CC BY
5
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.9:514.742.4 ББК 22.161.6 О 13
Ушхо Дамир Салихович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru Артисевич Анжела Евгеньевна
Ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: cokolovangela@rambler.ru Лобода Надежда Алексеевна
Ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: n-loboda@yndex.ru Панеш Асхад Асланович
Ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: askhadr@mail.ru
Об одном методе исследования числа инвариантных прямых полиномиальных векторных полей n -ой степени
(Рецензирована)
Аннотация. На основе введенных понятий «узловая точка» и «внеузловая точка» доказано, что полиномиальное векторное поле n-ой степени, обладающее двумя инвариантными множествами Mk_x (k1) и k
Mn_2j(k2), где k1 Ф k2, k1, k2 e R, имеет при четном n не более 2n +1 инвариантных прямых.
Ключевые слова: состояние равновесия, инвариантная прямая, узловая точка, внеузловая точка.
Ushkho Damir Salikhovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru Artisevich Anzhela Evgenyevna
Lecturer Assistant of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: cokolovan-gela@rambler.ru
Loboda Nadezhda Alekseevna
Lecturer Assistant of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: n-loboda@yndex.ru
Panesh Askhad Aslanovich
Lecturer Assistant of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph.. (8772) 593905, e-mail: ask-hadr@mail.ru
On one method of a research of the number of invariant straight lines for polynomial vector fields of degree n
Abstract. Based on the introduced concepts "nodalpoint" and "extranodalpoint", we prove that the polynomial
vector field of degree n, possessing two invariant sets M^ (k1) and M^^ k2) where k1 Ф k2, k1, k2 e R, has no
more than 2n +1 invariant straight lines at even n .
Keywords: equilibrium state, invariant .straight line, nodal point, extranodal point.
Достаточно большое число работ математиков посвящено изучению системы дифференциальных уравнений
dx
dt
= Z aijx'yJ = P(x y )>
i + j=0
dy =Zbjxiyj s Q(x, y),
(1)
ij
i + j=0
где aj, bj
R, (Р, 0 ) = 1, и е Ж л и > 2, имеющих инвариантные прямые.
Так, в работе [1] доказано отсутствие предельных циклов системы (1) при и = 2 и наличие у этой системы двух инвариантных прямых. Как отмечается в работе [2], некоторые вопросы химической кинетики, астрофизики, математической биологии приводят к квадратичной системе специального вида:
dx / \
— = x(ai0x + а01У + a00 Л dt
= У(Ь10x + КУ + Ь00 Л
dt
(1')
Очевидно, система (Г) является частным случаем системы (1). Горьковский математик Любимова Р.А. [3] доказала, что дифференциальное уравнение траекторий системы (1) при и = 3 имеет не более восьми интегральных прямых. Вопросам оценки числа алгебраических инвариантных кривых посвящены работы [4, 5]. Основной результат работы [5] содержится в теореме: если среди интегральных кривых дифференциального уравнения траекторий системы (1) содержится конечное число £ попарно различных, неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кривых, то
S <
(n2 + n + 2) 2
Авторами работы [6] доказано, что система (1) имеет не более 3и -1 инвариантных прямых. Однако знание оценки сверху числа инвариантных прямых системы (1) не дает ответа, например, на вопрос о числе действительных инвариантных прямых системы (1) при фиксированных и. Здесь уместно отметить работу [7], в которой доказано, что число действительных инвариантных прямых системы (1) при и = 4 не превосходит девяти. Определенный интерес представляет оценка сверху числа инвариантных прямых системы (1) с заданными свойствами (см., например, [8, 9]). В [8, 9] дается оценка числа инвариантных прямых системы (1), обладающей инвариантными множествами специального вида, а также оценка числа самих инвариантных множеств этой системы. Под символом М[к (к) будем понимать, как и в работах [8, 9], инвариантное множество, состоящее из £ параллельных между собой инвариантных прямых с угловым коэффициентом к .
Справедлива
Лемма 1 [10]. Пусть система (1) имеет два инвариантных множества Мкп-1(к1) и Мк-(к2), где кх Ф к2, кх,к2 е Я. Тогда эту систему посредством аффинного преобразования переменных х и у можно привести к системе
dx
— = x(x - а) •... •(x - аn_2)(Ax + By + С) = pn(xy\ dt
dy = y(y- ß)•...• (y-ß 2)(Mx + Ny + L) = Qn(x,y), dt
где 0 <а1 <... <ап-2, 0 <Д <... <Ди-2, ВМ Ф 0.
Очевидно, система (2) имеет два инвариантных множества
^(0) = {у = 0, у-0 = 0,..., у-0-2 = 0}, М°_,(°°) = {х = 0, х= 0,..., х-«-2 = 0}.
Заметим, что в статье [10] дана оценка сверху числа инвариантных прямых системы (2) при А = 0, N = 0 . Поэтому в данной работе изучается система (1) при выполнении неравенств п > 3, А + N > 0, AN - ВМ Ф 0, и это не оговаривается каждый раз.
Определение 1. Состояние равновесия и системы (2) называется узловой точкой, если через и проходят две инвариантные прямые множества М°п-1 (0) и МП°-1 (°) .
Состояние равновесия V системы (2), не являющееся узловой точкой, называется вне-узловой точкой.
Для удобства дальнейших рассуждений введем обозначения: V (V °) - внеузловая точка, расположенная на инвариантной прямой, принадлежащей множеству М)°-1(0) (мП°-1(да)). Если через внеузловую точку не проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству Мп0-1(0) и Мп°-1(°), то ее будем обозначать V. Главную изоклину Мх + ^ + Ь = 0
(Ах + Ву + С = 0) системы (2) будем обозначать Ь (ь°) . Кроме того, под символом /0 (/°) будем понимать инвариантную прямую из множества М^°-1(0) (мЮ-1(°°)).
Лемма 2. Если через внеузловую точку V0 (V °) проходит инвариантная прямая /, не принадлежащая множеству М^-1(0) и М°-1(°х>), то через эту точку не проходит изоклина Ь (ь°) системы (2).
Доказательство. Проведем рассуждения в случае, когда V0 е /, так как они аналогичны случаю, когда V° е /. Согласно определению 1 через V0 проходит инвариантная прямая из множества М^°-1(0), но не проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству
М°-1 (°). Поскольку / пересекает все п -1 инвариантных прямых из множества М'°°-1 (°),
0
то в силу теоремы 2.6 [11], кроме V , на / расположены еще п -1 состояний равновесия системы (2). По определению каждое состояние равновесия системы (2) является общей точкой главных ее изоклин [12]. Поэтому через одно из п -1 состояний равновесия системы (2), расположенных на / и отличных от V0, проходит изоклина Ь.
Лемма доказана.
Из леммы 2 следуют леммы.
Лемма 3. Если через внеузловую точку системы (2) проходит инвариантная
прямая / этой системы, не принадлежащая множеству М1-1(0) и М°-1(°), то / непременно проходит через вторую внеузловую точку V2° (^0).
Лемма 4. Система (2) имеет на инвариантной прямой /, не принадлежащей множеству Мп0-1(0) и Мп°-1(°), не более двух внеузловых точек. Если на I расположены две вне-
узловые точки, то одна из них является точкой типа V0, а другая - точкой типа V°.
Лемма 5. Если через состояние равновесия V = Ь0 о Ь° системы (2) проходит инвариантная прямая, не принадлежащая множеству М0-1(0) и М°-1(°), то V - либо узловая точка, либо внеузловая точка, через которую не проходит инвариантная прямая из множества Мп0-1(0) иМ^ю).
Лемма 6. Пусть I: у - кх - Ь = 0 - инвариантная прямая системы (2) и / £ Мп0-1(0) и М°-1(ю). Тогда I пересекает главные изоклины Ь и Ь° системы (2).
Доказательство. Так как I - инвариантная прямая системы (2), то имеет место равенство у(у -01) •... • (у - 0-2)(Мх + ^ + Ь) = кх(х - «1) •... • (у - кх - Ь)Яп-1 (х,у), (3)
где Яп-1 (х, у) - многочлен степени не выше п -1.
Предположим, что 11| I0, тогда при у = кх + Ь в левой части (3) имеем многочлен степени и -1 относительно х, а в правой части - многочлен степени и, так как Ь° п Iю Ф 0. Если предположить, что 11| I , то при у = кх + Ь в левой части (3) будем иметь многочлен степени и относительно х, а в правой - многочлен степени и -1. В том и другом случае приходим к невыполнимому тождественному равенству.
Лемма доказана.
Пример 1. Система
— = х( х - 2)(ах + ру -а- Р), dt
^ = у( у - 2)(рх + ау-а-Р), dt
где а\ Ф \Р, имеет две пересекающиеся инвариантные прямые /1: у - х = 0, 12: у + х - 2 = 0, не принадлежащие множеству М° (0) и М2Г (да) = {х = 0, х - 2 = 0, у = 0, у - 2 = 0}.
Впрочем, и 12 пересекаются во внеузловой точке (1;1).
Теорема 1. Пусть V = II п I00 - внеузловая точка, через которую проходит инвариантная прямая I, принадлежащая множеству М°-1(0) и Ми°-1(да). Тогда система (2) не
имеет инвариантной прямой I, не принадлежащей множеству М°-1(0) и Ми°-1(да) и проходящей через V.
Справедливость теоремы следует из леммы 2.
Теорема 2. Пусть V = II п I00 - внеузловая точка системы (2), и через V проходит инвариантная прямая I е Ми°-1(0) и Ми°-1(да), а I - инвариантная прямая этой же системы, причем I £ М„°-1(0) и М;-1(да). Тогда на I расположены и состояний равновесия, в том числе две внеузловые точки.
Доказательство. По лемме 6 инвариантная прямая I пересекает главные изоклины II и Ш системы (2). Согласно теореме 1 I не проходит через V, следовательно, I пересекает изоклину II (ы0). Это означает, что через состояние равновесия I п I0 (ь п I00) системы (2) проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству Ми°-1(да)(М°-1(0)). Тем и доказано, что на I расположены две внеузловые точки: V™ = I п I0, V0 = I п I00. Кроме точек V™ и V0 на инвариантной прямой I расположены еще и - 2 состояний равновесия системы (3), которые образованы пересечением I с и - 2 инвариантными прямыми из множества М°п-1 (0) и с таким же количеством инвариантных прямых, принадлежащих множеству М;-1(да). Впрочем, все и - 2 состояния равновесия системы (2), расположенных на I и отличных от V™ и V20, являются узловыми точками.
Теорема доказана.
Существуют системы (2), удовлетворяющие условиям теоремы 2.
Пример 2. Главные изоклины I: у + 2х + 2 = 0, I0: у - х - 4 = 0 дифференциальной
системы
dx
— = x(x -1)(x - 2)(y + 2x + 2), dt
d- = y( y - 2)( y - 4)( y - x - 4) dt
пересекаются во внеузловой точке V (-2; 2), через которую проходит инвариантная прямая у - 2 = 0, принадлежащая множеству М30 (0) = {у = 0, у - 2 = 0, у - 4 = 0}. Кроме этого, сис-
тема имеет инвариантную прямую Ь :у -2х- 2 = 0, не принадлежащую множеству М30(0) и М3о(оо ). Здесь М3о(оо ) = (х = 0, х -1 = 0, х - 2 = 0}. На Ь расположены четыре состояния равновесия, в том числе две узловые точки (0;2) и (1;4) и две внеузловые точки ^°(-1;0), ^°(2;6).
Теорема 3. Пусть V = Ь0 п Ьо - внеузловая точка системы (2), и через V проходит инвариантная прямая Ь этой системы, не принадлежащая множеству М^°-1(0) и М0-1(оо). Тогда на Ь расположены п состояний равновесия, в том числе п -1 узловых точек.
Доказательство. В самом деле, так как по условию Ь пересекает каждую из главных изоклин Ь0 и Ь в точке V, то на Ь система не имеет внеузловых точек, отличных от V. С другой стороны, прямая Ь, проходящая через точку V, пересекает п -1 инвариантных прямых из множества М°-1 (0) и столько инвариантных прямых из множества М0-1 (о). Таким образом, на Ь расположены п состояний равновесия системы (2), из которых V - внеузловая точка, а остальные - суть узловые точки.
Теорема доказана.
Теорема 4. Если система (2) имеет внеузловую точку V = Ь0 п Ь, через которую проходят две инвариантные прямые Ь1 и Ь2 этой системы, то п - нечетно.
Доказательство. Согласно определению внеузловой точки и теореме 1, Ь1 и Ь2 не принадлежат множеству М°п-1 (0)и М^ (оо). По теореме 3 Ьх и Ь2 пересекают инвариантные прямые множества М°-1 (0)иМ^ (оо) только в узловых точках. Следовательно, V- точка пересечения диагоналей прямоугольника П, образованного инвариантными прямыми
х = ° х - ®п-2 = 0 У = 0 У - Рп-2 = 0.
Обозначим вершины этого прямоугольника:
Для определенности полагаем, что инвариантная прямая Ь1 (Ь2) проходит через вершины О и О (Р и Н) прямоугольника П. Возьмем произвольную узловую точку и1,
расположенную на L1 и отличную от O и G. Через U1 проходит инвариантная прямая l\ g M°n l (0), пересекающая L2 в узловой точке U2. Через U2 проходит инвариантная прямая £2 g M;_j(оо ), пересекающая L1 в узловой точке ü3, расположенной симметрично относительно точки V. Через U3 проходит инвариантная прямая £° g М°-1 (0), пересекающая L2 в точке U4, симметричной точке U2 относительно V. Таким образом, на инвариантных прямых Lj и L2 узловые точки встречаются парами. Следовательно, число инвариантных прямых во множестве М{)п1 (0) или, что то же самое, во множестве М^_1 ( о ) четно, то есть п -1 = 2m, m g N. Это и означает, что п = 2m +1, то есть п - нечетно.
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть V = L0 n L - внеузловая точка системы (2), причем L0 проходит через вершины O и G (или F и H) прямоугольника П, а L2 - через вершины F и H (или O и G). Тогда система (2) не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству M°-i (0) u M;-I(® ).
Доказательство. По определению внеузловой точки либо через V проходит одна инвариантная прямая, принадлежащая множеству М)°-1(0) u Мп°-1(о ), либо через V не проходит ни одной инвариантной прямой из М°-1(0) u М0-1( оо ). Если через V проходит инвари-
антная прямая, принадлежащая множеству Мп-1(0) u М0-1( оо) , то по теореме 1 через V не
п -1 п -
0
проходит инвариантная прямая, не принадлежащая множеству Mn_j(0) и МП0_1( оо ). Пусть через V не проходит инвариантная прямая из множества M°_j(0) и М^_1(о) . Тогда и в этом случае по теореме 3 система (2) не имеет инвариантной прямой, проходящей через V и не принадлежащей множеству М°_ (0) и М^ ( оо ) .
Таким образом, если система (2) имеет инвариантную прямую L, не принадлежащую множеству M°_j (о)иМП__1 (оо), то она не проходит через V, следовательно, L пересекает хотя бы одну из прямых х = 0, х _ an_2 = 0, y = 0, y _ _2 = 0, образующих прямоугольник П, в точке, расположенной вне П. Это невозможно, так как через любую внеузловую точку проходит хотя бы одна из главных изоклин L0 и L .
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Пример 3. Во внеузловой точке V (2; 2,5) пересекаются изоклины L0 :4y + 5х _ 20 = 0, L00 :4y _ 5х = 0 дифференциальной системы
dX
— = х( х _ 1)( х _ 4)( y _ 5 х), dt
dy = y( y _ 3)( y _ 5)(4 y + 5 х _ 20). dt
Кроме этого, L0 проходит через противоположные вершины (4;0) и (0;5), а L -через противоположные вершины (0;0) и (4;5) прямоугольника П. Согласно теореме 5 данная система не имеет инвариантной прямой, отличной от шести очевидных инвариантных прямых.
Для удобства дальнейших рассуждений условимся обозначать инвариантные прямые х _ai = 0 (y _ = 0) соответственно (/0) и считать, что ¡0° (/0°) совпадает с прямой
х = 0 (y = 0). Если через узловую точку системы (2) проходят инвариантные прямые ¡0 и
¡0, то эту точку будем обозначать Ui ■.
Теорема 6. Пусть система (2) при четном п имеет инвариантную прямую , проходящую через точки и ^ (^ = 0, п - 2), а также инвариантную прямую Ь2, пересекающую Ьх и не принадлежащую множеству М°_1 (0)и М^- (о). Тогда Ь2 проходит через одну из
точек: и0,0 , ип-2,п-2 , и0,п-2 , ип-2,0 .
Доказательство. Предположим, что точка А = Ь1 п Ь2 не совпадает ни с одной из вершин прямоугольника П. Тогда угловой коэффициент к прямой Ь2 удовлетворяет одному из неравенств: 1)к < 0; 2)0 < к < Рп-2 ; 3)к > Рп-2 . Покажем, что неравенства 2) и 3)
а
n-2
а
n-2
не выполняются. Если 0 < к < Рп 2 , то прямая Ь2 проходит через две внеузловые точки
а
n-2
V10 = L2 О 10 и V20 = ¿2 n¡l2-
ßn
а если к > n 2 , то L2 проходит через внеузловые точки
ап
F-ад Г JM Г JM т»
3 = L2 о /0 и V4 = L2 о /и_2 . В том и другом случае приходим к противоречию с леммой 4. Таким образом, доказано, что к < 0 .
По лемме 4 для L2 могут представиться только два случая расположения относительно инвариантных прямых: /0Ш, /00, /П_2, /П_2: а) /0° пересекается с L2 в точке, расположенной выше точки U0 n_2, а /00 пересекается с L2 в точке, расположенной справа от точки Un_2 0; б) /°_2 пересекается с L2 в точке, расположенной слева от точки U 0 n_2, а /П_2 пересекается с L2 в точке, расположенной ниже точки Un _2 0. Рассуждения проведем для случая а), так как случай б) сводится к случаю а). В случае а) L2 проходит через внеузловые точки V5°° = /0° о L2 и V60 = о L2. Все состояния равновесия системы (2), лежащие на L2 и отличные от V5°° и V60, в том числе Un 2 j и Ut n 2, являются узловыми точками (см. рис. 2).
Рис. 2. Инвариантная прямая Ь2 пересекает инвариантную прямую /0°° (/0° ) во внеузловой точке V™ (^"60 )
Если на инвариантной прямой L2 есть состояние равновесия системы (2), расположенное между точками U1 п-2 и Un-2 1 и отличное от Ur r, то оно является узловой точкой. Каждой такой точке соответствуют две узловые точки, расположенные на Lx, то есть число узловых точек на Lj равно N = 2m + 4 (m > 0). С другой стороны, на Lj расположены п -1 узловых точек, то есть нечетное число узловых точек (по условию п - четно). Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Пример 4. Система
= x(x - ^ x - 3Yx - 3J(x - 2X- x + 2y + 4),
f = y(y - - 4)(y - 2)( - 2X- 21x + 22 y + 4)
имеет два инвариантных множества
М0 (0) = -|y = 0, y -1 = 0, y - 4 = 0, y - 2 = 0, y - 2 = oj,
М5°(oo) = j x = 0, x -1 = 0, x - 3 = 0, X - 2 = 0, x - 2 = 0j
и две пересекающиеся инвариантные прямые y - x = 0, y + 2 x - 2 = 0, не принадлежащие множеству M50 (0)^ М5ш(со). При этом прямая y - x = 0 проходит через узловые точки (0;0), (1;1), ^^f;f), (2;2), а прямая y + 2x-2 = 0 - через узловую точку (0;2). Пример 5. Система
^ = х(х - 1)х - 4)- 3х + 13у - 4), ш
^ = у(у - 1)(у - 4X2х + 8у - 4)
ш
имеет, кроме очевидных шести инвариантных прямых, образующих множество М30 (0)^ М3°(со), две пересекающиеся инвариантные прямые у - х = 0, у - 2 х = 0, причем
прямая у - х = 0 проходит через узловые точки (0;0), (1;1), (4;4), а прямая у - 2 х = 0 -
через узловую точку (0;0).
Теорема 7. Пусть система (2) при п четном (п > 4) имеет инвариантную прямую Ц, проходящую через узловые точки и& & (^ = 0, п - 2), а также две параллельные между собой инвариантные прямые Ц2 и Ц, не принадлежащие множеству М^ (0)^М^ (о)
Тогда L2 и L3 параллельны прямой L.
Доказательство. Посредством преобразования
x = «п- 2 x
I Л у (4)
I у = Рп-2 у
придадим системе (2) вид системы (обозначения переменных х и у, коэффициентов сохраним):
dx
— = x(x - «1 )(x - «2 )•... • (x - «n-3 )(x - 1)(Ax + By + C),
d- = У((-«i)(-«2> ..• ((-«n-3)(y-l)(Mx + Ny + К), dt
(5)
где 0 <ах <а2 <... <ап-3 < 1.
Очевидно, инвариантная прямая задается уравнением у - х = 0. Запишем уравнения нвариантных прямых Ь2 и Ь3 соответственно в виде у - кх - Ь2 = 0 и у - кх - Ь3 = 0. Покажем, что угловой коэффициент к прямых Ь2 и Ь3 не может быть отрицательным. Предположим, что к < 0 . Тогда по теореме 6 одна из прямых Ь2 и Ь3 проходит через точку (0;1), а другая - через точку (1;0). Для определенности считаем, что Ь2 проходит через точки (0;1) и (ап-3;0), а Ь3 - через точки (1;0) и (ах;1) (см. рис. 3).
У
Рис. 3. Инвариантная прямая Ь2 проходит через точки (0;1) и (ап-3;0), Ь3 - через точки (1;0) и (а1;1)
Инвариантная прямая Ь2 (Ь3), согласно рисунку 3, задается уравнением
1
(
У +-
«n-3
У «n-3
-x -1 = 0
1 1
y +-x--= 0
Л
«
n-3
«
n-3
Точку пересечения инвариантных прямых
= 0 и L2 (y-«1 = 0 и L3) обозначим V20 (V30). Абсциссы точек V20 и V30 рав-
ны соответственно x2 = «1 - «1 , x3 = «12 - «1 +1. Из рисунка 3 видно, что
«n-3 =1 -«1
(6)
С учетом (6) имеем соотношения х3 - ап-3 = а12 > 0, х2 - а1 = -а12 < 0, из которых следует, что V,0 и V - внеузловые точки системы (5). По лемме 4 на инвариантной прямой, не принадлежащей множеству МП°-1(0) ^МП-1(оо) , система (5) имеет не более двух внеузло-вых точек. Поэтому точка и{1 е Ь2 является узловой точкой. Следовательно, через эту точку
проходит инвариантная прямая ^ш, пересекающая Ц в узловой точке i. Через i проходит инвариантная прямая ^0, пересекающая Ц в точке Щ , абсцисса которой равна х4 = (1 -а)[1 - (1 -а)2 ]. Абсцисса точки Щ2 пересечения Ц с прямой у -ап-3 = 0 равна х5 - (1 - а1 )2. Так как х5 - х4 =а1 [1 - (1 - а)2 ] > 0, то точка Щ расположена слева от инвариантной прямой из множества МП- (да), проходящей через Щ2. Точка Щ является узловой точкой системы (5), поэтому через Щ проходит инвариантная прямая из множества Мпш-1(да), пересекающая Ц в точке, расположенной между инвариантными прямыми У - ап-3 = 0 и у -1 = 0. Пришли к противоречию с леммой 4, согласно которой на инвариантной прямой Ц система (5) имеет не более двух внеузловых точек. Тем и доказано, что угловой коэффициент к прямых Ц и Ц не может быть отрицательным.
Предположим, что к > 0 и к Ф1.
Рассмотрим случай 0 < к < 1, так как случай к > 1 сводится к первому, и покажем, что он не реализуется в условиях теоремы. Согласно теореме 6 одна из прямых Ц и Ц проходит через точку (0;0), а другая - через точку (1;1) (см. рис. 4).
У
L
1 > L3 L2
V30 0
F — а1
а1 /
V0 O V тт 2
а 1 X
Рис. 4. Инвариантная прямая Ц проходит через узловые точки (0;0) (1;1 -а1)
и внеузловые точки V™ и V2 , а Ц - через узловые точки (0; а1) и (1;1) и внеузловые точки V™ и V30
Так как ОА и V3<)V2<) - диагонали параллелограмма, причем прямая ( У30У20) - изоклина
бесконечности Ц : Ах + Ву + С = 0 системы (5), то Р- узловая точка этой системы.
Заметим, что а <1. В самом деле, если а =1, то и ап-3 = 1 - а = — . Тогда точки V2co и 1 2 1 2 п 3 1 2 2
V™ окажутся на инвариантной прямой х - 2 = 0. Но через и V™ проходит изоклина
нуля I0 :Мх + Ыу + К = 0 . Приходим к противоречию с тем, что правые части уравнений системы (5) взаимно просты.
Найдем абсциссу точки пересечения прямой У™ с прямой у - а1 = 0 :
)у = « I y = (1 -«1) • x
^ x =
«
1 -«
По лемме 4 на прямой 12 система (5) имеет не более двух внеузловых точек. Следовательно, через точку с абсциссой х* проходит инвариантная прямая из множества МП-1 ( о ),
т * которая пересекает прямую L1 в узловой точке с ординатои y =
«
1 -«
. Найдем абсциссу
точки пересечения инвариантной прямой y - y = 0 с инвариантной прямой L3:
y=
«
1 -«1
^ x = ■
«
y = (1 -«1) • x + «1
(1 -«1)2
Найдем ординату точки пересечения прямой х - х** = 0 с инвариантной прямой 12:
x =
«
(1 -«1)2 ^ у =
«
y = (1 -«1) • x
1 -«
Покажем, что у < а1. Допустим, что это не так, то есть пусть выполняется неравен-
ство
«1
1
1
1 -«
> а1 о а1 = —. Но ранее мы показали, что а1 < —. Тем самым доказано, что слу-
2
2
чай 0 < к < 1 невозможен в условиях теоремы. Теорема доказана. Пример 6. Система
Шх
dt dy
= x( x -1)( x - 2)( x - 2 y +1),
~Т = у(у -1)(у - 2)(-2х + у +1) ш
имеет два инвариантных множества
М30(0) = [у = 0,у -1 = 0, у - 2 = 0}, М3°( оо ) = {х = 0, х -1 = 0, х - 2 = 0} и инвариантные прямые у - х = 0, у - х -1 = 0, у - х +1 = 0, образующие, впрочем, инвариантное множество М31(1) . Пример 7. Система
Шх = х(х - 1Хх - 2)х - 3)х - 4)) х - 2 у +1) | = у(у - 1)у - 2)у - 3)у - 4))- ^ х + у +
имеет два инвариантных множества
М5(0) = {у = 0,у -1 = 0,у - 2 = 0,у - 3 = 0,у - 4 = 0},
М о (о ) = {х = 0, х -1 = 0, х - 2 = 0, х - 3 = 0, х - 4 = 0},
а также инвариантное множество М3 (1) = {у - х = 0, у - х -1 = 0, у - х +1 = 0}.
Теорема 8. Пусть при четном п (п > 4) система (4) имеет инвариантную прямую I, проходящую через узловые точки и,, & = 0, п - 2), а также две пересекающиеся инвариантные прямые 12 и 13, не принадлежащие множеству М^-1(0) и М0-1(о). Тогда 12 и 13 проходят через точку (0;0) или (1;1).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Пример 8. Система
Шх = х[ х -1 )х -1)2 х - 7 у + 3),
|=>(у -1 > -1)(- 7х + 2у+з)
имеет два инвариантных множества
M30(0) = •!y = 0, y - 2 = 0,y -1 = 0},
M3o (oo ) = jx = 0, x - 2 = 0, x -1 = 0
11
инвариантную прямую у - х = 0, проходящую через узловые точки (0;0), (1;1), а
также инвариантные прямые у -2х = 0, у -2х = 0, проходящие через начало координат (0;0).
Если система (5) не имеет инвариантной прямой I, проходящей через узловые точки
U„ (s = 0, n - 2)
или
U„
(s = 0, n - 2)
и не принадлежащем
множеству
М^°-1(0) и Мп00-1(оо ) при четном п и выполнении неравенства АЫ - ВМ Ф 0, то эта система и подавно имеет не более трех инвариантных прямых, не принадлежащих множеству
М°-1 (0) и М0-1( оо ). Справедлива
Теорема 9. При четном п и выполнении неравенства АЫ - ВМ Ф 0 система (2) имеет не более 2п +1 инвариантных прямых.
Примечания:
1. Баутин Н.Н. О периодических решениях одной системы дифференциальных уравнений // ПММ. 1954. Т. 18, № 1. С. 128.
2. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами: метод. пособие. Ч. 1. Н. Новгород: Изд-во Нижего-род. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2005. 37 с
3. Любимова Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Изд-во ун-та, 1977. Вып. 1. С. 19-22.
4. Дружкова Т.А. О числе алгебраических частных интегралов дифференциального уравнения // Дифференциальные и интегральные уравнения: меж-вуз. сб. Горький, 1981. С. 34-37.
5. Долов М. В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 838-839.
6. Artes J., Grünbaum B., Llibre J. On the number of 6. Artes J., Grünbaum B., Llibre J. On the number of
References:
1. Bautin N.N. On periodic solutions of a system of differential equations // PMM. 1954. Vol. 18, No. 1. P. 128.
2. Druzhkova T.A. Algebraic differential equations with algebraic integrals: a manual. Pt. 1. N. Novgorod: Publishing House of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky, 2005. 37 pp.
3. Lyubimova R.A. On one differential equation with integral straight lines // Differential and Integral Equations. Gorky: University Publishing House, 1977. Iss. 1. P. 19-22.
4. Druzhkova T.A. On the number of algebraic partial integrals of a differential equation // Differential and integral equations: inter-university coll. Gorky, 1981. P. 34-37.
5. Dolov M.V. On the number of algebraic invariant curves of the polynomial vector fields // Differential Equations. 2004. Vol. 40, No. 6. P. 838-839.
invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
7. Sokulski J. On the number of invariant straight lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.
8. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. Об инвариантных множествах полиномиального векторного поля n -ой степени // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Оценка сверху числа инвариантных прямых полиномиального векторного поля n -й степени // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, № 2. С. 171-178.
10. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. О числе инвариантных прямых одного класса полиномиальных векторных полей // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 1 (176). С. 11-16.
11. Ушхо Д.С. Прямые изоклины и канонические формы полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Майкоп, 2007. 93 с.
12. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с.
invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
7. Sokulski J. On the number of invariant straight lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.
8. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.C. Invariant sets of the n-th order polynomial vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. The upper estimate of the invariant straight lines of the polynomial vector field of the n -th degree // Proceedings of Saratov University. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2015. Vol. 15, No. 2. P. 171-178.
10. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. The number of invariant lines of a class of polynomial vector fields // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 1 (176). P. 11-16. URL: http://vestnik.adygnet.ru
11. Ushkho D.S. Straight isoclines and canonical forms of polynomial differential systems on the plane. Maikop, 2007. 93 pp.
12. Qualitative theory of second-order dynamical systems / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Maier. New York: John Wiley and Sons, 1973. 568 pp.
