CC BY
29
3. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н. Некоторые алгоритмы оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 2. С. 3-17.
4. Жулин С.С. Метод продолжения решения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 205-217.
5. Давыденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. № 4. С. 601-602.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Koshkin E.V. The parameter solution continuation method in optimal stabilization problem for linear periodic systems of differential equations with piecewise constant arguments. Optimal stabilization linear periodic differential equations with piecewise constant arguments is considered. It is shown that it is equivalent to the problem of optimal stabilization for systems of difference equations. For the solution of the last one the parameter continuation method is applied.
Key words: linear differential equations; piecewise constant arguments; optimal stabilization; the parameter continuation.
Кошкин Евгений Вячеславович, Уральский государственный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail: koshkin@uralmail.com.
УДК 517.98
ОБ ОЦЕНКЕ КОММУТАТОРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С
ОПЕРАТОРОМ УМНОЖЕНИЯ
© Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин
Ключевые слова: линейный дифференциальный оператор эллиптического вида; пространство Бесова; пространство Бесова-Степанова.
Для линейного дифференциального оператора эллиптического типа приводится оценка коммутатора в пространствах Бесова и Бесова-Степанова.
Пусть Ьр = Ьр (Ка, X) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп ^ X с обычной нор мой ||-||0 ; Бр = Бр (Кп,Х) —пространство Степанова [1] сильно измеримых функций и : Кп ^ X, норма в котором определяется формулой
Ммр = sup
xeR"
(
K(x)
\
1
||u(x)||p dx
p
<,
/
где К(х) - единичный куб в Кп с центром в точке х, ||-||- норма в X, К — одно из пространств Ьр, Мр; пространство Соболева Шт (К) состоит из функций и € К, имеющих обобщенные производные Оаи € К, |а| ^ т, при этом [2]:
11 u 11 m (F) = ^2 llD<C \а\^m
u
F,
DC
д\ а\
dxC1...dxa" ’
a = (ai,...., an) — мультииндекс, |a| = ai +.......+ an, m Є N.
Пространство Бесова В! (Рр) определяется нормой [3-4]
\Ак (х — у) Раи (х) ||Р йхйу
и
в.р
и
1пх Нп
\х — у\
п+ру
= 11и11о + (и)1з < ж,
к е М, в = т + ^, 0 <^< 1, А(г) / (х) = / (х + г) — / (х).
Пространство В! (Мр) (пространство Бесова-Степанова) состойт из функций и е Мр,
для которых конечна величина
им р
Е 8цр
|а|^т,ж у£.Яп
Дк (х — у) Баи (х) йхйу
\К(х) X К (у)
\х — у\
п + р 7
/
Для произвольных Т > п и £ е Кп построим гладкую финитную функцию ф (х, £,Т) = ф : Кп ^ [0,1] с носителем в шаре В (£, 2Т) С Кп, при этом ф (х, £, Т) = 1,
если х е В (£,Т) и \Раф\ ^ Ь0Т-1 (Ь0 те зависит от Т, а = 0), т. е. ф е С0°.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р : В^ (Р) ^ Вр (Р) в частных производных
Ри = ^2 Аа (х) Ваи. (1)
\а\^т
Коэффициенты в (1) Аа (х) е С (Кп, ЕпйХ) , ЕпйХ — пространство линейных дифференциальных операторов А : X ^ X.
Аа (х)
Р
|а| ^т —1
/
Е (—1)к— с к Ваи (х + 1 (х — у))
3=0
\х — у\
п+р 7
-йхйу
+
(
\
J \\П£и (х)||р йх
\х—Ц<АТ )
и е я; (Ьр) ;
1/
р
{р (^и) — ^Ри) 20 < Т Е вир
|а|<т —1 \х — £\ < 4Т, \у — £\ < 4Т
( к . Р \ Е(—1) 3 с к Ваи(х + 1 (х — у)) йхйу
.=0 к
К(х) X К (у) \
\х — у\п+ру
+
+Т Е
Т
БИр
^ — £|^4£
( \
У \\Б£и (х)\\р йх \К(Ж) )
|a|^m — 1
Значения й\ и ^2 не зависят от и, N и £.
и е я; (Мр).
ЛИТЕРАТУРА
1. Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых пространствах функций Яп // Дифференциальный уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1419-1425.
1
/
Р
0
1
/
р
и
и
и
В£(М Р)
1
/
р
V
к
1
/
р
1
/
р
2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.
3. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.
4. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 455 с.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Tyurin V.M., Kuznetsova Т.В. On estimation of the commutator of a differential operator with a multiplication operator. For a linear differential operator of elliptic type there is presented a commutator estimation in the Besov space and in the Besov—Stepanov space.
Key words: elliptic type linear differential operator; the Besov space; the Besov-Stepanov space.
Кузнецова Татьяна Борисовна, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, аспирант кафедры высшей математики, e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru.
УДК 517.98
О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА
© Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин
Ключевые слова: линейный дифференциальный оператор; пространство Бесова.
Найдено необходимое и достаточное условие корректности линейного дифференциального оператора в пространствах Бесова. Приводятся приложения этой теоремы.
Пусть X — банахово пространство; N = N (Кп,Х) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп ^ Хс вир-нормой, п е N; Ьр = Ьр (Кп, X) — лебегово пространство с обычной нормой || иа\\ , р > 1; (Rn,X) — пространство локально
интегрируемых функций и : Еп ^ X, Оа = дат • • • дхп, а = (а^,..., ап), \ а \ = а\ + + ... + ап, а] е N^10 О' = 1, ...,п).
Рассмотрим расходящуюся последовательность чисел 0 < в\ < ... < еп < ... и такую последовательность чисел 0 < < ... < йп, что dj \М < < Мй^, ] = 1, 2, ..., ...,
для некоторой постоянной М > 0. Положим XI = {х : || х || ^ е\],
Xj = { х : ej-l < || х || ^ ej } о = 1, 2, 3, ..., || • || — норма в X. Пространство Ур состоит из всех функций и е Ь1ос таких, что
0
II и IIVр = ^-/ dj ( j=l V
1/p
/Xj
u(x) ||p dx
< сю.
