CC BY
25
УДК 51 ББК 22.11 М 63
Дж. Д. Мирзов
Об уравнениях со свойством О1
(Рецензирована)
Аннотация:
В качественной теории хорошо известны признаки Аткинсона и Белогорца колеблемости всех правильных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Для линейных же уравнений подобных критериев не существует. В работе дается эффективное необходимое и достаточное условие того, чтобы каждое нетривиальное решение линейного уравнения было колеблющимся либо монотонно стремилось к бесконечности при неограниченном возрастании аргумента.
Ключевые слова:
Ключевые слова: уравнения типа Эмдена-Фаулера, правильные решения, колеблемость и (или) монотонность решений.
Рассмотрим уравнение
и" + a(t)|sign и = 0, (1)
где n > 0, a : R+ ^ R+ локально суммируемая функция. Нас будет интересовать поведение правильных решений уравнения (1) в окрестности бесконечности. Необходимые понятия и определения можно найти в [1] или [2].
Ф.В. Аткинсон [3] доказал, что если n > 1, то для колеблемости всех правильных решений уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы
|ta(t)dt = +то . (2)
Ш. Белогорец [4] установил, что если 0 < n < 1, то для колеблемости всех правильных решений уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы
|tna(t)dt = +то . (3)
Известно, что для линейных уравнений второго порядка нет интегральных признаков колеблемости решений, аналогичных критериям Ф.В. Аткинсона и Ш. Белогорца. Поэтому, заметив, что если n ^ 1 условие (3) «приближается» к (2), представляется интересным вопрос: чем является условие (2) для уравнения
(1) при n = 1?
Ответу на этот вопрос посвящена данная заметка.
Скажем, что уравнение (1) обладает свойством О1, если каждое его правильное решение и(1) является колеблющимся либо |и(^ )| монотонно стремится к + то при ^ ^ +то .
Теорема. Пусть п = 1. Тогда (2) есть необходимое и достаточное условие для наличия свойства О1 у уравнения (1).
Доказательство. Сначала докажем достаточность. Пусть имеет место (2). Покажем, что все нетривиальные решения уравнения
и" + а^ )и = 0 (4)
являются колеблющимися либо по модулю монотонно стремятся к + то . Если уравнение (4) имеет хотя бы одно нетривиальное колеблющееся решение, то все его решения являются колеблющимися, поэтому имеет место свойство О1. Предположим, что уравнение (4) имеет неколеблющееся решение и(^). Тогда
и)я1^ и(^) = -а(^)|и(() < 0 (5)
при больших значениях аргумента и
|а^)& < +то.
Из (5) следует, что и ) монотонная функция в некоторой окрестности + то . Поэтому в
силу (2) и' (г) ф 0 при достаточно больших г и, следовательно,
и '(г)и(г) ф 0 при больших значениях аргумента. Если предположить, что
и'(г)и (г) < 0,
то из (5) имеем
|и'(г)| = а(г)|и() > 0. Интегрирование последних двух неравенств от г 0 до г дает противоречие.
Таким образом, имеем
и'(г)и (г) > 0,
т.е. |и(г)| возрастает в некоторой окрестности
+ то. Покажем, что
Нш |и (Л )| = +то.
г^+то1 1
Допустим, что это не так. Тогда из равенства
/ г
г\и(г )| - |и(г)| + |та(г)|и (т)| ёт = с0,
г0
где с0 = г0 |и(г0)| - |и(г0)|, ввиду (2) получаем г|и(г)| < -1
при достаточно больших значениях аргумента, что противоречит возрастанию |и (г)|. Достаточность доказана.
Теперь докажем необходимость условия
(2). Допустим, что нарушается (2). Тогда
-|-оо -|-оо
J( Ja(t)dt)dt
< +то.
Следовательно, по теореме 4.2. из [1] уравнение (4) имеет решение u(t), обладающее свойством
lim u(t) = с Ф 0.
t ——+^
Теорема доказана полностью.
Замечание. Теорема остается верной и при n Ф 1.
Примечания:
1. Мирзов Дж.Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений, Майкоп, РИПО <^ыгея», 1993, 132с.
2. Mirzov J.D. Asymptotic Properties of Solutiony of Systems of Nonlinear Nonautonomous Ordinary Differential Equations, Folia Math.Fae.sci. nature. Univ. Masaryk. brun. 2004, №14, p.1-178.
3. Atkinson F.V. On second - order non - linear oscilla-tions//Pacif.J.Math., 1955, 5, №1, p.643-647.
4. Belohorec S. Oscilatoricke riesenia istej nelinearnej diferencialnej rovnice druheho radu // Mat. - Fyz. Casop. SAV, 1961, 11, №4, s.250-255.
