О некоторых линейных дифференциальных операторах в пространствах типа Бесова-Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016. Т. 21, вып. 2. Математика

УДК 517.983

Б01: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-435-438

О НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА БЕСОВА-СОБОЛЕВА

© В. М. Тюрин

Изучается задача обратимости линейных дифференциальных операторов с частными производными типа Бесова.

Ключевые слова: корректный оператор; функциональные пространства.

В заметке приняты следующие обозначения. X — банахово пространство с нормой || • ||; Ьр = Lp(Rn,X) — лебеговы пространства сильно измеримых (по Бохнеру) функций п : Кп ^ ^ X с обычной нормой Мо (р> 1); В?р — пространство функций п € Lp, норма которых определяется равенством

МР = ||п||о + (п)р, (п)р = I I

Цп(х) - п(у)ЦР

X - уП+Р!

1/Р

йхйу I < то, 0 <ч < 1.

Пространство Соболева Нт = Нт(Жп,Х) состоит из функций п € РР, которые имеют обобщенные производные Рап € Lp и норму

Ыт = ЦВапЦо, ОаП

д\а\

п

\а\<т

дхО1 ...дх.

ап

п

т € Z+,

|а| = а1 + ... + ап, а = (а1,...,ап) — мультииндекс ([1], с. 60; [2], с. 31), пространство Вт7 функций п € Нт, норма которых находится по формуле

мт = мт+{п)1т1, (п)1т1 =

\а\<т

К"

ЦОап(х) - Вап(у)ЦР X - у\п+р^

1/р

йхйу

Вй, — пространство Бесова-Соболева ([2], с. 301; [3], с. 293; [4], с. 401) с нормой

/

+ЕЕ

к=1 \а\<т

ит = Ыт +

£ (-1У+1С1-1А(у - х)Ра^х + (3 - 1)(у - х))

3 = 1

1/Р

К"х К"

V

^ - х\п+РЧ

=мт+(п)рт1 < то:

-йхйу

Вт7 = Вт-у. Отметим также, что разность А(г)п(х) = п(х + г) - п(х).

Рассмотрим функциональные пространства С и Р € Lp функций п : Кп ^ X с нормами Мс МР. Предположим, что задан линейный ограниченный оператор Р: С ^ Р в частных производных Рап € РР. Производные Рап понимаются в обобщенном смысле.

Р

Оператор P: G — F назовем корректным, если найдется такая положительная постоянная k = k(P, G,F), что выполняется неравенство

Mg < k\\Pu\\F (1)

для всех u € G ([5], с. 165).

Построим гладкую финитную функцию ф\(х,(,Т):Мга — [0,1] с носителем в шаре B(£, 2T), причем ^i(x,{,T) = 1, если \Da^1\< b0T-1 (0 <b0 не зависит от параметра £ € Мга, Т > 2n, а = 0, то есть ф € C,f(Mra, R) )и х € B (£,Т). Положим фт (х) = фч(х, 0,T)^i(0,T) = ф?(х, 0,Т). Лемма [6]. При T > 2n справедливо неравенство

\\фтu\\pmi < aT-Y\\u\\m + a(u)pmj, u € B^, (2)

постоянная a> 0 не зависит от u и T.

Теорема. Оператор P : BmY — Bp корректен тогда и только тогда, когда корректен оператор P : BPy — Bp.

Доказательство. Пусть корректен оператор P: bPy — Bp. Предположим, что оператор P: Bfnp — Bvp не является корректным. В этом случае можно найти последовательность uj € B% такую, что

lim \\Puj\\p = 0, lim \\uj\\pmj = 1. (3)

Так как ф(х, T)u(x) удовлетворяет уравнению

P (фт u) = Фт Pu + Q(u,^T), (4)

фтu € bPy, то из (4) следует

\\Фт um < к1\\Фт Pu\\p+кшщфт )\\Y .

Выражение Q(u,^j,) есть некоторый линейный дифференциальный оператор в частных производных порядка не более n — 1 по переменной u, коэффициенты которого финитны и подчиняются следующей оценке:

Шщфт )\\PY < aiT-1\\u\\m + a2T-1{u)Pmp, (5)

постоянные a1 > 0, > 0 не зависят от u и T. Отметим, что из (5) следует

lim \Мщфт)\\Р = 0. (6)

Далее воспользуемся следующими соотношениями

lim \\(фтPu)\\o = \\Pu\\o, lim \\фPu)\\p < b1 \\Pu\\p, lim \\фu)\\Pmp = \\u\\Pmp. (7)

Учитывая (6) и (7) будем иметь (b1 > 0 не зависит от u и T)

1 = \\u\\pmp = lim \\(фтu)\\pmp < lim \\(фтu)\\pmi < k1 lim \\(фтPu)\\p+

1 1 ^X 1 ^X

+k1 Tim \ \ Q(u, фт) \ \ p < bk \ \Pu\ \p, т.е. 1 < k1 b1 \ \ Pu \ \ pf.

Последнее неравенство противоречит (3). Следовательно, оператор Р : В^р ^ В^ корректен (1).

2016. Т. 21, вып. 2. Математика

В другую сторону. Допустим, что оператор Р : Вт7 ^ Вр корректен. В выражение

(

а(Фтп)=Е Е

к=1 \а\<т

^-Ц'+^АЬ - х)Оа( + -

к 3=1

\

1/Р

-йхйу

V

у - х^+ю

сделаем замену переменных по формулам х = (1 - з)гз + зщ', у = (2 - з)гз + (3 - 1)щ',

е замены

А(фТп) <

0 = ) < аз, а3 не зависит от 3. После замены получим

(

Е

к=1 \а\<т

Е(-1)3+1ск:-1 {оаФТ г )пг)) -

3 = 1

-Ра (фт (щз)п(щз))

\

1/р

К"

г - Щ ^

-йг^ йЩ'

V

<

< а^Е I 2к ]

к=1 \а\<т \ КпхКп

I (Рафт (гз)п(гз^ - Ра{ФТ(щз)п(щз)) | г - Щ3 ^

< аз121+1(фтп)рт1.

1/р

-йг^ йщ'

<

Согласно лемме (2)

А(фтп) < а3г2*+1(ф21Т(ф2тп))РтУ < 2+1ааз1(ф21Тп)рП1+ +2*+1аа3ЬТ: Цф2^ пЦт = а4(ф2Т п)рП1 + а4Т: Цф\т пЦт, аА = 2*+1 аа3г. )

Так как оператор Р : Вт7 ^ В?р корректен, то

Иф2тпЦт < (к1 + Ь2к1Т)ЦРпЦо + Ьзк1Т-1ЦпЦт +

+ ЬАк1{Рь)Р1 + ЬкТ- (п)Рт7 и

(ф2Тп)т < а(п)т + аТ-7||п||т, Ь3 - Ь5 некоторые положительные постоянные не зависящие от п и Т. Следовательно, из (8) получаем

А(фТп)< а4Т:(к1 + Ь2к1Т-27)ЦРпЦо + Ь4к1(Рп)р + + Ьзк1Т-1Ыт + ЬкТ- (п)Рт7 + аАТ- ЦпЦт + а4 (п)Р

ту •

Отсюда Поскольку

Иш А(фТп) = а4(п)рП1 + Ь4к1(Рп)р.

Т—>оо

1т ||(Фт ■иЖту = 1т ||(Фт и) \ \т + Пш А(Фт п) = Щт ± а4(п)Рту +

+ Ь4к1 < (Рп)р < (а4 + ^^ЦРпЩ, то ЦпС, < (а4 + Ь^к^РпЦ^, т.е. оператор Р: В^ ^ Вр корректен.

Теорема доказана.

р

р

р

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988. 336 с.

2. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы М. Тейлор. М.: Мир, 1985. 472 с.

3. Бесов О.В., Ильин В.П. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1975. 480 с.

4. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

5 . Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 204 с.

6 . Кузнецова Т.Б., Тюрин В.М. Материалы всероссийской научной конференции. Липецк, 2007. Т. 1. 230 с.

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный педагогический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, e-mail: tvmla@yandex.ru

UDC 517.983

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-435-438

ABOUT SOME LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN THE SPACES OF

BESOV-SOBOLEV TYPE

© V. M. Tyurin

The problem of invertibility of linear differential operators with partial derivatives of Besov type is studied.

Key words: well-posed operator, functional spaces.

REFERENCES

1. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funkcional'nogo analiza v matematicheskoy fizike. 3-e izd., dop. i pererab. M.: Nauka, 1988. 336 s.

2. Teylor M. Psevdodifferencial'nye operatory M. Teylor. M.: Mir, 1985. 472 s.

3. Besov O.V., Il'in V.P. Integral'nye predstavleniya funkciy i teoremy vlozheniya. M., 1975. 480 s.

4. Tribel' H. Teoriya interpolyacii, funkcional'nye prostranstva, differencial'nye operatory. M.: Mir, 1980. 664 s.

5. Levitan B.M., ZHikov V.V. Pochti periodicheskie funkcii i differencial'nye uravneniya. M.: Izd-vo MGU, 1978. 204 s.

6. Kuznecova T.B., Tyurin V.M. Materialy vserossiyskoy nauchnoy konferencii. Lipeck, 2007. T. 1. 230 s.

Received 21 March 2016.

Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Pedagogical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematics Department, e-mail: tvmla@yandex.ru