CC BY
24
Об одной модели контактного трения в процессах течения тонкого
пластического слоя
д.ф.-м.н. проф. Кийко И.А.
МГУ им. М.В. Ломоносова 8(495)9395539, elast5539@mail.ru Аннотация. Предложен вариант теории течения тонкого слоя пластического материала, в котором используется новая модель трения на контактных поверхностях, основанная на гипотезе о тесной физической связи анизотропии пластического материала и фактуры контактной поверхности.
Ключевые слова: совместность системы уравнений течения, уравнение Ла-гранжа, интегрирующий множитель, уравнение растекания
Процессы течения тонкого пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями с анизотропным контактным трением, рассматривались в работах [1, 2]. В них высказано предположение, что напряжение контактного трения определяется матрицей анизотропии; в развитой теории эта матрица принята диагональной. Показано, что при малой анизотропии эволюция контура области, занятой слоем, описывается уравнением того же типа, что и в изотропном случае [3, 4], в работе [4] исследована задача о неустойчивости растекания полосы. В предлагаемой работе развивается феноменологический подход: мы полагаем, что величина контактного напряжения трения в процессах растекания тонкого пластического слоя есть функция угла наклона касательной к линии тока и параметров процесса: температуры, механических свойств материала слоя и др. Материал слоя считается пластически изотропным.
1. Уравнения равновесия
Слой пластического материала занимает в плоскости xy в начальный момент времени область S0, ограниченную контуром Г0: y0 = j0 (x0) . Слой сжимается сближающимися плоскостями, так что в моменты t > 0 имеем область S с контуром y0 = j(x0,t) . Считаем область S (так же как и S0) симметричной относительно оси x, поэтому линия разветвления течения - конечный или бесконечный отрезок этой оси.
Обозначим tS - предел текучести материала слоя на сдвиг; вообще говоря, tS может быть функцией температуры, степени деформации и других параметров процесса течения. Мы будем считать tS = const , чтобы не затенять основное свойство процесса течения - анизотропию трения. Поэтому принимаем гипотезу:
-tmp =tsf (в,m)n°, n ={cosq,sinq}, (1.1)
где: в - угол между вектором скорости частиц слоя и осью x, m - показатель анизотропии.
Функцию f (в, m) примем с условиями: она симметрична относительно осей координат; монотонно убывает от единицы до m при изменении в от 0 до . Трение ортотроп-
но, оси ортотропии совпадают с осями координат.
Обозначим £ - характерный размер области Sri, hn - начальное значение толщины
слоя и введем функцию давления = (/> —/1о"5)/2/(2г5С) (где crs Я~1), состояние в
слое при этом и условие на границе будут подчиняться системе уравнений:
f cos в; = f sine; С\Г= 0, (1.2)
дх ду
здесь введены безразмерные координаты, отнесенные к i . Условие совместности системы (1.2) имеет вид:
(f а г ■ п\дв (df ■ а г п\дв п
—cos в- f sin в i— — sinq+ fcosq I— = 0.
[дв )ду [дв Jdx
í лг \ í
(1.3)
дf ö ( дf и обозначает, что функции в( x, y) и g = — cose- f sine I x + — slnq + fco sd I y линейно
кдд 0 [дв
зависимы. Поэтому имеем общее решение уравнения (1.3):
— cose- f sin в0 x + \ — sinq+ fco sß I y = y (в),
дв J [дв 1 1V '
(1.4)
в котором у ($) - произвольная функция.
Запишем уравнение линии тока в виде у = у (х); тогда у' = ° X ■ После этой замены уравнение (1.4) примет вид:
/у-Л(1+у'2)
y =
f x(i+y'2) y'+f
x
+ y( y'),
для функции анизотропии / оставлено прежнее обозначение. Уравнение (1.5) - это уравнение Лагранжа:
у = ф(у')х + у(у').
(1.5)
(1.6)
2. Общее решение уравнения (1.6)
Во всех известных руководствах по обыкновенным дифференциальным уравнениям общее решение уравнения Лагранжа записывается в параметрическом виде; вводится параметр Р(х) = у', уравнение (1.6) дифференцируется по х, в результате имеем:
Р)- Р) йх + (р'( Р) х + у( Р)) йР = 0.
Отсюда получаем:
это линейное уравнение имеет решение:
Í |/ п\ / п\ Jr>\
x =
1
m( P)
с-í
dLx = У(р)
dP --P --P 1 шение:
y ( p )m ( p ) dp
(2.1) (2.2)
--P
in m=í
— ( P ) dP
--p
(2.3)
(2.4)
из (1.6) имеем:
у = ф( Р ) х + у( Р ) .
Таким образом, получено общее решение уравнения Лагранжа (1.6). Приведем данную форму общего решения уравнения (1.6), которая в некоторых случаях может оказаться более простой с вычислительной точки зрения.
Легко видеть, что уравнение (2.1) имеет интегрирующий множитель йР ^
/л(P) = expJ í-— и общее решение:
т( р р ) х+|т( р )у( р ) йр=с.
Общее решение записывается в параметрическом виде:
х = т( Р Р) (С-\т(Р )у(Р)йР), у = Н Р) хМ Р).
Легко доказывается, что (2.5) тождественно с (2.3).
(2.5)
(2.6)
3. Направления дальнейших исследований
1) Экспериментальное или теоретическое определение функции анизотропии f (в, /) и зависимости предела текучести материала т8 от параметров процесса, прежде всего от температуры.
2) Выбор функции у(P); кроме соображений математической простоты и физической достоверности получаемых результатов, ничего другого, к сожалению, мы посоветовать не сможем.
Приведем (из соображений простоты результата) пример выбора функции у (P).
Положим P)у'(P)dP = а0/(P)(р-P), отсюда дифференцированием находим у( Р) = а0р( Р), и из (2.6) определяем:
c
л(р)(Р(р)-p)= с
Из этого уравнения определяется (точно или аппроксимационно) P в функции от x. после чего из второго уравнения (2.6) находится линия тока у = у (х).
После этого по известной методике [4] определяется уравнение растекания.
Пример. Положим f (6) = i cos2 6 + sin ^^ J и из Уравнения (1.5) получим:
J = b ХУ '+У (У') •
Примем y = ay', подставим в предыдущее уравнение и проинтегрируем его вместе с граничными условиями x = x0, y = j(x0, t), (y 'j')^ = _1. В результате получим:
У = fi (X xo, t ) = j( xo)
f _
1 + x0 x 2 l v m jj 0
где р означает производную от р по х0.
Соответственно этому находим уравнение растекания:
Ор 2// 2 /Л 2 ,,
от 1 + / 1 + /
оно дополняется условиями Коши: t = 0, j = j0 (x0) . Здесь t - степень деформации: t = ln (h0jh (t)).
Литература
1. Кийко И.А. Технология обработки давлением и новые постановки задач в теории пластичности // Труды 9-й конференции по прочности и пластичности, М., 1996, т. 3, с. 149149.
2. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // ПММ, 2006, т. 70, вып. 2, с. 344-351.
3. Кийко И.А. О растекании тонкого пластического слоя в условиях анизотропии // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Россия, Тула, 19-23 сентября 2011г.
4. Кийко И.А. О форме анизотропного пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями с анизотропным трением // Вестник Московского университета, 2014.
