CC BY
14
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 514.742.4 ББК 22.151.62 Т 49
Тлячев В.Б.
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: stvb2006@rambler.ru
Ушхо Д.С.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru Ушхо А.Д.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: uschho76@mail.ru
О числе инвариантных множеств специального вида плоских полиномиальных векторных полей n-ой степени
(Рецензирована)
Аннотация. Для полиномиальных векторных полей n-ой степени на плоскости получена оценка числа инвариантных множеств, каждое из которых состоит из п—2 и только п—2 параллельных между собой инвариантных прямых.
Ключевые слова: полиномиальное векторное поле, инвариантное множество, инвариантные прямые, изоклины, внеузловые точки, аффинные преобразования, фазовая плоскость.
Tlyachev V.B.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: stvb2006@rambler.ru Ushkho D.S.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru Ushkho A.D.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: uschho76@mail.ru
About the number of invariant sets of a special type of the n-th degree plane polynomial vector fields
Abstract. The number of invariant sets has been obtained for n-th degree polynomial vector fields on the plane, each of which consists of n—2 and only n—2 parallel invariant straight lines.
Keywords: polynomial vector field, invariant set, invariant straight lines, isocline lines, extra nodal points, affine transformations, phase plane.
Со времен французского математика Г. Дарбу известно, что при наличии достаточного числа инвариантных кривых (в частности, инвариантных прямых) полиномиальной дифференциальной системы удается записать ее общее решение в так называемой форме Дарбу [1]. Важно отметить и такой аспект. Знание о существовании инвариантных кривых (прямых) полиномиального векторного поля помогает обнаружить новые его свойства. Поэтому актуальна тема исследований, связанных с инвариантными прямыми плоских полиномиальных векторных полей. Многие работы как отечественных, так и зарубежных математиков посвящены изучению полиномиальных векторных полей, обладающих инвариантными прямыми (см. [2-6]). К числу работ, в которых изучаются инвариантные прямые полиномиальных векторных полей n-ой степени, относятся статьи [7-9]. Уместно отметить,
что очень важные сведения об инвариантных кривых полиномиальных векторных полей приводятся в пособиях [10, 11].
Рассмотрим дифференциальную систему
dx n
dX = 2 P (X y) - P(X, y), dt t0
dy dt
(1)
= Z Qi(x, У) - Q(x, У),
i=0
где Pt (x, y) = £arsxrys, Qt(x, y) = £ brsxrys, ara, b„ е R, (P(x, y), Q(x, y))= 1.
r+s=i r+s=i
Будем обозначать символом Mks(k) инвариантное множество, состоящее из S параллельных между собой инвариантных прямых системы (1) с угловым коэффициентом к.
Определение 1. Пусть L - прямая на фазовой плоскости. Повернем ось OX вокруг точки 0(0;0) в направлении против хода часовой стрелки на угол ф такой, чтобы ось OX заняла положение прямой, параллельной L (или, быть может, совпавшей с L). При этом единичный направляющий вектор i оси OX займет положение вектора e . Направление вектора e и назовем положительным направлением прямой L, а ф - углом между положительным направлением L и осью OX.
Определение 2. Углом между инвариантным множеством M^(k) и осью OX назовем угол между положительным направлением прямой L, принадлежащей множеству M^(k), и осью OX.
Теорема 1. Пусть M'k_2(k1), M'k2_2(k2), ..., Mkk_2(kl) - инвариантные множества системы (1), где I > 2, I е N. Тогда посредством аффинного преобразования переменных x и y систему (1) можно преобразовать в систему
dx_____ ~__
— = ~ (~-OTi) •... •(x-^n-з) P2(x ,У X dt
d__ dt
(2)
= _(_-ß)•...• (_ ßn-з3)Q-2(_,_),
где 0 <а1 < ... <ап_3, 0 <Д < ... <Рп_3, Р2(х,~), Я2(х) - многочлены степени, не выше второй.
Доказательство. Пусть <,<,...,< - углы между осью ОХ и инвариантными множествами М'^_2(к1), МП_2(к2), ..., МП'_ 2(к1) соответственно. Не уменьшая общности, считаем, что 0 < < < <2 < ... < < < ж. Если < _Ж^<р2 ^ 0, то применим к системе (1) преобразование
Г X = X + у,
1 у = к1х + к2у, где к1 = , к2 = .
Согласно работе [12], преобразование (3) переводит инвариантные прямые множества М^к_2(к1) (мП_2(к2)) в изоклины нуля (бесконечности) системы
(3)
dx _ _ _ —__
— = (X - «1)( X - a2) • - • (X - an-2) P 2 (X, У X dt
^ = (У - bi)(У - Ь2) •... • (У - bn-2)Q2 (X,у), dt
где а1 < а2 < ... < ап_2, Ъ1 < Ъ2 < ... < Ъп2, Р2(х,у), Q2(х,у) - многочлены степени, не выше второй.
Г у = х _ а1,
Совершим в системе (4) параллельный перенос < у . В результате система (4)
IУ = У _ Ъ1
трансформируется в систему
dx____х ~__
— = ~(х-ах)•...• (х -ап_ъ)Р2{х^), dt
dx = х сх_ß) •... • (3х-Ап_з)02(х ,3х), dt
(5)
где 0 <а1 < ... <ап_1, 0 < Д < ... < Рп_3, Р2(х,у), Q2(x,у) - многочлены степени, не выше второй. Теорема доказана.
Замечание 1. Если <р1 , то применяем преобразование (3) при к1 = 0
(к2 = 0), приводящее систему (1) к системе (4).
В дальнейшем рассмотрим систему (5) в старых обозначениях фазовых переменных, а именно систему
dx
— = х(х _ а1) • ... • (х _ ап_3 )Р2 (X, У),
М (6)
= у( У _%) •... • (У _Рп_зШ, х, У), имеющую инвариантные множества (0) = (у = 0, У _а1 = 0,..., У _ ап_3 = 0},
Мп_2(<Х>) = (х = 0, х _а1 = 0,..., х _ап_3 = 0}.
Из процедуры доказательства теоремы 1 вытекает
Утверждение 1. Если система (6) имеет инвариантное множество Мк_2(к), где к е Я \{0}, то к < 0.
Лемма 1. Если п > 5, то система (6) не имеет инвариантной прямой I: у _ кх = 0 (к < 0).
Доказательство. Предположим, что система (6) имеет инвариантную прямую I, проходящую через начало координат 0(0;0). Тогда I пересекает п _ 2 инвариантных прямых, принадлежащих множеству Мп_2(ю), и п _ 3 инвариантных прямых из множества М°п 2 (0), расположенных выше оси ОХ. Следовательно, на прямой I система (6) имеет не
менее 2п _ 5 состояний равновесия. Поскольку число состояний равновесия системы (6), расположенных на любой прямой, не превосходит п, то из неравенства 2п _ 5 < п следует неравенство, которое противоречит условию п > 5. Лемма доказана.
Замечание 2. Очевидно, что при п > 5 инвариантная прямая системы (6) с угловым коэффициентом к < 0 не может пересекать отрицательные полуоси осей координат. Из леммы 1 и замечания 2 следует
Утверждение 2. Если инвариантная прямая у _ кх _ Ъ = 0 системы (6) при п > 5 принадлежит инвариантному множеству Мкп 2(к), где к е Я\{0}, то Ъ > 0.
Теорема 2. Система (6) при п > 5 имеет не более одного инвариантного множества Мкп_2(к), где к е Я\{0}.
Доказательство. Пусть Мкг__2(к1), М^_2(к2), ..., Мкп_2(кх) - инвариантные множества системы (6), и инвариантная прямая, принадлежащая множеству Мкп_ 2 (к^), задается уравне-
нием y - kix - b/ = 0 (i = 1, S, j = 1, n - 2). Тогда имеет место система
Ф( x y) = k1x( x-al) •... •(x-^n-3)p2( x, у ) +( у - k1x - b1) • .. •( у - k1x - b1n-2) x У), Ф(x, y) = k 2 x( x-a1) • ... • (x-an-3)P2( x, У) + (У - k 2 x - b2) • ... • (У - k 2 x - b2n-2)R22( x, У X
(7)
Ф(x,У) - ksx(X-Oi)•...•(x-°n-3)P2(X,У) + (У-kSX-bS)•...•(У-kSX-K2)R22(x,У),
где Ф(х, у) = у( у _Д) •... • (у _Дп_з)02(х, У), Р2, 62, ^2 (* = 1, 8) - многочлен степени, не выше второй.
В системе (7) положим х=0:
Ф(0,У) - У(У - Ь1) •... • (У - bn-2)Rico,У), Ф(0, У) - У(У - Ь2) •... • (У - bn 2)R2 (0, У),
(8)
Ф(0,У) - У(У - bi) •... • (У - bn-2)RS(0,У).
Так как, согласно утверждению 2, Ь/ > 0 (i = 1, S, j = 1, n - 2), то из (8) следует, что для любого i e{l,..., S} найдется хотя бы один множитель y - bj , j e{l,...,n - 2}, который делит без остатка многочлен Q2(x,y). Поэтому n - 3 множителей вида y - b. , расположенных в правой части каждого из тождеств, является делителем многочлена n - 2 -ой степени, расположенного в левой части.
Отсюда делаем вывод о том, что выполняется неравенство
S(n - 3) < n - 2 . 1
(9)
Из (9) следует оценка 8 < 1 н--. Так как 8 еN и п > 5, то 8 < 1. Теорема
п + 3
доказана.
Следствие 1. Система (1) при п > 5 имеет не более трех инвариантных множеств Мкп_2(к ).
Пример 1. Система
dx dt
dУ dt
= x(x -1)(x - 2)(x - 3)(2xy + 5У2 - 6x - 23У + 24),
= У(У -1)(У - 2)(У - 3)(-10x2 -10xy - 3У2 + 40x + 2^У - 36)
имеет три инвариантных множества:
М40(0) = {у = 0, у _ 1 = 0, у _ 2 = 0, у _ 3 = 0} м; (ю) = {х = 0, х _ 1 = 0, х _ 2 = 0, х _ 3 = 0} М;1 (_1) = {у + х-1 = 0, у + х _ 2 = 0, у + х _ 3 = 0, у + х _ 4 = 0}, и, кроме того, инвариантную прямую у + 2 х _ 4 = 0. Пример 2. Система йх
— = х(х _ 1)(х _ 2)(х _ 3)(х _ 4)(2х2 + 7ху + 7у2 _ 22х _ 42у + 60),
^у = у(у _ 1)(у _ 2)(у _ 3)(у _ 4)(7х2 + 7ху + 2у2 _ 42х _ 22у + 60) т
имеет три инвариантных множества:
М 5 (0) = (у = 0, у-1 = 0, у _ 2 = 0, у _ 3 = 0, у _ 4 = 0}
М5да (да) = (х = 0, х-1 = 0, х _ 2 = 0, х _ 3 = 0, х _ 4 = 0}
М5_1 (_ 1) = (у + х- 2 = 0, у + х _ 3 = 0, у + х _ 4 = 0, у + х _ 5 = 0, у + х _ 6 = 0}.
Кроме этого, система имеет инвариантную прямую у _ х = 0.
Условимся обозначать символом Г0( Гда ) изоклину нуля Q2( х, у) = 0 (изоклину бесконечности Р2 (х, у) = 0 ).
Определение 3. Состояние равновесия и системы (6) назовем ее узловой точкой, если и = ¡1 п¡2, где ¡1 еМ^ф), ¡2 еМ12(да).
Определение 4. Состояние равновесия системы (6), не являющееся узловой точкой, будем называть внеузловой точкой.
Будем различать три типа внеузловых точек.
Определение 5. Внеузловой точкой 0-типа назовем состояние равновесия системы (6)
V0 = I п Г, где I е Мп0_2(0).
Определение 6. Внеузловой точкой го-типа назовем состояние равновесия системы (6)
Vда = IпГ0, где I еМпда_2(да).
Определение 7. Внеузловой точкой п-типа назовем состояние равновесия системы (6)
^п т0 „ тда
= Г п Г .
Лемма 2. На инвариантной прямой системы (6), не принадлежащей множеству Мп0_2(0) иМпш_2(да), расположены не более двух внеузловых точек 0-типа и не более двух
внеузловых точек ю-типа.
Справедливость леммы следует из того, что прямая имеет не более двух общих точек с кривой второго порядка.
Теорема 3. Пусть инвариантная прямая I: у_кх_Ъ = 0 системы (6), не принадлежащая множеству М^0_2(0) и 2(да), проходит через две внеузловые точки У10 и V,0 (V™ и V200 ). Тогда I проходит через две внеузловые точки V3да и V4да V0 и V40).
Доказательство. Пусть I £ М^0_2(0) и2(да) и I проходит через две внеузловые точки V0 и V20. Так как к е Я \{0}, то I пересекает все инвариантные прямые множества Мп0_2(0) и Мпш_2(да). По определению, через У10 и V,0 не проходит ни одна инвариантная прямая множества М*_2 (да), и поэтому на I система (6) имеет п состояний равновесия. Поскольку V0, V20 е I, то среди п-2 состояний равновесия системы (6), расположенных на I и отличных от V0 и V20, найдутся не более п-4 состояний равновесия, через каждое из которых проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству М°_2 (0). Следовательно, на ¡ найдутся два состояния равновесия, через каждое из которых проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству М™_ 2(да), но не проходит инвариантная прямая,
принадлежащая множеству М°п_2 (0). Таким образом, на I система (6) имеет две внеузловые точки V3да и V™. В случае, когда I проходит через внеузловые точки У1да и V™, рассуждения аналогичны. Теорема доказана.
Теорема 4. Если среди состояний равновесия системы (6), расположенных на инвариантной прямой ¡, не принадлежащей множеству М^0_2(0) иМда_2(да), внеузловая точка 0-
типа только одна, то на I расположены либо п _ 1 состояний равновесия, в том числе одна внеузловая точка ю-типа, либо п состояний равновесия, в том числе одна внеузловая точка ю-типа и одна внеузловая точка п -типа.
Доказательство. Пусть / - инвариантная прямая системы (6), не принадлежащая множеству Мп_2(0) иМп_2(ю), и среди состояний равновесия, расположенных на /, вне-узловая точка 0-типа только одна. Прямая / проходит не более чем через п состояний равновесия и не менее чем через п _ 1 состояний равновесия. Предположим, что на / расположены п _ 1 состояний равновесия системы (6). Тогда через каждое из них проходит хотя бы одна инвариантная прямая множества М°_2(0) иМЮ_2(го). Среди п _ 2 состояний равновесия системы (6), расположенных на / и отличных от единственной внеузловой точки 0-типа, найдутся не более п _ 3 состояний равновесия, через каждое из которых проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству М^°_2(0). Следовательно, на / имеется состояние равновесия, через которое проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству МЮ_2(ю) и не проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству М°п 2 (0). Таким образом, на / наряду с внеузловой точкой 0-типа расположена одна
внеузловая точка го-типа.
Если на / расположены п состояний равновесия системы (6), среди которых только одна внеузловая точка 0-типа V0, то среди остальных п _ 1 состояний равновесия, расположенных на / и отличных от V0, найдутся не более п _ 3 состояний равновесия, через каждое из которых проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству Мп0_2(0). Следовательно, на / расположены два состояния равновесия, ни одному из которых не инциндентна инвариантная прямая, принадлежащая множеству М^°_2(0). Оба состояния равновесия не могут быть внеузловыми точками п -типа, так как прямая пересекает кривую второго порядка Р2( х, у) = 0 не более чем в двух точках. Эти два состояния равновесия не могут быть также внеузловыми точками го-типа в силу теоремы 3. Таким образом, одно состояние равновесия есть внеузловая точка го-типа, а другое - внеузловая точка п -типа. Теорема доказана.
Замечание 3. Если в условиях теоремы 4 внеузловую точку 0-типа заменить на внеуз-ловую точку го-типа, то в заключении получим, что на / расположены либо п _ 1 состояний равновесия, в том числе, одна внеузловая точка 0-типа, либо п состояний равновесия, в том числе, одна внеузловая точка 0-типа и одна внеузловая точка п -типа.
Лемма 3. Если система (1) имеет два инвариантных множества Мкп_2(к1) и М^_2(к2) (( Ф к2), то на любой инвариантной прямой, принадлежащей множеству Мк_2 (к1) и Мкп2_2 (к2), эта система имеет не более двух внеузловых точек.
В самом деле, на каждой из прямых множества Мкп_2(к1) иМкп2_2(к2) п _ 2 узловых точек. Так как на прямой система (1) имеет не более п состояний равновесия, то и внеуз-ловых точек на инвариантной прямой, принадлежащей множеству М^^_2(к1) иМ^_2(к2), не более двух.
Теорема 5. Пусть система (6) имеет инвариантное множество Мк5 (к), к е Я \ {0}. Тогда 8 < 5.
Доказательство. Для определенности полагаем, что к < 0 . По лемме 3 во множестве Мк5 (к) найдутся не более двух инвариантных прямых, пересекающих прямую
1°_3 : у _ Рп_3 = 0 во внеузловых точках, и не более двух прямых, пересекающих прямую
/0° : х = 0 во внеузловых точках.
Относительно количества внеузловых точек на прямой /°_3, через которые проходят инвариантные прямые множества М8к (к) , возможны предположения:
а) нет ни одной внеузловой точки;
b) есть одна внеузловая точка;
c) есть две внеузловые точки.
В случае a) инвариантные прямые множества Mks (k) могут пересекать /°_3 только в узловых точках, поэтому S < 3. В случае b) обозначим через xj абсциссу единственной внеузловой точки Fj0, расположенной на прямой /0_3. Тогда xj удовлетворяет одному из неравенств:
bj) Xj <0;
b2) 0 < xj < aj ;
b3) aj < xj < a2.
Если xj < 0, то любая инвариантная прямая, отличная от той, которая проходит через Vj0 и принадлежащая множеству Mks (k), проходит через одну из узловых точек U0(0;ßn_3), Uj(aj;ßn_3), U2(a2;ßn_3). Следовательно, в случае bj) S < 4.
Пусть 0 < xj < aj. Тогда инвариантные прямые из множества Mks (k), отличные от той, которая проходит через Vj0, пересекают /°_3 только в узловых точках U0, Uj, U2. Но при этом инвариантные прямые из множества MSk (k) одновременно не проходят через точки Uj и U , так как в противном случае система (6) имела бы на прямой /0° не менее трех внеузловых точек œ -типа. Это противоречит лемме 3. Таким образом, в случае b2) S < 3. В случае выполнения неравенства aj < xj < a2 приходим к такому же заключению, как и в случае точки на прямой /0_3, через которые проходят инвариантные прямые из множества Mks (k). Абсциссы точек Vj0 и V20 обозначим через xj и x2 соответственно, при этом, не уменьшая общности, считаем, что xj < x2 . Тогда xj и x2 удовлетворяют одному из условий:
cj) xj < x2 < 0 ;
c2) xj < 0 < x2 < aj ;
c3 ) 0 < xj < x2 < aj ;
c4 ) 0 < xj < aj < x2 < a2 ;
c5) a < xj < x2 < a2.
При выполнении условия cj) инвариантная прямая множества Mks (k), отличная от тех прямых, которые проходят через Vj0 и V20, проходит через одну из узловых точек U0, Uj, U2. Поэтому в случае cj) S < 5. В случае c2) система (6) имеет не более двух инвариантных прямых, принадлежащих множеству MSk (k) и отличных от инвариантных прямых, отличных от тех, которые проходят через Vj0 и V20. Следовательно, при выполнении c2 ) S < 4. В случае c3) во множестве Mks (k) имеется не более одной инвариантной прямой, отличной от тех, которые проходят через Vj0 и V20, а значит S < 3. В случае c4) и c5) также S < 5. Теорема доказана.
Следствие 2. Если система (¡) имеет три инвариантных множества Mk_2(k), то n < 7.
Доказательство. По теореме (¡) систему (¡) можно привести к системе (6). Поэтому система (6), кроме инвариантных множеств M(0_2 (0) и M^_2 (œ), имеет инвариантное множество Mkn_2 (ki ), ki g R \ {0}. Но по теореме 5 n _ 2 < 5, то есть n < 7 .
Замечание 4. Из процедуры доказательства теоремы 5 следует, что если система (6) имеет инвариантное множество M5k (k), k < 0, то две инвариантные прямые из множества
M5 (к ) пересекают прямую х = 0 в двух внеузловых точках, расположенных выше точки (0;Рп3), и столько же инвариантных прямых, принадлежащих множеству M5k (к), пересекают прямую y _ Рп_3 = 0 в двух точках, расположенных слева от точки (0; Рп_3), а пятая инвариантная прямая из множества M'к (к ) проходит через узловую точку (0;Рп_3).
Лемма 4. Пусть система (6) при п > 5 имеет инвариантное множество M5k(к) (к < 0). Занумеруем прямые, принадлежащие множеству M5 (к), в порядке их расположения снизу вверх: ¡1, ¡2, /3к, ¡4, /5к. Тогда инвариантная прямая: ¡1 проходит через узловые точки (0;Рп_5) и (ап_5;0) ; ¡2 проходит через узловые точки (0;Рп_4) и (ап_4;0) ; ¡к проходит через узловые точки (0;Рп3) и (ап_3;0) ; ¡4 проходит через узловые точки (ах ; Рп_3) и (ап_3Р) ; ¡к проходит через узловые точки (а2;Рп_3) и (ап_3;Р2).
Доказательство. В силу замечания 4 инвариантная прямая ¡3к действительно проходит через узловые точки (0;Рп_3) и (ап_3;0); инвариантные прямые ¡1 и ¡\ пересекают прямую y _ Рп_3 = 0 в точках, расположенных слева от точки (0; Рп_3 ) ; инвариантные прямые ¡4 и ¡5к пересекают прямую х = 0 в точках, расположенных выше точки (0; Рп_3 ) . Для точек пересечения прямых ¡1 и ¡\ с прямой х = 0 введем обозначения U1 и U2 соответственно, а для точек пересечения прямых ¡4 и ¡5к с прямой y _ Рп 3 = 0 - обозначения U4 и U5 соответственно. Точки U1 и U2 могут быть только узловыми, так как на прямой х = 0 уже две внеузловых точки (точки пересечения прямых ¡4к и ¡5к с прямой х = 0). По лемме 3 на инвариантных прямых множества M^°_2(0) ^ M^^œ) система (6) имеет не более двух внеузловых точек. Таким образом, U1 и U2 - узловые точки. Точка Uj не может быть расположена выше точки (0;Рп5), а точка U2 - ниже точки (0;Рп4). Поэтому для точки Uj ( U2 ) остается единственная возможность пересекать прямую х = 0 в точке (0;Рп 5) ((0;Рп_4)). Аналогичными рассуждениями доказывается, что ¡1к и ¡2, проходят через узловые точки (ап_5;0) и (ап_4;0) соответственно, а также доказываются утверждения относительно инвариантных прямых ¡4 и ¡5к . Лемма доказана.
Примечания: References:
1. Darboux M.G. Memoire sur les equations differen- 1. Darboux M.G. Memoire sur les equations différentielles algebriques du premier ordre et du premier tielles algebriques du premier ordre et du premier degree // Bulletin des Sciences Mathématiques et degree // Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques. Série 2. T. 2, №. 1. Paris, 1878. Astronomiques. Série 2. T. 2, №. 1. Paris, 1878. P. 60-96, 123-144, 151-200. URL: P. 60-96, 123-144, 151-200. URL: http://www.numdam.org/article/BSMA_1878_2_2_ http://www.numdam.org/article/BSMA_1878_2_2_ 1_60_1.pdf 1_60_1.pdf
2. Sokulski I. On the number of invariant straight lines 2. Sokulski I. On the number of invariant straight lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485. No. 9. P. 479-485.
3. Artes I., Criinbaum B., Llibre I. On the number of 3. Artes I., Criinbaum B., Llibre I. On the number of invariant straight lines for polynomial differential sys- invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. tems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
4. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных 4. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular интегралах полиномиальных векторных полей integrals of polynomial vector fields of the fourth de-четвертой степени с вырожденной бесконечно- gree with degenerate infinity. I // Bulletin of Nizhny
стью. I // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 6. С. 132-137.
5. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. II // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 1. С. 139-148.
6. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. III // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С. 123-129.
7. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. Оценка сверху числа инвариантных прямых полиномиального векторного поля n-ой степени // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 171-179.
8. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. О прямых изоклинах векторных полей на плоскости // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2014. № 2. С. 148-156.
9. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. Об инвариантных множествах полиномиального векторного поля п-ой степени // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru
10. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами: метод. пособие. Ч. 1. Н. Новгород: Изд-во Ниже-город. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2005. 37 с.
11. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами: учеб.-метод. пособие. Ч. 2. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2009. 30 с.
12. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы // Труды ФОРА. 2003. № 8. С. 7-21.
Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2010. No. 6. P. 132-137.
5. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. II // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2011. No.1. P. 139-148.
6. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. III // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2011. No. 2. P. 123-129.
7. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. An estimate from above of the number of invariant straight lines of n-th degree polynomial vector field // News of Saratov University. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2015. Vol. 15, Iss. 2. P. 171-179.
8. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. On straight-line isoclines of planar vector fields // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2014. No. 2. P. 148-156.
9. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.C. Invariant sets of the n-th order polynomial vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru
10. Druzhkova T.A. Algebraic differential equations with algebraic integrals: a manual. Pt. 1. N. Novgorod: Publishing House of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky, 2005. 37 pp.
11. Druzhkova T.A. Algebraic differential equations with algebraic integrals: a manual. Pt. 2. N. Novgorod: Publishing House of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky, 2009. 30 pp.
12. Ushkho D.S. On direct isoclines of the cubic differential system // Works of Physical Society of Ady-gheya Republic. 2003. No. 8. P. 7-21.
