CC BY
47
действительных чисел, по Кантору, допускают интерпретацию на множестве КДЧ. Например, на множестве КДЧ не выполняется теорема: всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел (контрпример см., например, [6]).
Тем не менее, несчетность множества действительных чисел в канторовской теории множеств имеет интерпретацию в конструктивной теории действительных чисел.
Как уже отмечалось, появившиеся в последнее время критические работы с «опровержением» теоремы Кантора о несчетности содержат опровержения (как кажется самим авторам) доказательства, но не самой теоремы. Опровергнуть саму теорему Кантора было бы «проще всего», приведя алгоритм пересчета
всех действительных чисел. Никто такого алгоритма не нашел. Как выяснилось (см. [6, с. 187-191], такого алгоритма нет. Уточним, результат состоит в следующем: каков бы ни был алгоритм, ставящий в соответствие целым числам конструктивные действительные числа, найдется КДЧ, отличное от любого числа, которые перечисляет этот алгоритм. Иначе говоря, конструктивные действительные числа пересчитать нельзя.
Таким образом, множество КДЧ - счетное в смысле Кантора (абсолютная мощность совпадает с мощностью целых чисел), но «конструктивная мощность» этого множества больше мощности целых чисел.
Парадокс Сколема разрешается аналогично.
Список литературы
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974. - 480 с.
2. Зенкин А. А. Априорные логические суждения с нулевой онтологией // Математика и опыт. - М. : МГУ, 2003. - С. 423-434.
3. Петросян В. К. Основные положения оснований гармонической арифметики // Бесконечность в математике. - М.: Янус-К, 1997. - С. 48- 66.
4. Карри Х. Основания математической логики. - М.: Мир, 1969. - 568 с.
5. Сокулер З.А. Людвиг Витгенштейн и его место в философии ХХ в. - Долгопрудный: Аллегро-Пресс, 1994. -173 с.
6. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. - М.: Наука, 1973. - 448 с.
7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука, 1979. - 720 с.
8. Тихомиров В. М. Финитизация бесконечности в классическом анализе. // Бесконечность в математике. -М.: Янус-К, 1997. - С. 177-189.
9. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. - М.: Наука, 1987. - 447 с.
10. Бухштаб А. А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. 384 с.
11. Босс В. Лекции по математике. Т.5: Функциональный анализ. - М.: КомКнига, 2005. - 216 с.
12. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. - М.: Наука, 1972. - 592 с
УДК 510 (022)
ББК В 11
И.А. Гуримская
О решении краевых задач для дивергентного уравнения в области, ограниченной параболой
Рассмотрена первая краевая задача в неоднородной области, ограниченной параболой (внутренняя ее часть), когда коэффициент дивергентного уравнения является квадратичной функцией. Методом свертывания разложений Фурье решение задачи выражено через решение классической задачи Дирихле в однородной полуплоскости (относительно уравнения Лапласа).
Ключевые слова: первая краевая задача, параболическая неоднородная область, метод свертывания разложений Фурье.
I.A. Gurimskaya
On Solving Boundary Value Problems for Divergence Equation in Parabola-Bounded Space
The article deals with the first boundary value problem in parabola-bounded space when the divergence equation coefficient is a quadratic function. The problem was solved by means of Fourier method and expressed through Dirichlet problem solution.
Key words: the first boundary value problem, parabola-bounded space, a method of convolution of Fourier expansions.
При исследовании установившихся процессов тепломассопереноса обычно проницаемые среды в рассматриваемой области считаются однородными, а сами области - каноническими [1; 2]. Решение краевых задач для уравнений с функциональными коэффициентами расширяет возможности моделирования реальных проницаемых сред. Также имеет интерес исследование процессов в областях, ограниченных криволинейными линиями (поверхностями).
Рассмотрим на плоскости с параболическими координатами %, п в области
D( % £ R,0 < п < l), ограниченной параболой П = l, первую краевую задачу: р д % <р + д (р дц <р) = 0, =i = f(%), (1)
<р(%,0) = <р(-%,0), д^(%,0) + д^(-%,0) = о, (2)
где д %= д У д£П, р(п) = a(rn + 1)2; а > 0,
r > 0 - постоянные. Задача (1), (2) описывает установившиеся процессы тепломассопереноса в неоднородной области D с функцией проницаемости р(п), при этом условия (2) выражают непрерывность потенциала и нормальной скорости на разрезе L(% £R,п = 0) CD, т.е. этим разрезом можно пренебречь. Параболические координаты %, п связаны с декартовыми координатами X, у равенствами
x = %2 - п2, у = 2%п; п ^ 0,
% = s^y)!^ + X , ,, = j- X • (3)
Область D плоскости X, у посредством функции z = Z2, z = X + i у, Z = % + iп конформно отображается в полосу D1 (% £ R,0 < п < l) плоскости Z . В данном
случае проницаемость среды в области D возрастает по параболам % = const от минимального значения а на луче L(x > 0,у = 0) до максимального значения a(rl + 1)2 на границе п = l.
Наряду с задачей (1), (2) рассмотрим в полуплоскости п < 0 плоскости Z классическую задачу Дирихле относительно уравнения Лапласа:
д%F + д%р = 0, Flr_, = P0f( %), (4)
где р0 = rl + 1, f( %) - граничная функция исходной задачи (1). Решение задачи (4) счита-
ем известной функцией F(%, п). Отметим, что функция F(%, п) строится по формуле Пуассона и для широкого класса граничных функций f ( %) выражается в конечном виде [1, 2].
Методом работ [3-5] выведем формулы, непосредственно выражающие решение задачи (1), (2) через функцию F(%, п) . Предположим, что граничная функция задачи (4) представима интегралом Фурье:
да
Pof(%) = J ( fi*i + f%^%)<&, °1 = sin 1%,
0
= cos1%, (5)
где
да
f( 1) = Po Г f( % )G id%.
Отсюда в полуплоскости п < 0 выполняются равенства
F(4,n) = j eXn(f1o1 + f2o2)cCk, (б)
о
' " (7)
[F(4,n) - F(-4, n)] = J eXn fo1dk,
0
ещ f2o
(X + j)
где
Ф
*+1( 4,n) = ^'ттт^, * = 01 ' (8)
1 “
Ф* +1(4, п) = { е"утт№4, п - т) + Р(, п - т)]бх
0 (9)
у > 0, функции о у имеют вид (5). Равенство
(6) выражает решение задачи Дирихле (4), полученное методом Фурье, а равенства (7), (8) следуют из (6).
Представляя решение исходной задачи (1), (2) в виде
о(4,ч) = Щ, (10)
Гп + 1
для функции и(4, п) получим задачу относительно уравнения Лапласа д 42и + з^и = 0, иы=1 = Ро? (4), (11)
и( 4,0) = и( -4,0),
дпи(4,0) - ги(4,0) + дпи(-4,0) - ги(-4,0) = 0 (12)
Представим решение задачи (11), (12) в виде
и(4, п) = _[ {а1о1вЬХц + [а2в11 Х(п -1) + а3вЬХп] о2}с1к 0
(13)
при этом функция и удовлетворяет уравнению Лапласа (11) и первому условию сопряжения (12) (в предположении сходимости и дифференцируемости интеграла (13)). Посредством сравнения коэффициентов при
01 2 в граничном условии (11) и коэффициентов при о2 во втором условии сопряжения (12) для трех параметров а(- получим систему трех алгебраических уравнений, решение которой имеет вид ?1
a1 =
f2 X f2
a3 = —, a2 =-------------------------------2-------->
s s( Xc + rs)
где в = ЭЬХ I , С = сЬX I, при этом коэффициенты во втором условии (12) при о1 совпадают тождественно. Отсюда решение (13) задачи (11), (12) примет вид
. X сЬХц + Г вЬХп . \ г
----1 ^о1 +-------!1 о2 |ЙХ
u( 4, П) = J
Xc + rs
Полученное решение содержит две квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье) от сильно осциллирующих функций при X ^ Ю , что делает это решение малоэффективным для приложений.
Для дробей, входящих в полученное решение, имеем
2ёк
2е-
в 1 - е 1 Хс + гв (X + г)(1 + ц) где ц = е21 [1 - 2г(X + г)-1], при этом | ц | < 1 при 0 < X < °°. Раскладывая дроби (1 - е21)и (1 + ц)-1 в геометрические прогрессии и выделяя в (13) выражения (6)-(8), окончательно приведем решение задачи (11), (12) к виду
и = 2{ П( 4, п - (2п + 1)1) - П( 4 ,-п - (2п + 1)1) +
п-0
+ (-1)п 2С*(-2г)к[Ф*(4,п - (2п +1)1) + Фк(4, п - (2п +1)1)
к=0
-2г Ф к+1( 4 ,-п - (2п + 1)1)] } (14)
где п(4, п) = :2[ р(4, п) - ?(-4,п)], ф*(4,п) при
к = 1,2,.. имеет вид (9),
Ф0( 4, п) = \[Г( 4, п) + Р(-4, п)].
Отсюда решение исходной задачи строится по формулам (14), (10), где переменные 4, п имеют вид (3).
Список литературы
1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 431 с.
2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.
3. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47. - № 9. -С. 1550-1556.
4. Холодовский С.Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесой) // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. -№ 7. - С. 1209-1213.
5. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 6. -С. 855- 859.
1
1
s
о
УДК 539.217 ББК 3 221.8
А.А. Гурулев
Резонаторные исследования пресного льда на частоте 3,3 ГГц
Приведены экспериментальные результаты диэлектрических потерь льда, не содержащего солевых и органических включений, в прямоугольном резонаторе при полном его заполнении на частоте 3,3 ГГц. Обнаружено уменьшение диэлектрических потерь льда перед фазовым переходом лед-вода.
Ключевые слова: резонатор, диэлектрическая проницаемость, лед.
A.A. Gurulev
Resonator Research of Ice on a Frequency of 3, 3 GHz
The article presents the experimental results of microwave dielectric losses of ice lack of salt and organic inclusions. The decreasing of ice dielectric losses was detected on a frequency of 3, 3 GHz before the ice-water transition.
Key words: resonator, dielectric constant, ice.
Над большей частью России, а также других стран в зимнее время преобладает отрицательная температура воздуха. Это приводит к появлению различных видов криогенных об-
