CC BY
27
Матем атика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевс кого, 2014, № 2 (1), с. 148-156
УДК 517.925.41
О ПРЯМЫХ ИЗОКЛИНАХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ © 2014 г. В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо
Адыгейский госуниверситет
tlyachev@adygnet.ru
Поступила в редакцию 25.11.2013
Для автономной системы двух дифференциальных уравнений х = Рп (х, у), у = Qn (х, у) с взаимно простыми многочленами степеней п в правых частях и вырожденной бесконечностью установлено, что число инвариантных прямых, инцидентных конкретно взятому состоянию равновесия системы, не превосходит п. Для этой же системы при дополнительном предположении получена верхняя граница общего количества инвариантных прямых: 2п+1 или 2п для п четного или нечетного соответственно.
Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, вырожденная бесконечность, прямые изоклины, инвариантные прямые, состояния равновесия.
Введение
В качественной теории дифференциальных уравнений важная роль отводится такому объекту как изоклина. Использование изоклин вносит методологический аспект при исследовании поведения фазовых траекторий системы
= P(x, У), ту = ^ У), (1)
т т
где Р(х, у) и Q(х, у) - аналитические функции
в области G с R2. Так, широко известен «метод двух изоклин» (метод Н.П. Еругина), который в настоящее время активно применяется [1, 2].
В фундаментальной работе В.В. Немыцкого
[3] указывается на широкие возможности качественного исследования системы (1) с помощью главных изоклин.
Среди изоклин системы (1) важную роль играют прямолинейные изоклины (в дальнейшем прямые изоклины), особенно когда Р и Q -взаимно простые многочлены.
В 60-е годы прошлого столетия изучением вопросов, связанных с прямыми изоклинами квадратичных векторных полей, занимались А.Н. Берлинский, Л.В. Шахова, Тун-Цзинь-чжу. Впоследствии в течение почти трех десятилетий интерес к этой теме заметно ослаб. Лишь в 1994 г. появляется работа В.М. Чересиза «Об изоклинах полиномиальных векторных полей», посвященная оценке числа прямых изоклин, инцидент-1
ных отдельно взятому состоянию равновесия системы.
Не останавливаясь на более подробном обзоре результатов работ по данной теме (он приводится в статье [4]), отметим, что проблема
оценки числа инвариантных прямых автономной дифференциальной системы является частью более общей проблемы оценки числа прямых изоклин. В этой связи уместно отметить работы нижегородских [5-9], а также зарубежных математиков [10-13].
Доказательство некоторых общих утверждений
Под прямой изоклиной системы (2) будем понимать прямую изоклину дифференциального уравнения фазовых траекторий этой системы.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
І+і=0
(2)
і+і=0
где ау, Ьу е Я, (Рп, &) = ^ у) + Qn(x, у) -
многочлен степени 2п .
Для краткости условимся писать, что на изоклине Ь индуцировано направление т, если угловой коэффициент касательных к фазовым траекториям системы (2) в точках Ь , отличных от состояний равновесия системы (2), равен т . Под символом Г1' будем понимать прямую
изоклину і і, на которой индуцировано направление ті.
Теорема 1. Какие бы п +1 прямых изоклин системы (2) ни взять, найдутся среди них хотя бы две прямые, на которых индуцированы различные направления.
Доказательство. Следуя работе [14], применим к системе (2) преобразование х = у, у = х + ту , переводящее каждую прямую изоклину, на которой индуцировано направление т, в изоклину бесконечности системы
Их — ___
— = Оп (Х’ У) - тРп (Х’ У)’ Иі
I = Р (Х,У),
аі
(3)
где Рп(х’ У) = Рп(У’Х + тУ)’ °п(Х’ У) = °п(У’Х + +ту).
Изоклина бесконечности Оп (Х, у) -
- тРп (х, у) = 0 системы (3) является алгебраической кривой не выше п -го порядка. Следовательно, эта система имеет не более п прямых изоклин бесконечности, и теорема доказана.
Следствие 1. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий системы (2) имеет не более п различных интегральных прямых с одним и тем же угловым коэффициентом.
Заметим, что утверждение 1, доказанное в
[4], является следствием теоремы 1.
Теорема 2. Пусть прямая і1 проходит через п состояний равновесия А1,А2,...,Ап системы (2), и і 2 - прямая изоклина этой же системы,
причем Аі й і 2 (і = 1, п). Тогда система (2) индуцирует одно и то же направление на прямых
і1 и і2 .
Доказательство. Согласно теореме 2.1 [14] прямая і1 - изоклина системы (2). Пусть т1 и т2 - направления, индуцированные системой (2) на прямых і1 и і2 соответственно, и т1 Ф т2. В силу [14] преобразование х = х + у , у = т1 Х + т2 у переводит прямую і1 в изоклину нуля і1: а1Х + Ъ1 у + с1 = 0, а прямую і 2 - в изоклину бесконечности і2: а2 Х + Ъ2 у + с2 = 0
дифференциальной системы
Их —
— = (а2 Х + Ъ2У + С2)Рп-1(Х, У),
Иі
= (а1Х + Ъ1у + С1 )Оп-1 (х, уX
Иі
Замечание 1. Теоремы 2.9 и 4.5 [14] следуют из теоремы 2.
Теорема 3. Если через каждую из особых точек А1, А2,..., Ап дифференциального уравнения фазовых траекторий системы (2) проходит одна и только одна прямая изоклина і этой системы, то число прямых изоклин (2) не превосходит п .
Доказательство. Пусть каждой особой точке Аі (і = 1, п) инцидентна только одна прямая изоклина і, а L - произвольная прямая изоклина системы (2), отличная от і . Тогда по теореме 2 на
і и L система (2) индуцирует одно и то же направление. Поэтому прямых изоклин у системы (2) по теореме 1 не более п . Теорема доказана.
Замечание 2. Из теорем 2 и 3 следует утверждение, которое может быть сформулировано в терминах теории кривых: если плоские кривые п -го порядка имеют п общих точек А1, А2,..., Ап, расположенных на прямой і, и не существует ни одной прямой, отличной от і , принадлежащей пучку кривых
Оп (Х У) - тРп(x, У) = 0
(5)
(4)
где Рп-1 (х, у), Qn-1 (х, у) - многочлены степени п -1. Так как на £ система (2) имеет п состояний равновесия, то прямой £ принадлежат п состояний равновесия системы (4). Следовательно, £ П£2 = 0 . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
и проходящей через точку Д, ' е {1,2,...,п}, то в пучке (5) содержится только одна распадающаяся кривая Ьп, среди компонент которой есть хотя бы одна прямая. При этом £ является компонентой Ьп.
Пример 1. В статье [4] показано, что дифференциальное уравнение
йу - 3ах2 + ау2 + 4ху - 3 у йх х2 - 3у2 + 4аху - 2х + ау ’ изученное в работе [15], имеет при а= 3 две особые точки (0,0) и (0,1), принадлежащие одной и только одной прямой изоклине. Согласно замечанию 2 в пучке кривых второго порядка
- 9х2 + 3 у2 + 4ху - 3 у -
- т(х2 - 3у2 +12ху - 2х + 3у) = 0 содержится единственная распадающаяся кривая х(4х - 8у +1) = 0 , соответствующая значению т = -1.
Теорема 4. Если система (2) имеет п2 состояний равновесия, то любая ее прямая изоклина проходит через п состояний равновесия (2).
Доказательство. Пусть £: ах + Ьу + с = 0 -изоклина системы (2). Тогда, не сужая общности, рассматриваем систему дифференциальных уравнений
= (ах + Ъу + с)Рп-1(x, у\
Иі
И-=Оп (х уХ
Иі
где Рп-1 - многочлен степени не выше п -1 , Оп -многочлен степени п .
Если система (6) имеет п2 состояний равновесия, то система уравнений
[ах + Ъу + с = 0,
ІО,(х у) =0
имеет ровно п решений, то есть на прямой і система (6) имеет п состояний равновесия. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть в системе (1)
р( х у) = 2р (x, У), О( X У) = 2 а(х y), где
р (x, у)= 2 ,
а(x, у)=2 ,
а™, ке Я, 21Р ^ у)| +21 о ^ у)|#0. Тогда
'=1 '=1
через состояние равновесия (0,0) системы (1) проходит не более 2п -1 прямых изоклин.
Доказательство. Пусть у = кх - прямая изоклина системы (1), то есть выполнено равенство
0(х, кх) - тР(х, кх) = 0 . (7)
Так как посредством невырожденного линейного преобразования переменных х и у можно добиться выполнения условия т е Я \ {0}, то считаем, что т - число вещественное, не равное нулю. Из (7) при х = 1 получаем 0(1, к)
т = -
р(1, k) •
Продифференцируем обе части (7) по х:
б' (х, kx) - тР'х (х, kx) +
(8)
(9)
+ [бУ (х, кх) - тР'у (х, кх)]к = 0.
При х = 1 из (9) с учетом (8) получаем уравнение
бх (1, к )Р(1, к) - р; (1, к )б(1, к) +
+ [бУ (1, к )Р(1, к) - ру (1, к )б(1, к )]к = 0.
(10)
Нетрудно убедиться в том, что выражение в квадратных скобках в левой части уравнения
(10) является многочленом степени не выше 2п - 2 относительно к. Следовательно, уравнение (10) имеет не более 2п -1 корней относительно к. Очевидно, что при условии, когда правые части системы (1) представляют собой однородные многочлены одной и той же степени, уравнение (10) превращается в тождество, и при любом к е Я прямая у = кх - изоклина системы (1).
Так как уравнение (10) имеет не более 2п -1 вещественных корней относительно к, то прямых изоклин системы (1), инцидентных точке (0,0), не более 2п -1. Теорема доказана.
Замечание 3. Утверждение теоремы 1 [14] в части оценки сверху числа прямых изоклин, проходящих через особую точку, доказано для частного случая системы (1) и иным способом.
Обозначим М(к) множество параллельных между собой прямых изоклин системы (2) с угловым коэффициентом к, причем хотя бы на двух прямых і 1, і 2 є М(к) система (2) индуцирует различные направления.
Теорема 6. Число состояний равновесия системы (2), расположенных на прямой
і є М(к), не превосходит п -1.
Доказательство. Предположим, что система (2) имеет на прямой і п состояний равновесия. Так как все прямые множества М(к) параллельны, то по теореме 2 на всех прямых множества М (к) система (2) индуцирует одно и то же направление, что противоречит свойству М (к). Теорема доказана.
Следствие 2. Если во множестве всех прямых изоклин системы (2) найдутся две параллельные прямые, на которых эта система индуцирует различные направления, то число состояний равновесия (2) меньше, чем и2.
Справедливость данного утверждения вытекает из теорем 5 и 6.
Теорема 7. Пусть Мп”1(к1) (Мп”2(к2)) -
множество, состоящее из п параллельных между собой прямых изоклин системы (2) с угловым коэффициентом к1 (к2 ) , на которых индуцировано направление т1(т2). Тогда число прямых изоклин системы не превышает 2п + 2 .
Доказательство. Так как каждую прямую множества Мт (к1) пересекают все прямые множества М;2(к2), то система (2) имеет п2 состояний равновесия, и по теореме 4 на любой прямой изоклине системы (2) расположены п состояний равновесия этой системы.
Пусть і - прямая изоклина системы (2), не
принадлежащая множеству М;1(к1) и М;2(к2). Тогда согласно теореме 1 на і индуцировано направление ;, где (; - ;1)(; - ;2) Ф 0, и і пересекает каждую прямую множества
М;1(к1) и М;2(к2) в точке А^ = і”1 Пі:2,
іт1 єМ;1(к1), і;2 єМ;2(к2), і,:є{1,2,...,И>,
являющейся состоянием равновесия (2).
Обозначим А. и А. состояния равнове-
Л:1 Зп:п А
сия системы (2), расположенные на і так, что остальные п - 2 состояния равновесия, принадлежащие і, расположены между Аі: и Аіл .
Так как Аі: = і; Пі;2, А = і; Пі'!2, то
Л:1 і1 :1 іп:п ■Зп :п
прямые і*, і і;2, і;2 образуют параллелограмм, диагональю которого является отрезок [А^, Аіл ] прямой і. Но у параллелограмма
ровно две диагонали. Следовательно, кроме прямых изоклин, принадлежащих множеству
Мп’1(к1) и М;2 (к2), система (2) имеет не более двух прямых изоклин. Таким образом, общее число прямых изоклин системы (2) не превышает 2п + 2 . Теорема доказана.
Следствие 3. Если в условиях теоремы 7 система (2) имеет 2п + 2 прямые изоклины, то при нечетном п на двух прямых і1 и і 2 , не принадлежащих множеству Мп;1 (к1 ) и Мп;2 (к2 ) , индуцированы различные направления, а при п четном - одно и то же направление.
В самом деле, при п нечетном і1 и і 2 пересекаются в точке, являющейся состоянием равновесия системы (2), а все ее состояния равновесия простые. Следовательно, на і1 и і 2 индуцированы различные направления. При четном п і1 и і 2 пересекаются в точке, заведомо не являющейся состоянием равновесия (2), а значит, по теореме 2 на этих прямых индуцировано одно и то же направление.
Всюду в дальнейшем под инвариантной прямой системы (2) будем понимать интегральную прямую дифференциального уравнения фазовых траекторий этой системы.
Следствие 4. Пусть М^1^) (М^2^)) -множество, состоящее из п параллельных между собой инвариантных прямых системы (2) с угловым коэффициентом к1(к2). Тогда при п нечетном число инвариантных прямых этой системы не превосходит 2п + 2 , а при п четном -2п +1 .
Данное утверждение вытекает из следствия 3.
Примар 2. Кроме восьми очевидных инвариантных прямых система дифференциальных уравнений
Их
— = х( х - 1)(х - 2)(х - 3),
<
<Иу = У( У -1)( У - 2)( У - 3)
_ Иі
имеет еще одну инвариантную прямую у = х .
Замечание 4. В работе [10], посвященной изучению числа инвариантных прямых системы (2), основным результатом является утверждение, сформулированное нами в виде следствия
4. Иначе говоря, результат работы [10], касаю-
щийся оценки сверху числа инвариантных прямых системы (2), является следствием теоремы 7 об оценке сверху числа прямых изоклин.
Оценка числа инвариантных прямых полиномиального векторного поля с вырожденной бесконечностью
По терминологии [7] система (2) называется системой с вырожденной бесконечностью, если
щп (х у) - уРп (х у) =0, (11)
где Чп(x, у) = 2 Ъ«ху/, Рп(х у) = 2 а«хіуі.
і+і=п і+і=п
Обозначим М'к(к) множество, состоящее из : параллельных между собой инвариантных прямых системы (2) с угловым коэффициентом к. Если система (2) является системой с вырожденной бесконечностью, то этот факт мы будем обозначать символически так: (2) є Wn.
Теорема 8. Пусть (2) є Wn и (2) имеет инвариантное множество М'к(к). Тогда на любой прямой і є М^ (к) система (2) имеет не более п - 1 состояния равновесия.
Доказательство. Нетрудно показать, что свойство системы (2) быть вырожденной на бесконечности является инвариантом относительно линейного неособенного преобразования. Выберем во множестве М'к(к) две произвольные прямые і1 и і 2 и подходящим линейным преобразованием [14] переведем их в изоклины нуля. Тогда с учетом (11) систему (2) преобразуем к виду (обозначения переменных х,у,і сохраняем):
Их , ч п-1 ( ч
— = хУФп-2(х> У) + 2 р‘(х> У)^
'=° 3 (12)
Их х-^
— = (У - а1)(У - «2)(Фп-2 (х> У) +2 Ч‘(х У))^
Ш і=0
где Фп-2(х, у) - однородный многочлен степени п - 2 , рі, Чі - однородные многочлены степени
і.
Число состояний равновесия системы (12) на прямой у = а і (і = 1,2) равно числу корней
п-1
уравнения хафп-2 (х, аі) + 2 Рі (х, аі) = 0 . Оно
і=0
имеет не более п -1 корня. Теорема доказана.
Теорема 9. Пусть (2) є Wn, кроме этого
Мк51(к1) (Мкг2(к2)) - инвариантные множества системы (2), причем к1Ф к2. Тогда г + : < п +1, где п > 3 .
Доказательство. Следуя [14], применим к системе (2) преобразование х = х + у, у = к1х + к2 у, которое переводит прямые множества Мк1(к1) (Мк2(к2)) в изоклины нуля
(бесконечности) дифференциальной системы (обозначения переменных х, у, t оставляем неизменными): йх
— = (х -а1)(х -а 2) •... • (х -а г) х
т
х [ Рп-г ^ у ) +... + Р0СХ У)],
= (у -Р:)( у Р2) •... •( у -Р *) х
т
х [Чп-*(х у) +... + У)],
где р { (' = 0, п - г) - однородные многочлены
степени ', qj (у = 0, п - *) - однородные многочлены степени У.
Последнюю систему перепишем в виде
Щ-=хрп-г (х у)+Фп-1(x, y),
т (13)
= уЧ-,(X у) + Vn-l(x, У), т
где фп-1, уп-1 - многочлены степени п -1.
Так как (13) еWn, то выполняется равенство
хг уРп-г (х, у) = ху^п_* (х, у), из которого следуют соотношения Рп-г(х у) = у*-1Вп+1_г-* Сх у) , qn-s (x, у) = хГ-Ч+1-г(x, у), где вп+1-г(x, у) -
однородный многочлен степени п +1 - г - * . Отсюда следует, что г + * < п +1. Теорема доказана.
Замечание 5. Теорема 2.2 [7] является следствием теоремы 9.
Теорема 10. Через состояние равновесия системы (2) е Wn проходят не более п инвариантных прямых.
Доказательство. Не нарушая общности, полагаем, что (0,0) - состояние равновесия системы (2). Тогда в силу (11) систему (2) можно записать в виде
с!х п-1
— = хФп-1 ^ у) + 2 Р 1(х У),
т
ту г ч 'Пт1 , ч
— = уФп-1(x, у) +2 qi (x, уХ
т ~г
2 q^(x, у) - а2 р ‘(x, у)=(у- ах)Яп-2(x, у), (15)
=1 =1
где Яп-2 (х, у) - многочлен степени п - 2 .
Из (11) следует
п-1 п-1
2 q I (х, ах) - а2 Р ,■ (х, ах) = 0. (16)
=1 =1
Из (16) при х = 1 получаем уравнение
2 q^ (1, а) - а2 Р> (1, а) = 0. (17)
=1 =1
Так как правые части уравнений системы (14) взаимно просты, то левая часть (17) не может быть тождеством относительно а. Поэтому уравнение (17) является уравнением п -й степени относительно а, следовательно, имеет не более п вещественных корней. Это и означает, что число инвариантных прямых системы (14), инцидентных состоянию равновесия (0,0), не более п. Теорема доказана.
Замечание 6. Лемма 3.4 [7] является частным случаем более общего утверждения, вытекающего из теорем 8 и 10: если L - инвариантная прямая системы (2) е Wn, А = L П £ - состояние равновесия системы (2), где £ е Мп (к), то кроме L и £ через точку А проходит не более п - 2 инвариантных прямых системы (2).
Если через состояние равновесия А системы (2) проходит п инвариантных прямых, то будем говорить, что эта система имеет инвариантное множество МД.
Теорема 11. Пусть система (2) является системой с вырожденной бесконечностью и имеет инвариантные множества Мк (к1) и МД (п > 3). Тогда система (2) может быть приведена к системе (обозначения переменных х, у, t оставляем неизменными):
тх
п-2
т- = х(Фп-1( х у) + 2
Ш /=0
ту т
(18)
(14)
где Фп-1 (х, у) - однородный многочлен степени п -1, р1, q 1 - однородные многочлены степени .
Пусть у = ах - инвариантная прямая системы (14), то есть выполняется тождество
где Фп-1 (х, у) - однородный многочлен степени п -1, р(х, у), q1. (х, у) - однородные многочлены степени ', для которой Мкп (к), М0 -инвариантные множества, причем к < 0 и п -1 инвариантная прямая, инцидентная состоянию равновесия 0(0,0) системы (18), расположена в первом и третьем квадрантах.
Доказательство. Прежде всего, введем обозначение: Н. - ' -й квадрант, причем точки координатных осей не принадлежат множеству
Н (' = 1,4).
Перенесем начало координат в точку А . Так как система (2) имеет инвариантное множество Мк (к1), то любое ее состояние равновесия принадлежит некоторой прямой из Мк (к1). Пусть і = М'к1(к1) ПМпА . Опишем полуокружность L с центром в точке А , диаметр которой лежит на прямой і. Зададим на L направление обхода, например, против хода часовой стрелки. Обозначим М1,М2,...,Мп_1 точки пересечения
инвариантных прямых из множества МпА \ {і> с полуокружностью L , причем порядковый номер точки Мі (і = 1, п -1) соответствует принятому направлению обхода L . Пусть і 1,і2,...,іп-1 -инвариантные прямые из множества МпА \ {і}, проходящие через точки М1,М2,..., Мп1 соответственно. Одну из инвариантных прямых і1 и і п1 переведем в изоклину бесконечности, а другую -в изоклину нуля. Учитывая, что (2) є Wn, получаем систему вида (18) с требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Замечание 7. Как следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 11, предположение о том, что все инвариантные прямые множества Мпй \{і> системы (18) расположены в первом и третьем квадрантах, не уменьшает общности. В дальнейшем мы будем исходить из этого предположения.
Для удобства дальнейшего изложения будем придерживаться следующих обозначений:
і = М'к(к) П М0 - инвариантная прямая системы (18), инцидентная состоянию равновесия 0(0,0) и принадлежащая множеству Мкп (к);
і + - инвариантная прямая из Мкп (к), пересекающая положительные полуоси координат; 1 < і < ; .
і- - инвариантная прямая из Мкп (к), пересекающая отрицательные полуоси координат;
1 < і < і .
Очевидно, что ; + і = п -1.
Далее,
Ri° - расстояние между і и і+, 1 < і < ; ;
Ri0 - расстояние между і и і-, 1 < і < і . Условимся считать, что
Ri0 > R + , если і > і, 1 < і < ; , 1 < і < ; и Ri0 > Rі0, если і > і, 1 < і < і , 1 < і < і.
А,+ (В/) - точка пересечения прямой і+ с осью абсцисс (ординат), 1 < і < ; ;
А,- (В-) - точка пересечения прямой і- с осью абсцисс (ординат), 1 < і < і .
Сформулируем очевидные свойства системы (18).
Утверждение 1.
1. Угловой коэффициент всех инвариантных прямых из множества Мкп (к) отрицателен.
2. Все состояния равновесия системы (18), расположенные в Н2 или Н4, принадлежат инвариантной прямой £ . Следовательно, любое состояние равновесия (18), не принадлежащее прямой £, расположено в Н1 или Н3.
3. Какое бы состояние равновесия системы (18) ни взять, оно расположено на одной из прямых множества Мкп (к).
4. Через состояние равновесия системы (18), принадлежащее множеству Н1 и Н3, проходит одна инвариантная прямая из множества
М 0п \{£}.
5. Если имеются состояния равновесия системы (18) на прямой £ + (£Т) 1 <' < т (1 <' < £ ), то их число равно п(п) .
Пусть L - инвариантная прямая системы (13), причем Ь <£ Мкп (к) иМ0п. Тогда будем говорить, что Ь обладает: свойством (а), если она пересекает квадранты Н1, Н2, Н3; свойством (Р), если она пересекает квадранты Н1, Н3, Н4; свойством (у ), если она пересекает квадранты Н1, Н 2, Н 4.
Лемма 1. Если система (18) имеет инвариантную прямую Ь со свойством (а), то она проходит через состояния равновесия А1- и В1+ .
Доказательство. Прямая Ь пересекается с осями координат в точках, являющихся состояниями равновесия системы (18). Поэтому существуют инвариантные прямые £+ и £-, такие,
что £+ П Ь = В+, £- П Ь = АУ. Так как Ь обладает свойством (а ), то ' > 1, у > 1. Покажем, что ' = у = 1. Предположим, что ' > 1. Тогда £+ П Ь = Ы1, где #1 е Н2. Приходим к противоречию с пунктом 2 утверждения 1. Если предположить, что у > 1, то тем самым допускается
наличие состояния равновесия #2 = £ 1 П Ь , где #2 е Н2. Снова приходим к противоречию. Таким образом, Ь проходит через состояния равновесия А1- и В1+ . Лемма доказана.
Аналогично доказывается
Лемма 2. Если система (18) имеет инвариантную прямую Ь со свойством (Р), то Ь проходит через состояния равновесия А1+ и В1- .
Из лемм 1 и 2 следует
Лемма 3. Никакие две инвариантные прямые Ь1 и Ь2 системы (18), не принадлежащие
множеству М'к(к) и Мп, не могут быть одновременно ни прямыми со свойством ( а ), ни прямыми со свойством ( Р ).
Лемма 4. Если система (18) имеет две инвариантные прямые Ь1 и Ь2, одна из которых со свойством ( а ), а другая - со свойством ( Р ), то они пересекаются в Н1 и Н3 .
Лемма 5. Система (18) не может иметь одновременно двух инвариантных прямых: одну со свойством (а ) или (Р), другую - свойством (у ).
Доказательство. Пусть Ь1 (Ь2) - инвариантная прямая системы (18) со свойством (а) ((у )). По лемме 1 Ь1 проходит через состояния равновесия А- и В+. Обозначим А+ (В+) точку пересечения Ь2 с осью абсцисс (ординат). Так как * > 1, то в силу теоремы 1 N = £ - П Ь2 - состояние равновесия системы (18), принадлежащее Н2 и Н4 . Приходим к противоречию с тем, что состояние равновесия системы (18), расположенное во множестве Н2 и Н4, должно принадлежать прямой £ е Мк (к). В случае, когда Ь1 обладает свойством (Р), приходим к такому же противоречию. Лемма доказана.
Лемма 6. Если Ь1 и Ь2 - инвариантные прямые системы (18), не принадлежащие множеству М'к(к) и Мп, то состояние равновесия N = Ь1 П Ь2 принадлежит Н1 и Н3.
Доказательство. В силу лемм 3 и 5 либо Ь1 и Ь2 обладают свойством (у ), либо одна из них свойством ( а ), а другая - свойством ( Р ). Если Ь1(Ь2) - инвариантная прямая со свойством (а ) ((Р)), то по лемме 4 Ь1 П Ь2 = N, где N е Н1 и Н3. Пусть Ь1 и Ь2 - инвариантные прямые со свойством (у ) и Ь1 П Ь2 = N , где N е Н2 и Н4. Проведем рассуждения для случая N е Н2, так как в случае N е Н4 применимы те же рассуждения.
Обозначим А+ (В*) точку пересечения прямой Ь1 с осью абсцисс (ординат), А+ (В+у) -точку пересечения Ь2 с осью абсцисс (ординат). Ради определенности считаем, что ' > г > 1, у > * > 1. Согласно утверждению 1 N е £, поэтому £ + П Ь2 = N1, где N1 е Н2. Пришли к
противоречию с тем, что N1 должна принадлежать прямой і. Лемма доказана.
Лемма 7. Инвариантная прямая L со свойством (у ) проходит через состояние равновесия
А1+ (В1+) и не проходит через состояние равновесия В1+ (А1+).
Доказательство. Прежде всего отметим, что L не может проходить через А+ и В1+, так как по определению Ь й Мкп (к). Осталось показать, что Ь проходит хотя бы через одну из точек А+ и В1+. Предположим, что это не так. Тогда Ь пересекает ось абсцисс (ординат) в точке А+ (В+), где г > 1, : > 1, и инвариантная прямая і+ пересекает Ь в точке N, где N є Н2 и Н4. Приходим к противоречию с тем, что состояние равновесия N должно принадлежать инвариантной прямой і . Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть Ь1 и Ь2 - инвариантные прямые системы (18), обладающие свойством (у ). Тогда точки их пересечения с осями координат являются вершинами трапеции, параллельные стороны которой лежат на прямых из множества Мкп (к).
Доказательство. В силу леммы 7 без ограничения общности считаем, что А1+, В+ є Ь1, А+, В1+ є Ь2, где г > 1, : > 1. Лемма будет доказана, если докажем, что г = :. Предположим, что г Ф : , тогда: а) г < : или б) г > :. В случае а) і + П Ь1 = ^, где N є Н2. В случае б)
і + П Ь2 = М2, где N є Н4. Так как Nl, N й і, то приходим к противоречию с утверждением 1. Лемма доказана.
Из лемм 3, 5, 8 следует
Лемма 9. Система (18) не может иметь более двух инвариантных прямых, не принадлежащих множеству Мкп (к) иМ0.
Лемма 10. Если система (18) имеет две инвариантные прямые Ь1 и Ь2, не принадлежащие множеству М'к(к) иМпй, то п - четно.
Доказательство. Пусть Ь1 и Ь2 обладают свойством (у ) и пересекаются в точке N є Н1. Рассмотрим произвольную инвариантную прямую і1 системы (18), принадлежащую множеству М0 и отличную от 0N и осей координат. Она пройдет через состояние равновесия N1, принадлежащее прямой Ь1. Следовательно, через N1 проходит некоторая инвариантная пря-
мая из множества M. (k), которая пересекает прямую L2 в точке N2. Через N2 проходит инвариантная прямая из множества M(., отличная
от ON и осей координат.
Таким образом, все инвариантные прямые множества M0. \ {І, NO} можно разбить на пары, т.е. n - 2 - четное число, а значит, n - четно.
Лемма доказана в случае, когда L1 и L2 -инвариантные прямые со свойством (у ). В случае, когда L1 и L2 пересекаются в квадранте H1 и одна из них со свойством (a ), а другая со свойством (P), рассуждения аналогичны. Лемма доказана.
Следствие 5. Если n нечетно, то система (1В) имеет не более одной инвариантной прямой, не принадлежащей множеству M. (k) U M0..
Теорема 12. Пусть система (2) является системой с вырожденной бесконечностью и имеет инвариантные множества M. (k) и MnA. Тогда при n четном (нечетном) эта система имеет не более 2. +1 (2. ) инвариантных прямых.
Доказательство. Согласно лемме 9 система не может иметь более двух инвариантных прямых, не принадлежащих множеству M. (k) U MnA . Поэтому, принимая во внимание следствие 5, приходим к выводу, что при нечетном n число инвариантных прямых системы (2) не более чем n + n -1 +1 = 2и , а при четном n - не более чем n + n -1 + 2 = 2и +1. Теорема доказана.
Замечание 8. Теорема 3.1 [У] следует из теоремы 12.
Примачаниа
1. Г оворят, что точка и прямая инцидентны, если точка лежит на прямой или прямая проходит через точку.
Список литаратуры
1. Gaiko V.A. Limit Cycle Bifurcation in a Quadratic System with Two Parallel Straight Line - Isoclines // Reports 0В-0б of the Department of Applied Mathematical Analysis Delft: Delft University of Technology, 200В. 13 p.
2. Gaiko V.A. On an application of two isoclines method to investigation of two dimensional dynamical systems // Advanc. Synerg. 1994. V. 2. P. 104-109.
3. Немыцкий В.В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений // Успехи математических наук. 1965. Т. 20. Вып. 4 (124). С. 3-36.
4. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. К вопросу о прямых изоклинах полиномиальных дифференциальных систем на плоскости // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 1. С. 156-162.
5. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Методическое пособие. Часть первая. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. 37 с.
6. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Методическое пособие. Часть вторая. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. 30 с.
7. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 6. С. 132-137.
8. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью.
II // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 1. С. 139-148.
9. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью.
III // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С. 123-129.
10. Zhang Xiang Ye Yanqian. On the number of invariant lines for polynomial systems // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. № 8. P. 2249-2265.
11. Artes J., Llibre J. On the number of slopes of invariant straight lines for polynomial of invariant straight lines for polynomial differential systems // J. Nanjing Univ., Math. Biquaterly. 1996. V. 13. № 2. P. 143-149.
12. Putuntica V.M. The cubic differential system with real invariant straight lines along six directions // Материалы международной конференции, посвященной столетию Н.Н. Боголюбова и 70-летию Н.И. Нагнибиды. Черновцы: Изд-во Черновицкого гос. унта, 2009. С. 245-247.
13. Artes J., Grunbaum B., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. V. 184. № 2. P. 207-230.
14. Ушхо Д.С. Прямые изоклины и канонические формы полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Майкоп: АГУ, 2007. 93 с.
15. Дружкова Т.А. О квадратичном дифференциальном уравнении с алгебраическим интегралом // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1977. С. 3-6.
ON STRAIGHT-LINE ISOCLINES OF PLANAR VECTOR FIELDS V.B. Tlyachev, A.D. Ushkho, D.S. Ushkho
The number of invariant lines incident to a particular system equilibrium has been found not to exceed n for the autonomous system of two differential equations X = Pn (x, y), y = Qn (x, y) with coprime polynomials of degree n in the right parts and degenerate infinity. For the same system under the additional assumption, an upper limit of the total number of invariant lines: 2n +1 or 2n, for n even or odd, respectively, has been obtained.
Keywords: polynomial vector fields, degenerate infinity, straight-line isoclines, invariant lines, equilibrium.
References
1. Gaiko V.A. Limit Cycle Bifurcation in a Quadratic System with Two Parallel Straight Line - Isoclines // Reports 08-06 of the Department of Applied Mathematical Analysis Delft: Delft University of Technology, 2008. 13 p.
2. Gaiko V.A. On an application of two isoclines method to investigation of two dimensional dynamical systems // Advanc. Synerg. 1994. V. 2. P. 104-109.
3. Nemyckij V.V. Nekotorye sovremennye problemy kachestvennoj teorii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij // Uspekhi matematicheskih nauk. 1965. T. 20. Vyp. 4 (124). S. 3-36.
4. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. K vo-prosu o pryamyh izoklinah polinomial'nyh differen-cial'nyh sistem na ploskosti // Vestnik Nizhegorodskogo un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2010. № 1. S. 156-162.
5. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. Metodi-cheskoe posobie. Chast' pervaya. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2005. 37 s.
6. Druzhkova T.A. Algebraicheskie differencial'nye uravneniya s algebraicheskimi integralami. Metodi-cheskoe posobie. Chast' vtoraya. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2009. 30 s.
7. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh chast-nyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chetvertoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. I // Vestnik Nizhegorodskogo un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2010. № 6. S. 132-137.
8. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh chast-nyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chetvertoj
stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. II // Vestnik Nizhegorodskogo un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2011. № 1. S. 139-148.
9. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O linejnyh chast-nyh integralah polinomial'nyh vektornyh polej chetvertoj stepeni s vyrozhdennoj beskonechnost'yu. III // Vestnik Nizhegorodskogo un-ta im. N.I. Lobachevskogo. 2011. № 2. S. 123-129.
10. Zhang Xiang Ye Yanqian. On the number of invariant lines for polynomial systems // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. № 8. P. 2249-2265.
11. Artes J., Llibre J. On the number of slopes of invariant straight lines for polynomial of invariant straight lines for polynomial differential systems // J. Nanjing Univ., Math. Biquaterly. 1996. V. 13. № 2. P. 143-149.
12. Putuntica V.M. The cubic differential system with real invariant straight lines along six directions // Materialy mezhdunarodnoj konferencii, posvya-shchennoj stoletiyu N.N. Bogolyubova i 70-letiyu N.I. Nagnibidy. Chernovcy: Izd-vo Chernovickogo gos. un-ta, 2009. S. 245-247.
13. Artes J., Grunbaum B., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. V. 184. № 2. P. 207-230.
14. Ushkho D.S. Pryamye izokliny i kanonicheskie formy polinomial'nyh differencial'nyh sistem na ploskos-ti. Majkop: AGU, 2007. 93 s.
15. Druzhkova T.A. O kvadratichnom differen-cial'nom uravnenii s algebraicheskim integralom // Diffe-rencial'nye i integral'nye uravneniya. Gor'kij: Gor'k. gos. un-t, 1977. S. 3-6.
