.20)
(6.21) (6.22)
g;= gk+= [0 0 0 0]г. (6.23)
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрицы (6.22) становятся числовыми [1, 2].
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).
Литература
4./2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 1011, с. 11-16.
1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 1010, с. 14-18.
3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 1010. - 336 с.
4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 1010. - 336 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Издательство Мир, 1975. - 871 с.
6. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Издательство Наука, 1981. - 688 с.
References
1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).
2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).
3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).
4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).
5. Nowacki W. Theory of Elasticity. Moscow, "Mir", 1975, 872 pages (in Russian).
6. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, "Nauka", 1981, 688 pages (in Russian).
Ключевые слова: краевая задача, операторная постановка, вариационная постановка, расчет балки-стенки, дискретно-континуальный подход, метод расширенной области
Key words: boundary problem, operational formulation, variational formulation, analysis of deep beam, discrete-continual approach, method of extended domain
Авторы:
1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: pavel.akimov@gmail.com.
2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com.
3. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: sidorov.vladimir@gmail.com.
4. Герман Анна Юрьевна, аспирант (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: ipm@mgsu.ru.
Рецензент: Белостоцкий A.M., профессор, д.т.н., генеральный директор ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО»
