CC BY
33
REFERENCES
1. Pokorny Y.V., Penkin O.M. Differential Equations on Geometric Graphs // M: Physmathlit, 2005, 272 pp.
2. Wermer J. Potential Theory // Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1974, 136 pp.
3. Oshchepkova S.N., Penkin O.M. The mean-value theorem for elliptic operators on stratified sets. // Mathematical Notes, 2007. V. 81. № 3. P. 365-372.
4. Besedina S.V. Large Harnack's inequality on stratify set // Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2004. № 1. P. 77-81.
Savasteev Denis Vladimirovich, Voronezh State University, Voronezh, the Russian Federation, Postgraduate Student, Department of Operational Equation Studies and Functional Analysis, e-mail: savasteev@gmail.com
УДК 517.983
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-116-121
ОБ ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ СОБОЛЕВА-БЕСОВА
Изучается одновременная обратимость (корректность) линейных дифференциальных операторов в частных производных в функциональных пространствах типа Бесова. Ключевые слова: пространства Соболева-Бесова; корректность; функциональные пространства.
Обозначения. Пусть X — произвольное банахово пространство; Ьр = Ьр(Кп,Х) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и: Мп — X (р> 1,и € М) с нормой ||и|| 10; Мр = Мр(Шп,Х) — пространство Степанова сильно измеримых функций и : Мп — X, с конечной нормой
K(x) — единичный куб в Мга с центром в точке x €Мга [1](с. 78), [2](с. 165), || • || — норма в X; C = C(Rra,X) — пространство непрерывных ограниченных функций u: Rra — X с нормой
равной ||u||c = sup ||u(x)||; Wm = Wm(Rra,X) — пространство Соболева функций u € Lp,
x€Rn
имеющих обобщенные производные Dau € Lp (|a| < m), при этом норма
Received 23 January 2016.
© В. М. Тюрин
/
\ 1/p
||u||lm = ^ ||Dau||10 < ГС,
\a\<m
а = (а1,...,ап) — мультииндекс, |а| = а1 +... + ап, т € , [3](с. 60), [4](с. 37). Пространства Бесова В\рк = В\рк(Мп,Х) функций и € Ьр зададим формулой
ни = М110 +
1рк
/
+ЕЕ
к= 1 \а\<т
£ (-1)3+1 Ск- 1 △(у - х)Баи{х + и - 1)(у - х))
3 = 1
1/р
К"х К"
1х - у1п+Р1
-йхйу
V
(1)
норма которых находится по формуле
= ||и|110 + {и)%к < ж.
Щрк = В2рк(
Введем пространства Бесова-Степанова В2рк = В2рк(Мп,Х), состоящие из функций и € Мр,
|и|и = ||и||20 + {и)%к < Ж.
2рк
(2)
В формулах (1) и (2) в = т + 0 <^< 1, t € М, к € М, С_ — биномиальные коэффици
енты. В частности, пространства имеют норму
Мвр = ||и||10 + /
|Д(у - х)Паи(х)) |
1/р
-йхйу
1/р
\а\<т \К"хК™
а пространства В^ — норму
иии^ = ||и||1р + ( / ^хх--иху\ = ||и||1р + (и)1;
Норма пространств В2р это
........ + ^ ( [ |д(у - х)Паи{х))
тви = | |и|| 20
\а\<т ук„ хК" г1^ имеет норму ||„,||„ _1_ /,,\17
х - у\п+Р1
р \1/Р -йхйу I < ж.
Пространство В2р имеет норму ||и||2р + (и)^.
Отметим, что норма (1) эквивалентна норме пространства Соболева-Бесова [5](с. 228)
||и||1т + (и)\рк.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Pi: В\рк ^ В*2 (I = 1, 2) в частных
производных
Ри = ЛаБаи, Аа € С(Кп,ЕМХ).
\а\<т
Оператор : В^ В^ назовем обратимым (корректным), если существует такая поло-
жительная постоянная к%, не зависящая от функции и, что имеет место неравенство
l|u|lвts < ЫРиИ
Вгрк
вг'<
гр
(3) 117
р
р
для любой функции и € .
Пусть фт (х,£) : Мп — [0,1] — гладкая финитная функция с носителем в шаре В (£, 2Т) < Мп такая, что фт (х,£) = 1 при х € В(£,Т) и \Оафт \< ЬоТ-1 (Ьо не зависит от параметра Т>шах(и, 2), £ € Мп, а = 0).
Лемма 1. Для любой функции и € ВЦ справедливо неравенство
\\фт (хС)и(х) - фт u{y,i)u{y)\f
i/p
R™
\х - y\n+pY
dxdy
<
< a
R™
\\u(x) - u(y)\\p
\x - y\n+P~f
i/p
dxdy I + aT i\\u\\io
Положительная постоянная a не зависит от и, T,
?ts }ipk
Лемма 2. Пусть и € В!,. Тогда имеет место следующая оценка
/
=Е Z
k=1 \a\<m
£
j=i
(-iy+1Ck-_\Hy - x)^T (x + (j - l)(y - x)) X xPu,(x + (j - 1)(y - x))
1/p
R™x R™
\y - x\n+PY
dxdy
V
<
(4)
< biT _Y\\Pu\\io + b2(Pu)1'Y.
Доказательство. В интеграле (4) сделаем замену переменных х = (1 — ] + jwj, у = (2 — j)zj + (^ — , д^'^]) = а(j) = 0. Получим, используя лемму 1.
st=a(j )Y1
k=1 \a\<m xr„xr™
\\Фт (zj )Pu(zj ) - Фт (wj )Pu(wj )\\p dxdy
\x - y\n+pY У
1/p
<
(5)
< biT _Y \\Pu\\w + b2(Pu)1'y0.
Постоянные Ь1 > 0, Ь2 > 0 не зависят от функции и и Т. Лемма доказана.
Теорема 1. Оператор Р1 : В1рк — В^ корректен, если и только если корректен оператор Р1: В\« — ВЦ ■
Доказательство. Предположим, что оператор Р1: Вр — В^ корректен, а оператор
Р1: Вц, — ВЦ не является таковым. Тогда можно указать такую последовательность функций
1«
1р,
uv е B^s, что
lim \ \ Piuv \ \ = 0, lim \ \ uv\ \bXs =1.
Так как фт u удовлетворяет уравнению
Pi (Фтu) = ФтPiu + Q(u, Фт)
и фтu е В^рк, то из (6) имеем
\ \ Фт uv \ \ Buk < ki \ \ Фт Pu \ \ Bl7 + k2 \ \ Q(uv ,Фт ) \ \ B17
(6)
lpk
ip
ip \ iY
\ \Q(uv,Фт) \ \ B1Y < aiT_i \ \ uv \ \ im + a2T_i (uv) £.
lp
p
Постоянные a:> 0, a2 > 0 не зависят от u,T и Из (7) следует
lim \\Q(uv ,фт )||l7 = т —ж Bip
С помощью (4) и (5) оценим разность \\фтP:uv\\ tY -\\Pluv\\ tY :
B1p B1p
\\фт PlUv \ I tY -\\PlUv \\
'b\y lp
b\y 1p
< \\фтPiUv - PlUv\\ 10 +
+E
k= l
у (-l)j+1 Ck-\A(y - х)(фтPlUv - PlUv) X j=l X (x + (j - 1)(y - x))
l /p
\y - x\n+pY
-dxdy
<
(9)
< \\фт PlUv - PlUv \\ l 0 + b3T\\Pl Uv \\ l 0 + b4 (PlUv ) l Y. Константы b3 > 0, b4 > 0 не зависят от u и T. Так как lim \\фтPlUv\\l0 = \\P:l uv\\l0, то из
v—ж
(9) следует
lim \\фтPiuv\\ ^^ = \ \ PlUv \ \
T —ж
b]1 1p
1p
Аналогичным образом доказывается, что
(10)
lim \ \ фт Uv \ \ B 1s = \ \ Uv \ \ B1 в . T —Уж i p i p
(11)
С учетом (8) - (11) имеем
1 = \ \ Uv \ \ B1s = lim \ \ Фт Uv \ \ B1s < h Jim \ \ фт PlUv \\в17 + lp T —Уж
'Blp~ 'T—ж
p
+ kl Jim \ \ Q(uv ,фт ) \ \ B1Y < kl \ \ Pluv \ \ B1Y , т-е-
" T—ж
p
p
1 < k ib2 \ \ PlUv\ \ biy .
p
Последнее неравенство противоречиво, а значит, оператор Р1: В\р ^ В^ корректен. Предположим, что оператор Р1 : В^ ^ корректен:
\ \ u\ \ < kl \ \PiU\ \ ,
lp B1 p
(12)
постоянная к 1 > 0 не зависит от функции и € ВВ силу неравенства (12), применяя оператор Р1 к функции фти, получим
\ \ Фт U \ \ B1s < kl \ \ Фт PlU \ \ B1 y + kl \ \ Q(u,Фт ) \\B 1Y B1p B lp B lp
(13)
Возьмем элемент u € Blpk и оценим его норму:
\ \ Фт U \ \ Bts < al \ \ Фт U \ \ B1s , lpk lp
ai не зависит от u и T. Неравенства (13), (14) приводят к оценке
(14)
\ \ Фт U \ \ BUk < alkl \ \ Фт PlU \ \ BlY + al kl \ \Q(u^т ) \ \ BlY .
1pk
(15)
lp
lp
p
С учетом, что Jim \\фт u\\Bts = \\uv \\Bts , согласно (15) получим в пределе при T ^ ж
T—>оо
1 pk
1 pk
\\u\\Bts = aiki\\Piu\\B .
1pk B1p
Оператор Pi: ßfpk ^ ߣ корректен. Теорема доказана.
Теорема 2. Оператор Р2 : В2рк ^ Вкорректен тогда и только тогда, когда корректен ратор Р2 : ^ ■
Доказательство. аналогично теореме 1. Вместо леммы 1 применяется неравенство
( \ 1 /Р
sup
x,y&™
\\фТ (x,i)u(x) - фт u(y,Ou(y)\f
\K(x)xK(y)
< a2 sup
x,y&Rn
\К (x)xK (у)
\y - x\n+PY \\u(x) - u(y)\\p
\x - y\n+PY
dxdy
J
<
i/p
dxdy | +
+ a3T i sup
|x-£|<4T
/
\K(x)
\
/
\ \ u(x) \ \ pdx
/
Постоянные a2 > 0, a3 > 0 не зависят от u,T и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Миссера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.
2 . Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978, 204 с.
3. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988, 336 с.
4. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы М. Тейлор. М.: Мир, 1985, 472 с.
5. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с.
Поступила в редакцию 7 декабря 2015 г.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru
UDC 517.983
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-116-121
ABOUT INVERTIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SOME SPACES OF THE SOBOLEV-BESOV FUNCTIONS
© V. M. Tyurin
The simultaneous invertibility (well-posedness) of linear differential operators with partial
derivatives in the Besov type functional spaces is studied.
Key words: Sobolev-Besov spaces; well-posedness; functional spaces.
REFERENCES
1. Missera H., SHeffer H. Linejnye differencial'nye uravneniya i funkcional'nye prostranstva. M.: Mir, 1970. 456 s.
2. Levitan B.M., ZHikov V.V. Pochti periodicheskie funkcii i differencial'nye uravneniya. M.: Izd-vo MGU, 1978, 204 s.
3. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funkcional'nogo analiza v matematicheskoj fizike. 3-e izd., dop. i pererab. M.: Nauka, 1988, 336 s.
4. Tejlor M. Psevdodifferencial'nye operatory M. Tejlor. M.: Mir, 1985, 472 s.
5. Tribel' H. Teoriya interpolyacii, funkcional'nye prostranstva, differencial'nye operatory. M.: Mir, 1980, 664 s.
Received 7 December 2015.
Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru
УДК 519.85:612.821-056.2
Б01: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-121-130
МЕТОДОЛОГИЯ ОЦЕНИВАНИЯ КАЧЕСТВА ЖИЗНИ, СВЯЗАННОГО СО ЗДОРОВЬЕМ
© И. А. Финогенко, М. П. Дьякович, А. А. Блохин
Статья посвящена применению методов когнитивного анализа и анализа иерархий для исследования такого сложного объекта, как связанное со здоровьем качество жизни населения. Взаимосвязанные концепты когнитивной карты используются для построения иерархической модели качества жизни и формирования матриц парных сравнений - основы всех вычислительных процедур метода анализа иерархий для преобразования качественной информации об исследуемом объекте в количественную - весовые коэффициенты всех его характеристик. Метод анализа иерархий и когнитивный анализ имеют самостоятельное значение, но, как показано, в сочетании они хорошо дополняют друг друга и становятся новым инструментом исследования сложных и плохо формализуемых объекта с большим набором взаимодействующих разнородных субъективных и объективных факторов. Основным результатом работы является описание методики исследования связанного со здоровьем качества жизни с комбинированным использованием когнитивных карт и основных процедур метода анализа иерархий. Ключевые слова: связанное со здоровьем качество жизни; численное ранжирование; когнитивная карта; метод анализа иерархий.
