О форме анизотропного пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями с анизотропным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3

О ФОРМЕ АНИЗОТРОПНОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ, СЖИМАЕМОГО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ С АНИЗОТРОПНЫМ ТРЕНИЕМ

И. А. Кийко1

Получено нелинейное эволюционное уравнение, которое определяет форму тонкого пластического слоя, сжимаемого жесткими параллельными плоскостями. Материал слоя и контактное трение обладают свойствами анизотропии. Получены решения подобия и классы автомодельных решений. Представлена асимптотика больших времен, рассмотрена задача о неустойчивости растекания полосы.

Ключевые слова: течение в тонком слое, нелинейное эволюционное уравнение, решение подобия, асимптотика.

A nonlinear evolution equation, which determines the form of a thin plastic layer compressed by rigid parallel planes, is derived. The material of the layer and the contact friction are anisotropic. The similarity solutions and the classes of self-similar solutions are obtained. The large-time asymptotics is discussed. The instability problem is considered for the process of spreading a strip.

Key words: flow in a thin layer, nonlinear evolution equation, similarity solution, asymptotics.

Исследуется процесс течения в тонком идеально пластическом слое, который сжимается сближающимися жесткими поверхностями. Основное внимание уделяется эволюции контура области, занятой слоем (задача о растекании). Предполагается, что материал слоя и контактное трение обладают свойствами анизотропии; насколько нам известно, при таких условиях задача о растекании рассматривается впервые. Во всех случаях, когда удается получить точное или приближенное решение, проблема сводится к задаче Коши для нелинейных эволюционных уравнений; приводятся автомодельные решения этих уравнений. Задача о растекании слоя постоянной (не зависящей от координат) толщины в условиях изотропии (и материала слоя, и контактного трения) поставлена в работах А.А. Ильюшина [1, 2]; в публикации [3] дана постановка для случая переменной толщины, но фактически приведенные так называемые решения подобия относятся к случаю постоянной толщины. В работе [4] получены классы новых автомодельных решений задач о растекании слоя постоянной толщины в условиях изотропии свойств материала и контактного трения; в статье [5] приведена постановка задачи о течении тонкого слоя в условиях анизотропии, но задача о растекании не изучалась. В настоящей работе формулируется задача о растекании тонкого слоя с учетом результатов публикаций [4, 5]: выводятся уравнения растекания, приводятся решения подобия и классы новых автомодельных решений.

1. Постановка задачи. Тонкий слой идеально пластического материала в начальный момент времени занимает в плоскости xy область So с кусочно-гладким контуром Го : yo = (жо). Слой сжимается жесткими поверхностями, движение которых задано, поэтому толщина слоя h(x, y, t) — известная функция координат и времени. Состояние в слое характеризуют три функции: давление p(x, y, t) со стороны слоя на поверхности и вектор скорости V = {u(x, y, t),v(x, y, t)^. При условиях |grad h\2 ^ 1, (h/i0)2 ^ 1 эти функции определяются из системы уравнений

2T (x,y) 0 1 dh , тг

grad р =---r^n0, - — +divF = 0, (1)

h h dt

здесь no = (cos в, sin в), в — угол наклона вектора скорости V к оси x, T(x,y) — касательное напряжение контактного трения, £о — характерный размер области So-

Обозначим через Г: yo = p(xo,t) контур области S, занятой слоем, в моменты t > 0; функция xo,t) определяется в процессе решения задачи, нулевым индексом отмечены точки, принадлежащие контуру. Внутри области существует линия разветвления течения y = j(x,xo,t) (проекция ребра эпюры

1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539Qmail.ru.

давления [1]), на которой V = 0 и которая также определяется в процессе решения задачи. Дальнейшее изложение постановки проведем при различных предположениях о свойствах материала и функции Т (х,у).

Изотропия материала и трения. В этом случае материал характеризуется пределом текучести на сдвиг т3 (или на растяжение а3 = у/Зт3), при этом Т = т3. Первое из уравнений (1) и граничные условия принимают вид

2 т

gradр = —п°; ж0, уо = <р(х0, ¿) € Г, р = Ха3, (2)

здесь Л — множитель порядка и больше единицы. Линии тока и уровня, как видно из (2), взаимно ортогональны, а поскольку контур — это линия уровня, отсюда следует, что линии тока ортогональны контуру.

Традиционно задача для определения давления выделялась; если обозначить ( = (р — Ла3)/(2г3), то из системы (2) получим

^гаё С12 = ; х0, уо е Г, С = 0, С = (р- \(т3)/{2т3).

В работе [6] показано, что решение этой задачи записывается в форме

X

[ = Г (1 +у/2)1/2

^ .! не, у) .! не, у) ' 1;

ш хо

Где ш — линия тока: у = ¡\(х,хо,Ь)-, ее явный вид находится из уравнения Эйлера-Лагранжа как экстремаль функционала (3):

При известном давлении р(х, у, Ь) скорость V определяется из второго уравнения (1) и соотношения и(др/ду) = у(др/дх).

Решение в форме (3), (4) построено при условии, что контур Г известен в произвольный момент времени Ь > 0. Эта задача исследована в работе [4] на основе уравнения растекания

хо

f dfi dh ! дю 1 . . . .

J d^mdx=mh{x^t)] (5)

X1

нижний предел интегрирования — точка пересечения линии тока и линии ветвления течения — в общем случае не определен, поскольку неизвестно общее решение уравнения (4). Отметим, что практически все известные решения задачи о растекании построены для случая h = h(t), когда линии тока — прямые, ортогональные контуру. Укажем на интересное исключение, когда h = ho(t)(1 + \x)~, линии тока при этом — окружности с центрами на линии 1 + Xx' = 0, тем не менее уравнение растекания оказывается тождественным случаю, когда h = h(t) [3].

Возможен другой подход к изучению кинематики течения (он намечен A.A. Ильюшиным [1], но не получил развития). Условие совместности системы (2) при h = h(t) записывается в форме уравнения

пдв д0 cos 0 ——b sinö — = 0,

дх ду

общее решение которого имеет вид

у cos в = х sin в + w(&), (6)

здесь w(e) — произвольная функция. Вдоль линии тока tg в = dy/dx, поэтому соотношение (6) принимает вид уравнения Клеро

У = Х fx +Wl (£) ' Wl (£) = W{0)/'COS

\JJ-JLj \ \JJ-JLJ J \ (JJ-АУ J

Его общее решение — однопараметрическое семейство прямых у = ax + wi(a)~, удовлетворив условиям на контуре

у{хо) = фоЛ (^^f] (7)

dx дx / х=х0

получим окончательно уравнение линии тока

у = ¡1(х, х0,г) = <р(хо,г) + х° х, (8)

здесь и далее принято обозначение ф = дф/дхо- Пусть область такова, что линия разветвления течения — конечный или бесконечный отрезок оси х (области специального вида); тогда из уравнения (8) находим Х1 = хо + фф и производиую д/\/дхо. Подставив их в соотношение (5), получим уравнение растекания в дифференциальной форме:

где т = ln(ho/h) — степень деформации, Но — начальная толщина слоя. Для уравнения (9) ставится задача Коши: т = 0 ф = ф0(ж0).

Анизотропный материал. Будем полагать, что свойства материала описываются (в главных осях анизотропии) квадратичной формой \lincea Хн.ма

F(oy - az)2 + G(az - axf + H(ax - Oy)2 + 2LT¡z + 2MT2zx + 2NT2xy = 1. (10)

Коэффициенты формы связаны известными соотношениями с пределами текучести на растяжение и сдвиг вдоль главных направлений. Следуя работе [5], примем, что касательное напряжение контактного трения T(ж, y) равно пределу текучести материала слоя на сдвиг в направлении и0; если оси координат совпадают с главными направлениями анизотропии, то из соотношения (10) следует

2 /sin2 в cos 2 _1

4 = (-ЙГ + -8ГУ ' ( '

здесь Si = (2M)-1/2, Ri = (2L)-1/2 — пределы текучести на сдвиг в направлениях ж и y соответственно. Обозначим Si = ts и S^/R^ = в2, тогда из уравнения (11) получим

тя

Tse

(cos2 в + в2 sin2 в)1/2' Уравнения равновесия и граничное условие примут вид [5]

1 п0

grad С = ~h(x,y,t) (cos 20 + l32 sin2 ву/2'1 (12)

Xo,yo e Г, С = 0, С = (P - ^s)/(2Ts), as = (F + G)-1/2. (13)

Из уравнений (12), (13) следует

аС V. „и »О2 i

É) +íi{ty) =í?; < = °- (14)

Введем новую переменную п = y/в > ^^^^а явным уравнением контура Г1 в новых переменных будет П0 = У0/в = ^(x0 ,t)/e и вместо (14) получим

|gradC|2 = щ^ЖГу Жо'г?оеГ1' с = 0-

Как видно, давление С(х,У/в,Хо ,t) определяется (при известном контуре) точно так же, как и в случае изотропного материала. Необходимое для завершения постановки задачи уравнение, определяющее контур при t > 0, мы найдем из условия совместности системы (12) при h = h(t). Вычисления приводят к уравнению

дв п2 дв Л — cos в + /З2 — sin в = 0, дх ду

которое имеет общее решение

y cos в — в2х sin в = w(9), где w(e) — произвольная функция. Аналогично предыдущему получим отсюда

y = в2ху' + Wi(y'), y' = dy/dx. (15)

Это — уравнение Лагранжа, его общее решение в параметрическом виде записывается в квадратурах.

w1

xw1

w1

можность довести постановку задачи до эволюционного уравнения без дополнительных предположений. Полученное таким способом решение должно отвечать, по крайней мере, двум условиям — соответствовать нашим представлениям о характере течения и содержать в себе изотропный случай как частный.

Положим w1(y') = а1 y', уравнение (15) при этом интегрируется: y = C(в х + ai)1/e2 ; определив параметры C и ai из граничных условий (7), окончательно получим уравнение линий тока (для дальнейшего удобно обозначить 1/в2 = у)

(Xq — х \ ^

1 +-г . (16)

уфф' J

Для областей специального вида Xi = Xq + уфф'; определив dfi/Oxq из уравнения (16) и подставив в интегральное уравнение растекания (5), будем иметь

^ = 9 + + (17)

дт 1 + у 1 + у

Для этого уравнения ставится задача Коши: т = 0 ф = ^q(xq). Сразу же отметим, что при у = 1 получаем изотропный случай.

Анизотропия контактного трения. Уравнения равновесия для этого случая примем в соответствии с результатами работы [7]:

д(_ = cos в д(_ = у sin в дх h(x,y,t)' ду h(x,y,t)'

здесь Z = (p — as)/(aQTs), aQ — степень шероховатости поверхностей, у — показатель анизотропии. Из соотношений (18) следует

эсУ | i (д<У _ 1

дх J у2 \дуJ h2(x,y,t)'

0.

Как видно, задача об определении давления (при известном контуре) тождественна рассмотренной в предыдущем пункте; поле скоростей, однако, в данном случае существенно отличается, поскольку линии тока и уровня не ортогональны. Поэтому, прежде чем перейти к задаче об определении контура в моменты времени t > 0, приведем некоторые геометрические соотношения.

Рассмотрим точку xq, yQ = ф(Xq,t) контура; построим в ней векторы nQ = (cos в0, sin в0) и —grad Z = (cos в0,у sin в0), угол между ними обозначим через ^q. Касательная к контуру в той же точке образует с осью х угол 7q, так что tg jQ = ф. Имеем

_ grad ( • та0 _ eos2 90 + у sin2 90 COS^O-- |gradC| - (cog2 0О+/Х2 sin20o) 1/2' ^

(1 -cos 2фр)1'2 = |1 — /х| tg 6>о cos^o (1 + ytg290)1

tg^o = --= ,л , ...2/3 Л' (20)

с другой стороны, из очевидных геометрических соотношений следует, что ±фо = п/2 — (70 — во) в зависимости от того, в каком направлении отсчитывается угол ^ от вектора и0. В результате получим

= да)

<Р — /1

здесь /1 = (д/1/дх)х=Хо. Из сравнения выражений (20) и (21) следует, что в точках контура выполняется соотношение ур'/1 = — 1.

г

Второе следствие из формулы (19), важное для вывода уравнения растекания, получим для случая, когда /л = 1 + ó, ó2 ^ 1. Подставим это выражение в (19) и разложим в ряд по параметру 5, тогда будем иметь

Г 1 _ 1/2 ó2

cos фо = (1 + S sin2 во) 1 + {25 + ó2) sin2 во = 1 - — sin2 2в0 + 0(53). (22)

L J 8

Поскольку sin2 2во ^ 1, отсюда следует, что с большой точностью в точках контура можно принять cos ф = 1 (даже при 5 = 0,5 отличие cos ф от единицы будет порядка 0,03).

Дальше рассматриваем случай h = h(t); условие совместности системы (18) приводит к уравнению

л дв дв

a cos в ——b sin в — = 0

дх ду

Его общее решение имеет вид

у cos в = —хв'тв + ги(в). /

Аналогично предыдущему отсюда находим

V = fi = c(^+a2y = С0{х + азГ. (23)

Из условий на контуре х = хо, fi(xo) = V /v'fl = — 1 определим Со и аз. Окончательно из уравнения (23) получаем

fl(x,xo,t) = V(l + ^jY. (24)

Линии тока не ортогональны контуру, поэтому уравнение растекания в интегральной форме будет отличаться от (5) сомножителем cos фо в правой части. Если, однако, учесть оценку (22), то с хорошей точностью уравнение (5) можно оставить без изменения. Для областей специального вида определим xi = хо+/2w') а из выражения (24) найдем производную дfl/дxo^, подставив все в (5), получим уравнение растекания в дифференциальной форме:

= + :i®)

дт 1 + / 1 + /

оно дополняется условиями Коши: т = 0 V = ^о(хо)•

2. Исследование уравнений растекания. Как видно, все три уравнения (9), (17) и (25) могут быть записаны единообразно:

^ = ¡р + 2 aipip'2 + aip2ip", (26)

построим вначале аналоги решений подобия [3].

Решения подобия. Будем искать решение в форме эллипса

V2 = А(т) - B(т)х2. (27)

На этом примере прослеживаются особенности влияния анизотропии на процесс растекания; другие решения вполне аналогичны тем, что приведены в [3]. Подстановка v из (27) в уравнение (26) обратит последнее в тождество, если А(т) и B(т) удовлетворяют системе

dA dB

= 2А(1-аВ), = 2В(1-2аВ). (28)

dт dт

22 А{Т) = (1 + 2аСе2т)1/2' В{Т) = 1 + 2аСе2т' Полуоси эллипса а(т^ Ь(т) вычисляются по формулам

а

постоянные интегрирования С и Со находятся из начальных значений полуосей ао = а(0), Ьо = Ь(0):

п _ 1 п _ а0 Ь0 ^ — 7-ТГТо-1 ^о —

(ас/Ь0 )2 — 2а' и [(а0/Ь0)2 — 2а]1/2'

Параметры С и Со положительны, поэтому (ао/Ьо) > \/2а; с другой стороны, из выражений (28), (29) следует

£ = я-1/2 = + 1/2 ^ ^ +

I = В~1/2 = (1+^е2у/2 ^ ^ + г»1, 2а > 1,

так что предельным контуром будет эллипс с отношением полуосей, как угодно мало отличающимся от л/2а. Отметим еще соотношение

аЬ = ет = аоЬоет,

которое выражает условие сохранения массы паЬИ, = па0Ь0Н0.

Система (28) имеет также решение (которое можно назвать вырожденным)

В = А = С\ет; а2 = 2аС\ет] Ь2 = С\ет; а20 = 2аС\-, Ь20 = С\,

2а

С1

координат. Окончательно получаем решение

х2

— + (р2 = ет, 2а >1. 2а

В изотропном случае 2а = 1, и мы имеем элементарное решение о растекании круговой области.

Для случая области, ограниченной гиперболой ц2 = В(т)х2 — А(т), аналогично предыдущему будем иметь

А(т) = С2в2т (1 — 2аС1 е2т )"1/2, В (т) = С1в2т (1 — 2аС1в2т )". С1 С2 а20 = А(0)/В(0) Ь0 = А(0)

С1 = (¿1 + 2а)"1, С2 = а0 ^(¿1 + 2а)"1/2, ¿1 = а0/Ь§.

Решение существует до момента времени п = (1 + ¿1/2а)/2; к этому моменту асимптоты гиперболы

у

Если область — парабола ц = (Ах + В)1/2, то получим решение

А(т) = А0е2т, В(т) = В0

1 + ^ (е2т " 1)

е2т,

здесь А0, В0 — начальные значения параметров. Вершина параболы х1(т) = —В(т)/А(т) движется в левую полуплоскость от своего начального положения х1(0) = —В0/А0 по закону

х1(т) = —В0

1 + ^ (е2т " 1)

/А0.

х0 х

лаем замены ц(х,т) = ф1(х,т)exp(r), 2т = \п(2Ь/су, + 1); для функции ф(х,Ь) = ф1 (х,т(Ь)) получим

^ = 2 фф'2+ф2ф" = {ф2ф')'. (30)

Это уравнение с квадратичным коэффициентом теплопроводности как частный случай уравнения со степенной теплопроводностью изучалось, сводка результатов содержится в справочнике [7]. Приведем автомодельные решения в классе функций [4]

Ф = / (0ц>2(Ь), С = хщ(Ь).

(31)

После подстановки (31) в уравнение (30) придем к системе

f 2f" + 2ff + C2U1 + Cif = 0; (32)

Ф2 = —Ci Ф1 = -C2 Ф2 (33)

(точками обозначены производные по t). Уравнению (32) уделено внимание в [4], поэтому здесь его касаться не будем. Система (33) имеет по крайней мере два различных решения. Поделив почленно первое из уравнений (33) на второе, будем иметь ф2/р2 = Yfi/fh Y = Ci/C2, откуда следует f2 = Лр\. Из второго уравнения (33) найдем

* = -А2С2.

2y+3 fl

Решения этого уравнения при различных 7 легко выписываются. Другое решение получим, введя обозначения и1 = р-2, и2 = р-2; из (32) последует

йгп2 = 2С2, и2и1 = 2С\, ии = 2(С + С2)Ь + Со = uo(í).

Далее получаем

2С2у,\ _ 71 _ 1 1—71 С2

й\ =-, щ = С3Щ1, и2 = и0 71, 7i

ио ' 0 ' ' Сз 0 ' 1 С + С2

Отметим, что решение зависит от показателя анизотропии а через приведенное время Ь = а[ехр(2т) — 1]/2; параметры С1, С2, определяемые начально-краевой задачей, могут, вообще говоря, также зави-а

Уравнение растекания в форме (26). Автомодельные решения уравнения (26) построим с помощью подстановок (31) с заменой ¿на т; для функции / (С) получим уравнение (32), для функций Р1(т), Р2 (т) — систему (точки обозначают производные по т)

р1 = —аС2 р?р2, Р2 — Р2 = —аСрр3,. (34)

С1 С2

Второе решение системы (34) получим аналогично тому, как это сделано в предыдущем пункте. Положим р-2 = щ, р-2 = и2; из системы (34) находим

и1 и2 = 2аС2, и'2и1 + 2и1и2 = 2аС1. (35)

Примем и1 и2 = V, тогда будем иметь V1 + 2у = 2а(С + С2). Общее решение этого уравнения имеет вид

V = и1и2 = Со е-2т + а(С1 + С2).

и1 и2

лИ^,2г|71 Ср |1 + Ье2т\1~11

щ = А\1 + Ье | , и2 = —}-^-.

А е

Здесь Ь = а(С1 + С2)/Со, 71 = С2/С1 + С2).

Уравнение (26) может быть исследовано на основе новой замены переменных, предложенной в [4]:

Р = / ШР2(т), С = еХр1(т).

Для / (С) получаем уравнение

\ и2 Г + \ £2/2/" + £2//'2 = \ Ш2/')' + Сг/ + С2и' = О, (36)

р1 р2

——о—— = — аС2, '9 = —скС*!,

р2 Р1 р2

общее решение которой выписывается без труда. Отметим весьма интересную особенность полученных результатов. Уравнения (32) и (36) для определения функции f (£) не зависят от параметра анизотропии а, и, следовательно, не зависят от а их общие решения; не зависит от а и первое из решений системы (34). Отсюда следует вывод: автомодельные решения уравнения (26) в классе функций (31) могут зависеть от параметра анизотропии а только через функции и ф2 или, может быть, через краевые условия.

3. Асимптотика решения (26) при т ^ 1. Асимптотическое поведение решений уравнения растекания в изотропном случае (2а = 1) изучено в диссертации [8]; показан о, что если 50 — односвязная область с выпуклым контуром, то при т ^ 1 получим ф2 = Я2(т) — х0 + 0(т-1), т.е. область как угодно мало отличается от круговой. Можно ожидать, что в случае анизотропии предельная область будет эллиптической.

В уравнении (26) сделаем замены функции ф и независимой переменной хо:

фо,т)= и(£,т )ет/2, хо = £ет/2, (37)

при этом функция и(£, т) и переменная £ ограничены. После подстановок в (37) для и(£, т) получим

ди 1 1

-— + -и + -¿У + 2аии'2 + аи2и" = 0, (38)

дт 2 2

штрихами обозначены производные по £. Примем для и(£, т) асимптотическое представление

и(£,т) = ио (£) + ик (£,т )т-к,

где суммирование ведется по к = 1, 2,.... После его подстановки в уравнение (38) придем к соотношениям

т

и0 + £и'о + 4аи0 и'2 + 2аи0и'0 = 0, (39)

^ + 2аи'о + 2ащи^ щ + ^ £ + Аащи'^ и[ + аи^и'[ — = 0 п т.д. (40)

Уравнение (39) приводится к виду (£ио)' + 2а(и'и')' = 0 и интегрируется: £ио + 2аи2и' = Со- Вследствие

симметрии функции ио относительно оси £ будем иметь Со = 0, поэтому 2аи' + £2 = Сь От параметра С1

С1 о

зависят масштабы по осям координат, поэтому можно положить — = 1. Окончательно будем иметь

2а

£2

^ + «5 = 1- <«>

Вернувшись к прежним переменным, получим главный член асимптотики

ф(о) (хо ,т)

2 + £о = т.

2а '

как видим, это вырожденный эллипс (30).

После подстановки в уравнение (40) функции ио(£) из соотношения (41) получим

ди1 Л £2 А // 3,, 1 _

—1- = а 1 - — )и'{--£и\--иг. (42)

дт V 2а) 1 24 1 2

Представим решение этого уравнения в форме и1 = Т (т)((£); да я Т (т) и ((£), разделив переменные в (42), будем иметь

= (43)

дт 2

(£2 — 2а)('' + 3£(' + 2ЛС = 0. (44)

Из (43) находим

Т = Т0 ехр (\ - ^ г. (45)

Уравнение (44) подстановками ( = w(z), х = \[2a—2\[2az приводится к гипергеометрическому уравнению

z(z - l)w" - w' + 2\w = 0. (46)

Здесь мы не будем заниматься анализом решений этого уравнения, а сошлемся на известный справочник [9]. Приведем лишь простейший случай Л = 0. Из (45) находим T = е-т/2 (можно положить To = 1), а уравнение (46) очевидным образом интегрируется. Окончательно получим

<р = r)ej!2 = (.о (:roe~т'2) + Щ + ... j е^2 = (j 1 - х2е~г/2а + 0{т~1) + ..е^2.

Таким образом, при т ^ 1 область как угодно мало отличается от эллиптической.

4. О неустойчивости растекания полосы. Впервые задача о неустойчивости течения в тонком пластическом слое была поставлена и решена в [3]: при условии h = h(t) рассмотрено течение в кольцевой области, ограниченной внешним непроницаемым контуром. Показано, что по крайней мере в начальные моменты времени возмущения внутреннего контура экспоненциально растут со временем; решение обобщено на случай сжимаемого материала. Ниже рассматривается следующая задача. Представим себе полосу, которая в начальный момент времени занимает область \x\ < ж, 0 ^ y ^ ao; принимаем h = h(t), граница y = 0 непроницаема, форма свободной границы yo = р(х,т) определяется уравнением (26). Положим р(х,т) = а(т) + (х,т), где а(т) — граница в невозмущенном течении. Подставим это выражение в (26) и линеаризуем по е:

да , , т дю\ 2 2т ..

— = а, а(т) = а0е , = <pi + аа0е (47)

Положив = X(x)T(т) и подставив это выражение во второе уравнение (47), получим после разделения переменных

X" + Л2Х = 0, ^ = (1 - аа1\2е2т)Т. (48)

Из первого уравнения (48) находим X = c\ sin Лх + c2 cos Лх; удовлетворив условиям X = 0 при х = 0, будем иметь с2 = 0. Из второго уравнения (48) получим Т = То ехр ^т — — а\2а$е2т^, поэтому

<pi = TqC\ ехр ^т — i аЛ2аое2т^ sin Лх. (49)

Начальное условие т = 0, р>\ = aosinAx доставляет ToCi = aoexp ^-a\2a^j, и окончательно из (49) следует

= а0 exp

i аЛ2ао(1 - e2r) + г

sin Лх.

Неустойчивость растекания означает рост возмущений со временем: др\дт > 0; поскольку Т(т) > 0, из (48) следует, что этому соответствует 1 — аа0Х2в2т > 0; отсюда находим неравенства (условия неустойчивости)

г < — 1п (Лао\/а) = то, А < (аол/2^

Вывод, как видим, качественно такой же, как ив [3].

Замечание 1. В настоящей работе приведена постановка задачи о растекании тонкого пластического слоя в наиболее простой области (специального вида). Другое, наиболее существенное упрощение: из множества решений уравнения Лагранжа выбрано то, которое доставляет простейший интегрируемый в явном виде случай — уравнения растекания (17) и (25). Результат согласуется с физическим смыслом явления: при разумных пределах изменения показателей анизотропии свойств материала и трения тонкий слой, сжимаемый плоскостями, вынужден растекаться относительно равномерно, так что картина течения не должна принципиально отличаться от случая изотропии.

Замечание 2. Уравнение Лагранжа исследуется в работе [10] введением параметра р(х) = у'. Укажем два случая, когда решение выписывается в конечном формульном виде. Положим

w1(p) = а* вгР2в1+1/(2вг + 1), вг = в2/(1 — в2), в = 1,

тогда для определения p(x) получим квадратное уравнение (a*/(1 — ß2))z2 + Coz — x = 0 z = pßl; параметры a* и Co находятся из граничных условий. Решение записывается в форме

y = f1(x,x0,t)=zW (а+201^2)-

Во втором случае положим wi = —a*ß\pßl/2+1 /(ß\ + 2), аналогично предыдущему получим Coz2 - a*z/{ 1 - ß2) - x = 0, г = p^2, у = h(x, x0,t) = z2'^ (^32х - .

Анализ этих решений не проводится; здесь они указаны как возможные варианты дальнейших исследований.

Замечание 3. В предложенной работе случаи анизотропии (фактически ортотропии) свойств материала и контактного трения рассмотрены отдельно; обобщение на совместное действие обоих эффектов при условии совпадения главных осей ортотропии дано в публикации [5], где показано, что по постановке задача не отличается от рассмотренных. Задача о течении в слое при несовпадении главных осей ортотропии требует специального исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин A.A. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и механ. 1954. 18, вып. 4. 265-288.

2. Ильюшин A.A. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и механ. 1955. 19, вып. 6. 693-713.

3. Кийко И.А. Пластическое течение металлов // Научные основы прогрессивной техники и технологии / Под ред. В.П. Лымзина. М.: Машиностроение, 1985. 102-133.

4. Кийко И.А. О форме пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями // Прикл. матем. и механ. 2011. 75, вып. 1. 14-25.

5. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // Прикл. матем. и механ. 2006. 70, вып. 2. 344-351.

6. Кийко И.А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического материала // Докл. АН СССР. 1964. 157, № 3. 551-553.

7. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматгиз, 2002.

8. Безухое В.И. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане: Канд. дне. М., 1955.

9. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.

Поступила в редакцию 24.06.2013

УДК 532.685

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕЧЕНИЯ СУСПЕНЗИИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Н. Е. Леонтьев1, Д. А. Татаренкова2

Построено общее решение нелинейной системы уравнений, описывающей одномерные течения малоконцентрированной суспензии в пористой среде с учетом оседания частиц. Указан ряд решений, выражающихся в элементарных функциях. Проанализированы условия образования нефизичных особенностей.

1 Леонтьев Николай Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: leontiev_nQmail.ru.

2 Татаренкова Дарья Александровна — студ. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.tatarenkova@mail.ru.